DE CHON HSG TOAN 9

Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân caïnh BC ñeå toång BI + CK nhoû nhaát..[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN

NĂM HỌC : 2011 - 2012

Mơn : TỐN

Thời gian làm : 150 phút ( không kể phát đề )

Bài 1 : (6.0 điểm)

a- Cho biểu thức A=2(92009 + 92008 + + 1) Chứng minh A tích hai số tự nhiên liên tiếp.

b- Tìm một số có chữ số vừa số phương vừa lập phương. Bài 2 : (4.0 điểm)

a-Chứngminhrằng:a2 b2 c2 d2 ab ac ad  b- Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1

Tìm GTNN biểu thức A = x4 + y4 + z4

Bi 3 :(3.0 im) Giải phơng trình (4x −1)√x2+1=2x2+2x+1

Bài (4đ)

Cho tam giác ABC từ điểm M thuộc miền tam giác kẻ MH, MK, ML vuông góc với cạnh AB, BC , AC có độ dài x, y, z Gọi H độ dài đường cao tam giác đều

Chứng minh

2 2

3

x y z  h

Bài (3đ)

ÁP ÁN VÀ BI U I M CH M

Đ Ể Đ Ể Ấ

Bài Đáp án Điểm

Bài (6.0 đ) Câu a                  2009 2008 2009 2008 2009 2008 2010 1005 1005 1005 1005 1005

2 9

4 9

4 9

4

9

4

9

; laø hai số chẵn liên tiếp

2 .2

A A A A A A vì k k

nên A k k vớ

                                 

   i k N  *

0.5đ 0,5 đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu b

Gọi số phương abcd

Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3

với x, y N

Vì y3 = x2 nên y số phương.

Ta có : 1000 abcd 9999 ⇒ 10 y 21 y phương

⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096

0.5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ Bài (4.0 đ) Câu a

2 2

2 2

2 2

2 2 2

Ta có =

4 4 4 4

0

2 2 2 4

a b c d ab ac ad

a a a a

ab b ac c ad d

a a a a

b c d

                                                        1,0đ 1,0đ Câu b

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có

       

    

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 4

1

1 1 1

1 1 3

minP = x = y = z =

3 3 3

xy yz zx x y z x y z x y z

x y z x y z

(3.0 đ)

Phơng trình cho tơng đơng với phơng trình:

(4x −1)√x2+1=2(x2+1)+2x −1 (1)

Đặt t=x2

+1 (đk t >1), phơng trình (1) trở thành:

(4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)

Coi (2) phơng trình bậc hai ẩn t, phơng trình (2) có:

4x −3¿2≥0,∀x∈R

4x 128(2x 1)= =

Phơng trình (2) ẩn t có nghiệm là:

t1=2x-1 t2=

2 (lo¹i)

Víi t1=2x-1, ta cã: √x2+1=2x −1

⇔

2x −1≥0

¿

2x −1¿2 ¿ x2

+1=¿

⇔ x ≥1

2 3x2−4x=0

¿{

⇔ x ≥1

2

x=0

¿ x=4

3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔x=4

3

Vậy phơng trình cho có nghiệm là: x=4

3 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,75đ 0,25đ Bài (4.0đ)     2

2 2

2

2

2

2 2

2 2

Gọi cạnh ABC a ta có: S

mà:

2

ABC S BMC S AMC S AMB

ah ax ay az h x y z h x y z

h x y z xy xz yz x y xy

y z yz x z xz

x y z xy xz yz

h x y z xy x

                                                 

2 2 2

2 2

2 2

2

1

z yz x y z x y z

h x y z

x y z h

               1,0đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ Bài

(3.0đ) Vẽ đường cao AH ta có: 0,5đ

 

 

AH

1 . .

2

1

2

Vậy M Khi AM BC M chân đường cao vẽ từ A đến cạnh BC

ABM ACM ABC

ABC

ABC

ABC

S S S

AM BI AM CK S

AM BI CK S

S

BI CK BC

AH

BI CK BC

  







 

 

 

   

  

0,5đ