Thông tin tài liệu
Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC Nội dung Trang Mụclục A Đặt vấn đề B Giải vấn đề I Cơ sở lý luận vấn đề II Thực trạng vấn đề: III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Sử dụng công cụ đạo hàm giải toán tổ hợp Sử dụng cơng cụ tích phân giải tốn tổ hợp Sử dụng cơng cụ số phức giải tốn tổ hợp IV Hiệu SKKN C Kết luận Tài liệu tham khảo 3 6 11 16 20 21 22 (SKKN xếp loại C cấp tỉnh năm học 2012-2013) Tác giả: Nguyễn Lạnh Thơm Giáo viên trường THPT Nguyễn Quán Nho A Đặt vấn đề: Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm Sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình phổ thơng, tốn tổ hợp phần quan trọng để phát triển tư duy, tính sáng tạo em học sinh Những năm gần đây, toán Đại số tổ hợp thường xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng nhiều Để giải tốn có nhiều phương pháp khác nhau, dùng trực tiếp tính chất tổ hợp, phép biến đổi tương đương, có sử dụng đạo hàm, tích phân, cịn số phức thật mẻ Song nội dung viết tơi trình bày số tốn tổ hợp hay gặp mà cách giải tổng thể sử dụng cơng cụ đạo hàm, tích phân số phức Đây thực công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải tốn nhanh, gọn, xác Mong muốn tơi cho em nhìn tổng thể cách giải toán Tất nhiên, tổ hợp học chương trình lớp 11, cụ thể HKI Còn đạo hàm trình bày cuối HKII lớp 11, tích phân học chương trình lớp 12, chí số phức trình bày cuối chương trình lớp 12 Hệ thống tập sách giáo khoa sách tập ứng dụng đạo hàm, tích phân số phức để giải tốn tổ hợp khơng trình bày nhiều, học sinh không rèn luyện kỹ lớp Do đó, gặp tốn đề thi Đại học Cao đẳng, phần lớn em khơng làm Nhằm mục đích em học sinh chuẩn bị bước vào kỳ thi quan trọng, thấy tổng thể phương pháp giải tốn tổ hợp, từ tạo cho em niềm tin làm tốt kỳ thi tới Tôi chọn đề tài “Sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh số toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm Đồng thời áp dụng đề tài cho em học sinh dang học lớp 12 năm 2013 B Giải vấn đề: Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm Sáng kiến kinh nghiệm I Cơ sở lý luận vấn đề Rõ dàng tập tổ hợp mà ta giải chuyên đề là: Tính tổng, Chứng minh đẳng thức, hay tìm n∈N* thoả mãn đẳng thức đó, tất nhiên dạng chứa Cnk toán liên quan đến khai triển nhị thức Newton, mà việc chọn số hạng nhị thức, số mũ nhị thức có vai trị quan trọng tốn ta cần giải Giả sử, ta xét nhị thức: (1 + x)n = C0n + xC1n + x 2C2n + + x n Cnn (1) (với x với n∈N*) Từ suy ra: a) Lấy đạo hàm hai vế (1) ta được: 2 n n [(1+x)n]′= Cn + Cn x + Cn x + + Cn x ′ ⇔ n(1+x)n−1= C n1 + 2C n2 x + + nC nn x n −1 (2) b) Lấy tích phân hai vế (1) ta được: b ∫(1+ x) a n b ( ) dx = ∫ C0n + C1n x + C 2n x + + C nn x n dx a b b n +1 ( + x ) n +1 x x n x ⇔ = Cn x + Cn + Cn + + C n n + n + a a (3) c) Giả sử tốn cần tính tổng C nk (với k = 0,1,2, n) Ta Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) Mặt khác khai triển trực tiếp số phức (thường xét số phức có argument ± π π π , ± , ± ) Rồi so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính Từ tìm mối liên hệ cho tổng cần tính Sau tơi trình bày phương pháp ví dụ tương ứng, để làm minh chứng cho sở lý luận đề tài Ở phần giải vấn đề tơi cố gắng trình bày tốn cách chi tiết, phân tích nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu cao Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học KA -2005) Tìm số nguyên dương n cho : C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + + (2n + 1)22 n C22nn++1 = 2005 (1) Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm Sáng kiến kinh nghiệm Giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có : ( 1+ x) n +1 = C20n +1 + C21n +1 x + C22n +1 x + C23n +1 x + + C22nn++11 x n +1 ⇒ (2n + 1).