Phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học nhất là các môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn toán, nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trìn[r]
(1)I)LỜI NÓI ĐẦU
Phát bồi dưỡng nhân tài vấn đề quan trọng dạy học môn khoa học tự nhiên đặc biệt mơn tốn, nhằm phát huy lực tư học sinh trình giải tốn phát học sinh có lưc toán học đào tạo nhân tài cho đất nước
Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập giáo viên học sinh nhiều phương pháp giải dạng tốn khó q trình giảng dạy học tập,một dạng tốn dạng tốn : RÚT GỌN BIỂU THỨC CĨ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ.Với mục đích hệ thống, xây dựng đọng phương pháp giải, hướng phát triển toán, vận dụng kết toán vào giải số tốn khác, nhằm mục đích đưa tài liệu cho học sinh, giáo viên tìm hiểu tham khảo thêm tài liệu giúp cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên tốt
Với yêu cầu nêu với ấp ủ , ước muốn học sinh có nhiều tri thức sâu rộng q trình giải tốn Tơi cố gắng trình bày chuyên đề cách hệ thống dể hiểu cho người đọc cung cấp cho người đọc hệ thống tập tương tự để người đọc tự thực hành chuyên đề cách hợp lý sáng tạo
Tuy có nhiều cố gắng song chuyên đề tránh khỏi hạn chế mong bạn đọc góp ý chân thành để chuyên đề ngày trở thành người bạn thân thiết người yêu toán
II/ CƠ SỞ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : Cơ sở lý luận :
- Với mục tiêu phát ,bồi dưỡng phát triển học sinh có lực tốn từ xây dựng cho học sinh kỹ nhận dạng giải toán
- Thúc đẩy việc tim hiểu mở rộng kiến thức thêm giáo viên học sinh - Xây dựng tài liệu hồn chỉnh số dạng tốn khó cấp học THCS
- Với nội dung đề tài không phù hợp với học sinh giỏi mà học sinh yếu tham khảo
- Việc vận dụng đề tài giới hạn cấp học THCS mà vận dụng nhiều cấp học cao
2 Cơ sở thực tế
- Thực tế chương trình SGK chưa xây dựng hồn chỉnh nội dung phương pháp số dạng toán khó ,thường mang tính chất giới thiệu chưa sâu
- Những học sinh muốn tìm hiểu thêm cịn lúng túng việc tìm tài liệu nghiên cứu
- Việc tìm hiểu giáo viên số chuyên đề số tài liệu chưa tập chung nhiều thời gian
- Cần thiết phải xây dựng số chuyên đề toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy học toán tốt
- Cần phát triển cao , đầy đủ hoàn thiện số dạng toán trường THCS - Việc viết sáng kiến định hướng ngành
III/ MỤC ĐÍCH VÀ U CẦU Mục đích
- Giới thiệu đầy đủ phương pháp giải nội dung dạng toán cấp học THCS - Làm cho học sinh u thích mơn tốn hơn,mong muốn tìm hiểu nghiên cứu thú vị phong phú mơn Tốn
