Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kì trong không gian.. Cho tứ diện ABCD.[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011-2012 MƠN: TỐN 11
A-Đại số:
1.Giới hạn dãy số.
Dạng 1.Tính giới hạn dãy số:
* Phương pháp: Đưa tốn dạng để áp dụng định lí định lí giới hạn dãy số
- Nếu biểu thức có dạng phân thức,ta thường chia tử mẫu cho nk , k số mũ cao n
- Nếu biểu thức khơng có dạng tùy trường hợp dùng phép biến đổi sau:
+ Đặt thừa số chung để áp dụng định lí giới hạn vơ cực
+ Nhân chia cho biểu thức liên hợp để đưa dạng phân thức biểu thức chứa biến n dấu
Dạng 2 Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: *Phương pháp:
+ Chứng minh dãy số cho CSN lùi vơ hạn (Nếu tốn chưa cho dãy số CSN lùi vơ hạn)
+ Áp dụng cơng thức tính tổng : Bài tập:
Bài 1.Tính giới hạn sau: a) lim6n−1
3n+2 b) lim
3n2+n −5 2n2+1 c) lim
√
9n2 −n+1
4n−2 d) lim(n
+2n2−n+1) e) lim(
√
n2+n+1− n) f) lim(√
n2−n − n) Bài 2 Tính tổng sau:a)
−1¿n ¿ ¿
A=−1+
10 −
102 + +¿ b)
−1¿n −1 ¿ ¿ B=1−1
2+
4−
1
8+ +¿
c)
−1¿n ¿ ¿ C=−
√
2+1−√
2+2− +¿
2.Giới hạn hàm số:
Dạng 1.Tính giới hạn hàm số nhờ áp dụng trực tiếp định lý hay quy tắc giới hạn vô cực
S= u1
(2) Dạng Tính giới hạn dạng vơ định: +) Dạng 00 ( lim
x → x∘
f(x)
g(x) lim
x → x∘
f(x)=lim x → x∘
g(x)=0 ) :
*Phương pháp:Phân tích tử số mẫu số thành nhân tử giản ước lim
x → x∘
f(x)
g(x)=limx → x
(x − x∘)P(x)
(x − x∘)Q(x)=x→ xlim∘
P(x)
Q(x)
- Nếu f(x) hay g(x) có chứa biến số dấu nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp trước phân tích chúng giản ước
+) Dạng ∞∞ ( lim
x → x∘
f(x)
g(x) x → xlim∘
f(x)=lim x → x∘
g(x)=± ∞ ):
* Phương pháp : Chia tử số mẫu số cho xn với n số mũ bậc cao biến số x
- Nếu f(x) hay g(x) có chứa biến số dấu đưa xk ngồi dấu (với k số mũ cao x dấu căn) trước chia tử số mẫu số cho lũy thừa x
+) Dạng ∞− ∞ ( x → xlim
∘
[
f(x)− g(x)]
lim x → x∘f(x)=lim x → x∘
g(x)=+∞ hoặc
lim
x → x∘
f(x)=lim x → x∘
g(x)=− ∞ ):
*Phương pháp : Nhân chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số dấu căn) quy đồng mẫu số để đưa phân thức (nếu chứa nhiều phân thức)
Bài tập:
Bài 3 Tính giới hạn sau : a) lim
x →4 x+1
3x −2 ; b) limx →4
√
x−9 ;c) lim
x →+∞
(x4− x2+x −1) ;
d) x →− ∞lim (−2x3+3x2−5) ; e) x →2
+¿2x −1
x+3
lim
¿
;f) lim
x→2
x −
√
3x −2x2−4 g) lim
x→0
√
x2+x+1−13x ; h) limx→1
√
x −√
2x −1x −1
Bài 4 Tính giới hạn sau: a) lim
x →− ∞
x+
√
4x2−12−3x ; b) x →lim+∞x(
√
x+1+x) 3.Hàm số liên tục:
Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số y=f(x) điểm x∘ :
* Phương pháp : Dựa vào định nghĩa tính liên tục hàm số điểm + Tính x → xlim
∘
f(x) và f(x ∘) + So sánh x → xlim
∘
f(x) với f(x
∘) để kết luận
Trường hợp bên trái, bên phải x∘ hàm số xác định hai biểu thức khác nhau, để tìm x → xlim
∘
f(x) ta cần tìm x → x∘
+¿
f(x)
lim
¿
và x → xlim
∘
−f(x) lưu ý : x → x∘+¿
f(x)=lim x→ x∘−f
(x)=L
lim
x → x∘
f(x)=L⇔lim
(3) Dạng : Xét tính liên tục hàm số y=f(x) tập tập R * Phương pháp :
+ Áp dụng định lí tính liên tục hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ,lượng giác + Nếu hàm số cho nhiều biểu thức khác nhau, cần nghiên cứu tính liên tục điểm
Dạng : Chứng minh PT f(x)=0 có nghiệm tập D⊂R
* Phương pháp : Để chứng minh PT f(x)=0 có nghiệm tập D⊂R , ta cần tìm hai số a b thuộc D cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a ;b] f (a).f(b)<0
Bài tập:
