Đang tải... (xem toàn văn)
M«n to¸n gióp häc sinh nhËn biÕt nh÷ng mèi quan hÖ vÒ sè lîng vµ h×nh d¹ng kh«ng gian cña thÕ giãi hiÖn thùc; nhê ®ã mµ häc sinh cã ph¬ng ph¸p nhËn thøc mét sè mÆt cña thÕ giãi vµ biÕt c[r]
(1)CộNG HOà X HộI CHủ NGHĩA VIệT NAMã độc lập - tự - hạnh phúc
***********@***********
đề tài sáng kiến kinh nghim
Một số phơng pháp
giảng dạycác toán nâng cao số, chữ số dÃy số
cho häc sinh líp 5 *
* *
Sơ lợc lý lịch thân:
. Họ tên : Vũ Thị Kim Hồng
. Năm sinh : 1969
. Chức vụ : Giáo viên . Đơn vị công tác : Trờng tiểu học Khai Thái. . Trình độ chun mơn : Cao đẳng . Hình thức khen thởng : Lao động giỏi cấp huyện Mục lục A.Phần thứ nhất Những vấn đề chung
I Lí chon đề tài
C¬ së lÝ luËn
(2)II.1 Mục đích nghiên cứu
II.2 Thêi gian nghiªn cøu
III Đối tợng biện pháp nghiên cøu B Néi dung I Nội dung
* Các toán vỊ sè, ch÷ sè
Nh÷ng kiÕn thøc cÇn ghi nhí
Các dạng toán
Các tËp ¸p dơng 20
C KÕt qu¶. I KÕt qu¶ thùc tiƠn 30
II Khảo nghiệm tính khả thi biện pháp đề xuất 33
III H¹n chÕ 34
D KÕt luËn chung. 35
A Phần thứ nhất Những vấn đề chung
I Lí chọn đề tài:
C¬ së lÝ luËn:
Nh biết mục tiêu Giáo dục Tiểu học giúp Học sinh hình thành sở ban đầu cho phát triển đắn lâu dài đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ kĩ góp phần hình thành nhân cách ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, bớc đầu xây dựng t cách trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho Học sinh tiếp tục học THCS
(3)+ Hình thành rèn luyện kĩ thực hành tập dợt so sánh phân tích tổng hợp trừu tợng hoá , khái quát hoá phạm vi nội dung có nhiều quan hệ với đời sống thực tế Học sinh Kích thích trí tởng tợng gây hứng thú học tập Tốn góp phần hình thành bớc đầu phơng pháp tự học làm việc có kế hoạch khoa học, chủ động , linh hoạt, sáng tạo việc chiếm lĩnh kiến thức Toán học
Chúng ta bớc vào thập kỷ đầu kỷ XXI, kỷ kinh tế tri thức, phát triển nguồn lực ngời đáp ứng yêu cầu đổi thời đại nhiệm vụ cấp bách mội Quốc gia Nghị Trung ơng II khoá VIII xác định: "Giáo dục là phận quan trọng kinh tế xã hội, có vị trí hàng đầu chiến lợc con ngời, phục vụ chiến lợc kinh tế xã hội quốc phòng"
Điều chứng tỏ Giáo dục Đào tạo có nhiệm vụ quan trọng nghiệp đổi phát triển đất nớc Đó là: Đào tạo hững ngời lao động trí tuệ cao, có ý chí vững bền, có khả đáp ứng đón đầu địi hỏi sự nghiệp cơng nghiệp hố, đại hoá đất nớc.
Trong hệ thống giáo dục quốc dân Tiểu học bậc học móng Các mơn học tiểu học nói chung mơn Tốn nói riêng góp phần khơng nhỏ vào việc hình thành phát triển sở ban đầu quan trọng nhân cách ngời Việt Nam Những kiến thức, kỹ mơn tốn có nhiều ứng dụng sống, làm sở cho việc học tập môn học khác học tiếp lớp Mơn tốn giúp học sinh nhận biết mối quan hệ số lợng hình dạng khơng gian giói thực; nhờ mà học sinh có phơng pháp nhận thức số mặt giói biết cách hoạt động có hiệu đời sống
Mơn Tốn có tiềm giáo dục to lớn, gópp phần quan trọng việc rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp giải vấn đề Nó góp phần phát triển trí thơng minh, cách suy nghĩ độc lập linh hoạt, sáng tạo; góp phần vào việc hình thành phẩm chất cần thiết quan trọng ngời nh lao động cần cù, cẩn thận, có ý thức vợt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nếp có tác phong khoa học
Phát bồi dỡng nhân tài vấn đề mà đảng nhà nớc ta quan tâm; Cố Tổng bí th Trờng Chinh nhấn mạnh phát biểu "Vấn đề phát triển năng khiếu học sinh quan trọng Học sinh phải có kiền thức phổ thơng tồn diện, nhng em có khiếu càn có kế hoạch hớng dẫn thêm".