(1 + x) n = C21n +1 + 2C22n +1 x + C23n +1 x3 + + C22nn++11 x n +1 (2) Chọn x= -2 thay vào (2) ta được: 2n + = C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n+1 − 4.23 C24n+1 + + (2n + 1)22 n C22nn++1 (3) Từ (1) (3) ta thấy VT (1) = VP (3) suy 2n+1=2005 ⇔ n = 1002 (thoả mãn) Kết luận: n = 1002 gái trị cần tìm Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học KA-2007) Cho n số nguyên dương,chứng minh: 1 n −1 2 n − C n + C n + C n + + C 2n = 2n 2n + Giải: Xét khai triển 2 2n 2n x + C32n x + + C 2n x ( + x ) 2n = C02n + C12n x + C2n (1) 2 2n x − C32n x + + C 2n ( − x ) 2n = C0n − C12n x + C2n 2n x (2) Trừ vế theo vế (1) (2) ta được: 2n −1 2n −1 x ( + x ) 2n − ( − x ) 2n = ( C12n x + C32n x + + C2n ) 2n 2n 1+ x) − (1− x) ( ⇔ Suy ∫ 2n −1 2n −1 = C12n x + C32n x + + C2n x ( + x ) 2n − ( − x ) 2n dx = ∫ ( C2n x + C2n x 3 ) 2n −1 2n −1 + + C2n x dx 1 ( + x ) 2n +1 + ( − x ) 2n +1 1 2n −1 2n ÷ = C2n x + C2n x + + C2n x ÷ ⇔ ÷ 2 2(2n + 1) 2n 0 0 1 2n −1 22n − (đpcm) ⇔ C2n + C2n + C2n + + C2n = 2n 2n + Ví dụ 3: (Bài tập 29 trang 206 SGK Giải tích 12- Nâng cao) Tính: S = C190 − C192 + C194 − + C1916 − C1918 Giải 19 4 16 16 Ta có: (1 + i) = (C19 + C19i + C19i + + C19 i + C1918i18 ) + (C191 i + C193 i + + C1919i19 ) = C190 − C192 + C194 − + C1916 − C1918 +( C191 − C193 + C195 − + C1917 − C1919 )i Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm Sáng kiến kinh nghiệm Từ suy phần thực vế phải C190 − C192 + C194 − + C1916 − C1918 19 Π Π mặt khác, (1 + i ) = 2(cos + sin ) 4 19Π 19Π + sin ) = ( 2)19 (cos 4 19 = ( 2)19 (− 2 +i ) = -29 + 29i 2 So sánh hai cách tính ta S = C190 − C192 + C194 − + C1916 − C1918 = -29 = -512 II Thực trạng vấn đề: Thuận lợi: Năm 2013 tơi đặt mục tiêu hồn thành chun đề “ Sử dụng cơng cụ đạo hàm, tích phân số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh số tốn tổ hợp” lại trùng với việc trực tiếp giảng dạy hai lớp 12, mà số đông em học sinh tâm thi vào trường Đại học cao đẳng Đó thuận lợi đáng kể để tơi áp dụng đề tài này, tin lớp học sinh truyền đạt chuyên đề đạt kết khác biệt so với lớp học sinh có chất lượng tương tự trực tiếp giảng dạy em năm 2010 Khó khăn: Tỷ lệ học sinh làm loại tốn cịn thấp Điều tơi thu hai năm lớp 10, 11 trực tiếp dạy em sang năm 2013 tiến hành khảo sát chất lượng làm loại tốn thơng qua số kiểm tra học sinh lớp 12C1 12C3 Lớp Sỉ số Đạt diểm Tỉ lệ Đạt diểm Tỉ lệ 12C1 43 25 60.9% 18 39.1% 12C3 44 30 63.6% 14 36.4% (Khảo sát chất lượng chưa đưa chuyên đề vào giảng dạy) Tôi hiểu rằng, việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ em học sinh địi hỏi nhiều cơng sức thời gian Hiện nhận thức học sinh thể rõ là: - Các em cịn lúng túng việc tìm hướng giải cho toán tổ hợp - Nhiều học sinh có tâm lí sợ loại tập Đây chuyên đề đòi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó khơng học sinh mà cịn khó giáo viên việc truyền tải kiến thức, lẫn phương pháp tới em Cụ thể làm để em hiểu tốn tổ hợp sử dụng công cụ III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề : Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm Sáng kiến kinh nghiệm Trong dạy học toán nhiệm vụ thầy trị tìm phương pháp phù hợp để giải tập quan trọng Như nói trên, phần giải vấn đề này, tơi cố gắng trình bày tốn cách chi tiết, phân tích nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy dùng cơng cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu cao, giúp học sinh giải toán nhanh, gọn, xác Từ tạo cho em niềm tin làm tốt kỳ thi tới Sau xin vào phần cụ thể SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 1.1 Phương pháp Trước vào toán cụ thể, ta cần nhớ đẳng thức khai triển Newton phép lấy đạo hàm đẳng thức Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 1: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức số hạng có dạng kCnk kCnk a n − k b k −1 ta dùng đạo hàm cấp để tính Cụ thể: a) (1+x)n= C n0 + C n1 x + C n2 x + + C nn x n ⇒ [(1+x)n]′= Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n ′ ⇔ n(1+x)n−1= C n1 + 2C n2 x + + nC nn x n −1 (1−x)n= C n0 − C n1 x + C n2 x − + (−1) n C nn x n b) ⇒ [(1−x)n]′= Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − + (−1) n Cnn x n ′ ⇔ −n(1−x)n−1= −Cn1 + 2Cn2 x − + (−1) n nCnn x n−1 c) (x+1)n= Cn0 x n + Cn1 x n−1 + Cn2 x n− + + Cnn−1 x + Cnn ⇒ [(x+1)n]′= Cn0 x n + Cn1 x n−1 + Cn2 x n− + + Cnn −1 x + Cnn ′ ⇔ n(x+1)n−1= nCn0 x n −1 + (n − 1)Cn1 x n− + (n − 2)Cn2 x n −3 + + nCnn−1 d) (x−1)n= Cn0 x n − Cn1 x n −1 + Cn2 x n− − + (−1)n−1 Cnn−1 x + (−1) n Cnn ⇒ [(x−1)n]′= Cn0 x n − Cn1 x n −1 + Cn2 x n −2 − + (−1) n −1 Cnn −1 x + (−1) n Cnn ′ ⇔ n(x−1)n−1= nCn0 x n −1 − (n − 1)Cn1 x n −2 + (n − 2)Cn2 x n −3 − + (−1)(n − 1)Cnn−1 Tổng quát: ( a + x) n = Cn0 a n + 2Cn1a n −1 x + + nCnn ax n ⇒ n( a + x) n −1 = Cn1 a n −1 + 2Cn2 a n − + + nCnn ax n −1 ( 1) Đến thay x,a số thích hợp ta tổng cần tìm Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm Sáng kiến kinh nghiệm Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 2: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức số k n−k k hạng có dạng k (k − 1)Cnk a n−k hay tổng quát k ( k − 1) Cn a b ta dùng đạo hàm đến cấp để tính Xét đa thức Từ đẳng thức đạo hàm cấp ta có a) n(n−1)(1+x)n-2 = 2.1Cn2 + 3.2Cn3 x + n(n − 1)Cnn x n− b) n(n−1)(1−x)n-2 = 2.1Cn2 −3.2Cn3 x + 4.3Cn4 x + (−1) n n(n − 1)Cnn x n− c) n(n−1)(x+1)n-2 = n(n − 1)Cn0 x n −2 + (n − 1)(n − 2)Cn1 x n −3 + + 3.2Cnn −3 x + 2.1Cnn− d)(n−1)(x−1)n-2 = n(n − 1)Cn0 x n −2 − (n − 1)(n − 2)Cn1 x n −3 + + (−1) n−3 3.2Cnn−3 x + (−1) n −2 2.1Cnn −2 Tổng quát ( a + bx ) n = Cn0 + Cn1 a n −1bx + + Cnnb n x n ⇒ bn ( a + bx ) n −1 = Cn1 a n −1b + 2Cn2 a n − 2b x + nCnnb n x n −1 ⇔ b n ( n − 1) ( a + bx n − ) = 2.1Cn2 a n− 2b + + n ( n − 1) Cnnb n x n −1 ( ) Đến ta việc thay a,b,x số thích hợp Một số lưu ý: - Tùy thuộc mà số mũ n, giá trị x công thức cho phù hợp - Nếu số hạng đầu ( Cn0 , Cn1 ) ta sử dụng công thức chứa (1+x) cho tổng khơng đan dấu, cịn tổng đan dấu ta sử dụng công thức chứa (1- x) - Nếu số hạng sau ( Cnn , Cnn −1 ) ta sử dụng công thức chứa (x+1) cho tổng khơng đan dấu, cịn tổng đan dấu ta sử dụng công thức chứa (1- x) - Nếu số hạng ta đạo hàm cấp 1, số hạng ta đạo hàm cấp Ta bàn phân tích kỹ cách áp dụng phương pháp toán cụ thể Tóm lại: Với loại tập sau chọn hàm số f (x) thích hợp ta tiến hành lấy đạo hàm hàm số chọn theo hai cách: - Lấy đạo hàm trực tiếp hàm số cho - Lấy đạo hàm sau sử dụng khai triển nhị thức Newton hàm số f (x) chọn (Dĩ nhiên f (x) có dạng dùng công thức khai triển nhị thức Newton) Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm Sáng kiến kinh nghiệm -Với phép lấy đạo hàm, ta lựa chọn giá trị phù hợp cho x, thay vào hai biểu thức tính đạo hàm Như tơi nhấn mạnh cho học sinh thấy gặp tốn có chứa hệ số kiểu a.n ta ý đến cách dùng đạo hàm 1.2 Bài tập Bài 1: Chứng minh Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn =n.2n-1 Phân tích: tổng có tổ hợp n, Cn0 tổng không đan dấu nên ta sử dụng (1+x)n, đạo hàm cấp Giải: n C + C x + C x + + C n x n Ta có (1+x) = n n n n ⇒ [(1+x)n]′= Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n ′ ⇔ n(1+x)n−1= C n1 + 2C n2 x + + nC nn x n −1 Thay x=1, ta có điều phải chứng minh Bài 2: Chứng minh: 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + n(n − 1)Cnn = n(n−1).2n-2 Phân tích: tổng có tổ hợp n, Cn0 , Cn1 tổng không đan dấu nên ta sử dụng (1+x)n, đạo hàm cấp Giải: n C + C x + C x + + C n x n Ta có (1+x) = n n n n ⇒ [(1+x)n]′′= Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n ′′ ⇔ n(n−1)(1+x)n-2 = 2.1Cn2 + 3.2Cn3 x + n(n − 1)Cnn x n− Thay x=1 vào đẳng thức cuối ta có điều phải chứng minh Bài 3: Chứng minh: 1Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − + (−1) n −1 nCnn = Phân tích: tổng có tổ hợp n, Cn0 tổng đan dấu nên ta sử dụng (1−x)n, đạo hàm cấp Giải: 2 Ta có (1−x)n= C n − C n x + C n x − + (−1) n C nn x n ⇒ [(1−x)n]′= Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − + (−1) n Cnn x n ′ ⇔ −n(1−x)n−1= −Cn1 + 2Cn2 x − + (−1) n nCnn x n−1 Thay x=1 ta có điều phải chứng minh Bài 4: Chứng minh nCn0 − (n − 1)Cn1 + (n − 2)Cn2 − (n − 3)Cn3 + + (−1) n−1 Cnn−1 =0 Phân tích: tổng có tổ hợp n, Cnn tổng đan