[r]
(1)SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC -*** -
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG DẠY – HỌC BỒI DƯỠNG LẦN NĂM HỌC: 2011 - 2012
MƠN TỐN, KHỐI A (Thời gian làm 180 phút) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y=x3−3x2+1
Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số
2 Tìm hai điểm M, N thuộc đồ thị (C) cho độ dài đoạn MN 32 tiếp tuyến (C) M N song song với
Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình
2 sin( )
4 (1 sin ) cot 1 sin
x
x x
x π
−
+ = +
2 Giải bất phương trình x3− ≤1 2x2+3x+1 Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
1
0
3
1
x x
x
xe e
I dx
xe + + =
+
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vuông cân đỉnh A, BC=2a Gọi O trung điểm BC, hình chiếu vng góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: OA+2OH =0
, góc SCvà mặt đáy (ABC)bằng
60 Hãy tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ trung điểm I SB tới mặt phẳng (SAH)
Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
2 (4 ) ( 3)
2012 ( 2x 1) 4024
y y x x x
y x x
+ = +
− + − + =
Phần riêng(3,0 điểm)
Thí sinh đợc làm hai phần(phầnAhoặc phầnB) A Theo chơng trình chuẩn
C©u VI.a(2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) AC=2BD Điểm (0; )1
M thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hồnh độ dương
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;8;9) B( 3; 4; 3)− − − Tìm tọa độđiểm C mặt phẳng Oxy cho tam giác CAB cân C có diện tích 1672
C©u VII.a (1,0 điểm) Cho tập hợp { 2 31 15 0}
X = x∈N x − x+ ≤ Chọn ngẫu nhiên từ tập X ba số tự nhiên Tính xác suất để ba sốđược chọn có tổng số lẻ
B Theo chơng trình nâng cao Câu VI.b (2,0 im)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ): 2 2
+ =
C x y Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) biết tiếp tuyến cắt tia Ox, Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ
2. Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0), đỉnh B nằm mặt phẳng Oxy đỉnh C nằm trục Oz Tìm tọa độ điểm B C cho điểm H(2;1;1) trực tâm tam giác ABC
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình 2( ) 4( )8 2( )
1
log log log
2 x+ +4 x− = x
- HÕt -
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm
(2)SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC
-*** -đáp án – thang điểm
đề kiểm tra chất l−ợng dạy - học bồi d−ỡng Lần năm học: 2011 – 2012- mơn tốn, khối A
(Đáp án – Thang điểm gồm 05 trang)
Câu Nội dung Điểm Tổng
I.1
Khảo sát hàm số
0
1 Tập xác định: D=R
2 Sự biến thiên:
Giới hạn: lim( 3 1) ; lim ( 3 1)
→−∞ − + = −∞ →+∞ − + = +∞
x x x x x x
y’=3x2-6x=0
x x
= ⇔
= Bảng biến thiên:
x -∞ + ∞ y’ + - + + ∞ y
-∞ -3
Hàm số đồng biến khoảng: (-∞;0) (2; + ∞) Hàm số nghịch biến khoảng (0;2)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, giá trị cực đại Hàm số đạt cực tiểu x = 2, giá trị cực đại -3
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0 (điểm)
I.2