(2)- Rèn luyện khả tư suy luận lôgic ,phát triển trí tuệ học sinh - Làm tài liệu tham khảo giáo viên học sinh nghiên cứu thêm - Ứng dụng kết toán vào giải số toán khác - Phát triển toán nhằm nâng cao lực tư tự học học sinh Yêu cầu
- Nắm vững định nghĩa , tính chất số thực thức bậc hai - Nắm vững thành thạo bảy đẳng thức đáng nhớ
- có kỹ tốt việc phân tích đa thức thành nhân tử
- Có kỹ cần thiết biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ
- Có kỹ giải phương trình bậc hai ,bậc ba va phương trình vơ tỷ - Có đam mê tìm hiểu ,nghiên cứu ,sáng tạo việc dạy học Toán IV/NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ :
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP “ HỮU TỶ HÓA BIỂU THỨC VÔ TỶ “ 1)Từ tập sách giáo khoa :
Rút gọn biểu thức :
2
1
; 0, 1
1
a a a
P a a a
a a
a)Phương pháp 1: phổ biến với học sinh giải toán loại qui đồng mẫu thừa số thứ tìm cách rút gọn với thừa số thứ hai
2
2
1 1
1
1
( 1) ( 1)
=
1
a a a a a a a a
P a
a a
a a
a a a a
a a
2 ( 1)( 1) ( 1) =
( 1)
( 1)( 1) =
1
a a a
a a
a a a
a a
Những khó khăn mà học sinh thường gặp : Sai dấu trình qui đồng mẫu số
Phân tích biểu thức a a -1+a - a thành thừa số Rút gọn biểu thức có chứa thức
Nhận biết hầng đẳng thức có chứa thức
Học sinh dễ có tâm lý bỏ cộc phép biến đổi có vẽ cồng kềnh phức tạp dẫn đến chán ngán tập loại
b)Phương pháp 2: thường giải học sinh giỏi hướng dẫn giáo viên :
*Bước 1: Nhận biết đẳng thức : Với a0 :
2
3
1 1
1 1
a a a a
a a a a a a
(3)*Bước :thay kết vào P
2
2
2
1 ( 1)( 1)
1
1 ( 1)( 1)
1 ( 1)
= ( 1) ( 1) ( 1)
a a a a a a a
P a
a
a a a a
a
a a
a a
Đây phương pháp chủ yếu mà từ trước đến giáo viên muốn học sinh thực song nói : phương pháp tỏ hữu hiệu đối tượng học sinh ,giỏi,còn đối tượng cịn lại e khó mà thực thành cơng
Sau tơi xin trình bày phương pháp tạm gọi “ hữu tỷ hóa’’ biểu thức vơ tỷ nghĩa biến đổi biểu thức cho trở thành biểu thức không cịn chúa thức nửa , tốn trở nên quen thuộc với học sinh dạng tốn biến đổi đồng biểu thức vơ tỷ
c)Phương pháp 3: “hữu tỷ hóa’’
Rút gọn biểu thức
2
1
; 0, 1
1
a a a
P a a a
a a
Đặt x = a , x0 ,x1 suy :x2 = a
Ta rút gọn biểu thức :
2
2
2
2
2
1
1
( 1)( 1)
=
1 ( 1)( 1)
1 ( 1)
=( 1)
( 1) ( 1)
x x
P x
x x
x x x x
x
x x x
x
x x
x x
Ta nhận thấy:
Các đẳng thức có biểu thức trở nên rõ ràng ,học sinh dễ thấy Biểu thức hữu tỷ có vẽ đở cồng kềnh biểu thức cho
Học sinh có thêm tri thức phương pháp để giải toán
Nếu học sinh có kỹ biến đổi đồng biểu thức hữu tỷ lớp tốn dánh cho đối tượng học sinh
2)Thực hành chuyên đề :