(4)đất nớc" cần phải chăm sóc hệ trẻ từ lúc ấu thơ đến lúc trởng thành Vì việc phát triển bồi dỡng từ bậc tiểu học công việc quan trọng đồi hỏi ngời giáo viên phải không ngừng cải tiến nội dung, đổi phơng pháp để khuyến khích học sinh say mê học tập, nghiên cứu tìm tịi chiếm lĩnh tri thức
Việc dạy giải toán nâng cao mơn giải tốn Tiểu học có vị trí đặc biệt quan trọng Thơng qua dạy giải tốn nâng cao giúp cho đội ngũ giáo viên nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, rèn kỹ giải tốn từ nâng cao chất lợng dạy tốn Tiểu học Cũng thơng qua giải tốn nâng cao có tác dụng thúc phát triển t logic, rèn luyện khả sáng tạo Toán học học sinh
Việc dạy học giải toán tiểu học nhằm giúp học sinh biết cách vận dụng kiến thức toán, rèn luyện kĩ thực hành với yêu cầu thể cách đa dạng, phong phú Nhờ việc dạy học giải tốn mà học sinh có điều kiện rèn luyện phát triển lực tư duy, rèn phương pháp suy luận phẩm chất người lao động
Nhận thức tầm quan trọng việc dạy học giải toán tiểu học khối lớp nên chn ti: " Một số phơng pháp giảng dạy toán nâng cao số , chữ số vµ d·y sè cho häc sinh líp " để nghiên cứu C¬ së thùc tiƠn
Muốn nâng cao chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi tốn trớc hết phải xây dựng đợc nội dung hợp lý, khoa học phơng pháp giảng dạy phù hợp, phát triển đợc khả t linh hoạt, sáng tạo học sinh
(5)bài tập dÃy số Chính vậy, chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi cha cao
Để bớc nâng cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi, chọn đề tài: Nội dung phơng pháp dạy toán nâng cao phần: Toán số , chữ số dãy số cho học sinh lớp
II Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm mục đích xây dựng phơng án góp phần hồn thiện nội dung phơng pháp bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp phần số , chữ số dãy số
Khi chọn chuyên đề để áp dụng cho việc bồi dỡng học sinh giỏi mục đích đề tài giúp em có điều kiện nâng cao khả học toán đặc biệt khả t lơgíc óc khái qt, tổng hợp Bên cạnh đề tài cịn giúp em có khả từ cách giải toán cụ thể mà khái quát hoá đa toán khác loại dạng học để giải Học xong phần em phải đạt đợc yêu cầu sau:
- Nắm đợc kiến thức dãy số có nâng cao
- Có kĩ giải tốn giải đợc toán dạng loi
- Đạt kết tốt hoc toán kì thi chọn học sinh giỏi
II.2 Thêi gian
Từ 15/9/2010 đến 15/4/2011
III-/§èi tợng phơng pháp
ti ny dnh cho đối tợng học sinh giỏi lớp trờng, đặc biệt có kết khả quan việc bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi
Phơng pháp là: Phân tích, tổng hợp, giảng giải, vấn đáp, trực quan, điều tra đặc biệt trọng phơng pháp phân tích để tìm cách giải tốn tổng hợp để trình bày lời giải tốn Ngồi cịn sử dụng số phơng pháp khác nh: thực hành, luyện tập, hoc tho lun theo nhúm
- Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách hớng dẫn có liên quan - Phân tích hệ thống hoá tài liệu, sách gi¸o khoa
- Trao đổi với đồng nghiệp, học sinh giỏi khối - Điều tra thực tế trờng Tiểu học Khai Thái
- Thùc hµnh: Tỉ chøc thùc nghiƯm
B Néi dung
I-/Néi dung
(6)các tính chất, đặc điểm chữ số, số để giải tốn đồng thời tính tốn sở dãy số quy dãy số để tính tốn giải toán Khi bắt đầu bồi dỡng kiến thức cho em, qua điều tra trắc nghiệm thấy kiến thức số, chữ số dãy số em bị hổng nhiều Các em cha biết cách giải toán số, chữ số dãy số toán phải quy dãy số để giải
Ví dụ “Một sách có 234 trang Hỏi để đánh số trang sách ngời ta phải dùng chữ số “hoặc” Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên từ mọt thành số lớn Hỏi chữ số thú 2004 chữ số nào”
Qua mét sè bµi lµm cđa häc sinh vµ mét sè bµi kiĨm tra, kÕt qu¶ thĨ cđa häc sinh nh sau:
Tổng số làm Điểm - 10 Điểm - Điểm - Điểm - 24 = 20% 10 = 40% 10 = 40% Với kết em cha đạt trình độ chuẩn học sinh giỏi Nh em khó mà đạt đợc điểm cao kì thi chọn học sinh giỏi cấp Từ tơi thấy cần phải giúp em hệ thống hoá kiến thức dãy số toán số, chữ số dãy số để em có nhìn tổng quát kiến thức học
Bớc đầu để em làm quen với số, chữ số dãy số tơi đa ví dụ cụ thể sau tổng quát thành kiến thức đơn giản, em cần nắm đợc cụ thể nh sau:
Số chữ số
1- Những kiến thức cần l u ý:
a- Ch số kí hiệu có tính chất quy ớc, dùng để ghi số Có mời chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Khi viết số tự nhiên ta sử dụng mời chữ số chữ số kể từ bên trái số tự nhiên phải khác Với 10 chữ số này, ta viết đợc tất c cỏc s
b- Phân tích cấu tạo mét sè tù nhiªn : ab = a x 10 + b
abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c
abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = abc x 10 + d = ab x 100 + cd c- Quy tắc so sánh hai số tự nhiên :
c.1- Trong số tự nhiên, số có chữ số nhiều số lớn
c.2- NÕu số có chữ số số có chữ số kể từ trái sang phảilớn sÏ lín h¬n
(7)chia hÕt cho
e- Sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng 1, 3, 5, 7, số lẻ Số lẻ có tính chất không chia hết cho 2, mà chia cho d
g- Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị Hai số (kém) 1đơn vị hai số tự nhiên liên tiếp
h- Hai số chẵn liên tiếp (kém) đơn vị Hai số chẵn (kém) nhau2 đơn vị số chẵn liên tiếp
i- Hai số lẻ liên tiếp (kém) đơn vị Hai số lẻ (kém) nhau2 đơn vị số lẻ liên tiếp
k- Khi phải viết số có nhiều chữ số giống ngời ta thờng viết chữ số đầu sau viết chữ số cuối bên dới ghi số lợng chữ số giống
10 ch÷ số
2- Các dạng toán:
D¹ng : Sư dơng cÊu t¹o thập phân số
ở dạng ta thờng gặp loại toán sau:
Loại 1: Viết thêm 1hay nhiều chữ số vào bên phải, bên trái xen số tự nhiên.