Tìm hai điểm M, N
Giả sử ( ; 3 1), ( ; 3 1) ( )
M a a − a+ N b b − b+ a≠b Vì tiếp tuyến (C) M N song song suy
y a′( )=y b′( )⇔ (a b a b− )( + −2)=0⇔b = – a ⇒ a ≠ (vì a ≠ b)
2 ( )2 ( 3 1 3 1)2
MN = b a− + b − b + −a + a −
=[ ]2 3 3
2(1−a) +(b−1) −(a−1) −3(b−a)
=
4(a−1) +2(1−a) −6(1−a) = 4(a−1)6−24(a−1)4+40(a−1)2
2 32
MN = ⇔ 4(a−1)6−24(a−1)4+40(a−1)2 = 32 Đặt t=(a−1)2
Giải t = ⇒ a b
a b
3
1
= ⇒ = −
= − ⇒ =
⇒ M(3; 1) N(–1; –3)
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0 (điểm)
0
3 Đồ thị
Có y’’= 6x-6
y’’ = y’’ đổi dấu x =1→điểm uốn I(1;-1)
Nhận xét:
(3)II.1
Giải phương trình:
2 sin( )
4 (1 sin ) cot 1 sin
x
x x
x π
−
+ = +
Điều kiện: sinx≠0
[ ]
π
π π π
⇔ − + = +
⇔ + − + − =
⇔ + − =
⇔
=
= − +
⇔
=
2
(cos s inx)(cos s inx) cos s inx
(cos s inx) (cos s inx)(cos s inx)
(cos s inx)( os2 1)
2 s in(x+ )=0
os2
(thỏa mÃn ĐK)
(không tháa m·n §K)
PT x x x
x x x
x c x
c x
x k
x k
Vậy phương trình có nghiệm = −π + π ( ∈ )
x k k Z
0,25 0,25 0,25
0,25
1,0 (điểm)
II.2
Giải bất phương trình Điều kiện: x ≥≥≥≥
− ≤ + + ⇔ − + + ≤ − + + +
3 2
3 x 2x 3x x x x (x 1) 2(x x 1) Chia hai vế cho x2 + x + 1, ta bất phương trình tương đương 2 2
1
x x
x x x x
− −
≤ +
+ + + +
Đặt t =
1
2+ +
− x x
x
, t≥≥ ≥≥ 0, ta ta bất phương trình: 3 2 1
t≤t + ⇔ ≤t t≥2 + Với t≤1, ta có:
2
2
1 1
1 x
x x x x
x x −
≤ ⇔ − ≤ + + ⇔ ≥ −
+ + (ln đúng)
+ Với t≥2, ta có:
2
2
2 4( 1)
1 x
x x x x x
x x −
≥ ⇔ − ≥ + + ⇔ + + ≤
+ + (vô nghiệm)
Vậy bất phương trình cho có nghiệm x ≥≥≥≥
0,25 0,25
0,25
0,25
1,0 (điểm)
III
Tính tích phân
1 1
0 0
1
3
(2 )
1 1
x x x x x x
x x x
xe e xe e xe e
I dx dx x dx
xe xe xe
+ + + +
= = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫
Xét
0
x x
x
xe e
J dx
xe + =
+
∫ Đặt x ( x x)
t=xe + ⇒dt= xe +e dx Đổi cận: x=0⇒t=1, x=1⇒t= +e
Từ
1
1
ln ln( 1)
1
e
e dt
J t e
t +
+
= ∫ = = +
Vậy I = +2 ln(e+1)
0,25 0,25
0.25 0,25
1,0 (điểm)
Tính thể tích, khoảng cách Ta có OA+2OH=0
nên H thuộc tia đối tia OA OA = 2OH BC = AB =2a ⇒AB=AC=a ; AO = a; OH =
2
a
AH = AO + OH =
(4)IV
6 15
15 )
2 (
3
1
2
a a
a SH
S
VS ABC = ∆ABC = =
Ta có ⊥ ⇒ ⊥
⊥ ( )
BO AH
BO SAH
BO SH
( ,( ))
( ,( ))
d I SAH SI
d B SAH SB
⇒ = =
⇒ ( ,( ))=1 ( ,( ))=1 =
2 2
a
d I SAH d B SAH BI
0,25
0,25
0,25
1,0 (điểm)
V
Giải hệ phương trình:
2
2 (4 ) ( 3) (1) 2012 ( 2x 1) 4024 (2)
y y x x x
y x x
+ = +
− + − + =
Nếu x = 0, từ (1) suy y = Khi khơng thỏa mãn (2) Vậy x≠0 Chia vế (1) cho
x , ta được: 3
( y) y x 3x x + x = + (3) Xét hàm số ( ) 3 ,
f t =t + t t∈R Dễ thấy f(t) hàm số đồng biến R Do từ (3) ta 2y x
x = , hay
2 2y=x
Thế vào (2) ta có:
2012x− (x 1) (x 1)
− + − − =
Đặt u = x – 1, ta phương trình : 2012 (u ) u + −u = (4)
Lại xét hàm số ( ) 2012 (u 4 ) 2
g u = u + −u = R
Có
2
'( ) 2012 ln 2012( ) 2012 ( 1)
u u u
g u u u
u
= + − + −
+
2 2012 ( )(ln 2012 )
4
u
u u
u
= + − −
+
Vì 4 0
u + − >u
1
1 ln 2012
u
< < +
nên g’(u)>0 với u∈R
Suy hàm số g(u) đồng biến R Mặt khác g(0)=2 nên u = 0 nghiệm
duy (4) Từ x =
2 y= .