Bài 5 Xét tính liên tục hàm số y=g(x) điểm x∘=2 với : g(x)=¿
x3−8
x −2 khix ≠2 khix=2
¿{
Bài 6 Tìm m để hàm số y=f(x) liên tục R, biết : f
(x)=¿ x
+4x+3
x+3 khix>−3
mx−1 khix ≤ −3
¿{ Bài 7 Chứng minh phương trình :
a) 2x3−6x
+1=0 có hai nghiệm b) sinx=x −1 có nghiệm 4.Đạo hàm:
Dạng 1: Tính đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x∘
- Nếu yêu cầu tính đạo hàm định nghĩa, cần thực theo bước:
+b1: giả sử Δx số gia biến số x điểm x∘ , tính Δy=f(x∘+Δx)− f(x∘) +b2: lập tỉ số Δy
Δx=
f(x∘+Δx)− f(x∘) Δx
+b3: tính giới hạn lim
Δx →0
f(x∘+Δx)− f(x∘)
Δx =L
⇒f'
(x∘)=L
- Nếu tốn khơng nói thêm ,sử dụng cơng thức quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương để tính f'(x) sau tính giá trị hàm số y=f'(x)
x=x∘
Dạng : Tính đạo hàm hàm hợp y=f
[
g(x)]
tập xác định * Phương pháp :+ Đặt u=g(x)
+ Áp dụng cơng thức tính đạo hàm quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương Lưu ý :
Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) hàm số y=f(x) yx
'
=yu '
(4)+) Loại Tiếp tuyến tại điểm M∘(x∘; y∘)∈(C) có dạng : y=f'(x∘)(x − x∘)+f(x∘)
+) Loại 2. Tiếp tuyến d song song với đường thẳng d’ cho trước: * Phương pháp :
+ Tiếp tuyến d // d’ ⇒kd=kd'
+ Gọi x∘ hoành độ tiếp điểm, ta có : f'(x∘)=kd⇒x∘⇒ y∘ + Phương trình tiếp tuyến cần lập :
y=f'(x∘)(x − x∘)+y∘
+) Loại 3. Tiếp tuyến d vng góc với đường thẳng d’ cho trước : * Phương pháp :
+ Tiếp tuyến d⊥d '⇒kd=−
1
kd'
+ Gọi x∘ hoành độ tiếp điểm, ta có : f'
(x∘)=kd⇒x∘⇒y∘ + Phương trình tiếp tuyến cần lập :
y=f'(x∘)(x − x∘)+y∘
+) Loại 4 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1; y1) :
* Phương pháp :
+ Bước 1: Gọi k hệ số góc tiếp tuyến (d)
Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(x1; y1) có hệ số góc k là: y=k(x − x1)+y1 (*)
+ Bước 2: Để (d) tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương trình: ¿
f(x)=k(x − x1)+y1 k=f'
(x) (I)
¿{ ¿
có nghiệm
+ Bước 3: Nghiệm hệ phườn trình hồnh độ tiếp điểm x∘ từ suy y∘ ; suy k=f'
(x∘) ⇒ Phương trình tiếp tuyến
* Lưu ý: Hệ (I) có nghiệm tương ứng có nhiêu tiếp tuyến Bài tập:
Bài 8 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau : a) y=x3−2x+1 x∘=2
b) y=sin 2x x∘=π
6
c) y=
√
3−4x x∘=1d) y=x+1
(5)Bài 9 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y=x
4
2 −
2x3
3 +
4x2
5 −1
b) x7−y=5x2¿2012 ¿ c) y=3x
2
−6x+7 x2−3x d) y=
(
2x+3x
)
(√
x −1) e) y=cos x1+x
f) y=tan2x −cotx2
Bài 10 Chứng minh hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x : a) y=sin6x+cos6x+3 sin2x cos2x
b) y=cos2
(
π3 − x
)
+cos2
(
π3+x)
+cos2
(
23π− x)
+cos2
(
23π+x)
−2 sin2 x Bài 11 Cho hàm số f (x)=x3−3x2+2
a) Giải bất phương trình : f'(x)≤3 b) Giải phương trình :
¿
\} \} \( sin x \) `=` - 3\} \{
¿f❑ ¿ c) Giải phương trình :
¿
\} \} \( x \) \} = - 3\} \{
¿f❑ f'(x)−18√❑
¿ Bài 12 Cho hàm số y=x3−3x2
+2 có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x∘=−1
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có tung độ y∘=2
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 3x+y −2012=0
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 2x −90y+2012=0
Bài 13 Cho hàm số y=2x −5
2x −4 có đồ thị (H)
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến có hệ số góc k=8 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến qua điểm
M(-2; 2)
B-Hình học: Quan hệ vng góc khơng gian: Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ : *Phương pháp : Sử dụng :