Bi 1: Tỡm số tự nhiên có hai chữ số,biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta đợc số lớn gấp 13 lần số cho
Giải :
Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số vào bên trái ta dợc số 9ab Theo ta có : 9ab = ab x 13
900 + ab = ab x 13
900 = ab x 13 – ab 900 = ab x ( 13 – )
900 = ab x 12 ab = 900 : 12
ab = 75
Bài : Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số tăng thêm 112 đơn vị
Gi¶i :
(8)abc5 = abc + 112 10 x abc + = abc + 112
10 x abc = abc + 112 – 10 x abc = abc + 107 10 x abc – abc = 107 ( 10 – ) x abc = 107 x abc = 107
abc = 123
Bài 3: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết chữ số xen chữ số hàng chục hàng đơn vị số ta đợc số lớn gấp 10 lần số cho, viết thêm chữ số vào bên trái số vừa nhận dợc số lại tăng lên lần
Gi¶i:
Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số 0xen chữ số hàng chục hàng đơn vị ta đợc số a0b Theo ta có :
ab x 10 = a0b
Vậy b = số phải tìm có dạng a00 Viết thêm chữ số vào bên trái số a00 ta đ ợc số 1a00 Theo bµi ta cã :
1a00 = x a00
Giải ta đợc a = Số phi tỡm l 50
Loại : Xoá bớt chữ số số tự nhiên
Bi 1: Cho số có chữ số Nếu ta xoá chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 4455 đơn vị Tìm số
Gi¶i :
Gọi số phải tìm abcd Xoá chữ số hàng chục hàng đơn vị ta đợc số ab Theo đề ta có
abcd – ab = 4455
100 x ab + cd – ab = 4455 cd + 100 x ab – ab = 4455 cd + 99 x ab = 4455
cd = 99 x (45 – ab)
Ta nhËn xÐt tÝch cđa 99 víi sè tự nhiên số tự nhiên nhỏ 100 Cho nên 45 ab phải
(9)Số phải tìm 4500 4499
Loại : Số tự nhiên tổng, hiệu, tích chữ số nó
Bi 1 : Tìm số có chữ số, biết số gấp lần tỏng chữ số nú
Giải : Cách :
Gọi số phải tìm ab Theo ta có
ab = x (a + b) 10 x a + b = x a + x b 10 x a – x a = x b – b (10 – 5) x a = (5 – 1) x b x a = x b Từ suy b chia hết cho VËy b b»ng hc
+ NÕu b = a = (loại) + Nếu b = th× x a = 20, vËy a =
Số phải tìm 45 Cách :
Theo bµi ta cã
ab = x ( a + b) V× x (a + b) có tận hoăc nên b
+ Nếu b = thay vµo ta cã :
a5 = x (a + 5) 10 x a + = x a + 25 Tính ta đợc a =
Thư l¹i : 45 : (4 + 5) = Vậy số phải tìm lµ 45
Bài : Tìm số có chữ số, biết số chia cho hiệu chữ số đợc thơng 28 d
Giải :
Gọi số phải tìm ab hiệu chữ số c Theo bµi ta cã :
ab = c x 28 + 1, vËy c b»ng 1, hc + NÕu c = th× ab = 29
Thư l¹i : – = 1 (loại)
(10)+ Nếu c= ab = 58 Thư l¹i : – = ; 85 : = 28 (d 1)
Vậy số phải tìm 85 57
Bi : Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số gấp lần tích cỏc ch s ca nú
Giải :
Cách :
Gọi số phải tìm abc Theo bµi ta cã
abc = x a x b x c
V× a x x b x c chia hÕt cho nªn abc chia hÕt cho VËy c = hc 5, nh ng c kh«ng thĨ b»ng 0, vËy c = Số phải tìm có dạng ab5 Thay vào ta có
100 x a + 10 x b + = 25 x a x b 20 x a + x b +1 = x a x b
V× a x x b chia hÕt cho nªn x b + chia hÕt cho VËy x b cã tËn cïng b»ng 9, nhng x b số chẵn nên b =
- Trờng hợp b = ta cã a25 = x a x Vế trái số lẻ mà vế phải số chẵn Vậy tr-ờng hợp b = bị loại
- Trờng hợp b = ta có 20 x a + 15 = 35 x a Tính ta đợc a = Thử lại :
175 = x x Vậy số phải tìm 175
Cách :
Tơng tự cach ta cã :
ab5 = 25 x a x b
Vậy ab5 chia hết cho 25, suy b = Mặt khác, ab5 số lẻ cho nêna, b phải số lẻ suy b = Tiếp theo tơng tự cách ta tìm đợc a = Số phải tìm 175
Loại : So sánh tổng điền dÊu Bµi 1 : Cho A = abc + ab + 1997
B = 1ab9 + 9ac + 9b So sánh A B
Giải :
Ta thÊy : B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b
(11). a > B
Bµi 2 : So sánh tổng A B A = abc +de + 1992 B = 19bc + d1 + a9e
Gi¶i :
Ta thÊy : B = 1900 + bc + d0 + + a00 + e + 90
= abc + de + 1991 Từ ta suy A > B
bài 3 : Điền dấu
1a26 + 4b4 +5bc abc + 1997 abc + m000 m0bc + a00
x5 + 5x xx +56
Dạng : Kĩ thuật tính quan hệ phép tính.
Bi 1 : Tng ca hai số gấp đơi số thứ Tìm thơng số
Gi¶i :
Ta có : STN + ST2 = Tổng Mà tổng gấp đôi STN nên STN = ST2 suy thơng số
Bµi 2. Cho d·y sè: 3, 18, 48, 93, 153, a Tìm số hạng thứ 100 sỹ
b Số 11703 số hạng thứ dÃy?