Để thực tốt phương pháp “hữu tỷ hóa’’ biểu thức vơ tỷ trình dạy học giáo viên cần chuẩn bị thật chu đáo tri thức phương pháp cho học sinh thông qua tập nhỏ suốt trình dạy học nhằm tạo lộ trình vững hướng tới việc thực phương pháp cách thành thạo hiệu
PHẦN I : HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ : 1)Học sinh :
Thuộc đẳng thức đáng nhớ , khai triển thành thạo đẳng thức đáng nhớ nhận biết biểu thức đẳng thức có kỹ viết dạng đẳng thức biểu thức
(4)2)Giáo viên:
Ôn luyện cho học sinh kiến thức kỹ suốt trình dạy học Cung cấp phương pháp “hữu tỷ hóa’’ từ tập đơn giản
3) Các ví dụ minh họa tập đề nghị :
Ví dụ 1 : phân tích biểu thức thành thừa số ( a,b số dương) *A = a + a+1
Đặt x = a x2 =a
A= x2 + 2x +1 = (x + )2 A = ( a+1)2 *B = 4a – 9, Đặt x = a x2 =a
B = 4x2 – = (2x – 3)(2x + 3) Vậy B = (2 a -3)(2 a+ 3)
*C = a a- 3a b + 3b a - b b Đặt x = a x2 = a , y = b
y2 = b
C = x3 – 3x2y +3xy2 – y3 = (x – y )3 , C = ( a - b)3 *D = a a- b b
Đặt x = a x2 = a , y = b
y2 = b
D = x3 – y3 =(x – y )(x2 +xy +y2) Vậy D = ( a- b)(a + ab + b)
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ :
Bài :Phân tích biểu thức thành thừa số ( a,b số dương)
a)a - a +9 b)16a +8 ab+ b
c)9a + 12 a +4 d) a a+ 3a b + 3b a + b b
e) a a+ 3a + a +1 f) a a + b b
g) a a + 27 h)1- a a
k)a4 a +8 l)a – 9b
Ví dụ 2 : Phân tích biểu thức thành thừa số ( a,b số dương) *A = a a+ a + a +1
A = x3 + x2 +x +1 =x2(x + 1) +(x + 1) = (x2 +1)(x + 1) Vậy A = (a + 1)( a+ 1)
*B = a a- a b - b a + b b Đặt x = a x2 = a , y = b
y2 = b
B = x3 – x2y –xy2 +y3 = x2(x – y) –y2 (x – y) = (x2 – y2)(x – y) = (x + y)(x – y)2 Vậy B = ( a + b )( a - b)2
*C = a – b + a + b Đặt x = a x2 = a , y = b
(5)
C = x2 – y2 +2x + 2y = (x – y)(x + y) +2(x + y) = (x + y)(x – y + 2) Vậy : C = ( a + b)( a - b + 2)
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài : Phân tích biểu thức thành thừa số ( a,b số dương)
a)a a -a + a -1 b) a a+ a b + b a + b b
c)a – b + a - b d)a – b2 +2 a +1
ví dụ 3: Phân tích biểu thức thành thừa số ( a,b số dương) *A = a - a +2
Đặt x = a x2 =a
A = x2 - 3x + =x2 – x – 2x +2 = x(x – 1) - 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2) Vậy A= ( a -1 ) ( a - )
Lưu ý : Nếu học sinh có kiến thức phương trình bậc hai dùng máy tính bỏ túi tìm nghiệm phương trình bậc hai phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử qua định lý sau:
Nếu phương trình : ax2 + bx + c = có nghiệm x
1 ; x2 tam thức bậc hai ax2 + bx + c = a (x –x
1)(x – x2)
