Trong baøi treân, hoïc sinh luyeän taäp veà “tính chaát 3 ñöôøng phaân giaùc trong tam giaùc”, tính chaát tam giaùc caân vaø qua ñoù chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông pha[r]
(1)A Đặt vấn đề 1 Cơ sở lý luận
Hình học môn học trừu tợng em học sinh lớp 6, 7, tiểu học em đợc làm quen với hình học qua “nhận biết hình” chủ yếu, em cha đợc tiếp xúc nhiều với việc suy luận, chứng minh vấn đề hình học
Đối với mơn hình học em bắt đầu làm quen với nhiều khái niệm hình học mới, bắt đầu làm quen với việc suy luận, chứng minh, địi hỏi phải có t logíc Những khái niệm hình học lớp khái niệm mở đầu, móng cho mơn hình học lớp 8, sau Nếu từ ban đầu em không nắm kiến thức, khơng biết vẽ hình, khơng biết giải tập hình học dẫn đến tình trạng sợ học hình, chán học hình học bị gốc kiến thức
Trong chơng trình hình học lớp tốn chứng minh hình học giữ vai trị chủ yếu, loại tốn chứng minh "ba điểm thẳng hàng" loại tốn khó, có vai trị quan trọng việc rèn luyện phát triển t duy, thờng có mặt toán bồi d-ỡng học sinh giỏi
2 C¬ së thùc tiƠn
Qua thực tế nhiều năm giảng dạy tơi thấy em thờng gặp khó khăn giải loại toán này, đại đa số em khơng biết cách chứng minh, khơng lập luận trình bày đợc, thờng có tâm lí chán nản gặp loại toán
Nguyên nhân dẫn tới vấn đề học sinh cha nắm khái niệm, tính chất hình học, cha nắm phơng pháp chứng minh việc rèn luyện kỹ vận dụng, chứng minh, trình bày cịn Đó vấn đề mà tơi ln trăn trở giảng dạy
Chính từ thực trạng mà xin trao đổi với bạn đồng nghiệp số giải pháp mà thực qua đề tài “ Rèn kỹ giải tập chứng minh ba điểm thẳng hàng" cho học sinh lớp 7
3 Mục đích đề tài
Cung cấp phơng pháp (thơng qua củng cố, khắc sâu kiến thức, cách vận dụng kiến thức)
RÌn kü vẽ hình
Rèn kỹ giải tập (rèn kỹ nh phân tích, tổng hợp, suy luận, vận dụng kiến thức vào thực tế, trình bày )
Phát triển nâng cao lực t 4 Phạm vi thực hiện:
-Đối tợng nghiên cứu: Học sinh lớp
-Thời gian thực hiện: Năm học: 2008- 2009; 2009 -2010; 2011-2012 B Giải vấn đề
I Các phương pháp : Chứng minh điểm thẳng hàng chương trình lớp 7 1.Góc bẹt:
ABC = 1800
(2)1 Hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước
MA // xy MB // xy
A, M, B thẳng hàng (tiên đề Ơclit)
2 Hai đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước
AH xy BH xy
A, H, B thẳng hàng
3 Ba điểm thuộc tia phân giác góc
Tia OA tia phân giác xOy Tia OB tia phân giác xOy A, O, B thẳng hàng
4 Ba điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng
H, I, K thuộc đường trung trực AB H, I, K thẳng hàng
(3)6 Đường phân giác tam giác phải qua giao điểm chung đường phân giác
I giao điểm đường phân giác xuất phát từ đỉnh B C
AD laø phân giác A A, I, D thẳng hàng
7 Đường cao tam giác phải qua trực tâm
H trực tâm ABC BE đường cao ABC B, H, E thẳng hàng
8 Đường trung trực tam giác phải qua giao điểm chung đường trung trực
O giao điểm đường trung trực cạnh AB AC
MN đường trung trực BC O, M, N thẳng hàng
9
AOx = α BOx = α O, A, B thẳng hàng
II Một số ví dụ
(4)tốn tổng hợp, phức tạp, học sinh tự tìm hướng từ giải yêu cầu đề
Ngay từ 1: “ Hai góc đối đỉnh” , ta lồng vào toán yếu tố “3 điểm thẳng hàng” sau:
1) Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ tia OB cho AOB = 450 Trên nửa mặt phẳng lại vẽ tia OC cho AOC = 900
a) Gọi OB’ tia phân giác A’OC Chứng minh B, O, B’ thẳng hàng b) Chứng minh AOB A’OB’ cặp góc đối đỉnh So sánh AOB A’OB’
a) C/m: B, O, B’ thẳng hàng
A, O, A’ thẳng hàng AOA’ = 1800 AOC + COA’ = AOA’
900 + COA’ = 1800
COA’ = 1800 – 900 = 900 Vì OB’ tia phân giác COA’
COB’ = COA'2 = 90
2 = 45
BOB’ = BOA + AOC + COB’ = 450 + 900 + 450
= 1800
Vậy điểm B, O, B’ thẳng hàng Trong này, học sinh luyện tập về: Tính số đo góc, chứng minh góc đối đỉnh, tính chất góc đối đỉnh Nhưng qua đó, em biết cách chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp
Bài : “ Hai đường thẳng vng góc” , ta chọn tập sau:
2) Cho góc vng AOB tia OC nằm góc Vẽ tia OM cho tia OA tia phân giác COM Vẽ tia ON cho tia OB tia phân giác CON Chứng minh: điểm M, O, N thẳng hàng
3)
C/m: M, O, N thaúng hàng
OA tia phân giác COM COM = COA OB tia phân giác cuûa CON CON = COB MON = COM + CON
(5)= AOB = 900 = 1800
Vậy điểm M, O, N thẳng hàng
Trong này, học sinh luyện tập tính chất tia phân giác góc; vẽ góc vng qua đó, em chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp
Bài : “ Hai đường thẳng song song” , ta chọn tập sau: 4) Cho góc AOM MOB kề bù (theo hình vẽ)
Vẽ tia MC cho góc CMO, MOA so le Vẽ tia MD cho góc DMO, MOB so le Chứng minh : C, M, D thẳng hàng
CMO MOA cặp góc so le MC // OA
Mà B thuộc đường thẳng OA MC // AB
DMO vaø MOB laø cặp góc so le MD // OB
Mà A thuộc đường thẳng OB MD // AB
Ta coù MC // AB (cmt) MD // AB (cmt)
C, M, D thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
Trong này, học sinh luyện tập chứng minh đường thẳng song song qua biết cách chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp
Bài : “Định lý ” Học sinh làm trắc nghiệm sau:
5) a) Nếu đường thẳng AB CD song song với đường thẳng xy AB // CD b) Nếu đường thẳng AB AC song song với đường thẳng xy A, B, C, thẳng hàng
c) Nếu đường thẳng EF HK vng góc với đường thẳng xy EF // HK
(6)Học sinh kết luật A, B, C thẳng hàng (dựa vào phương pháp 2) Và kết luận E, F, H thẳng hàng (dựa vào phương pháp 3)
Bài “ Tam giác - Trường hợp cạnh cạnh cạnh ” Ta chọn tập sau:
5) Cho ABC coù AB = AC Gọi M điểm nằm tam giác cho MB = MC N trung điểm BC (theo hình vẽ)
C/m : a) AM tia phân giác BAC b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng
BAM = CAM (ccc) BAM = CAM
AM tia phân giác ABC (1) BAN = CAN (ccc) BAN = CAN
AN tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2) suy A, M, N thẳng hàng
Trong này, học sinh luyện tập chứng minh tam giác (ccc) qua chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp
Bài: “Tam giác – Trường hợp c-g-c ” Ta chọn tập sau:
6) Cho ABC, M trung điểm BC Vẽ AD // BM AD = BM (M D khác phía AB) I trung điểm AB
C/m: điểm M, I, D thẳng hàng
C/m: điểm M, I, D thẳng hàng AID = BIM (cgc) I1 = I2 A
B N C
(7)DIM = DIB + I2 = DIB + I1 = AIB
= 1800 ( A, I, B thẳng hàng) Vậy D, I, M thẳng haøng
Trong này, học sinh luyện tập chứng minh tam giác (c.g.c) qua ôn lại cách chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp
7) Cho ABC, gọi D E trung điểm AC, AB Trên tia đối tia DB lấy điểm M cho DM = DB Trên tia đối tia EC lấy điểm N cho
EN = EC
a) C/m : A, M, N thẳng hàng
ADM = CDB (cgc) AMD = CBD
Mà góc vị trí so le Nên : AM // BC (1)
AEN = BEC (cgc) ANE = BCE
Mà góc vị trí so le Nên: AN // BC (2)
Từ (1) (2) suy A, M, N thẳng hàng (Tiên đề Ơclit) Trong này, học sinh luyện tập chứng minh tam giác (cgc) chứng minh đường thẳng song song qua ơn lại cách chứng minh điểm thẳng hàng (dựa vào phương pháp 2)
8) Cho ABC, tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC
Veõ AH BC (H BC) Trên DE lấy điểm K cho BH = DK C/m: A, H, K thẳng hàng
ABC = ADE (cgc) D = B
A
(8)Mà góc vị trí so le Suy ra: ED // BC
AHB = AKD (cgc) AKD = AHB = 900 AK ED
Ta coù: AK BC (cmt) AH BC (gt) A, H, K thẳng hàng
Trong này, học sinh luyện tập chứng minh tam giác (cgc), sử dụng kiến thức đường thẳng song song qua ơn lại cách chứng minh điểm thẳng hàng (dựa vào phương pháp 3)
Bài “Tam giác cân ”
9) Cho ABC có A = 600 Dựng ngồi tam giác tam giác ABM ACN
a) C/m: điểm M, A, N thẳng haøng b) C/m: BN = CM
Học sinh dễ dàng chứng minh điểm A, M, N thẳng hàng (dựa vào phương pháp 1)
10) Cho ABC vng cân A Vẽ ngồi ABC tam giác cân BCM có đáy BC góc đáy 150 Vẽ tam giác ABN (N thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C
C/m: Ba điểm B, M, N thẳng hàng
ABM = ABC + CBM = 450 + 150 = 600 ABN ABN = 600
Trên nửa mặt phẳng, có bờ đường thẳng AB, ta có
ABM = 600 ABN =600
Vaäy B, M, N thẳng hàng
Học sinh luyện tập tam giác cân, đều, vng cân qua chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 10
Bài “ Tính chất đường trung tuyến tam giác ” Ta chọn tập sau:
B H C
A
N
C B
M 600
A
N C
B
(9)11) Cho ABC có AD trung tuyến Trên AD lấy điểm I K cho AI=IK=KD Gọi F E trung điểm AB, AC Gọi O giao điểm BE CI
a) C/m: B, K, E C, K, F thẳng hàng b) O trọng tâm tam giác nào? c) Tính OE?
a)
ABC có AD trung tuyến
KD = IK = AI = 13 AD Suy ra: K laø trọng tâm ABC
Mà BE, CF đường trung tuyến ABC Nên BE, CF phải qua trọng tâm K
Vậy B, K, E thẳng hàng C, K, F thẳng hàng
12) ABC vuông A, có BC = 10cm, AC = 8cm Lấy điểm M AB cho BM = 4cm Vẽ điểm D cho A trung điểm DC, gọi N trung điểm BD
C/m: Ba điểm C, M, N thẳng hàng
Học sinh tính AB = 6cm (áp dụng định lý Pythagore) DBC có BA trung tuyến
vaø MBBA = 46 = 32 BM = 32 BA Vậy M trọng tâm DBC
N trung điểm BD suy CN trung tuyến BDC Trung tuyến CN phải qua trọng tâm M
Vậy C, M, N thẳng hàng
Trong tập trên, học sinh luyện tập tính chất đường trung tuyến tam giác qua chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp
Bài “Tính chất tia phân giác góc ” Ta chọn tập sau:
A C
B
M D
(10)13) Cho ABC cân A, gọi D trung điểm BC Từ D vẽ DE AB, DF AC (E AB; F AC)
a) C/m: DEF cân
b) Vẽ BH // DF, CK // DE (H AC ; K AB) C/m: A, I, D thẳng hàng
C/m: A, I, D thẳng hàng DE AB ; DF AC DE = DF
Suy ra: D thuộc tia phân giác BAC IK AB, IH AC
IK = IH
Suy ra: I thuộc tia phân giác BAC Vậy: A, D, I thẳng hàng
Trong trên, học sinh luyện tập “Tính chất tia phân giác góc” qua chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp
Bài: “Tính chất đường phân giác tam giác ”
14) Cho ABC cân A Vẽ phân giác BD CE cắt I Gọi M trung điểm BC C/m: A, I, M thẳng hàng