*) Giải:
a Sè h¹ng thø nhÊt: = + 15 x Sè h¹ng thø nhÊt: 18 = + 15 x
Sè h¹ng thø nhÊt: 48 = + 15 x + 15 x
Sè h¹ng thø nhÊt: 93 = + 15 x + 15 X + 15 x
Sè h¹ng thø nhÊt: 153 = + 15 x + 15 x + 15 x + 15 x
Sè h¹ng thø n: + 15 x1 + 15 x +15 x + …… + 15 x (n - 1) VËy sè h¹ng thø 100 cđa d·y lµ:
3 + 15 x + 15 x + …… + 15 x (100 – 1)
= + 15 x (1 + + + …… + 99) (§a vỊ mét sè nh©n víi mét tỉng = + 15 x (1 + 99) ; x 99 = 74253
(12)Theo quy luËt ë phÇn a ta cã:
3 + 15 x + 15 x + 15 x + …… x (n – 1) = 11703 + 15 (1 + + + …… n – 1) = 11703 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) x (n – 1) : = 11703
15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x = 23400 n x (n – 1) = 23400 ; 15 = 1560
NhËn xÐt: Số 1560 tích hai số tự nhiên liên tiÕp 39 vµ 40 (39 x 40 = 1560) VËy, n = 40, số 11703 số hạng thứ 40 cđa d·y
* Bµi tËp vỊ nhµ :
Bài 1 : Tìm số có chữ số, biết viết thêm số 21 vào bên trái số ta đ ợc số lớn gấp 31 lần số phải tìm
Bài 2 : Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta đợc số lớn gấp 26 lần số phải tìm
Bài : Tìm 1số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số ta đợc số lớn số phải tìm 230 đơn vị
Bài : Cho số có chữ số, ta xoá chữ số hàng trăm số giảm lần Tìm số
Bài 5 : tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số lớn gấp ba lần tích chữ số
Bµi 6 : Cho A = abcde + abc + 2001
B = ab56e + 1cd8 + a9c + 7b5 So sánh A B
Bi 7 : Cho hai số, lấy số lớn chia cho số nhỏ ta đợc thơng số d lớn có đợc 48 Tìm hai số
Bài 8: Tìm số có hai chữ số biết tổng chữ số số số lẻ nhỏ có hai chữ số, cịn chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chc n v
Dạng : Thành lËp sè vµ tÝnh tỉng. Bµi 1 : Cho chữ số : 0, 3,
a, Viết đợc tất số có chữ số khác từ chữ số cho
(13)Giải :
Cách 1: Chọn làm chữ số hàng nghìn, ta có số :
8 – : 3089
– : 3098 – : 3809
3
– : 3890 – : 3908
8 – : 3980
Nhìn vào sơ đồ ta thấy : Từ chữ số cho ta viết đợc số có số hàng nghìn thoả mãn điều kiện đề
Chữ số đứng vị trí hàng nghìn Vậy só số thoả mãn điều kiện đề
6 x = 18 (sè) C¸ch :
Lần lợt chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục hàng đơn vị nh sau :
- có cách chọn chữ số hàng nghìn số thoả mãn điều kiện đề (vì số khơng thể đứng vị trí hàng nghìn)
- Có cách chọn chữ số hàng trăm (đó chữ số cịn lại khác chữ số hàng nghìn)
- Có cách chọn chữ số hàng chục (đó chữ số cịn lại khác chữ số hàng nghìn hàng trăm)
- Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (đó chữ số cịn lại khác hàng nghìn, hàng trăm hàng chục)
Vậy số viết đợc : x x x = 18 (số)
b, Số lớn có chữ số khác đợc viết từ chữ số cho phải có chữ số hàng nghìn chữ số lớn (Trong chữ số cho) Vậy chữ số hàng nghìn số phải tỡm bng
(14)Chữ số hàng chục chữ số lớn chữ số lại Vậy chữ số hàng chục Số phải tìm 9830
Tng t phn trờn ta nhn đợc số bé thoả mãn điều kiện đề 3089 c, Số lẻ lớn thoả mãn điều kiện đề phải có chữ số hàng nghìn số lớn chữ số cho Vậy chữ số hàng nghìn số phải tìm
Số phải tìm có chữ số hàng nghìn số lẻ nên chữ số hng n v phi bng
Chữ số hàng trăm phải chữ số lớn hai chữ số lại, nên chữ số hàng trăm phải
Vậy số phải tìm 9830
Tơng tự số chẵn nhỏ 3098
Bi 2 : Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tien để đợc số tự nhiên Hãy xoá 15 chữ số số tự nhiên vừa nhận đợc mà giữ nguyên thứ tự chữ số lại đẻe đợc :
a, Số lớn b, Số nhỏ Viết số
Gi¶i :
Viết 15 số lẻ liên tiếp ta đợc số tự nhiên : 1, 3, ,7 ,9 ,11, 13 ,15, 17 ,19, 21, 23, 25, 27, 29
Để sau xoá 15 chữ số ta nhận đợc số lớn chữ số giữ lại kể từ bên trái phải chữ số Vậy trớc hết ta xoá chữ số dãy 1, 3, 5, Số lại :
9 ,11, 13, 15, 17 ,19, 21, 23, 25, 27, 29
Ta phải xoá tiếp 15 – = 11 chữ số lại để đợc số lớn
Để sau xoá nhận đợc số lớn chữ số thứ hai kể từ bên trái phải chữ số
Vậy ta phải xoá tiếp chữ số viết hai chữ số dãy, 11, 13, 15, 17,
Sè cßn lại : 992, 123, 252, 729
Ta phi xoá tiếp 11 – = chữ số từ số lại để đ ợc số lớn Chữ số thứ ba lại kể từ bên trái phải 2, để đợc số lớn sau xoá chữ số ta phải xoá số 12 21 Vậy số lớn phải
9 923 252 729
(15)Bài 3 : Cho chữ số 2, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Hỏi :
a, Lập đợc số nh
b, Mỗi chữ số đứng hàng lần? c, Tính tổng số
Gi¶i :
a, Ta lập đợc số sau
235 325 523 253 352 532 b, Mỗi chữ số đứng hàng lần c, Tổng số :
(2 + + 5) x x 100 + (2 + + 5) x x 10 + (2 + + 5) x = 10 x x (100 + 10 + 1)
= 10 x x 111 = 2220
Bài 4 : Cho chữ số 1, 2, 3, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số đẫ cho Tính tổng số
Gi¶i :
Chọn chữ số hàng nghìn ta lập đợc số sau : 1234 1324 1423
1243 1342 1432
Ta thấy chữ số đứng hàng lần Vậy tổng số lập đợc :
