trªn tia AC. Chøng minh tø gi¸c MCBC' néi tiÕp.. Gäi IJ lµ ®êng kÝnh vu«ng gãc víi AB. Chøng minh ba ®êng EG, DF vµ CI ®ång quy. M di ®éng trªn AB. Chøng minh r»ng D cè ®Þnh. Chøng minh [r]
(1)Môc lôc
Môc lôc
Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức 2
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa 2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản cn thc 2
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán 3
Ch đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét 5
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai 5
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiƯm 5
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc 6
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm 7
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn iu kin cho trc 8
Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số 8
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số 9
Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai 9
Ch đề 3: Hệ phơng trình 11
HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: 11
Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng 11
Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ 11
Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc 11
Một số hệ bậc hai đơn giản: 12
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 12
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 13
Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số 13
Chủ đề 4: Hàm số đồ thị 14
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 14
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 14
Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol 15
Chủ đề 5: Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình 15
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sơng có tính đến dũng nc chy) 15
Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) 16
Dng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm 16
Dạng 4: Toán có nội dung hình học 16
Dạng 5: Toán tìm số 16
Ch 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai 17
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu 17
Dạng 2: Phơng trình chứa thức 17
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt i 17
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng 17
Dạng 5: Phơng trình bậc cao 17
Phần II: H×nh häc 19
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình 19
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn 20
Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy 22
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định 22
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học 23
Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo diện tích 24
Chủ đề 7: Tốn quỹ tích 25
Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học khơng gian 25
Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức. Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa. Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau) ¿ 1√3x−1 8¿ √x2+3¿2¿ √5−2x 9¿ √x2−2¿3¿
√7x−14 10¿ √x
2 −3x+7¿4¿ √2x−1 11¿ √2x2−5x+3¿5¿ √3− x √7x+2 12¿
1 √x2−5x+6¿6¿ √ x+3 7− x 13¿
1 √x −3+ 3x √5− x¿7¿ √2x− x2 14¿ √6x−1+√x+3¿ Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức. Bài 1: Đa thừa số vào dấu a¿
5√ 3; b¿ x√
2 x(víi x>0); c¿ x√
2 5; d¿ (x −5)√ x 25− x2; e¿ x√
7
(2)¿
0,4
√2−3√¿
a(√28−2√14+√7)⋅√7+7√8; d¿ √6+2√5+√6−2√5;¿b¿ (√8−3√2+√10)(¿; e) √11+6√2−√11−6√2¿c¿ (15√50+5√200−3√450):√10 ; f¿ √35√2+7−√35√2−7¿g¿ √320+14√2+3;√20−14√2 ; h¿ √326+15√3−√326−15√3¿ Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a¿ (2√3−√6
√8−2 −
√216 )⋅
1
√6 b¿
√14−√7 1−√2 +
√15−√5 1−√3 ¿:
1
√7−√5 c¿
√5−2√6+√8−2√15
√7+2√10
Bµi 4: Thùc hiƯn phÐp tÝnh
¿
6 √10−√¿
5 3−√¿
¿
5 3+√¿
a(4+√15)(¿√4−√15 b) (¿√3+√5+(√3−√5¿c) √3+√5−√3−√5−√2 d) 474+7+7e 6,5+12+6,512+26 Bài 5: Rút gọn biÓu thøc sau:
¿
a
√7−√24+1−
1
√7+√24+1 b¿
√3
√√3+1−1−
√3
√√3−1+1¿c¿ √
5+2√6 5−√6 +√
5−2√6
5+√6 d¿ √ 3+√5 3−√5+√
3−√5 3+√5 ¿
Bµi 6: Rót gän biÓu thøc:
¿