+ Quy tắc điểm :
(6)+ Trọng tâm tam giác: + Trọng tâm tứ diện:
+ Các tính chất phép cộng, trừ vectơ phép nhân vectơ với số: Bài 1 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC
Chứng minh rằng:
⃗DA+⃗DB+⃗DC=3⃗DG
Bài 2 Gọi M,N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD.Gọi I trung điểm đoạn MN P điểm khơng gian Chứng minh rằng:
a) ⃗IA+ ⃗IB+⃗IC+⃗ID=⃗0 b) ⃗PI=1
4(⃗PA+⃗PB+⃗PC+⃗PD)
Dạng Xác định góc hai đường thẳng :
*Phương pháp :
d1∩d2=O
d1//a , d2//b
}
⇒(a , b)=(d1, d2)=ϕ(0∘≤ϕ≤90∘)
*Phương pháp 2:
¿ ϕ=( ⃗u ,⃗v) ⃗
u −vtcp đta ⃗
v −vtcp đtb
⇒
¿(a , b)=ϕnêu 0∘≤ϕ≤90∘
(a , b)=180∘−ϕnêu 90∘<ϕ≤180∘ ¿{ {
¿
Bài 3 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Biết AB = CD = 2a; MN = a
√
3 Tính góc hai đường thẳng AB CDBài 4 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC BAD 60 Chứng minh rằng: a) ABCD ;
b) Nếu M, N trung điểm AB CD MN AB v MNà CD Dạng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng tìm góc đường thẳng
mặt phẳng cắt nhau:
*Phương pháp : +)
,
( )
( ), ( )
d a d b
a b I d
a b
+) ( ,( )) ( , )d d d' với d’ hình chiếu d mp( )
Bài5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có SA = SB = SC = SD Gọi O giao điểm AC BD.Chứng minh rằng:
a) SO(ABCD)
b) AC (SBD) BD(SAC)
(7)a) Chứng minh rằng: BC(OAH), CA(OBH), AB(OCH) b) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC
c) Chứng minh rằng: 2 2
1 1
OH OA OB OC
d) Chứng minh góc tam giác ABC nhọn
Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc điểm A SB, SC, SD
a) Chứng minh BC (SAB CD), (SAD)
b) Chứng minh (SAC) mặt phẳng trung trực đoạn BD
c) Chứng minh AH, AK vng góc với SC Từ suy ba đường thẳng AH, AI, AK chứa mặt phẳng
d) Tính diện tích tứ giác AHIK, biết SA = AB = a Dạng Chứng minh hai mặt phẳng vng góc :
*Phương pháp : +) Góc hai mặt phẳng:
( )
(( ),( )) ( , )
( )
a
a b b
(1)
+) Từ (1): Nếu ( , ) 90a b ( ) ( ) +)
( )
( ) ( ) ( )
d d
Bài8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Gọi O tâm hình vng ABCD
a) Tính độ dài đoạn thẳng SO
b) Gọi M trung điểm đoạn SC Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) (SAC) vng góc với
c) Tính độ dài đoạn OM tính góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có BAD 60, cạnh
6
a SC
SC vng góc với mặt phẳng (ABCD)
a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC)
b) Trong tam giác SCA kẻ IK vng góc với SA K Hãy tính đọ dài đoạn IK c) Chứng minhBKD 90
từ suy mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SAD)
Bài10: Cho tam diện Sxyz có Sx, Sy, Sz đơi vng góc với Lấy điểm A, B, C Sx, Sy, Sz Gọi H trực tâm tam giác ABC
a) Chứng minh SH (ABC)
(8)*Phương pháp : +) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :
(H hc vng góc điểm Mtrên đt )
+) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :
(H hc vuông góc điểm Mtrên mp())
+) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
- Tìm đoạn vng góc chung hai đt chéo nhau: cách tìm - Tính độ dài đường vng góc chung : cách tính
Bài11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD 60
SA = SB = SD =
3
a
a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB
c) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABCD) d) Chứng minh SC vng góc với BC
e) Gọi góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Tính tan
( , )
d M M H
( ,( ))