(1 + + + 4) x 1000 x + (1 + + + 4) x 100 x + (1 + + + 4) x 10 x + (1 + + + 4) x x
= 10 x x (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 x 1111
= 66660
Bài : Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng
Gi¶i :
Chọn chữ số hàng chục nghìn ta lập đợc 24 số Tơng tự nên ta lập đợc
24 x = 120 (sè) Tỉng lµ :
(16)+ 5) x 100 x 24 + (1 + + + + 5) x 10 x 24 + (1 + + + + 5) x x x 24 = (1 + + + + 5) x 24 x 11111
= 15 x 24 x 11111 = 3999960
Bài 6 : Cho chữ số 3, 3, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho mà chữ số viết lần Tính tổng số
Gi¶i :
Ta lập đợc số 334, 343, 433 Tổng số :
(3 + + 4) x 100 x + (3 + + 4) x 10 + (3 + + 4) x = 10 x (10 + 10 + 1)
= 10 x 111 = 1110
Bµi 7 : Cho ch÷ sè : 2, 2, 5,
Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng
Gi¶i :
- Chọn chữ số hàng nghìn ta lập đợc số : 1225 1522
1252
- Chọn chữ số hàng nghìn ta lập đợc số - Chọn chữ số hàng nghìn ta lập đợc số 2152 2251 2512
2125 2215 2521 Vậy ta lập đợc 12 số
Tỉng lµ :
(1 + + + 5) x 1000 x + (1 + + + 5) x 100 x + (1+ + + 5) x x = (1 + + + 5) x x 1111
= 10 x x 1111 = 33330
Bài 8 : Cho chữ số 0, 3, Hãy lập tất cảc số có chữ số cho số có đủ chữ số cho Tính tổng số vừa lập
Gi¶i :
Ta lập đợc số
(17)Tæng
(3 + 7) x 100 x + (3 + 7) x 10 + (3 + 7) x = 10 x 100 x + 10 x 10 + 10 x
= 20 x 100 + 100 + 10 = 2110
C¸c tập áp dụng:
Bi 1 : Cho chữ số : 0, 2, 3, Hãy lập tất số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng
Bài 2 : Cho chữ số : 1, 3, 3, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng
Bài 3 : Cho chữ số : 0, 1, 3, 2, Hãy lập tất số có chữ số mà số có đủ chữ số cho Tính tổng
Bµi 4 : Cho ch÷ sè 0, 1, 2, 3,
a, Có thể viết đợcbao nhiêu số có chữ số khác từ chữ số cho? Trong số viết đợc có số chẵn?
b, Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ có chữ số khác đợc viết từ chữ số cho
Bài 5 : Có thể viết đợc số có chữ số khác nhau, biết : a, Các chữ số chúng số lẻ?
b, Các chữ số chúng số chẵn?
Bµi 6 :
a, Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số đợc viết tữ chữ số khác b, Tìm số tự nhiên lớn có chữ số đợc viết từ chữ số khác
Bài 7 : Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 15 để đợc số tự nhiên Hãy xoá 10 chữ số vừa nhận đợc mà giữ nguyên thứ tự chữ số lại để đợc :
a, Số lớn nhất; b, Số nhỏ nhất; Viết số
Bài 8 : Viết liên tiếp 10 số chẵn khác để đợc số tự nhiên Hãy xoá 10 chữ số số vừa nhận đợc mà giữ nguyên thứ tự chữ số lại để đợc :
(18)D·y sè
1- DÃy số ?
Ví dô 1: , 2, 3, ,100 Ta thÊy: - =
- =
VÝ dô 2: 1, 2, 3, 5, 8, Ta thÊy: = +
= + Và số ví dụ khác
Rỳt kết luận: Dãy số tập hợp dãy số đợc viết liền liên quy luật định
2- Dãy số cách đều
VÝ dô 1: 1, 3, 5, 7, 9,
Ta thÊy: - = hc : = d - = : = d VÝ dô 2: 2, 5, 8, 11
Ta thÊy: - = hc : = d - = : = d
Kết luận: Dãy số cách dãy số mà hiệu số hạng với số liền trớc nó ln nhau
Hoặc: Dãy số cách dãy số mà số hạng dãy đem chia cho khoảng cách số hạng có số d
3- D·y sè kh¸c
Có nhiều dãy số khác có quy luật khác Muốn làm toán dãy số ta buộc phải tìm đợc quy luật dãy số
VÝ dô 1: 1, 2, 4, 8, 16
Quy luật: Mỗi số hạng dãy gấp đôi số hạng đứng liền trớc Ví dụ 2: 1, 4, 9, 16, 25,
(19)VÝ dô 3: 1, 3, 6, 10, 15,
Quy luËt: Mỗi số hạng tổng số hạng liền trớc víi sè thø tù cđa nã d·y sè
Sau em nắm bắt đợc kiến thức dãy số tiếp tục nâng dần mức độ khái quát lên để em hiểu sâu, hiểu kĩ dãy số Đó toán dãy số
4- Các tốn dãy số cách đều
D¹ng 1: Tìm số hạng dÃy số
Bài toán: Cho d·y sè : 1, 3, 5, 7, 99 Hái d·y số có số hạng
- Lời giải cụ thể:
Số cuối số đầu là: 99 - = 98
Khoảng cách số hạng liền là: - = - =
Số khoảng cách là: 98: = 49 Số số hạng là:
49 + = 50 Biểu thức đáp số là:
( 99 - 1) : ( - 3) + = 50
- Rót công thức tổng quát:
Số số hạng = (Số cuối - số đầu): khoảng cách + 1
- Bài tập áp dụng
+ Bài 1: Cho d·y sè: 2, 4, 6, 8, 100
- Dãy số đợc viết theo quy luận ? số 51 có thuộc dãy số khơng? Tại ? + Bài 2: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10, 214 Hỏi dãy số có số hạng
D¹ng 2: TÝnh tỉng cđa d·y sè
Bài toán: Cho dãy số : 2, 4, 6, 8, 100 Hãy tính tổng dãy số
- Lêi gi¶i thĨ
(20)D·y sè cã số hạng là:
( 100 - 2) : + = 50 Tỉng cđa d·y sè lµ:
(102 50) : = 2550 Biểu thức đáp số
(2 + 100) 50 : = 2550
- C«ng thøc tỉng quát
Tổng = (số đầu + số cuối) Số số hạng :
- Bài toán áp dông:
- Bài 1: Cho dãy số: 5, 9, 13, 1981 Tính tổng dãy số
Bài 2: Viết số chẵn liên tiếp thành dÃy sè: 2, 4, 6, 8, , 234 a-TÝnh tỉng cđa d·y sè trªn?
b- Khơng làm tính cụ thể, em cho biết viết tiếp đến số 2004 tổng dãy số có chia hết cho khơng? Tại sao?