Vậy hệ PT có nghiệm ( ; ) (1; )1 x y =
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0 (điểm)
Ta có 2
2
a HC= HO +OC = VìSH ⊥(ABC)⇒
0
60 ))
( ;
( = =
∧ ∧
SCH ABC
SC
2 15 60
tan a
HC
(5)VI.a.1
Viết phương trình đường chéo BD
N D
I
A C
B N' M
Phương trình đường thẳng AB(qua M N’): 4x + 3y – =
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB:
2
4.2 3.1
4
d = + − =
+
AC = BD nên AI = BI, đặt BI = x, AI = 2x Trong ∆vng ABI có:
12 12 12
d = x + x suy x = suy BI =
Điểm B giao điểm đường thẳng 4x + 3y – = 0 với đường tròn tâm I
bán kính
Tọa độ B nghiệm hệ: 4x 3y – 02 2
(x 2) (y 1)
+ =
− + − =
B có hồnh độ dương nên B( 1; -1).
Vậy phương trình đường chéo BD (đi qua B I) là: 2x – y - = 0
0,25 0,25
0,25
0,25
1,0 (điểm)
VI.a.2
Tìm tọa độđiểm C
Gọi C(a ;b ;0) Ta có CA = CB hay CA2 = CB2
2 2 2
(a 1) (b 8) (a 3) (b 4) a 14 3b
⇔ − + − + = + + + + ⇔ = −
Gọi I trung điểm AB Ta có I(-1 ;2 ;3) AB= 304 Vì tam giác ABC cân C nên CI 2S ABC 22
AB ∆
= =
Ta có C(14-3b; b; 0) 2
22 (15 ) ( 2) 22 CI = ⇔ − b + b− + = Từ b = 4 27
5
b= Suy (2; 4; 0) 11 27; ; 0) 5
C hc
C(-0,25
0,25 0,25 0,25
1,0 (điểm)
VII.a
Tính xác suất
Ta có 2−31 +15 0≤ ⇔1 ≤ ≤15
x x x .Vì x thuộc N nên X ={1;2;3; ;15} Số cách chọn ngẫu nhiên số tự nhiên tập X C153
Để tổng số số lẻ, ta có trường hợp: + Cả số lẻ: Số cách chọn
8
C (vì tập X có số lẻ số chẵn) + Có số chẵn số lẻ: Số cách chọn
7
C C
⇒số cách chọn số có tổng số lẻ
C +C C72 81
Vậy xác suất cần tìm là: = + = =
3
8
3 15
224 32
455 65
C C C
P
C
0,25 0,25
0,25 0,25
1,0 (điểm) Gọi N’ điểm đối xứng N
qua I N’ thuộc AB, ta có : '
'
2
2
N I N N I N
x x x
y y y
= − =
= − = −
(6)VI.b.1
Viết phương trình tiếp tuyến
+ Đường trịn(C) có ( ) ( )
( )
0;0
:
Taâm : Bán kính
C O
C R
=
Gọi tọa độ A a( ;0 ,) (B 0;b) với a>0,b>0
+ Phương trình AB: x y x y a+b = ⇔ a+ − =b AB tiếp xúc (C) ( )
2
2
1
, 2
1
ab d O AB
a b
a b
⇔ = ⇔ = ⇔ =
+ +
(*)
2 2 2
2
2a OAB
a b a b
S
a b b ∆
⇒ = ≤ =
+
⇒S∆OAB nhỏ a=b.Từ a=b (*) suy a= =b
Kết luận: Phương trình tiếp tuyến
2
x y
+ − =
0,25
0,25 0,25
0,25
1,0 (điểm)
VI.b.2
Tìm tọa độ điểm B C
Vì B∈mp Oxy( )⇒B x y( ; ;0), C∈Oz⇒C(0;0; )z
( 1;0;1), (2 ;1 ;1)
( ; ; ), ( 3; 1; ), ( 3; 1;0)
AH BH x y
BC x y z AC z AB x y
= − = − −
= − − = − − = − −
H trực tâm tam giác ABC
,
AH BC BH AC
AH AC AB
=
⇔ =
=
2
0 3; 1; 3
3 7 7 7
; 14;
3 21 2
x z z x x y z
x y z y x
x y z
x yz y z x x
+ = = −
= = =
⇔ + + − = ⇔ = − ⇔ −
= = =
+ − − =
+ − =
VậyB(3;1;0), C(0;0; 3)− ( 7;14;0), (0;0; )7
2
B − C
0,25 0,25 0,25
0,25
1,0 (điểm)
VII.b
Giải phương trình Điều kiện: 0<x≠1
PT ⇔(x+3)x− =1 4x
Trường hợp 1: x>1 ( )2 ⇔x2−2x= − ⇔3 x=3
Trường hợp 1: 0<x<1 ( )2 ⇔x2+6x− =3 0⇔x=2 3− Vậy tập nghiệm phương trình T ={3; 3− }
0,25 0,25 0,25
0,25
1,0 (điểm)
Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà vẫn đúng được đủđiểm thành phần như đáp án quy định