a6+2√5−√13+√48 b¿√4+√5√3+5√48−10√7+4√3¿ c¿
1+√2+
1 √2+√3+
1
√3+√4+ +
1 √99+√100¿ Bµi 7: Rót gän biĨu thøc sau:
¿
aa√b+b√a
√ab :
1
√a −√b, víi a>0, b>0 vµ a≠ b.¿b¿ (1+ a+√a
√a+1)(1−
a −√a
√a −1), víi a>0 vµ a≠1 ¿c¿
a√a −8+2a−4√a
a −4 ;¿d¿
2a−1⋅√5a
4
(1−4a+4a2)¿e¿
x2− y2⋅√
3x2
+6xy+3y2
4 ¿
Bài 8: Tính giá trị biểu thức
¿
a=x2−3x√y+2y, x=
√5−2;y=
9+4√5¿b¿ B=x
3
+12x−8 víi x=√34(√5+1)−√34(√5−1);¿c¿ C=x+y , biÕt (x+√x2+3)(y+√y2+3)=3;¿d¿ D=√16−2x+x2+√9−2x+x2 , biÕt √16−2x+x2−√9−2x+x2=1.¿e¿ E=x√1+y2+y√1+x2 , biÕt xy+√(1+x2)(1+y2)=a.¿ Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức P= x −3
√x −1−√2
a) Rót gän P
b) Tính giá trị P x = 4(2 - 3 ) c) Tính giá trị nhỏ cđa P
Bµi 2: XÐt biĨu thøc A= a
+√a
a −√a+1−
2a+√a
√a +1
a) Rót gän A
b) Biết a > 1, so sánh A với |A| c) Tìm a để A =
d) T×m giá trị nhỏ A Bài 3: Cho biểu thøc C=
2√x −2− 2√x+2+
√x
1− x
a) Rót gän biĨu thøc C
b) Tính giá trị C với x=4
9
c) Tính giá trị x để |C|=1
3
Bµi 4: Cho biĨu thøc M= a
√a2− b2−(1+ a
√a2− b2): b a a2b2
(3)b) Tính giá trị M nÕu a
b=
3
c) Tìm điều kiện a, b để M < Bài 5: Xét biểu thức
1− x¿2 ¿ ¿
P=(√x −2
x −1 −
√x+2
x+2√x+1)⋅¿ a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) Tìm giá trị lơn P
Bài 6: XÐt biÓu thøc Q= 2√x −9
x −5√x+6−
√x+3
√x −2−
2√x+1
3−√x
a) Rót gän Q
b) Tìm giá trị x để Q <
c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên Bài 7: Xét biểu thức H=( x − y
√x −√y−
√x3−√y3 x − y ):
(√x −√y)2+√xy √x+√y
a) Rót gän H
b) Chøng minh H ≥ c) So sánh H với H Bài 8: Xét biÓu thøc A=(1+ √a
a+1):(
1 √a −1−
2√a
a√a+√a −a −1)
a) Rót gän A
b) Tìm giá trị a cho A >
c) Tính giá trị cđa A nÕu a=2007−2√2006 Bµi 9: XÐt biĨu thøc M=3x+√9x−3
x+√x −2 −
√x+1
√x+2+
√x −2 1−√x
a) Rót gän M
b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P=15√x −11
x+2√x −3+
3√x −2 1−√x −
2√x+3
√x+3 a) Rót gọn P
b) Tìm giá trị x cho P=1
2
c) So s¸nh P víi
3
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét. Dạng 1: Giải phng trỡnh bc hai.
Bài 1: Giải phơng tr×nh
1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ;
3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ;
5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ;
7) x2 + 2
√2 x + = 3(x + √2 ) ; 8) √3 x2 + x + =
√3 (x + 1) ;
9) x2 – 2(
√3 - 1)x - 3 =
Bài 2: Giải phơng trình sau cách nhẩm nghiệm:
1) 3x2 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ;
3) x2 – (1 +
√3 )x + √3 = ; 4) (1 - √2 )x2 – 2(1 +
√2 )x + + √2 = ;
5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ;
7) ( √3 + 1)x2 + 2
√3 x + √3 - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ;
(4)Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh phơng trình sau lu«n cã nghiƯm
1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 =
0 ;
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ;
7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x –
3 + m =
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bµi 2:
a) Chøng minh r»ng víi a, b , c số thực phơng trình sau có nghiÖm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =
b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c phân biệt phơng trình sau có hai nghiƯm ph©n biÕt:
x −a+
1
x − b+
1
x − c=0 (ẩn x)
c) Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = v« nghiƯm víi a, b, c
là độ dài ba cạnh tam giác
d) Chøng minh phơng trình bậc hai:
(a + b)2x2 (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:
a) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét phơng trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1)
bx2 + 2cx + a = (2)
cx2 + 2ax + b = (3)
b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = (1)
x2 - 2bx + 4a2 = (2)
x2 - 4ax + b2 = (3)
x2 + 4bx + a2 = (4)
Chøng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm c) Cho phơng trình (ẩn x sau):
ax2−2b√b+c
b+c x+
1
c+a=0 (1)
bx2−2c√c+a
c+a x+
1
a+b=0 (2)
cx2−2a√a+b
a+b x+
1
b+c=0 (3) víi a, b, c số dơng cho trớc
Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm Bài 4:
a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0.
Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm trong
hai điều kiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ;
5a + 3b + 2c =
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc.
Bµi 1: Gäi x1 ; x2 nghiệm phơng trình: x2 – 3x – =
TÝnh:
A=x12+x22; B=|x1− x2|;
C=
x1−1 +
x2−1
; D=(3x1+x2) (3x2+x1);
E=x13+x23; F=x14+x24 Lập phơng trình bậc hai có nghiệm x
1−1
vµ
(5)Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng
trình, tính giá trị c¸c biĨu thøc sau:
A=2x13−3x12x2+2x23−3x1x22;
B=x1
x2+ x1
x2+1+
x2
x1+ x2
x1+1−(
x1−
1
x2)
2
; C=3x1
2+5x1x2+3x 22 4x1x22+4x
12x2 Bµi 3:
a) Gäi p vµ q lµ nghiƯm cđa phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phơng
trình hÃy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà nghiƯm cđa nã lµ
p
q −1 vµ
q p 1
b) Lập phơng trình bËc hai cã nghiƯm lµ
10−√72 vµ 10+62 Bài 4: Cho phơng trình x2 2(m -1)x – m = 0.
a) Chøng minh phơng trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2 víi mäi m
b) Víi m ≠ 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y1=x1+
1
x2
vµ y2=x2+
x1
Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x = HÃy tính giá trị biểu thøc sau:
A=(3x1−2x2) (3x2−2x1); B= x1
x2−1 + x2
x1−1
; C=|x1− x2|; D=
x1+2
x1
+x2+2
x2 Bµi 6: Cho phơng trình 2x2 4x 10 = có hai nghiệm x
1 ; x2 Không giải phơng trình
hÃy thiết lập phơng trình ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 –
x1
Bài 7: Cho phơng trình 2x2 3x = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình
ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
a¿y1=x1+2¿y2=x2+2¿ b¿ ¿ ¿y1=
x12
x2 ¿y2=
x22
x1 ¿ ¿{¿
Bµi 8: Cho phơng trình x2 + x = có hai nghiÖm x
1 ; x2 H·y thiÕt lËp phơng trình ẩn
y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
a¿y1+y2=x1
x2+ x2
x1¿ y1
y2+ y2
y1=3x1+3x2¿ ; b y1+y2=x12+x22y12+y22+5x1+5x2=0 { Bài 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax – a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x
1 ; x2 HÃy
lập phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
y1+y2=1
x1+
1
x2 vµ
1
y1+
1
y2=x1+x2
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vụ nghim.
Bài 1:
a) Cho phơng tr×nh (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (Èn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + =
Tìm m để phng trỡnh cú nghim
a) Cho phơng trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = 0.
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = 0.
(6)a) Cho phơng trình: 4x
x4+2x2+1
2(2m1)x
x2+1 +m
2− m−6 =0 Xác định m để phơng trình có nghiệm
b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định
m để phơng trình có nghiệm
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn
®iỊu kiƯn cho tríc. Bài 1: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = -
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận
giá trị nhỏ
Bi 2: nh m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x
1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x
12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x
12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x
1x2 – 5(x1 + x2) + =
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x
1 – 3x2 =
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x
1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x
1 + x2 + =
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x
1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x
1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x
12 + x2 =
Bµi 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để
phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm
b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình có hai
nghiƯm x1 ; x2 cho biÓu thøc R=
2x1x2+3
x12+x
22+2(1+x1x2)
đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn
c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau mx2 – (m + 3)x + 2m + = 0.
Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0).
Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh điều kiện cần
v phng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số. Bài 1:
a) Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phơng trình có
hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 <
b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả m·n: - < x1 < x2 <
Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiƯm víi mäi m
b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn –
(7)a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn
b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x
1≤ - ≤ x2
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Bài 1:
a) Cho phơng tr×nh: x2 – mx + 2m – = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm
phơng trình không phụ thuộc vào tham số m
b) Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phơng trình
cú nghim, hóy tỡm mt hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có hai
nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí
nghiệm hai số –
Bµi 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)2x2 (m 1)(m + 2)x + m = Khi phơng trình
có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 = 0.
a) Chứng minh phơng trình cã hai nghiƯm x1 , x2 víi mäi m
b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
c) Tỡm m phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x2
+x2
x1 =−5
2 Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x2 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải biện luận phơng trình theo m
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m
- T×m m cho |x1 x2|
Bài 5: Cho phơng trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chøng minh r»ng nÕu
ph-¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + =
D¹ng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bËc hai. KiÕn thøc cÇn nhí:
1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phng trỡnh kia:
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (1)
a’x2 + b’x + c’ = (2)
trong hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m
Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm ph-ơng trình (1), ta có th lm nh sau:
i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình
(2), suy hệ phơng trình:
¿
ax02+bx0+c=0
a'k2x
02+b'kx0+c'=0
(∗) ¿{
¿
Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m
ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3)
a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)
Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)
(8)i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:
(3)<0
Δ(4)<0
¿{
¿
Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số
ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau: ¿
Δ(3)≥0
Δ(4)≥0
S(3)=S(4)
P(3)=P(4) ¿{ { {
¿
Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn
nh sau:
¿
bx+ay=−c
b'x+a'y=c' {
Để giải tiếp toán, ta lµm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2.
- Kiểm tra lại kết
-Bi 1: Tỡm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.
c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = 0.
Bµi 3: Xét phơng trình sau:
ax2 + bx + c = (1)
cx2 + bx + a = (2)
Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung
Bài 4: Cho hai phơng trình:
x2 2mx + 4m = (1)
x2 – mx + 10m = (2)
Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1)
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + = 0
a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng
Bµi 6: Cho hai phơng trình:
x2 + mx + = (1)
x2 + 2x + m = (2)
a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng
c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho phơng trình:
x2 5x + k = (1)
x2 – 7x + 2k = (2)
(9)Chủ đề 3: Hệ phơng trình.
A - HƯ hai phơng trình bậc hai ẩn:
Dng 1: Gii hệ phơng trình đa đợc dạng bản Bài 1: Giải hệ phơng trình
¿
1¿3x−2y=4¿2x+y=5¿; 2¿ ¿ ¿4x−2y=3¿6x−3y=5¿; 3¿ ¿ ¿2x+3y=5¿4x+6y=10¿ ¿ ¿4¿ ¿3x−4y+2=0¿5x+2y=14¿; 5¿ ¿ ¿2x+5y=3¿3x−2y=14¿; 4x6y=910x15y=18 { Bài 2: Giải hệ phơng trình sau:
1(3x+2) (2y3)=6xy(4x+5)(y −5)=4xy¿; 2¿ ¿ ¿(2x-3) (2y+4)=4x(y −3)+54¿(x+1) (3y−3)=3y(x+1)−12¿; ¿ ¿ ¿ ¿ 3¿ ¿2y-5x +5=
y+27 −2x¿
x+1 +y=
6y−5x
7 ¿; 4¿ ¿ ¿
7x+5y-2
x+3y =−8¿
6x-3y+10
5x+6y =5¿ ¿ ¿{¿ ¿
Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ Giải hệ phơng trình sau
¿ 1¿
x+2y+
y+2x=3¿
x+2y−
y+2x=1¿; 2¿ ¿ ¿ 3x
x+1−
y+4=4¿ 2x
x+1−
y+4=9¿; 3¿ ¿ ¿
x+1
x −1+ 3y
y+2=7¿
x −1−
y+2=4¿;¿ ¿ ¿ ¿4¿ ¿2(x
2
−2x)+√y+1=0¿3(x2−2x)−2√y+1+7=0¿; 5¿ ¿ ¿5|x −1|−3|y+2|=7¿2√4x2−8x+4+5√y2+4y+4=13 ¿ ¿ ¿{¿ ¿ Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc
Bµi 1:
a) Định m n để hệ phơng trình sau có nghiệm (2 ; - 1) ¿
2mx−(n+1)y=m −n (m+2)x+3ny=2m−3
¿{ ¿
b) Định a b biết phơng trình: ax2 - 2bx + = cã hai nghiƯm lµ x = vµ x = -2.