Dạng 3: Tìm só hạng thứ n dÃy số
Bài toán: Cho dÃy số: 1, 3, 5, 7, Hỏi số hạng thứ 100 dÃy số số
- Lời giải cụ thể
S khong cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 98 - = 99
Mỗi khoảng cách lµ - = - = Số hạng thứ 100 + 99 = 199
- Công thức tổng quát:
Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách (Số số hạng - 1)
- Bi toán áp dụng: Cho dãy số : 101, 104, 107, Tìm số hạng thứ 1998 dãy số
Dạng 4: Tìm số chữ số dÃy biết sè sè h¹ng
Bài tốn 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, 150 Hỏi để viết dãy số ngời ta phải dùng chữ số
Giải:
(21)có chữ số có ( 150 - 100) : + = 51 số có chữ số Vậy số chữ số cần dïng lµ :
+ 90 + 51 = 342 ch÷ sè
Bài tốn 2: Một sách có 234 trang Hỏi để đánh số trang sách ngời ta phải dùng chữ số
Gi¶i:
Để đánh số trang sách ngời ta phải viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 234 thành dãy số Dãy số có
( - 1) : + = sè cã ch÷ sè Cã: ( 99 - 10) : + = 90 sè cã ch÷ sè Cã: ( 234 - 100) : + = 135 sè cã ch÷ sè VËy ngời ta phải dùng số chữ số là:
9 + 90 + 135 = 594 chữ số áp dụng:
Bi 1: Mt bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên từ 101 đến 2004 thành số lớn Hỏi số có chữ số
Bài 2: Trờng Tiểu học Thành Cơng có 987 học sinh Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trờng ngời ta phải dùng chữ số
D¹ng 5: Tìm số hạng biết số chữ số
Bi toỏn: Để đánh số trang sách ngời ta dùng hết 435 chữ số Hỏi sách có trang
Gi¶i:
Để đánh số trang sách đó, ngời ta phải viết liên tiếp số tự nhiên thành dãy số Dãy số có
sè cã ch÷ số có 90 số có chữ số
Để viết số cần số chữ số + 90 = 189 ch÷ sè Số chữ số lại là:
435 - 189 = 246 ch÷ sè
Số chữ số cịn lại dùng để viết tiếp số có chữ số 100 Ta viết đợc 246 : = 82 số
(22)¸p dơng:
Bài 1: Để viết dÃy số tự nhiên liên tiếp ngời ta dùng hết 756 chữ số Hỏi số hạng cuối dÃy số
Bi 2: ghi s th tự học sinh trờng Tiểu học, ngời ta phải dùng 1137 chữ số Hỏi trờng có bao nhiờu hc sinh
Dạng 6: Tìm chữ số thứ n dÃy
Bài toán: Cho dÃy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 chữ số ?
Giải:
Dóy s ó cho có số có chữ số Có 90 s cú ch s
Để viết số cần
+ 90 = 189 chữ số Số chữ số lại
200 - 189 = 11 chữ số
Số chữ số lại dùng để viết số có chữ số 100 Ta viết đợc 11 : = số d chữ số
Nên có số có chữ số đợc viết liên tiếp đến 99 + = 102
Còn d chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhng viết đợc 10 Vậy chữ số thứ 200 dãy chữ số số 103
¸p dơng:
Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, Hãy tìm chữ số thứ 200 dãy số
Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, Bạn Minh tìm đợc chữ số thứ 2004 dãy chữ số 0, hỏi bạn tìm hay sai?
D¹ng 7: Tìm xem tích số hạng dÃy tận chữ số nào
Bi toỏn 1: Em tính xem tích số tự nhiên liên tiếp từ 18 đến 26 tận chữ số giống
Gi¶i
Tích viết nh sau: 18 19 20 26
(23)Bài toán 2: Tích sau có tận chữ số nào: 19 29 99
Giải:
Tích có ( 99 - 9) : 10 + = 10 thõa sè mµ .9 = Cã 10 : = cặp nh Mà .1 =
VËy tÝch trªn cã tận chữ số Nh số thõa sè cã tËn cïng lµ d·y lµ lẻ tích có tận là: .9 = thừa số chẵn tích có tận
áp dụng:
Bài 1: Tích số tự nhiên liên tiếp từ 24 đến 75 có tận chữ số giống Bài 2: Các tích sau có tận chữ số nào:
a- 16 26 1996 b- 17 27 197
Dạng 8: Tìm số hạng thứ n biết tổng dÃy số
Bài toán 1: Cho d·y sè: 1, 2, n H·y t×m sè n biÕt tỉng cđa d·y sè lµ 136
Giải:
áp dụng công thức tính tổng ta có :
1 + + + + n = (1+n)× n
2 =¿ 136 Do đó: (1 + n ) n = 136
= 17 = 16 17 VËy n = 16
Bài toán 2: Cho dÃy số 21, 22, 23, n
T×m n biÕt 21 + 22 + 23 + + n = 4840
Gi¶i:
Nếu cộng thêm tổng tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 20 ta có tổng sau:
+ + + + 21 + 22 + 23 + + n áp dụng công thức tÝnh tæng ta cã
(24)= 10100 = 101 100 VËy n = 100
áp dụng
Bài 1: Cho biết: + + + + n = 345 HÃy tìm số n
Bài 2: Tìm số n biÕt r»ng 98 + 102+ + n = 15050
Dạng 9: Viết liên tiếp nhóm chũ số ( chữ cái) thành dÃy Hỏi chữ số (chữ cái) thứ n chữ số ( chữ cái)
Bài toán 1; Một bạn học sinh viết liên tiếp chữ số 1, 3, 5, 7, thành dÃy 1357913579 Hỏi chữ số thứ 1998 chữ số
Gi¶i
Ta nhận thấy chữ số lập thành nhóm 13579 với 1998 chữ số ta viết đợc
1998 : = 399 nhóm d chữ số dùng để viết nhóm tiếp theo, nhng viết đợc135 Vậy chữ số thứ 1998 chữ s
Bài toán 2: Ngời ta viết liên tiếp chữ K, I, N , H, M, Ô, N thành dÃy KINH MÔN KINH MÔN
Hỏi chữ thứ 2000 chữ
Gi¶i:
Ta thấy chữ thành lập nhóm KINH MƠN với 2000 chữ ta viết đợc số nhóm là:
1999 : = 285 nhóm, d chữ để viết nhóm nhng với viết đợc KINH M
VËy ch÷ thứ 2000 chữ M áp dụng:
Bi 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp chữ H, A, I , D, Ư, Ơ, N, G thành dãy HAI DƯƠNG HAI DƯƠNG viết đến chữ thứ 1234 phát viết nhầm chữ Hỏi chữ viết nhầm chữ
Bài 2: Ngời ta viết chữ cái: T, o, A, n, t, u, Ô, i, t, h, thành dãy ToAntuôithơToAntu chữ viết màu khác theo thứ tự xanh, đỏ, vàng Hỏi chữ thứ 2004 chữ gì, màu gì?