dấu nên ta sử dụng (x−1)n, đạo hàm cấp Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm Sáng kiến kinh nghiệm Giải: Ta có: n −1 n (x−1) = C x − C x n n n +C x n n−2 − + (−1) n −1 Cnn−1 x + (−1) n Cnn ⇒ [(x−1)n]′= Cn0 x n − Cn1 x n −1 + Cn2 x n −2 − + (−1) n −1 Cnn −1 x + (−1) n Cnn ′ ⇔ n(x−1)n−1= nCn0 x n −1 − (n − 1)Cn1 x n −2 + (n − 2)Cn2 x n −3 − + (−1) n−1 Cnn−1 Thay x=1 ta có điều phải chứng minh Bài 5: Chứng minh n(n − 1)2n −2 = n(n − 1)Cn0 + (n − 1)(n − 2)Cn1 + + 2Cnn− Phân tích: tổng có tổ hợp n, Cnn −1 , Cnn tổng không đan dấu nên ta sử dụng (x+1)n, đạo hàm cấp Giải: (x+1)n= Cn0 x n + Cn1 x n−1 + Cn2 x n− + + Cnn−1 x + Cnn ⇒ [(x+1)n]′′= Cn0 x n + Cn1 x n−1 + Cn2 x n− + + Cnn −1 x + Cnn ′′ ⇔ n(n−1)(x+1)n-2 = n(n − 1)Cn0 x n −2 + (n − 1)(n − 2)Cn1 x n −3 + + 3.2Cnn −3 x + 2.1Cnn− Thay x=1 ta có điều phải chứng minh Bài 6: Chứng minh: (−1) n −1 Cn1 + (−1) n − 2.2Cn2 + + (−1) n −k k (2k − 1)Cnk + + n(2n − 1)Cnn = n Phân tích: −1 kèm với lũy thừa, số hạng dấu + nên ta xem tổng không đan dấu, chứa tổ hợp n, Cn0 Ta sử dụng (−1+x)n, đạo hàm cấp Giải: Ta có: ( −1 + x ) n = (−1) n Cn0 + ( −1) n −1 Cn1 x + (−1) n −2 Cn2 x + + ( −1) n − k Cnk x k + + Cnn x n ⇒ [(−1+x)n ]′=[ (−1)n Cn0 + (−1) n−1 Cn1 x + (−1) n −2 Cn2 x + + (−1) n −k Cnk x k + + Cnn x n ]′ ⇔ n(−1+x)n−1 = (−1)n−1 Cn1 + (−1) n− 2Cn2 x + + (−1) n −k kCnk x k −1 + + nCnn x n −1 Thay x=2 ta có điều phải chứng minh Bài 7: Chứng minh n n −1Cn0 − (n − 1) n −2 Cn1 + (n − 2) n −3 Cn2 − + (−1) n −1 Cnn −1 = Cn1 + 22 Cn2 + n n −1Cnn Phân tích: vế trái chứa tổ hợp n, đan dấu, Cnn nên ta sử dụng (x−1)n, đạo hàm cấp Vế phải chứa tổ hợp n không đan dấu, Cn0 nên ta sử dụng (1+x)n, đạo hàm cấp Giải: n C x n − C x n −1 + C x n − − + ( −1) n −1 C n x + ( −1) n C n Ta có: (x−1) = n n n n −1 n ⇒ [(x−1)n]′= Cn0 x n − Cn1 x n −1 + Cn2 x n −2 − + (−1) n −1 Cnn −1 x + (−1) n Cnn ′ Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm Sáng kiến kinh nghiệm ⇔ n(x−1)n−1= nCn0 x n −1 − (n − 1)Cn1 x n −2 + (n − 2)Cn2 x n −3 − + (−1) n−1 Cnn−1 Thay x=4 ta n3n−1= n4n−1 Cn0 − (n − 1)4n− Cn1 + (n − 2)4n −3 Cn2 − + (−1) n −1 Cnn −1 (1) (1+x)n= C n0 + C n1 x + C n2 x + + C nn x n ⇒ [(1+x)n]′= Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n ′ ⇔ n(1+x)n−1= C n1 + 2C n2 x + + nC nn x n −1 Thay x=2 ta n3n−1 = Cn1 + 22 Cn2 + n2 n−1Cnn (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Bài 8: Chứng minh (n+4)2n−1=2 Cn0 + 3Cn1 + 4Cn2 + + (n + 2)Cnn Phân tích: tương tự độ chênh lệch nên ta nhân thêm x2 trước đạo hàm Giải: Ta có: x2(1+x)n = Cn0 x + Cn1 x3 + Cn2 x + + Cnn x n+ Đạo hàm vế ta 2x(1+x)n+nx2(1+x)n−1= 2Cn0 x + 3Cn1 x + 4Cn2 x3 + + (n + 2)Cnn x n+1 Thay x=1 ta 2n+1+n.2n−1= Cn0 + 3Cn1 + 4Cn2 + + (n + 2)Cnn ⇔ (n+4)2n−1= Cn0 + 3Cn1 + 4Cn2 + + (n + 2)Cnn 2012 + 2C2012 + 3C2012 + 4C2012 + + 2013C2012 Bài 9:Tính tổng: S = C2012 Giải: 2012 Phân tích: tổng chứa tổ hợp 2012, khơng đan dấu, hệ số gắn với C2012 lớn nên ta sử dụng (1+x)2012 SHTQ (k+1) Cnk , hệ số đầu chênh lệch đơn vị nên ta nhân thêm vế với x Giải: n x + + C2012 x 2012+1 Ta xét: x(1+x)2012= C2012 x + C2012 x + C2012 Đạo hàm vế ta n + 2C2012 x + 3C2012 x + + 2013C2012 x 2012 (2012x+x+1)(1+x)2011 = C2012 Cho x=1 ta VP = tổng S, VT = 2014.22011 Vậy tổng S = 2014.22011 Các tập làm thêm Bài Chứng minh : Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 10 Sáng kiến kinh nghiệm C 0n + 2.C1n + 3.C 2n + + (n + 1)C nn = (n + 2).2 n -1 HD : xét hàm số f(x) = x(1+x)n • Khai triển đạo hàm cấp 1, hai vế theo biến x • Thay x = Ở tốn tơi muốn rèn luyện kỹ lựa chọn hàm số Bài Chứng minh : (C1n ) + 2.(C 2n ) + 3.(C 3n ) + + n.