Nếu phương trình : ax2 + bx + c = vô nghiệm tam thức bậc hai ax2 + bx + c khơng thể phân tích thành nhân tử tập R
*B = 2a - a +2 Đặt x = a x2 =a
B = 2x2 - 5x + 2
Vì nghiệm B ½ nên B = 2(x - 1/2)(x - 2) =(2x – 1)(x – 2) Vậy B = (2 a- 1)( a- 2)
*C = 3a + 10 ab- 8b Đặt x = a x2 = a , y = b
y2 = b
C = 3x2 + 10xy - 8y2
Cách 1: xem phương trình 3x2 + 10xy - 8y2 = có ẩn x y số
C có nghiệm
3y -4y C = 3(x -
3y)(x + 4y) = (3x – 2y)(x + 4y) Vậy C = (3 a-2 b )( a+ b )
Cách 2 : C = 3x2 + 10xy - 8y2 Chia vế cho y2
2
2 10
C x x
y y y
,đặt t = x/y
2
2 10 (3 2)( 4) C
t t t t
y
2
(3 )( )
3
C x x x y x y
y y y y
C = (3x – 2y)(x + 4y) C = (3 a-2 b )( a+ b) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài : Phân tích biểu thức thành thừa số ( a,b số dương)
(6)c) a + a - d)5 a + a -
e) a - ab- 3b f) a - ab+ 6b
g) 5a + ab- 2b h) a + ab- 6b
PHẦN II : PHƯƠNG PHÁP “ HỮU TỶ HĨA “
Ví dụ 4 : Rút gọn biểu thức :
3
1 : ; 0, 4,
9
x x x x x
A x x x
x x x x x
Đặt a = x a2 = x , ta rút gọn biểu thức hữu tỷ :
2
2
3
: ; 0, 2,
9
a a a a a
A a a a
a a a a a
Ta có :
2
2
2 2
3
:
9
( 3) ( 9) ( 2) = :
( 3)( 3) ( 3)( 2)
a a a a a
A
a a a a a
a a a a a
a a a a
2 2
2
9 4
= :
( 3) ( 3)( 2)
+3- ( -2) 3
= :
+3 ( 3)( 2) +3 2
a a a a a
a a a
a a a a
a a a a a a
Vậy A =
2 x
*Trong trình giải tập ,có thể tách thành tốn nhỏ để việc rút gọn đơn giản hơn
Bước 1: Rút gọn :
1
3
1 ;
9
x x x x x
A A
x x x x x
Bước 2: Rút gọn A = A1 : A2 Ví dụ 5 : Rút gọn biểu thức
1
: ; 0,
1
1 1
x x x
B x x
x
x x x x x x x x x
Đặt a = x a2 = x , ta rút gọn biểu thức hữu tỷ :
3 2
1
: ; 0,
1 1
a a a
B x x
a a a a a a a a
(7)2
1 2 2
2 2
2
2 2
1 2
1 ( 1) 1
1 ( 1)( 1) 1
1 2
1 1 ( 1)( 1)
1 ( 1)
=
( 1)( 1) ( 1)( 1)
1 1
: :
1
a a a a a
B
a a a a a a a a
a a
B
a a a a a a a
a a a a
a a a a a
a a a
B B B
a a
a1
Vậy B = 1 x x
Ví dụ 6 : Rút gọn biểu thức
1
1 : ; 0, 0,
1 1
xy x xy x
x x
C x y xy
xy xy xy xy
Đặt a = x a2 = x , b = y
b2 = y, ta rút gọn biểu thức hữu tỷ : 2
1 2
2 2 2
2
2 2
2
1 ( 1)( 1) ( )( 1)
1
1 1
1
=
1 2 2( 1)
=
1
a ab a a ab ab a ab a b
C
ab ab a b
a b a ab a b ab a b a a b a b
a a
a b a b
C
2 2
1 2 2
1 ( 1)
1 1
2( 1) ( 1)
: :
1
ab a a ab a
ab ab a b
a ab a
C C C
a b a b ab
Vậy C =
1 xy xy xy BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
(8)1
1 2
2 1
3
3
3 2
2
3
2
2 4 13 20
3 10
1 1
:
1
1:
1
x x x
A
x x x x
x x x
B
x x x x
x x x
C
x x x x
x x x x
D
x x x x
x x x x
E
x x x x
a a
F
a a a a
a G a
1 ( 1)( 1) a
a a a
3
3
1 :
9
1 2
:
1
1 1
:
1 1
:
x x x x x
H
x x x x x
x K
x
x x x x
y xy x y x y
L x
x y xy y xy x xy
x x y y x y y x M
x y
x y x y x y xy
a a N 2 2 : : 1 : 1 1 : 1
b b a b
ab
a b a b
a a b b a b
P ab
a b a b
a a a
Q a
a a
b b b
R b b b
(9)Ví dụ 1: giải phương trình : 1) x 1 x 5(i)
Dạng :
0 B A B
A B
Cách 1:Điều kiện : x+1 0 x1
(i) x + = x2 -10x + 25 x2 -11x + 24 = 0
3( ) 8( )
x l
x n
Cách : (i) x 1 (x1) 6
Đặt t x1;t0
Phương trình thành : t = t2 – t2 – t – =0
2( ) 3( )
t l
t n
t = x+1 = x = 8 2) 1
2 2 2 2
x x
x x x x
Đặt t 2x1;t0
Pt thành : 2t = t2 – t2 -2t – = 0
1( ) 3( )
t l
t n
T = 2x 1 2x 1 x4
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Gỉai phương trình sau :
) 12 b) 17 23 c) d)
e) 33 f) 78 g) 14 h) 2
a x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Ví dụ 2 : giải phương trình 1)6x - x +1 = , đk: x0
Đặt t = x t2 = x ,pt thành : 6t2 – 5t +1 =0
1 1
2
1 1
3
t x x
t x x
3
(10)Đặt t = x, pt thành : t2 +2t -3 =0
3
1 1
3 3 27
t x x
t x x
3)
10 2, : 10 2 x x dk x Đặt t = 10 ; x t0
Pt thành :
2 2( )
8
2
4( )
t n
t t t
t l t
t=2 10 2 x 2 10 2 x 4 x3
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Gỉai phương trình sau :
3
2
)2 b)5 16 ) - -6=0 d)
4
) 2 f)2
2 1
)
3
a x x x x
c x x x x
e x x
x x
x
g x x
x 14 h)
5 x x x
Ví dụ 3 : giải phương trình
2
2 2
1) 15 15 2; :
( 15) ( 15)
x x x x dk x
pt x x x x
Đặt t=4 x x2( 215);t0 Pt thành : t2 – t – =
1( ) 2( ) t l t n
2
4
2
2 ( 15) 15 16
1( )
16( )
t x x x x
x n x x l
Vì x0 x = 1
3
2) 4; :
2 x x dk x x x
Đặt t = ; x t x
, pt thành : t +
2
3
1 ( )
1
3 4 4 3 0 2
3 3
3 ( )
2
x
x n
t x
t t t
(11)BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
3
1 2x 1
) b) x+1 2x
5
)5 d)3 -7
2
2
x+1 x-1 2x+1 x-1
e) - f) -2
x-1 x+1 x-1 2x+1
x x
a
x x
c x x x x
x x
x x
Ví dụ 4 : giải phương trình
2
2
1) 12
( 8) 20
x x x x
pt x x x x
Đặt t x22x8;t0 pt thành t2 +t -20 = 0
5( ) 4( )
t l
t n
*
2 2
4 8
4 x
t x x x x
x
2
2
2
2)2 3
3 2
3 2(3 )
x x x x
pt x x x x
x x x x
Đặt t 2 x x t 2; 0 pt thành 3t = 2t2 +2 2t2 -3t +2 =0 ptvn BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
2
2
2
2
2
) 12
)2 9
)3 15
)( 1)( 4)
) 10
a x x x x
b x x x x
c x x x x
d x x x x
e x x x x
Ví dụ 5 : giải phương trình
1
1
( 3)( 1) 4( 3) 3; :
3
3
x
x x
x x x dk
x
x x
Đặt
2
( 3) ( 3)( 1)
3 x
t x t x x
x
(12)Pt thành t2 - 4t +3 =0
1 t t
*t = 1
1
( 3)
3 x
x x
x
Pt thành : (x-3)(x+1)=1
2 2 4 0 5( )
1 5( )
x l
x x
x n
*t = 3
1
( 3) 3
3 x
x x
x
Pt thành : (x-3)(x+1)=9
2 2 12 0 13( ) 13( )
x l
x x
x n
Vậy S = 1 5;1 13 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1
)( 3)( 1) 3( 3)
3
)( 2)( 4) 5( 2)
2
)( 5)( 1) 3( 5)
5
)( 2)( 4) 5( 2)
2 x
a x x x
x x
b x x x
x x
c x x x
x x
d x x x
x