(25)I KÕt qu¶ thùc tiƠn
1.Biện pháp tổ chức dạy giải toán nâng cao vỊ “ d·y sè”
Dạy học giải tốn nâng cao cho học sinh khá, giỏi nhiệm vụ thiếu đợc trờng tiểu học, tổ chức dạy học Tốn nâng cao phải đảm bảo tính vừa sức, gây hứng thú cho học toán phát triển óc t duy, sáng tạo cho học sinh Dạy học giải Tốn nâng cao nội dung nói chung, “Dãy số nói riêng, cần phải trang bị cho học sinh kiến thức kỹ rèn luyện thành kỹ năng, kỹ xảo, có nh em phát huy đợc khả toán học
Dạy học giải Tốn nâng cao “Dãy số ” lồng vào nội dung giảng khố biện pháp để học sinh có kiến thức chắnvề quy luật dãy số tự nhiên, số thập phân, phân số Qua đó, rèn cho học sinh kỹ để nâng cao lực giải Toán “Dãy số ú l:
1 Kỹ tính toán
2 Kỹ tìm hiểu, phân tích Kỹ trình bày lời giải Kỹ kiểm tra, đánh giỏ
Trong tiết dạy khoá, nhữngyc phổ cập tối thiểu kiên thức kỹ học sinh khá, giỏi cần phải có tập khó khăn hơn, cao yêu cầu phổ cập
Có nh khuyến khích đợc học sinh tích cực chủ động học tập, bộc lộ khả
Ví dụ 1: Khi dạy Tốn lớp (tiết 18): Dãy số tự nhiên đến phần luyện tập. Học sinh làm tập kiến thức hcọ SGK, ngời giáo viên cần đa thêm toán nâng cao để học sinh khá, giỏi phát triển thêm kiến thức mở rộng
Trong d·y sè tù nhiªn 10, 11, 12,……, 98, 99 (cã số đầu số cuối
có:
- số số tự nhiên
- số số chẵn
- số số lẻ)
Dựa sở tính chất cđa d·y sè tù nhiªn, cã thĨ híng dÉn häc sinh giái viÕt: Trong d·y sè tù nhiªn 10, 11, 12, , 98, 99 (Có số đầu 10, số cuèi lµ 99 cã:
- 90 sè lµ sè tự nhiên (số có chữ số)
- 45 số số chẵn (dÃy số số chẵn kết thúc số lẻ) - 45 số số lẻ (Vì số lợng số chẵn số lợng số lử)
Ví dụ 2: Khi dạy toán lớp (tiết 19): Hệ thập phân, biểu diễn số tự nhiên trong hệ thập phân.
Sau dạy học sinh cấu tạo số, nâng cao toán cấu tạo số cho học sinh khá, giỏi làm thêm Dãy số mức độ nâng cao tiết 18
(26)- Số lẻ thứ số nào? - Số lẻ thứ hai số nào? - Số lẻ thứ ba số nào? - Số lẻ thứ mời số nào?
- Số lẻ thứ 37, 99 sè lỴ thø mÊy?
Muốn làm đợc này, giáo viên phải đa công thức để hớng dẫn học sinh cách làm nh sau:
- Số lẻ thứ hai + x (2 – 1) Từ có cơng thức tổng qt
- Sè lỴ thø n = + x (n 1) - Số lẻ thứ 37 số lẻ thø mÊy?