(C nn ) = (2n - 1)! [(n - 1)!]2 HD : Xét hàm số f(x)= (1+x)n • Đạo hàm cấp theo x, hai vế suy x.f’(x) (1) • Thay x , ta (2) x • Nhân (1) cho (2), ta thu hệ số số hạng không chứa x đẳng thức chứng minh Bài 3: :(ĐH BKHN-1999) Tính tổng Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + + ( −1) n −1 nCnn Bài 4:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: C201 + C201 + + C2019 = 219 Bài 5:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh : 2004 C2004 + 22 C2004 + + 22004 C2004 = 32004 + 2 2009 22008 + 22 C2009 22007 + + 20092 C2009 Bài 6: Rút gọn tổng: 12 C2009 2007 + 2007C2007 + + C2007 Bài 7: Tính tổng: 2008C2007 HD : Xét ( x + 1) 2007 SỬ DỤNG CƠNG CỤ TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 2.1 Phương pháp Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 1 1 Nếu tổng dãy tổ hợp, số hạng chứa phân số 1; ; ; ; ; ; n mẫu số xếp theo thứ tự tăng giảm theo quy luật đó, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Khi đó, ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với cận thích hợp Bước 2: Lấy tính tích phân hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton vế khai triển Bước 3: Cho hai kết kết luận Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 11 Sáng kiến kinh nghiệm Ta tìm hiểu phương pháp (dùng tích phân hàm đa thức) phương pháp bổ sung: Như nhân thêm x,x2, (tất nhiên phương pháp Truy hồi tích phân Dựa vào tích phân cho trước xin phép không đề cập viết khuôn khổ SKKN) Lưu ý: Khi hệ số tổ hợp có dạng b k − a k , ta chọn cận từ a đến b, tức b ∫ f ( x ) dx a Trước vào toán cụ thể, ta cần nhớ đẳng thức tích phân sau: b a) ∫(1+ x) n a b ( ) dx = ∫ C0n + C1n x + C 2n x + + Cnn x n dx a b b ( + x ) n +1 x2 x3 x n +1 = C0n x + C1n ⇔ + C2n + + C nn n + n + a a b b) ∫(1− x) n a b dx = ∫ C0n − C1n x + C n2 x − + ( −1) C nn x n dx n a b b n +1 ( − x ) n +1 n n x x x ⇔ − = Cn x − Cn + Cn − + ( −1) C n n +1 n + a a b c) ∫ ( x + 1) n a b ( ) dx = ∫ C0n x n + C1n x n −1 + C 2n x n − + + C nn dx a b b n n −1 ( x + 1) n +1 x n +1 x x = Cn ⇔ + Cn + Cn + + Cnn n n −1 n + n + a a b d) ∫ ( x − 1) a n b n dx = ∫ C0n x n − C1n x n −1 + C 2n x n − − + ( −1) C nn dx a b b n n −1 ( x − 1) n +1 x n +1 n x x = Cn ⇔ − Cn + Cn − + ( −1) C nn n n −1 n + n + a a Tiếp theo ta nghiên cứu toán cụ thể theo cách chia dạng sau: 2.2 Bài tập Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 12 Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp 1: Xét tích phân dựa vào hàm đa thức Bài 1: Tính: Cn0 + 4Cn1 + 26 3n +1 − n Cn + + Cn n +1 Phân tích: tổng khơng đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân), 3n +1 − quan sát số hạng cuối có hệ số , ta biết cận từ đến Nên ta sử n +1 dụng ∫ (1 + x ) n dx Giải: Ta có ∫ (1 + x) n dx = ∫ (Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n )dx 3 n +1 (1 + x) n +1 x x n x ⇔ C x + C + C + + C =[ ] n n n n n +1 n +1 (1 + x) n +1 x ⇔ = C n x + Cn n +1 ⇔ x3 +C n 3 x n +1 + + C n +1 n n 4n +1 − 2n +1 26 3n +1 − n = 2Cn0 + 4Cn1 + Cn2 + Cn n +1 n +1 Vậy S = 4n +1 − 2n +1 n +1 Lưu ý: tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng tổ hợp để tính kết nhanh Bài 2: Tính tổng S= 2Cn0 − 22 Cn1 + 23 Cn2 − + (−1) n Phân tích: chuỗi đan dấu, hệ số phân số, n +1 Cnn n +1 gắn với Cnn , có dấu hiệu dùng tích n +1 phân, quan sát hệ số số hạng cuối ta lấy cận từ đến 2, tức ∫ (1 − x) n dx Giải: ∫ (1 − x) n dx = ∫ 2 (Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − + (−1) n Cnn x n ) dx −(1 − x) n +1 ⇒ = n +1 ⇔ 2 n +1 x x n n x C x − C + C − + ( − 1) C n n n n n + 1 1 1 − (−1) n +1 n +1 Cnn = 2Cn0 − 22 Cn1 + 23 Cn2 − + (−1) n n +1 n +1 Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 13 Sáng kiến kinh nghiệm Vậy S = ⇔ + (−1) n n +1 Bài (ĐH Khối B-2003) 2 − 1 23 − 2n +1 − n Cn + Cn + + Cn n +1 Phân tích: Vế trái có chứa phân số, mẫu số xếp theo thứ tự tăng đơn vị, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích phân, cận số thay vào cho biến Vì số hạng cuối có hệ Cho n ∈ ¥ * Tính tổng: S = C0n + 2n +1 − số nên ta biết cận từ đến tổng không đan dấu nên ta sử dụng n +1 n + x dx ( ) ∫ Giải Ta có : ( + x ) = C0n + C1n x + C 2n x + C3n x + + C nn x n n 2 ( ) 2 3 n n Suy ∫ ( + x ) dx = ∫ Cn + Cn x + C n x + C n x + + C n x dx n 1 n +1 (1+ x) ⇔ n +1 n +1 3n +1 − ⇔ n +1 1 = C0n x + C1n x + C2n x + + Cnn x n +1 ÷ n +1 1 = C0n 2 − 1 23 − 2n +1 − n + Cn + C n + + Cn n +1 22 − 1 23 − 2n +1 − n 3n +1 − 2n +1 Vậy + Cn + Cn + + Cn = n +1 n +1 Phương pháp 2: Nhân thêm x,x , ( Các phương pháp bổ sung) S = C0n Thơng thường sau lấy tích phân hệ số chứa dạng Cnk Nếu cho hệ số k +1 1 Cnk ta phải nhân thêm x trước lấy tích phân, cịn dạng Cnk ta k+2 k +3 nhân thêm x2 trước lấy tích phân,… Bài 1: Tính S= Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn n+2 Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 14 Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích: tổng khơng đan dấu, độ chênh lệch so với dạng nên ta nhân thêm x trước tích phân Giải: ∫ x(1 + x) n dx = ∫ (C 0 n x + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n +1 )dx 1 2 n n +1 ∫0 (Cn x + Cn x + Cn x + + Cn x )dx = [ Cn x2 x3 x4 x n+ + Cn1 + Cn2 + + Cnn ] n+2 = 1 1 Cn + Cn + Cn + + Cnn = S n+2 ∫ x(1 + x) n dx = mặt khác ∫ (1 + x) n +1 − (1 + x) n dx = n+ 2n +1 1 n.2n +1 + (1 + x ) n + (1 + x) n +1 − + − = − [ ] 0= n + n + n + n + (n + 1)(n + 2) n+2 n +1 Vậy S = n.2n +1 + (n + 1)(n + 2) Bài 2: Tính S= Cn0 − Cn1 + Cn2 − + (−1) n Cnn n+2 Phân tích: tương tự chuỗi đan dấu Giải: ∫ x(1 − x) n dx = Tính ∫ 1 ∫ (C 0 n x − Cn1 x + Cn2 x − + Cnn x n +1 )dx x(1 − x) n dx Đặt u=1−x ⇒ du= −dx, { x=0 ⇒ u=1 x=1 ⇒ u=0 1 n n ∫0 x(1 − x) dx = ∫0 (1 − u )u du = = u n +1 n +1 − u n+ n+2 1 1 − = (n + 1)(n + 2) =In n +1 n + 1 2 n n +1 ∫0 (Cn x − Cn x + Cn x − + Cn x )dx =[ Cn = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + (−1)n x2 x3 x4 x n+2 − Cn1 + Cn2 − + ( −1) n Cnn ] n+2 1 Cnn =S n+2 Vậy S = (n + 1)(n + 2) 1 1 2 n +1 − n C + C + C + + C = Bài 3: Chứng minh : n n n n 3n + 3n + Giải Áp dụng khai triển nhị thức Newton Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 15 Sáng kiến kinh nghiệm ( 1+ x ) = C ⇒ x ( 1+ x ) n + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x 3n n n ( = C n0 x + C n1 x + C n2 x + + C nn x 3n + ) 1 1 n C nn (1) ⇒ ∫ x + x dx = C n0 + C n1 + C n2 + + 3n + Mặt khác ∫ ( ) n x + x dx = 1 n +1 − n + x d + x = (2) ∫0 3n + ( ) ( ) Từ (1) (2) suy đpcm Các tập làm thêm Bài (ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000) Cho n ∈ ¥ * Chứng minh rằng: 1 2n +1 − n + Cn + Cn + + Cn = n +1 n +1 HD: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân C0n Tổng khơng đan dấu, ta sử dụng n + x dx ( ) ∫ Bài (ĐH Giao thông Vận tải - 1996) Cho n ∈ ¥ * Chứng minh rằng: 1 n n 2C0n − C1n 22 + C2n 23 − + ( −1) C nn 2n +1 = + ( −1) n +1 n +1 HD: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số 2n +1 hạng cuối có hệ số nên ta biết cận từ đến tổng đan dấu nên ta n +1 sử dụng ∫(1− x) n dx Bài 3: 1/Tính tích phân ∫ x (1 − x ) n dx 1 1 ( − 1) C n = 2/Chứng minh: C n0 − C n1 + C n2 − C n3 + + n 2n + 2n + n SỬ DỤNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 3.1 Phương pháp Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 16 Sáng kiến kinh nghiệm Các dấu hiệu nhận biết dùng số phức để tính tổng C nk Đây vấn đề lớn cần ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng Ckn tổng có hai đặc điểm: + Các dấu tổng xen kẽ + k lẻ, chẵn chia k cho số ta số dư (trong chương trình phổ thơng ta cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2) Lưu ý + Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) So sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính + Khai triển trực tiếp số phức (thường xét số phức có argument ± π π π , ± , ± ) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính + Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính Điều quan trọng phải quan sát tổng cần tìm có đặc điểm để lựa chọn cách Chủ yếu vào hệ số C nk tổng Để nói chi tiết điều địi hỏi phải có lượng lớn nhận xét, vượt khuôn khổ cho phép đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi đưa số ví dụ minh hoạ cho vài dạng hay gặp, qua người đọc trả lời câu hỏi cho 3.2 Bài tập: Dạng 1: Khai triển (1 + x) n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp khai triển trực tiếp số phức Bài 1: Tính tổng sau S = C2009 − C2009 + C2009 − − C2009 + C2009 P= 2006 2008 2007 2009 C2009 − C2009 + C2009 − − C2009 + C2009 Giải : Xét khai triển Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 17 Sáng kiến kinh nghiệm ( 1+ i) (C 2009 (C = 2009 2006 2008 − C2009 + C2009 − − C2009 + C2009 )+ 2007 2009 − C2009 + C2009 − − C2009 + C2009 )i 2009 Mặt khác ta tính ( + i ) 2009 theo dạng lượng giác số phức áp dụng công thức Moivre ta : ( 1+ i) 2009 = ( ) 2009 2009π 2009π 1004 1004 cos + i sin + i ÷= Vậy so sánh phần thực phần ảo ta có S = 21004 B = 21004 -3C18 +C20 Bài Tính tổng: D =310C020 -39C220 +38C420 -37C620 + +32C16 20 20 20 Giải: Xét khai triển: 20 3+i = ( 3)20C0 + i( 3)19C1 − ( 3)18C2 − − i 3C19 + C20 20 20 20 20 20 ( ) 10 16 18 20 = ( C -3 C +3 C -3 C + +3 C -3C +C ) 20 20 20 20 20 20 20 19 17 3 17 19 + ( ) C20 − ( ) C20 + + ( ) C20 − 3C20 i Mặt khác: ( 3+i ) 20 = 220 cos 20 20 1π π 20π 20π 20 = + i ÷÷ = 220 cos + isin ÷ = 220 cos + isin 2 6 6 ÷ 4π 4π + isin = 220 − − i = −219 − 219 i 3 2 ( ) 20 hai cách tính ta có: +i − 3C18 + C20 = - 219 D = 310 C020 − 39 C220 + 38 C420 − 37 C620 + + 32 C16 20 20 20 n Dạng 2: Khai triển (1 + x) , đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp -20.310C20 Bài 1: Tính tổng S= 2.3C220 -4.32C420 +6.33C620 - +18.39C18 20 20 Giải: Xét khai triển: So sánh phần thực Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 18 Sáng kiến kinh nghiệm (1 + x)20 = C + ( 3x)C1 + ( 3x) C + ( 3x)3 C3 + + ( 3x)19 C19 + ( 3x) 20 C 20 20 20 20 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: 20 (1 + 3x)19 = 3C1 + 2.3xC + 3.( )3 x 2C3 + + 19.( )19 x18C19 + 20.310 x19C 20 20 20 20 20 20 Cho x = i ta có: 20 (1 + 3i)19 = = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 17 17 19 19 = 3C 20 − 3 C 20 + C 20 − + 17 C 20 − 19 C 20 + + 2.3C2 − 4.32 C4 + 6.33 C6 − + 18.39 C18 − 20.310 C20 i 20 20 20 20 20 Mặt khác: 20 (1 + 3i)19 = 19 1 20 3.219 + i 2 19 π π 19 = 20 3.2 cos + isin = 3 1 19π 19π = 20 3.219 cos + isin i = 10 3.219 + 30.219 i = 20 3.219 + 3 2 So sánh phần ảo 20 (1 + 3i)19 hai cách tính ta có: − 20.310 C20 = 30.219 S = 2.3C220 − 4.32 C420 + 6.33 C620 − + 18.39 C18 20 20 Bài Tính tổng sau: -3C2 +5C4 -7C6 + +13C12 -15C14 M = C15 15 15 15 15 15 +6C5 -8C7 + +14C13 -16C15 N = 2C115 -4C15 15 15 15 15 Giải: Xét khai triển: + xC1 + x 2C + x 3C3 + + x13C13 + x14C14 + x15C15 (1 + x)15 = C15 15 15 15 15 15 15 Nhân hai vế với x ta có: + x 2C1 + x 3C + x 4C3 + + x14C13 + x15C14 + x16C15 x(1 + x)15 = xC15 15 15 15 15 15 15 Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = = C + 2xC1 + 3x 2C + 4x 3C3 + + 14x13C13 + 15x14C14 + 16x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 19 Sáng kiến kinh nghiệm Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 12 14 = C15 − 3C15 + 5C15 − 7C15 + + 13C15 −15C15 + 13 15 + 2C15 − 4C15 + 6C15 − 8C15 + + 14C15 − 16C15 i Mặt khác: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = = ( 2) 15 = ( 2) 15 ( ) 15 14 14 π π π π cos + isin + 15i cos + isin 4 ÷ 4 ÷ 15 ( ) 15π 15π 14π 14π 7 cos + isin ÷+ 15.2 i cos + isin ÷ 2 − i ÷÷+ 15.27 = −27 − 27 i + 15.27 = 14.27 − 27 i = 7.28 − 27 i − So sánh phần thực ảo (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính ta được: − 3C2 + 5C4 − 7C6 + + 13C12 −15C14 = 7.28 M = C15 15 15 15 15 15 + 6C5 − 8C7 + + 14C13 −16C15 = -27 N = 2C115 − 4C15 15 15 15 15 Các tập làm thêm 1) Tính tổng sau: B = C0 + 2C2 − 3.4C4 + 5.6C6 − 7.8C8 + + 21.22C22 − 23.24C24 25 25 25 25 25 25 25 B = C1 + 2.3C3 − 4.5C5 + 6.7C7 − 8.9C9 + + 22.23C 23 − 24.25C 25 25 25 25 25 25 25 25 25 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x) Đạo hàm hai vế hai lần, sau cho x = i So sánh phần thực phần ảo hai số phức ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 2) Tính tổng sau: D = 12 C1 − 32 C3 + 52 C5 − 72 C7 + + 952 C95 − 97 C97 + 992 C99 100 100 100 100 100 100 100 D = 22C2 − 42C4 + 62C6 − 82C8 + − 982C98 + 1002C100 100 100 100 100 100 100 100 Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x) Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250 2nπ n 2n 2n 3) Chứng minh C2 n − 3C2 n + 9C2 n − 27C2 n + + ( −3) C2 n = cos 4) Tính tổng sau S = C20 − 3C20 + C20 − C20 + + C20 Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 10 20 20 Sáng kiến kinh nghiệm IV Hiệu SKKN Như tơi nói trên, việc áp dụng đề tài học sinh lớp 12C1 12C3, thu kết sau (kết thúc học kì năm học 2012-2013) Lớp Sỉ số Đạt diểm Tỉ lệ Đạt diểm Tỉ lệ 12C1 43 19.5% 35 80.5% 12C3 44 12 34.1% 32 65.9% Như vậy, qua việc áp dụng chuyên đề vào giảng dạy, điều khơng nằm ngồi dự đốn tơi kết em học sinh nâng lên đáng kể Quan trọng học sinh cảm thấy tự tin với loại toán này, tạo niềm tin hứng thú cho em học tập C Kết luận: Qua thời gian viết SKKN vận dụng chuyên đề vào giảng dạy, nhận thấy việc làm thu kết đáng kể từ phía em học sinh Đây thực công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải tốn nhanh, gọn xác Đồng thời em có nhìn tổng thể cách giải toán Điều phần tạo cho em học sinh có tâm tốt bước vào kỳ thi quan trọng Qua việc ứng dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh, nhận thấy chuyên đề tiếp tục áp dụng cho năm tiếp theo, đặc biệt phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi Tất nhiên phải tiếp tục hoàn thiện đề tài Bài học kinh nghiệm rút từ trình áp dụng SKKN là: Phải thường xuyên học hỏi trau chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp Người Thầy phải nhiệt tình, gương mẫu, làm cho em thấy tinh thần nghiêm túc hăng say nghiên cứu khoa học mình, có học sinh noi gương Thầy tâm ham mê học tập, từ để em khơng cảm thấy áp lực học tập Triếp theo là, thường xun tạo tình có vấn đề, kích thích tìm tịi học tập học sinh Loại tốn dùng cơng cụ đạo hàm, tích phân số phức cịn nhiều dạng, tài liệu tơi trình bày phần nhỏ Trong trình thực đề tài, tơi nhận góp ý quý báu đồng nghiệp, Song Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 21 Sáng kiến kinh nghiệm thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài, nên đề tài tơi khơng tránh khỏi cịn nhiều hạn chế Rất mong tiếp tục nhận đóng góp khác từ phía đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày20 tháng năm 013 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn lạnh Thơm D Tài liệu tham khảo Giải tích 12 nâng cao, NXB giáo dục năm 2008 Nhóm tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học, từ năm học 1997-1998 đến năm học 2004-2005 NXB Đại học Quốc gia HN tác giả Doãn Minh Cường Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng toàn quốc, từ năm học 2002-2003 đến năm học 2009-2010 NXB Hà Nội nhóm tác giả Trần Tuấn Điệp, Ngơ Long Hậu, Nguyễn Phú Trường Các phương pháp giải toán sơ cấp Giải tích tổ hợp 12, NXB Hà Nội tác giả Phan Huy Khải (2002) Tuyển tập đề thi Olympic 30 - mơn Tốn, NXB Giáo dục Ban tổ chức kỳ thi Olympic 30-4 Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục Bộ giáo dục đào tạoHội toán học Việt Nam (1996- 2007) Phương pháp trắc nghiệm hình thức tổ hợp, NXB tổng hợp, TP Hồ Chí Minh Của nhóm tác giả Nguyễn Đức Đồng, Trần Huyên, Nguyễn Vĩnh Cận (2006) Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 22 Sáng kiến kinh nghiệm Người viết: Nguyễn Lạnh Thơm 23 ... thấy tổng thể phương pháp giải tốn tổ hợp, từ tạo cho em niềm tin làm tốt kỳ thi tới Tôi chọn đề tài ? ?Sử dụng cơng cụ đạo hàm, tích phân số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh số toán tổ hợp? ??... đề “ Sử dụng cơng cụ đạo hàm, tích phân số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh số tốn tổ hợp? ?? lại trùng với việc trực tiếp giảng dạy hai lớp 12, mà số đông em học sinh tâm thi vào trường Đại học. .. chất tổ hợp, phép biến đổi tương đương, có sử dụng đạo hàm, tích phân, cịn số phức thật cịn mẻ Song nội dung viết tơi trình bày số toán tổ hợp hay gặp mà cách giải tổng thể sử dụng cơng cụ đạo hàm,
Ngày đăng: 20/05/2021, 08:48
Xem thêm:
