Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S... Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.[r]
(1)KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thơng
Đề số 03 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
-
-I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y= - x4+4x2-
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số cho
2) Dựa vào ( )C , biện luận số nghiệm phương trình: 4 3 2 0
x - x + + m=
3) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C điểm ( )C có hồnh độ
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: 7x +2.71-x- 0=
2) Tính tích phân:
2
(1 ln ) e
e
I =ị + x xdx
3) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:
2 2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+ trên
đoạn [- 12;2]
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy, SA = 2a Xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây
1 Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ ( , , , )O i j k r r r
, cho
2
OIuur = ir+ jr- kr mặt phẳng ( )P có phương trình:
2
(2)1) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm điểm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P
2) Viết phương trình mp( )Q song song với mp( )P đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( )S
Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây:
3 4 3 1
y=x - x + x- y= - 2x+1 2 Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1;2;7) đường thẳng d có phương trình:
2
1
x- =y- =z
1) Hãy tìm toạ độ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d
2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng d
Câu Vb (1,0 điểm): Giải hệ pt
4 4
log log log 20
x y
x y
ìï + = +
ïí
ï + - = ïỵ
Hết
-Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích thêm.
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
(3)BÀI GIẢI CHI TIẾT
Câu I :
4 4 3 y= -x + x
- Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm:
3
4
y¢= - x + x
Cho
3
2
0
4 0
0 ( 2)
2 2
x
x x
y x x x x
x x x
é
é = é = =
ê
ê ê
¢= Û - + = Û - + = Û ê Û ê Û ê
- + = = ê = ±
ê ê
ë ë ë
Gii hn:
lim lim
xđ- Ơ y= - Ơ ; xđ+Ơ y= - Ơ Bảng biến thiên
x – - 0 +
y¢ + 0 – 0 + 0 –
y – 1 1
–3 –
Hàm số ĐB khoảng
(- ¥ -; 2),(0; 2), NB khoảng (- 2;0),( 2;+¥ )
Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCÑ = ± 2, đạt cực tiểu yCT = –3
0 xCT = .
Giao điểm với trục hoành: cho
2
1
0
3
x x
y x x
x x
é = é = ±
ê ê
= Û - + - = Û ê Û ê = ± =
ê êë
ë
Giao điểm với trục tung: cho x= Þ0 y= -
Bảng giá trị: x - 3- 2
y –3
Đồ thị hàm số:
(4) Số nghiệm pt(*) với số giao điểm
4
( ) :C y= - x +4x - 3 và d: y = 2m
Ta có bảng kết quả:
M 2m
Số giao điểm (C)
d
Số nghiệm pt(*) m > 0,5 2m > 0
m = 0,5 2m = 2
–1,5< m <
0,5 –3< 21m < 4
m = –1,5 2m = –3 3
m < –1,5 2m < –3 2
0
3
x = Þ y =
3
( ) ( 3)
f x¢ =f¢ =y¢= - x + x= -g
Vậy, pttt cần tìm là:
0 3( 3) 12
y- = - x- Û y= - x+
Câu II
1
7 2.7 9
7
x x x
x
-+ - = Û + - =
(*)