1 + x (n – 1) = 37 Từ hớng dẫn học sinh cách làm
. Dạy học giải Toán nâng cao “Dãy số” cho đội tuyển học sinh giỏi đại trà hình thành cho học sinh kiến thức kỹ để làm sở cho việc giải toán mức độ cao hơn, khái quát
Học lớp đội tuyển học sinh giỏi có thời gian tự tìm hiểu, phát kiến thức mới, có nhiều thời gian để tranh luận, tìm tịi phơng pháp khác để giải toán biến kỹ có đợc thành kỹ xảo
Khi dạy nội dung giải Toán nâng cao, giáo viên phải biết tổ chức cho học sinh tự phát hiện, khám phá nội dung học vµ bµi lun tËp thùc hµnh
Ví dụ: Dạy bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi ta thờng dạy theo nội dung kiến thức định sẵn theo dạng nh: “Điền thêm số hạng vào sau, giữa, trớc dãy số”. Giáo viên đa ví dụ, định hớng cho học sinh phân tích yêu cầu đề tìm cách giải
Sau học sinh giải, giáo viên đặt câu hỏi để học sinh nhận xét cách giải, rút kiến thức cần ghi nhớ
Các tập đa nâng cao dần mức độ, từ đơn giản đến phức tạp, cụ thể là: - Bài 1: Bài tập phát kiến thức
- Bài 2: Vận dụng kiến thức mức độ bình thờng
- Bài 3: Vận dụng tổng hợp kiến thức mức độ sáng tạo - Bài 4: Bài tập củng cố nâng cao mức độ sáng tạo
Nội dung dạng tập lớp đội tuyển phải tổng hợp nâng cao nội dung dạy lớp đại trà Bởi vì, học xong nội dung đợc tổng hợ nâng cao nội dung học sinh ghi nhớ kiến thức vận dụng sỏng to hn
Dạy học giải Toán nâng cao thông qua buổi ngoại khoá Toán dới h×nh thøc nh:
(27)- Tỉ chøc: Trò chơi Toán học , thi giải toán nhanh tổ lớp, khối
- Ngoi cịn tổ chức “Câu đố tốn học”, “Truyện kể tốn học”.
Thơng qua hoạt động ngoại khố, học sinh đợc tự trao đổi, tranh luận, học tập lẫn kiến thức kỹ để giải toán Dãy số Thi giải tốn nhanh, giúp em tìm cách giải hay, ngắn gọn hơn, biết cách kiểm tra đánh giá lời giửi toán rút cho thân điều cần ghi nhớ Đây điều kiện thuận lợi để học sinh rèn luện tính mạnh rạn, tự tin, óc linh hoạt, sáng tạo, biết tự giải vấn đề đặt ra,
Bồi dỡng chuyên môn cho giáo viên giải toán nâng cao nhiệm vụ quan trọng để nâng cao chất lợng dạy giải toán nâng cao
Thông qua buổi sinh hoạt chuyên môn, bàn bạc, giáo viên trao đổi, bàn bạc nội dung, phơng pháp dạy giải toán nâng cao dạng, loại tốn “Dãy số ” lồng vào dạy khoá dạy lớp đội tuyển Các nội dung dạy bồi dỡng học sinh giỏi đợc thống tổ, đảm bảo tính hệ thống lơ-gíc
II Khảo nghiệm tính khả thi biện pháp đề xuất 1 Mục đích
Kiểm tra tính khả thi đề tài, từ có biện pháp điều chỉnh trình giảng dạy giáo viên học tập học sinh
2 Néi dung
Dạy số học sinh bồi dỡng học sinh giỏi “Dãy số ” đề xuất
1 Các tốn về“ Xác định số có thuộc dóy s ó cho hay khụng?
2 Các toán về Tìm số hạng, số hạng thứ n dÃy. 3 Phơng pháp
- Giảng dạy tiÕt
- Dùng phiếu học tập để kiểm tra nhận thức học sinh sau dạy - Đối chiếu so sánh kết học tập học sinh qua bi kim tra
4 Địa điểm
- Thực nghiệm lớp đội tuyển em, học sinh giỏi lớp 5A, trờng Tiểu học Khai Thái
Qua dạy thực nghiệm kết qủ kiểm tra thấy học sinh nhớ chắn kiến thức phơng pháp giải toán phân loại
Tuy có tiết dạy nhng phần khẳng định đợc tính khả thi đề tài, bớc đàu góp phần xây dựng nội dung, phơng pháp dạy bồi dỡng học sinh
(28)thích dạng tốn mà tơi hệ thống đợc Các em học tập hăng say hơn, hứng thú kết em nắm kiến thức làm tốt Cụ thể nh sau:
Tỉng sè bµi tham
gia §iĨm - 10 §iĨm - §iĨm - §iĨm - 24 = 16,3% = 34,3% = 37 % = 12,4%
Qua kết cho ta thấy tác dụng rõ rệt đề tài việc bồi dỡng học sinh giỏi nhà trờng
III-/H¹n chÕ
Do thời gian nghiên cứu có hạn nên kiến thức hệ thống đợc cha sâu Mặt khác trình độ học sinh lớp không đồng phần hạn chế tác dụng đề tài Chính kết đạt đợc cha thật nh mong muốn theo yêu cầu đề
D KÕt luËn chung
Học sinh Tiểu học tiềm tàng khả phát triển, em muốn vơn tới mới, hay tự khẳng định Nhng khả t em mức độ từ biểu tợng cụ thể để rút đánh giá, kết luận mà cha có khả khái quát, tống hợp kiến thức đợc học Khi giáo viên hớng dẫn học sinh làm cơng việc tức hệ thống hố kiến thức học phần thành kiểu, loại, dạng tốn có chung vài đặc điểm tốn học em dễ dàng nắm đợc kiến thức áp dụng để giải toán theo yêu cầu nội dung học Từ khơng bị ức chếvề khả nên em học tập thoải mái hơn, phát huy tính tích cực học tập đạt đợc yêu cầu mà chơng trình đề Nh ta giúp em cách học có khoa học, lô gic hớng tới khái quát, tổng hợp Mặt khác kĩ giải toán em đợc rèn giũa qua làm tập lực t em đợc phát triển có định hớng Từ tạo tiền đề để em học tập tốt môn học khác học tiếp lên lớp Đó mục tiêu đề tài
(29)phơng pháp giảng dạy toán nâng cao số , chữ số dãy số cho học sinh lớp " giúp đồng nghiệp khắc sâu thêm kiến thức để bồi dỡng cho em sau
Tôi mong đợc góp ý bổ sung thầy, giáo bạn đồng nghiệp Tơi tin với góp ý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp làm cho đề tài cảu thêm đầy đủ, góp phần vào việc hồn thiện nâng cao chất l-ợng bồi dỡng học sinh giỏi mơn Tốn Tiểu học./
Khai Th¸i, ngày tháng năm 2011
Ngời thực hiƯn
Vị ThÞ Kim Hång
(30)