Ví dụ 6 : giải phương trình : x24( x2 4x 4 x) 0 (i) Cách 1: ( )i x24(x x) 0 Ta có :
2 2
2
x khi x x
x x
*Nếu x 2 (i)
2 4( 2 ) 0 9 0 3( ) 3( )
x n
x x x x
x l
*Nếu x<2
2 1( )
( ) 4(2 )
7( )
x n
i x x x x x
x l
Vậy S = {3;1}
(13)Đặt t = x pt thành t2 + 4t -5 =0
1( ) 5( )
t n
t l
*t =
2
2
2 1
x x
x
x x
Vậy S = {3;1}
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
2
2
2
2
) 2( )
) 4( 16 )
) 3( )
) ( ) 14
a x x x x
b x x x x
c x x x x
d x x x x
Ví dụ 6 : giải phương trình 2 x1 ( ) x i Đk:
1
2 1 2
2
x x x x
Cách 1:
2
( ) 3(2 1) 2 5
4(2 1) 25 30
i x x x x
x
x
x x x
Cách 2:
1 ; :
2 ( )
x x dk x
i x x
Đặt t 2x1;t0 (i) thành 7-4t =3t2
t = 1 2x – =1 x =1 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
)5 2
)20 2
)12 3
)
)2 3
a x x
b x x
c x x
d x x
e x x
Ví dụ 6 : giải phương trình :
6
2 1( )
2
x x
i
x x
(14)Đk: x<0 x>1/6 , đặt t =
6 ;
x t x
(i) thành 2t =
3 2
2
1 2t t 2t 2t t ( 1)(2t t t 1) t
t
6 1
1
2
x x
x
x x
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
3
)2 )2
3
3
)3 )
3
x x x x
a b
x x x x
x x x x
c d
x x x x
Ví dụ 7: giải phương trình :
2
1
2
x x x
x x x
(i)
Đk: x<0 x>1/2 , đặt t = 1; x
t x
(i) thành
2
1
1 t 3t 3t t t t
t
t = 1 1
x x
x x x
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1 2 1 3 3
)2 2. 3 )3 4 10
1 1 1 2 2
3 2 3 2 2 1 4
) 5 4. 5 )3 2 7
3 2 2 2 2 1 2 1
x x x x x x
a b
x x x x x x
x x x x x x
c d
x x x x x x
.V)KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC :
Trong trình giảng dạy nhiều năm trương THCS nhận thấy việc thực chuyên đề nêu đạt số thành công định :
Học sinh có niềm tin nhiều mơn học
Việc biến đổi biểu thức chứa thức em khơng cịn gặp q nhiều khó khăn mà đa số tự giải tập loại
Một số dạng phương trình vơ tỷ học sinh nắm bắt phương pháp giải tốt dần lên nhiều
(15)Phòng giáo dục đánh giá lựa chọn chuyên đề có chất lượng phổ biến rộng rãi đến giáo viên dạy toán huyện nhà nhằm ngày nâng cao trình độ chun mơn giáo viên nâng dần chất lượng học tập học sinh
Ban giám hiêu trường cần khuyến khích , động viên tốt việc viết sáng kiến dạy học tập thể giáo viên trường, tổ chức triển khai chuyên đề xem phong trào mũi nhọn nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục đơn vị nói riêng tốn huyện nói chung
VII) TÀI LIỆU THAM KHẢO:
Sách giáo khoa ,sách tập toán 9- Bộ GD 7ĐT
Bồi dưỡng lực tự học tốn –Nhóm giáo viên Thăng Long- Nhà xuất ĐHQG Hồ Chí Minh
1001 toán sơ cấp – Nguyễn Văn Vĩnh chủ biên –Nhà xuất giáo dục 750 tập toán đại số 10 – Nguyễn Sinh Nguyên – Nhà xuất Đà Nẵng
Cẩm Mỹ, ngày 14 tháng 07 năm 2010 Người viết