C/m: A, I, M thẳng hàng
ABC có phân giác B C cắt I, suy I giao điểm đường phân giác tam giác
ABC cân A, có AM đường trung tuyến ứng với cạnh đáy nên AM phân giác
Đường phân giác AM phải qua giao điểm I Vậy A, I, M thẳng hàng
Trong trên, học sinh luyện tập “tính chất đường phân giác tam giác”, tính chất tam giác cân qua chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp
Bài : “Tính chất đường trung trực đoạn thẳng ”
15) Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC Chứng minh điểm A, D, E thẳng hàng
A
C
B D
H F K
E I
(11)C/m: điểm A, D, E thẳng hàng AB = AC A thuộc đường trung trực BC
DB = DC D thuộc đường trung trực BC EB = EC E thuộc đường trung trực BC Vậy A, D, E thẳng hàng
Trong trên, học sinh luyện tập tính chất trung trực qua chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp
Bài : “ Tính chất đường trung trực tam giác ”
16) Cho ABC cân A, M trung điểm BC Đường trung trực AB, AC cắt D Chứng minh: A, M, D thẳng hàng
C/m: A, M, D thẳng hàng AB = AC (gt)
MB = MC (M trung điểm BC)
Suy ra: AM đường trung trực đoạn BC (1) ABC có đường trung trực AB AC cắt D Suy ra: D giao điểm đường trung trực ABC Nên: D thuộc đường trung trực BC (2) Từ (1) (2) suy A, M, D thẳng hàng
Trong trên, học sinh chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp Bài : “Tính chất đường cao ”
C B
D E
A
C B
(12)17) ABC cân A, vẽ đường cao BH CK cắt I Gọi M trung điểm BC Chứng minh A, I, M thẳng hàng
C/m: A, I, M thẳng hàng
ABC có đường cao BH CK cắt I nên I trực tâm tam giác ABC cân A, có AM trung tuyến ứng với cạnh đáy nên AM đường cao
Đường cao AM phải qua trực tâm I Vậy A, I, M thẳng hàng
Trong trên, học sinh chứng minh điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp
C KÕt luËn
1) Kết thu c
Qua việc rèn kỹ giải tập chứng minh ba điểm thẳng hàng nhận thÊy:
Học sinh có hứng thú học tập, em nắm kiến thức phơng pháp chứng minh, em đợc nâng cao khả suy luận giải tập hình học Do tiết học tốn chứng minh hình học khơng trở lên nặng nề em
Kết là: Các em phấn khởi học môn hình học, em làm tập đ-ợc giao tích cực, khơng ỉ lại khơng tự ti, từ càc em nắm chất kiến
thức,vận dụng kiến thức vào giải tập cách nhuần nhuyễn linh hoạt Điểm kiểm tra đợc nâng lên rõ rệt, qua khảo sát đánh giá thu đợc kết cụ thể nh sau
Năm
khảo sát Lớp
im t
Ghi chó Y-TB Kh¸ Giái
A
C B
H
K I
(13)2008-2009 7A1+7A2 75% 17% % Cha thực ĐT 2009-2010 7A1+7A2 55% 28% 17 % Đã thực ĐT 2011-2012 7A1+7A2 42% 33% 25% Đã thực ĐT 2 Hạn chế đề tài
- Khơng có nhiều thời gian cho việc luyện giải tập - Cha đáp ứng tốt cho đối tợng học sinh yếu
- Thêi gian kiĨm chøng cha nhiỊu 3 Bµi häc kinh nghiệm:
Để giúp học sinh nắm kiến thức, có kĩ vẽ hình xác khả suy luận lôgíc:
- Cn dy hc sinh học toán cách chủ động, sáng tạo
- Cần tăng cờng việc rèn luyện khả tự học, tự đọc học sinh
- Gần gũi, trao đổi với học sinh, tìm hiểu vớng mắc em để giúp em học tập tốt hơn, để ngời thầy tìm phơng pháp giảng dạy tối u cho em dễ tiếp thu
- Mỗi giáo viên cần phải tự tìm tịi khám phá để nâng cao trình độ, để tích luỹ cho vốn kiến thức sâu rộng Có nh đáp ứng đợc nhu cầu phát triển dạy học