Bài 2: Định m để đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m –
b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m
–
Bài 3: Cho hệ phơng trình
mx+4y=10m
x+my=4
(m lµ tham sè) ¿{
a) Giải hệ phơng trình m = 2 b) Giải biện luận hệ theo m
c) Xác định giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y > d) Với giá trị ngun m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dơng e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá tr nh nht
(câu hỏi tơng tự với S = xy)
f) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm M(x ; y) nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác
Bµi 4: Cho hệ phơng trình:
(m1)x my=3m1
2x y=m+5 {
a) Giải biện luËn hÖ theo m
b) Với giá trị ngun m hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho
M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2).
(10)Bài 5: Cho hệ phơng tr×nh:
¿
x+my=2
mx−2y=1 ¿{
¿
a) Giải hệ phơng trình m =
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y <
c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số nguyên d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn
B - Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I Ví dụ: Giải hệ phơng trình
¿
x+y+xy=11
x2
+y2+3(x+y)=28 {
Bài tập tơng tự:
Giải hệ phơng trình sau:
1¿x2+y2+x+y=8¿x2+y2+xy=7¿ 2¿ ¿ ¿x2+xy+y2=4¿x+xy+y=2¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿xy+x+y=19¿x2y+xy2=84¿ 4¿ ¿ ¿x2−3xy+y2=−1¿3x2−xy+3y2=13¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿(x+1) (y+1)=8¿x(x+1)+y(y+1)+xy=17¿ 6¿ ¿ ¿(x2+1)(y2+1)=10¿(x+y)(xy−1)=3¿ ¿ ¿7¿ ¿ ¿x+xy+y=2+3√2¿x2+y2=6¿ 8¿ ¿ ¿x2+xy+y2=19(x − y)2¿x2−xy+y2=7(x − y)¿ ¿ ¿9¿ ¿ ¿(x − y)2−(x − y)=6¿5(x2+y2)=5xy¿ 10¿ ¿ ¿ ¿{¿ ¿ Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
VÝ dơ: Gi¶i hƯ phơng trình
x3+1=2y
y3
+1=2x {
Bài tập tơng tự:
Giải hệ phơng trình sau:
1x2+1=3yy2+1=3x ¿ ¿x2y+2=y2¿xy2+2=x2¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿x3=2x+y¿y3=2y+x¿ 4¿ ¿ ¿x2+xy+y=1¿x+xy+y2=1¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿x2−2y2=2x+y¿y2−2x2=2y+x¿ 6¿ ¿ ¿x −3y=4 y
x¿y −3x=4 x
y¿ ¿¿7¿ ¿ ¿2x+
1
y=
3
x¿2y+
1
x=
3
y¿ 8¿ ¿ ¿x
3
=3x+8y¿¿{¿ ¿ ¿
9¿x2−3x=y¿y2−3y=x¿ 10¿ ¿ ¿x3=7x+3y¿y3=7y+3x¿ ¿{¿ Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng phỏp th hoc cng i s
Giải hệ phơng trình sau:
1x+y 1=0x2+xy+3=0 ¿ ¿x2−xy− y2=12¿xy− x2+y2=8¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿2 xy− x2+4x=−4¿x2−2 xy+y −5x=4¿ 4¿ ¿ ¿x+2y+2 xy−11=0¿xy+y − x=4¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿2(x+y)2−3(x+y)−5=0¿x − y −5=0¿ 6¿ ¿ ¿5(x − y)2+3(x − y)=8¿2x+3y=12¿ ¿ ¿7¿ ¿ ¿x −2y+2=0¿2y − x2=0¿ 8¿ ¿ ¿x2− y=0¿x − y+2=0¿ ¿ ¿9¿ ¿ ¿x2+y2−2 xy=1¿2x2+2y2−2 xy− y=0¿ 10¿ ¿ ¿2x−3y=5¿x2− y2=40¿ ¿ ¿11¿ ¿¿3x+2y=36¿(x −2) (y −3)=18¿ 12¿ ¿ ¿xy+2x− y −2=0¿xy−3x+2y=0¿ ¿ ¿13¿ ¿ ¿xy+x − y=1¿xy−3x+y=5¿ 14¿ ¿ ¿x2+y2−4x−4y−8=0¿x2+y2+4x+4y−8=0¿ ¿ ¿{¿ ¿ Chủ đề 4: Hàm số đồ thị.