Đặt t =7x (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành
nhan nhan
2 2( )
14
9 14 9 14
7( ) t
t t t t t
t t
é = ê
+ - = Û + - = Û - + = Û ê =
ê ë
Với
2
t= : 7x =2Û x=log 27
Với t=7: 7
x = Û x=
Vậy, phương trình cho có nghiệm :
1
x= x=log 27
2
(1 ln ) e
e
I =ò + x xdx
Đặt
2 1 ln
2 du dx
u x x
dv xdx x
v ìïï =
ì ï
ï = + ï
ï Þ ï
í í
ï = ï
ï ï
ỵ ïïïỵ =
Thay vào cơng thức tích phân phần ta được:
2
2
2 2
4 4
2
(1 ln ) (1 2) (1 1)
2 2
3
2 4 4
e e
e e
e e
x x x e e x
I dx
e e e e e e
+ + +
= - = -
-= - - + =
-ò
Vậy,
4
5
4
e e
(5)- Hàm số
2 2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+ liên tục đoạn [- 12;2]
2 2
2 2
( 2) ( 1) ( 2)( 1) (2 2)( 1) ( 2)1
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x x x x
y
x x x
¢ ¢
+ + + - + + + + + - + + +
¢= = =
+ + +
Cho
(nhan) (loai)
1
2
1 [ ;2]
0
2 [ ;2] x
y x x
x
ộ = ẻ -ờ
Â= + = Û ê = Ï -ê
ë
Ta có, f(0)=2
1 2
fổ ửỗỗỗố ứ- ữữữ= (2) 10 f =
Trong kết trên, số nhỏ số lớn
10
Vậy,
khi
1
2
[ ;2] [ ;2]
10
min 0; max
3
y x y x
- = = - = =
Câu III Theo giả thiết, SA^AC , SA^AD , BC ^AB , BC ^SA
Suy ra, BC ^(SAB) BC ^SB
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh CD ^SD
A,B,D nhìn SC góc vng nên A,B,D,S,C thuộc
đường tròn đường kính SC, có tâm trung điểm I của SC
Ta có,
2 (2 )2 ( 2)2 6
SC = SA +AC = a + a =a
Bán kính mặt cầu:
6
2
SC a R = =
Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là:
2
4
2 a
S = pR = pỗốổỗỗỗ ữữữữửứ = pa THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa:
OI =2i +3j - 2k Þ I(2;3; 2) -uur r r r
Tâm mặt cầu:
(2;3; 2) I
- Bán kính mặt cầu:
2 2
2 2.3 2.( 2) 9
( ,( ))
3 ( 2) ( 2)
R =d I P = - - - - = = + - +
- Vậy, pt mặt cầu
( )S là: (x a- )2+ -(y b)2+ -(z c)2=R2
2 2
(x 2) (y 3) (z 2)
Û - + - + + =
(6)Do PTTQ mp(Q) có dạng ( ) :Q x- 2y- 2z+D =0 (D¹ - 9)
Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên
(nhan) loai
2 2
9 2.3 2.( 2)
( ,( )) 3
9( )
1 ( 2) ( 2)
D
D D
d I Q R D
D é =
- - - + ê
= Û = Û = Û = Û ê
=-ê
+ - + - ë
Vậy, PTTQ mp(Q) là: ( ) :Q x- 2y- 2z+ =9
Câu Va: Cho
3 4 3 1 2 1 4 5 2 x
x x x x x x x
x é = ê
- + - = - + Û - + - Û ê =
ê ë
Diện tích cần tìm là:
2 3 2
1
S =ò x - x + x- dx
hay
2
4
2 3 2
1 1
4 1
( 2)
4 12 12
x x x
S = ũ x - x + x- dx = ốỗỗổỗ - + - x÷ư÷÷ø÷ = - = (đvdt)
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb:
Gọi H hình chiếu A lên d H(2+t;1 ; )+ t t , (3 ;2 1; 7)
AHuuur = +t t- t
- Do
AH ^dnên d (3 ).1 (2 1).2 ( 7).1 6
AH uuuur r = Û +t + t- + -t = Û t- = Û t=
Vậy, toạ độ hình chiếu A lên d
(3;3;1) H
Tâm mặt cầu: A(–1;2;7) Bán kính mặt cầu:
2 2
4 ( 6) 53 R =AH = + + - =
Vậy, phương trình mặt cầu là:
2 2
(x+1) + -(y 2) + -(z 7) =53 Câu Vb: ĐK: x > y >
4 4 4
log log log log log 36 36
20 20 20
x y xy xy
x y x y x y
ì ì ì
ï + = + ï = ï =
ï Û ï Û ï
í í í
ï + - = ï + - = ï + =
ï ï ï
ỵ ỵ ỵ
x y nghiệm phương trình:
2 20 36 0 18
2 X
X X
X
é = > ê
- + = Û ê = > ê
ë
Vậy, hệ pt cho có nghiệm:
;
18
2 18
x x
y y
ì ì
ï = ï =
ï ï
í í
ï = ï =
ï ï