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y = 2x – ; b) y = - 0,5x +
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi:
a) a = ; b) a = -
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- ; - 5)
b) (d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) vng góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox góc 300.
e) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x điểm
g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k tham số
(11)b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vng góc với đờng thẳng x + 2y =
d) Chứng minh khơng có đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1)
e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol
Bµi 1:
a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hồnh độ lần lợt - Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB
Bµi 2: Cho hµm sè y=−1
2x
2
a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P) Bài 3:
Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P): y=−1
4x
2
đờng thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P)
b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)
c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định A thuộc (P) Bài 4: Cho hàm số y=−1
2x
2
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hồnh độ - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN
c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đờng thẳng MN cắt (P) điểm
Bµi 5:
Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2)
4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm C(3
2;−1) có hệ số góc m
a) Viết phơng tr×nh cđa (d)
b) Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vng góc với
Chủ đề 5: Giải tốn cách lập phơng trình, hệ phơng trình. Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sơng có tính đến dịng nớc chảy) Bài 1:
Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu
Bµi 2:
Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trớc Sau đợc
3 quãng đờng AB ngời tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đờng
lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đờng, biết ngời đến B sớm dự định 24 phút
Bµi 3:
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nớc km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngợc
(12)Một canô xuôi khúc sông dài 90 km råi ngỵc vỊ 36 km BiÕt thêi gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngợc dòng
Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) Bài 1:
Hai ngời thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm hai ngời làm đợc
4
công việc Hỏi ngời làm cơng việc xong? Bài 2:
Nếu vòi A chảy vòi B chảy đợc
5 hồ Nếu vòi A chảy
gi v vịi B chảy 30 phút đợc
2 hồ Hỏi chảy mỗI vòi
chảy đầy hồ Bài 3:
Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy bể Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian vòi chảy đầy bể?
Dng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bài 1:
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy?
Bài 2:
Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung hình học. Bài 1:
Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất lại vờn để trồng trọt 4256 m2.
Bµi 2:
Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm
600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
Bài 3:
Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2.
Tính hai cạnh góc vuông Dạng 5: Toán tìm số. Bài 1:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị
Bµi 2:
Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số đợc thơng số d
Bµi 3:
Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đơi mẫu số thêm giá trị phân số
1
4 Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số
24 Tìm phân số
ú Bi 4:
Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng
(13)Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai. Dạng 1: Phơng trình có n s mu.
Giải phơng trình sau:
¿
a x x −2+
x+3
x −1=6¿b¿ 2x−1
x +3= x+3
2x−1 ¿c¿
t2 t −1+t=
2t2+5t
t+1 ¿ D¹ng 2: Phơng trình chứa thức.
Loại √A=√B⇔ A ≥0 (hayB≥0)
A=B ¿
Lo¹i √A=B⇔
B ≥0
A=B2 ¿ ¿{
¿ Gi¶i phơng trình sau:
a2x23x11=x21 b √(x+2)2=√3x2−5x+14¿c¿ √2x2+3x−5=x+1 d¿ √(x −1)(2x−3)=− x −9¿e¿ (x −1)√x2−3x¿ Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Giải phơng trình sau:
a|x −1|+x2=x+3 b¿ |x+2|−2x+1=x2+2x+3¿c¿ |x4+2x2+2|+x2+x=x4−4x d¿ |x2+1|−√x2−4x+4=3x¿ D¹ng 4: Phơng trình trùng phơng.
Giải phơng trình sau:
a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0;
c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = 0.
Dạng 5: Phơng trình bậc cao.
Gii cỏc phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai:
Bµi 1:
a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ;
c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2.
Bµi 2:
a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0
¿
c x¿2− x+2√x2− x+3=0 d¿ 4(x2+1
x2)−16(x+
1
x)+23=0¿e¿
x2+x −5
x +
3x
x2+x −5+4=0 f¿
21
x2−4x+10− x
+4x−6=0¿g¿ 3(2x2+3x−1)2−5(2x2+3x+3)+24=0 h¿x
3 − 48
x2−10( x
3−
x)=0¿i¿
2x
2x2−5x+3+
13x
2x2+x+3=6 k¿√x
−3x+5+x2=3x+7 ¿ Bµi 3:
a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0
b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0
c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1
d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0
Bài tập nhà:
Giải phơng tr×nh sau:
¿ a ¿
2(x −1)+
x2−1=
4 b¿ 4x
x+1+
x+3
x =6¿ c¿
2x+2 − x=
x −2
x −4 d¿
x2+2x−3
x2−9 + 2x2−2
x2−3x
+2=8¿
a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0
c) 9x4 + 8x2 – = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0
e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = (a ≠ 0)
3
a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0
(14)c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2
d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0
e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0
4
a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0
c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0
5
a) x3 – x2 – 4x + = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – = 0
c) x3 – x2 + 2x – = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – = 0
e) x3 – 2x2 – 4x – = 0
6
a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0
c) x2 – 4x – 10 - 3
√(x+2) (x −6) = d) (2x−1
x+2 )
−4(2x−1
x+2 )+3=0 e) √x+√5− x+√x(5− x)=5
7
a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5
c) 3(x2+
x2)−16(x+
1
x)+26=0 d) 2(x
2 +
x2)−7(x −
1
x)+2=0
8
¿
a√x2−4x
=√x+14 b¿ √2x2+x −9=|x −1|¿c¿ √2x2+6x+1=x+2 d¿ √x3+3x+4=x −2¿e¿ √4x2−4x+1+x −2=x2−3 f¿ |x3+x2−1|=x3+x+1¿ Định a để phơng trình sau có nghiệm
a) x4 – 4x2 + a = b) 4y4 – 2y2 + – 2a = 0
c) 2t4 – 2at2 + a2 – = 0.
Phần II: Hình học
Ch 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình. Bài 1:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D E lần lợt điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L
a) Chøng minh DI = IL = LE
b) Chøng minh tứ giác BCED hình chữ nhật
c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình Bài 2:
Cho t giác ABCD nội tiếp đờng trịn có đờng chéo vng góc với I
a) Chứng minh từ I ta hạ đờng vng góc xuống cạnh tứ giác đ-ờng vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh
b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật
c) Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đờng vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác
Bµi 3:
Cho tam giác vng ABC ( A = 1v) có AH đờng cao Hai đờng trịn đờng kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng tròn (O1) (O2) lần
lợt M N
a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì?
c) Gi F, E, G lần lợt trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách
®iĨm E, G, A, H
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đờng nh nào? Bài 4:
(15)a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang c©n
đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm trên đờng trịn.
Bµi 1:
Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt điểm E, F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF
a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đờng tròn
c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài 2:
Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng trịn.Xác định tâm O đ-ờng trịn
b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đờng trịn
Bµi 3:
Cho hai đờng trịn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đờng tròn (O) D Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp
b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đ-ờng trịn
Bµi 4:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc
Bµi 5:
Từ điểm M bên ngồi đờng trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD AB, CE MA, CF MB
Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc
b) CD2 = CE CF
c)* IK // AB Bµi 6:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn Vẽ hai đ-ờng cao BD CE
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đờng tròn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA DE
Bµi 7:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM N
a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC
c)* Gọi D giao điểm AB vµ CM Chøng minh r»ng:
AM+
1
MB=
1 MD
Bµi 8:
Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đờng tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đờng kính MN vng góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN
(16)Bµi 9:
Từ điểm A bên ngồi đờng trịn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D
a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN
b) Chøng minh r»ng AB// CD
c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi
Bµi 10:
Cho đờng trịn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đ ờng kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đờng tròn (O) C
a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc
b) Chứng minh tích MC MD có giá trị không đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Chøng minh r»ng MAB =
2 AO'D
d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Bµi 11:
Cho tam giác ABC vng A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vng góc với AD ( E AD)
a) Chứng minh AHEC tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
d) TÝnh diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đ ờng tròn nói biết AC= 6cm, ACB = 300.
Bài 12:
Cho đờng trịn tâm O có đờng kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F
a) Chøng minh r»ng ADCF tứ giác nội tiếp
b) Gi M trung điểm EF Chứng minh AME = ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến đờng trịn (O)
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600.
Bµi 13:
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đờng tròn Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D tiếp điểm)
a) Chøng minh r»ng C, M, D thẳng hàng
b) Chng minh rng CD l tiếp tuyến đờng trịn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R
d) TÝnh diÖn tÝch tø giác ABDC biết AOM = 600.
Bài 14:
Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung ®iĨm I cđa c¹nh BC XÐt mét ®iĨm D
trên tia AC Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tơng ứng M, N, P
a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đờng tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng
c) Gäi giao ®iĨm cđa tia BO víi MN, NP lần lợt H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao?
d) Tỡm hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC
Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy. Bài 1:
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D'
a) Chøng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' néi tiÕp
(17)Từ điểm C ngồi đờng trịn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vng góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N
a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D
b) Chứng minh tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD
Bµi 3:
Cho hai đờng trịn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng trịn (O') D
a) Tø gi¸c BEFC hình gi?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng
c) CF ct ng trũn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng trịn (O’)
Bµi 4:
Cho đờng trịn (O) (O’) tiếp xúc C AC BC đờng kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D (O), E (O’)) AD cắt BE M
a) Tam gi¸c MAB tam giác gì?
b) Chứng minh MC tiÕp tun chung cđa (O) vµ (O’)
c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng trịn đờng kính AB OO’ Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn I, K Chứng minh OI // AK
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định. Bài 1:
Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K
a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD
c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định
Bµi 2:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN
a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN
c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài 3:
Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C
a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K
b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN
d) Chøng minh: IM.IN = IA2.
Bµi 4:
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN
a) So sánh tam giác AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì?
c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành
d) Đờng thẳng d qua N vng góc với BM Chứng minh d qua điểm cố định Bài 5:
Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD
(18)d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E K Chøng minh EC = EK
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học.
Bµi 1:
Cho đờng trịn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chứng minh MA2 = MC.MD.
b) Chøng minh MB.BD = BC.MD
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B
d) Gọi R1, R2 bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh
R1 + R2 không đổi C di động AB
Bµi 2:
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E
a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE b) Chøng minh AC.BE = R2.
c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE
d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vng góc M AB
+ Chøng minh r»ng: HA
HB=
FA
FB
+ Chứng minh tích OH.OF khơng đổi M di động nửa đờng tròn Bài 3:
Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đ-ờng thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng:
PQ=
1 PB+
1
PC
Bµi 4:
Cho góc vng xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức:
a)
AB2+
1 AC2=
1
a2 b) AB2 + AC2 = 4R2.
Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo diện tích. Bài 1:
Cho hai đờng trịn (O; 3cm) (O’;1 cm) tiếp xúc ngồi A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B (O); C (O’))
a) Chøng minh r»ng gãc O’OB b»ng 600.
b) Tính độ dài BC
c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đờng tròn Bài 2:
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đờng trịn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng trịn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K)
a) Chøng ming r»ng EC = MN
b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng trịn (I), (K) c) Tính độ dài MN
d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bài 3:
Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q
(19)b) Cho biết BAC = 600 bán kính đờng trịn (O) cm Tính độ dài tiếp
tuyến AB diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC
Bµi 4:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp , K tâm đờng trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK
a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đờng trịn (O)
c) Tính bán kính đờng trịn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bài 5:
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R E điểm đờng tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB
a) Chứng minh AOM vuông O
b) OM ct đờng tròn C D Điểm C điểm E phía AB Chứng minh ACM đồng dạng với AEC
c) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC
3 TÝnh AC, AE, AM, CM theo
R
Chủ đề 7: Tốn quỹ tích. Bài 1:
Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động đờng tròn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM
a) Chøng minh BPM c©n
b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đờng tròn (O) Bài 2:
Đờng tròn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d ngồi đờng trịn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ
a) Chứng minh góc QMO góc QPO đờng trịn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d
b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng?
c) Tìm quỹ tích tâm đờng trịn nội tiếp tam giác MPQ M di động d Bài 3:
Hai đờng tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q Gọi C giao điểm hai đờng thẳng PO QI
a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp
b) Gọi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào?
c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn
Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học khơng gian. Bài 1:
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nht ú
Bài 2:
Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cã diƯn tÝch mỈt chÐo ACC’A’ b»ng 25 √2 cm2.
Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phơng Bài 3:
Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm góc A’AC’ 600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật đó.
Bµi 4:
Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300.
(20)Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC
a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC
b) TÝnh diÖn tÝch toàn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biÕt SG = 2a Bµi 6:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao a√2
2
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp
Bµi 7:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp
b) TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp Bµi 8:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3.
a) Tính độ dài cạnh đáy
b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 9:
Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy
nhỏ chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt Bài 10:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)
a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp
b) Chøng minh r»ng bốn mặt bên tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh hình chóp
Bài 11:
Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính
diƯn tÝch xung quanh cđa nã Bµi 12:
Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65 cm2 Tính
thể tích hình nón Bài 13:
Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm đờng sinh 13 cm
a) Tính bán kính đáy nhỏ
b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Bài 14: