tom tat phuong phap giai cac dang toan on thi vao 10 2012

* Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc µ (an-pha) thì nội tiếp được trong một đường tròn. -Giá trị lớn nhất của biểu thức A: maxA[r]

CHUYÊN ĐỀ 1: CĂN BẬC HAI-RÚT GỌN BIỂU THỨC 1.Khái niệm

x bậc hai số không âm a Û x2 = a Kí hiệu: x= a 2 Điều kiện để thức có nghĩa

A Có nghĩa A ³

3 Các công thức biến đổi thức a A2 A A A

A A ³ ì

= = í

- < ỵ

b AB= A B (A³0;B³0)

c A A (A 0;B 0) B = B ³ >

d A B2 = A B (B³0)

e A B= A B2 (A³0;B³0)

A B = - A B2 (A<0;B³0)

f A AB (AB 0;B 0)

B = B ³ ¹

i A A B (B 0) B

B = >

k

2

( )

( 0; )

C C A B

A A B

A B

A B± = - m ³ ¹

m C C( A 2 B) (A 0;B 0;A B ) A B

A± B = - ³ ³ ¹

m

n A B± = m m.n n± + = ( m ± n)2 = m ± n với m n A

m.n B + = ì

CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Kiến thức cần nhớ: I Hàm số bậc :

1 Dạng tổng quát: y = ax + b (a ≠ ) Tính chất :

+ Đồng biến a > + Nghịch biến a < Đồ thị :

Là đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b, cắt trục hồnh điểm có hồng độ

a b

-

-Đồ thị đường thẳng nên vẽ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị +Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số qua gốc tọa độ

+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số cắt trục tung điểm b -Đồ thị hàm số ln tạo với trục hồnh góc a, mà tga =a -Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA + b Sự tương giao hai đồ thị hàm số bậc nhất:

Cho hai hàm số : y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) + Nếu a ≠ a’ ð (d) cắt (d’) + Nếu a = a’; b ≠ b’ ð (d) // (d’) + Nếu a = a’; b = b’ ð(d) ≡ (d’) + Nếu a.a’ = -1 ð (d) ^ (d’) II Hàm số y = ax2 (a≠0)

1 Tính chất :

+ Với a > : - Hàm số đồng biến x > - Hàm số nghịch biến x < + Với a < : - Hàm số đồng biến x < - Hàm số nghịch biến x >

2 Đồ thị : Là đường cong (Parabol) nhận trục tung trục đối xứng, tiếp xúc với trục hoành gốc toạ độ

+ Nằm phía trục hồnh a > + Nằm phía trục hoành a <

* Nếu a > parabol có điểm thấp gốc tọa độ * Nếu a < Parabol có điểm cao gốc tọa độ -Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA2

3 Sự tương giao đồ thị hàm số bậc y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2 (P):

+Nếu (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ó a’x2 = ax+b có hai nghiệm phân biệt + Nếu (d) Tiếp xúc (P) ó a’x2 = ax + b có nghiệm kép

+ Nếu (d) (P) khơng có điểm chung ó a’x2 = ax+b vô nghiệm Chú ý: Điểm thuộc đường – đường qua điểm

Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA) III Các tốn lập phương trình đường thẳng:

1.Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước đi qua điểm M (x0; y0):

Ø Cách giải:

- Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b

- Thay a = k toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b ð Phương trình đường thẳng cần lập

2.Bài tốn 2: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(x1;y1)và B (x2 ; y2 ):

Ø Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b

+ Thay toạ độ điểm A B vào phương trình đường thẳng :

ỵ í ì

+ =

+ =

b ax y

b ax y

2

1

+ Giải hệ phương trình tìm a b ð Phương trình đường thẳng cần lập

3.Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P)

Ø Cách giải :

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Theo a = k

+ Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình:

a’x2 = kx + b có nghiệm kép ó Δ = (*) Giải (*) tìm b

4.Bài tốn 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) tiếp xúc

với đường cong y = a’x2 (P) Ø Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Đi qua M (x0; y0) nên ð y0 = a.x0 + b (1)

+ Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình :

a’x2 = ax + b có nghiệm kép ó Δ = (2) Giải hệ hai phương trình (1) (2) tìm a, b

ð phương trình đường thẳng cần lập IV.Quan hệ hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ;

(d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ -Hai đường thẳng song song a1 = a2 b1 ≠ b2 -Hai đường thẳng trùng a1 = a2 b1 = b2 -Hai đường thẳng cắt a1 ≠ a2

+Nếu b1 = b2 chúng cắt b1 trục tung +Nếu a1.a2 = -1 chúng vng góc với V.Cách tìm giao điểm hai đường y = f(x) y = g(x)

Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình f(x) = g(x) (II) Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai cơng thức y = f(x) y = g(x) để tìm tung độ giao điểm

Chú ý: Số nghiệm phương trình (II) số giao điểm hai đường VI.Tìm điều kiện để đường thẳng đồng qui

Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng khơng chứa tham số để tìm (x;y)

Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm vào phương trình cịn lại để tìm tham số VII.Vị trí đường thẳng parabol

-Xét đường thẳng x = m parabol y = ax2:

+) ln có giao điểm có tọa độ (m; am2) -Xét đường thẳng y = m parabol y = ax2:

+) Nếu m = có giao điểm gốc tọa độ

+) Nếu am > có hai giao điểm có hồnh độ x = m a ± +) Nếu am < khơng có giao điểm

Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: cx2= ax + b (V)

Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai cơng thức y = ax +b y = cx2 để tìm tung độ giao điểm

Chú ý:

- Số nghiệm phương trình (V) số giao điểm (d) (P) - Để (d) cắt (P) hai điểm:

+Nằm hai phía trục tung: Phương trình (V) có hai nghiệm trái dấu

+ Nằm phía trục tung: Phương trình (V) có hai nghiệm dấu (Nếu nằm bên phải Oy phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt dương; Nếu nằm bên phải Oy phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt âm)

IV.Tìm điều kiện để (d) (P)

a) (d) (P) cắt phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt b) (d) (P) tiếp xúc với phương trình (V) có nghiệm kép c) (d) (P) khơng giao phương trình (V) vơ nghiệm

X.Chứng minh đường thẳng qua điểm cốđịnh ( giả sử tham số m)

+) Giả sử A(x0;y0) điểm cố định mà đường thẳng qua với m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm với m

+) Đồng hệ số phương trình với giải hệ tìm x0;y0 XI.Một sốứng dụng đồ thị hàm số

1.Ứng dụng vào phương trình 2.Ứng dụng vào toán cực trị

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN SỐ

Kiến thức cần nhớ 1 Giải hệ phương trình

Ø Dạng tổng qt :

ỵ í ì = + = + ' ' 'x b y c a

c by ax

Ø Số nghiệm hệ: + Nếu ¹ Û

' ' b

b a

a Hệ có nghiệm

+ Nếu = ¹ Û

' ' ' c c b b a

a Hệ vô nghiệm

+ Nếu = = Û

' ' ' c c b b a

a Hệ có vô số nghiệm

Ø Các phương pháp giải hệ phương trình: a Phương pháp thế:

- Từ phương trình hệ biểu thị ẩn (chẳng hạn ẩn x) theo ẩn

- Thay biểu thức x vào phương trình cịn lại để tìm y - Thay y vừa tìm vào biểu thức x để tìm x KL : Nghiệm hệ cặp giá trị (x; y) vừa tìm b Phương pháp cộng :

- Biến đổi hệ số ẩn cho có giá trị tuyệt đối - Cộng trừ vế hệ để khử ẩn

- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử

- Thay giá trị vào phương trình hệ để tìm ẩn cịn lại KL : nghiệm hệ cặp giá trị (x; y) vừa tìm

c Chú ý :

Với hệ phương trình

ỵ í ì = + = + ' ' 'x b y c a

c by ax

+Nếu a = a’ b = b’ ta nên sử dụng phép cộng vế +Nếu a = -a’ b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ

+Nếu hệ số a; a’; b; b’ -1 ta nên dùng phương pháp

2 Vị trí tương đối hai đường thẳng Giả sử (d1) đường thẳng a1x + b1y = c1 (d2) đường thẳng a2x + b2y = c2 Khi đó: xét hệ 1

2 2

a x b y c a x b y c

+ = ì

í + =

ỵ

1 Hệ (I) có nghiệm Û (d1) (d2) cắt

2 Hệ (I) vô nghiệm Û (d1) (d2) song song với Hệ (I) có vơ số nghiệm Û (d1) (d2) trùng

3 Bài toán liên quan hệ phương trình: 1

2 2

a x b y c a x b y c

+ = ì

í + =

ỵ có nghiệm

Phương pháp giải:

- Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x, y không phụ thuộc vào m:

Giả sử hệ có nghiệm: x f(m) y g(m)

= ì í =

ỵ

+ Sử dụng phương pháp rút m theo x y thay vào biểu thức lại + Sử dụng phép biến đổi để tìm biểu thức liên hệ f(m) g(m)

- Khi hệ có nghiệm, tìm tham số nguyên để hệ có nghiệm nguyên

+ Biến đổi

( ) ( ) c

.x f m P m

H(m) d y g(m) Q(m)

K(m)

a a

b b

ì = = +

ïï í

ï = = +

ïỵ

P(m), Q(m), H(m), K(m) đa

thức với hệ số nguyên; c, d, a b; số nguyên

+ với m tham số nguyờn, để hệ cú nghiệm nguyờn thỡ H(m) làướccủa c K(m) làướccủa d ỡ

í

ỵ Từ suy

ra giá trị m + Thử lại, kết luận

+ Giả sử hệ có nghiệm: x f(m) y g(m)

= ì í =

ỵ

+ Thay sử dụng f(m) g(m) thay cho x, y xét đến điều kiện K + Từ điều kiện ràng buộc, suy giá trị m thỏa mãn

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ẨN

1 Hệ phương trình dạng:

2

ax bxy cy dx ey f (1)

ax by c (2)

ì + + + + + =

í + + = î

Phương pháp giải:

- Từ (2) rút x theo y (hoặc y theo x) thay vào phương trình (1) - Giải phương trình bậc hai, từ suy ra: x, y

- Kết luận

2 Hệ phương trình dạng:

2

2

ax bxy cy d (1)

d,d' a'x b'xy c'y d ' (2)

ì + + =

ï ¹

í

+ + =

ïỵ

Phương pháp giải:

- Khử hệ số tự do: Nhân (1) với d’, (2) với d Sau trừ vế cho vế hai phương trình - Đưa phương trình đẳng cấp bậc hai: mx2+nxy py+ =0

Phương pháp giải:

+ Đặt x=ty: Khi đó, phương trình trở thành: y mt2( + +nt p)=0

TH1: Nếu y=0Þ =x Thay vào (1), ta thấy (x, y) (0,0)= nghiệm TH2: Giải phương trình mt2 + + =nt p 0 Giả sử có nghiệm t

0, suy x= t0y

2

0

d y

at bt c =

+ + Từ suy x,y 3 Hệ phương trình đối xứng loại 1:

(Hệ phương trình mà đổi vai trị hai ẩn phương trình hệ khơng thay

đổi: P(x,y)=P(y,x)) Phương pháp giải:

- Giải hệ phương trình: x y S xy P

+ = ì

í =

ỵ x, y nghiệm phương trình:

2

X -SX P 0+ = 4 Hệ phương trình đối xứng loại 2:

(Hệ phương trình mà đổi vai trị hai ẩn phương trình trở thành phương trình kia)

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

Kiến thức cần nhớ

I.Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = (a ≠ ) Trong x ẩn, a, b, c hệ số 1 Giải phương trình bậc hai

* Khi c =

( ) ( )

x

1 ax bx x ax+b b

x a = é ê Û + = Û = Û ê = -ë * Khi b =

( )1 ax2 c 0 x2 c

a

-Û + = Û =

-Nếu c a - ³

x c a -= ± -Nếu c

a - <

phương trình vơ nghiệm * Cách giải tổng quát:

CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

2

b 4ac

D = - D =' b'2-ac

0

D > : phương trình có nghiệm phân biệt

1

b b

x ; x

2a 2a

- + D - - D

= =

'

D > : phương trình có nghiệm phân biệt

1

b' ' b' '

x ; x

a a

- + D - - D

= =

0

D = : phương trình có nghiệm kép

1 b x x 2a -= = '

D = : phương trình có nghiệm kép

1 b' x x a -= =

D < : phương trình vơ nghiệm D <' 0: phương trình vơ nghiệm 2 Hệ thức vi ét – Áp dụng:

a)Định lý vi ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 Thì: x1 + x2 =

a b

-x1.x2 =

a c

Cho phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) + Nếu a + b + c = th ì x1 = 1; x2 =

a c

+ Nếu a – b + c = th ì x1 = -1; x2 =

a c

-Chú ý: Nếu có hai số u v cho u v S uv P + = ì í = ỵ ( )

S ³4P u, v hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P =

II Một số dạng tập phương trình bậc 1 Bài tập số nghiệm phương trình bậc hai:

Với phương trình : ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Δ = b2 – 4.a.c

+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ó Δ > (Δ’ > 0) + Phương trình có nghiệm kép ó Δ = (Δ’ = 0) + Phương trình vơ nghiệm ó Δ < (Δ’< 0)

Ø Chú ý: Phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm ó ê

ë é = D ¹ ¹ = ; 0 ; a b a

2.Bài tập dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình : : ax2 + bx + c = (a ≠ 0)

a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dấu: ó ïỵ ï í ì > ³ D 0 a c

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dấu dương : ó

ï ï ï ỵ ïï ï í ì > -> ³ D 0 a b a c

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dấu âm:

ó ï ï ï ỵ ïï ï í ì < -> ³ D 0 a b a c

ó a.c <

3.Bài tập: dạng thành lập hệ thức đối xứng nghiệm Cho phương trình : : ax2 + bx + c =

Các hệ thức đối xứng với hai nghiệm phương trình bậc hai thường gặp : a) x12 + x22 b) x13 + x23 c)

2

1

x

x + v v

Cách giải:

Bước1: Nêu tổng tích hai nghiệm

ï ỵ ï í ì = -= + a c x x a b x x 2

Bước 2:Biến đổi hệ thức đối xứng sau : x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2

x13 + x23 = (x1 + x2 )3 – 3x1.x2.(x1 + x2) 2 1 x x x x x x + = +

Bước 3: Thay tổng tích hai nghiệm vào biểu thức đối xứng

4.Bài tập dạng tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn hệ thức: Cho phương trình : : ax2 + bx + c =

+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có hai nghiệm + Bước 2: Nêu hệ thức vi et :

ï ỵ ï í ì = -= + a c x x a b x x 2 ) ( ) (

+ Bước 3: Nêu hệ thức toán (3)

+ Bước : giải hệ gồm phương trình sau thay vào phương trình cịn lại để tìm m Một số dạng khác:

2

1 2

1

2 3

1 2

1

a) x x ; b) x x m; c) n

x x

d) x x h; e) x x t;

a + b = g + = + =

+ ³ + =

Trong trường hợp cần sử dụng hệ thức Viet phương pháp giải hệ phương trình

5.Bài tập dạng tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số:

Cách giải:

+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có nghiệm (D³0) + Bước 2: Lập S , P (x1 + x2 =

a b

- ), x

1.x2 =

a

c theo tham số m

+ Bước 3: Dùng quy tắc cộng để khử m

+ Bước : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta hệ thức cần tìm

6.Bài tập dạng so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số bất kì: Cách giải:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (D³0) Bước 2: Áp dụng Vi- et tính x1 + x2 ; x1.x2 (*)

+Với toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm > a

ợ ỡ > -> -+ -ị ) ).( ( ) ( ) ( 2 a a a a x x x x

Thay biểu thức Vi-et vào hệ để tìm m

+ Với tốn : tìm m để phương trình có hai nghiệm < a

ợ ỡ > -< -+ -ị ) ).( ( ) ( ) ( 2 a a a a x x x x

Thay biểu thức Vi-et vào hệ để tìm m

+ Với tốn : tìm m để phương trình có hai nghiệm , nghiệm x1 > a nghiệm x2 < a Þ(x1-a).(x2-a)>0

Thay biểu thức Vi-et vào hệ để tìm m

Hoặc sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai:

· Nếu a.f(a)<0Þ x1 <a <x2

· Nếu 1 2

0

af ( ) x x b 2a a a a ì ïD >

ï > Û < < í

ï-ï > ỵ

· Nếu 1 2

0

af ( ) x x b 2a a a a ì ïD >

ï > Û < < í

CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = (a ¹ 0) Đặt t = x2 (t ³ 0) ta PT at2 + bt + c = GiảI PT ẩn t, từ suy nghiệm PT cho

2 PT chứa ẩn mẫu thức

Bước 1: Tìm ĐKXĐ PT Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu

Bước 3: Giải PT vừa nhận Bước 4: Trong giá trị tìm được, giá trị thoả mãn ĐKXĐ Ng PT

Dạng 1: 1 2 3 4

1

a x b a x b a x b a x b

c c c c

+ + + = + + +

Trong a1=a2 =a3 =a ;b4 1± =c1 b2 ±c2 =b3± =c3 b4±c4 Phương pháp giải:

- Nếub1+ =c1 b2 +c2 =b3+ =c3 b4 +c4 cộng vào vế, quy đồng mẫu số - Nếu b1- =c1 b2-c2 =b3 - =c3 b4-c4 trừ vế cho 2, quy đồng mẫu số

Chú ý: Nếu có n phân thức cộng với n trừ cho n haivế phương trình

Dạng 2: 1 2 3 4

1

a x b a x b a x b a x b e

c c c c

+ + + + + + + =

1 1 2 3 4

a =a =a =a ;b -kc =b -lc =b -mc =b -nc k+l+m+n=e Phương pháp giải:

- Cộng vế với –e: 1 2 3 4

1

a x b a x b a x b a x b

k l m n

c c c c

+ - + + - + + - + + - =

- Quy đồng mẫu số Dạng 3:

(x a x 2a+ )(1 + ) (+ x 2a x 3a+ )(1 + )+ + (x na x+ )éë 1+(n a+ ) ùû =b Phương pháp giải:

(x a x 2a+ )(1 + ) (+ x 2a x 3a+ )(1 + )+ + (x na x+ )éë 1+(n a+ ) ùû =b

1 1 1 1

b

a x a x 2a x 2a x 3a x na x (n 1)a

é ù

Û ê - + - + + - ú=

+ + + + + + +

ë û

( )( )

1 na

ab ab

x a x (n 1)a x a x (n 1)a

é ù

Û ê - ú= Û =

+ + + + + +

( )( ) ab x a x (n 1)a na Û éë + + + ùû= + Giải phương trình bậc hai Dạng 4:

2

1

2

2

ax b x c ax b x c d ax b x c ax b x c

+ + + + + =

+ + + + 2

2

b x b x

d ax +b x c ax+ + +b x c+ = Phương pháp giải:

+ Kiểm tra x=0 có phải nghiệm; + Chia tử mẫu cho x;

+ Đặt t ax c x

= + , Giải phương trình ẩn t nghiệm t0 + Giải phương trình t0 ax c

x = + 3 Phương trình tích

- Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải - Giải PT tích 4 Phương trình bậc 4:

Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax4 + bx + c = (a ¹ 0) Phương pháp giải:

Đặt : x2 = y ³ , ta có Pt : ay2 + by + c = (2)

- Nếu phương trình (2) vơ nghiệm có hai nghiệm âm phương trình (1) vơ nghiệm;

- Nếu phương trình (2) có nghiệm kép phương trình (1) có nghiệm

- Nếu phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu nghiệm kép dương phương trình (1) có nghiệm phân biệt

- Nếu phương trình (2) có nghiệm dương nghiệm phương trình (1) có nghiệm phân biệt

- Nếu phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương phương trình (1) có nghiệm phân biệt

Dạng 2: Pt có hệ số đối xứng dạng : ax4 + bx3 ±cx2 + bx + a = ( a ¹0 ) Phương pháp giải:

+ Vì x = nghiệm , nên ta chia vế Pt cho x2 , Ta Pt sau : a (x2 + 12

x ) + b ( x ±

x) + c =

+ Đặt : y = ( x ±1

x), giải Pt ẩn y suy nghiệm x

Phương pháp giải:

-Nhận thấy x=0 nghiệm - Chia hai vế cho x2 ¹0ta

2

2

2

1 k a k k

ax bx c kb a x b x c

x x x x

æ ö æ ö

+ + ± + = Û ỗ + ữ+ ỗ ữ+ =

ố ứ

è ø

Đặt y x k x

= ± , ta có

2

2 2

2

k k

y x 2k x y 2k

x x

= + ± Û + = m

Khi phương trình trở thành:

( )

a y m2k +by c 0+ =

- Giả sử có nghiệm y0 , giải phương trình

k y x

x = ±

Dạng 4: PT dạng : (x + a)(x + b)(x + c) (x + d) = m (1), Trong a + b = c + d

Phương pháp giải:

Ta có (1)Û é(x +(a+b)x+ab x +(c+d)x+cd2 )( )ù= m

ë û

+ Đặt y = x +(a+b)x2 Khi phương trình trở thành

Ay +By C 0+ = (2)

+ Giải (2), giả sử có nghiệm y0 + Giải y0=x +(a+b)x2 +ab

Dạng 5: Phương trình dạng: (x a)+ +(x b)+ =c Phương pháp giải:

Đặt y x a b +

= + Khi phương trình trở thành

4 4

4

a b a b a b a b

y y c 2t 12 t c

2 2

- - -

-ỉ + +ỉ - = + ổ + ổ =

ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ è ø è ø è ø

Đây phương trình trùng phương biết cách giải

Dạng 6: Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c) (x + d) = mx2 (1) Trong ab=cd Phương pháp giải:

Phương trình (1) Ûé(x +(a+b)x+ab x +(c+d)x+cd2 )( )ù= mx2

ë û

ab cd

x+(a+b)+ x+(c+d)+ m

x x

ộ

ờỗ ữỗ ữỳ=

è øè ø

ë û

Đặt y=x+ab

x phương trình trở thành

(y+a+b y+c+d)( )= m

- Giả sử phương trình có nghiệm y0 Giải phương trình

ab y =x+

x

Dạng 7: Phương trình dạng:

( 2 ) (2 2 )

a ax +bx c+ +b ax +bx c+ + =c x Phương pháp giải:

Đặt y ax= +bx c+ Khi ta có hệ phương trình:

2

ay by c x (1) ax bx c y (2) ì + + = ï

í

+ + =

ïỵ

Đây hệ phương trình đối xứng loại Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có:

(x-y)(ax+ay+b+1)=0 x y

ax ay b =

é

Û ê + + + = ë

5 Phương trình bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đỗi Dạng 1: Phương trình dạng f(x) = g(x) (1)

Phương pháp giải:

Phương trình (1) f(x) g(x) f(x) g(x)

= é

Û êë =

-Dạng 2: Phương trình dạng f(x) g(x)= (1) Phương pháp giải:

Cách 1:

Bình phương hai vế ta phương trình hệ quả: f (x) g (x)2 = Giải phương trình trên, thử lại nghiệm

Cách 2: PT (1)

g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)

³ ì ï

Ûíé = ê

Cách 3: PT (1)

f(x) f(x) g(x) f(x)

f(x) g(x) éì ³

í

ê =

ỵ ê

Û êì < êí- = êỵ

ë

Dạng 3: Phương trình dạng f(x) + g(x) h(x)= (1) Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp chia khoảng

- Sử dụng bất đẳng thức: a - £ +b a b dấu “=” (a b b 0+ ) ³ a + ³ +b a b dấu “=” ab 0³ Dạng 4: Bất phương trình dạng: f(x) ³ g(x) (1)

Phương pháp giải: - Bình phương hai vế; - Xét dấu

Dạng 5: Bất phương trình dạng f(x) g(x)³ (1) Phương pháp giải:

Bất phương trình (1) f(x) g(x) f(x) g(x)

³ é

Û êë £

-Dạng 6: Bất phương trình dạng f(x) g(x)£ (1) Phương pháp giải:

Bất phương trình (1) f(x) g(x) g(x) f(x)

£ ì

Û í- £ ỵ

6 Phương trình bất phương trình chứa thức Dạng 1: Phương trình dạng f(x) = g(x) (1)

Phương pháp giải:

Phương trình (1) f(x) g(x) g(x)

= ì Û í ³

ỵ

Dạng 2: Phương trình dạng f(x) g(x)= (1) Phương pháp giải:

Phương trình (1) g(x) 02 f(x) g (x)

³ ì Û í =

Dạng 3: Phương trình dạng f(x)+ g(x) = h(x)(1) Phương pháp giải:

Bình phương hai vế phương trình (1) ta phương trình hệ quả:

+ + = Û = -

-f(x) g(x) -f(x)g(x) h(x) f(x)g(x) h(x) f(x) g(x) Giải phương trình dạng f(x) g(x)=

Dạng 4: Phương trình dạng: a.f (x) b.g(x) c f (x).g(x) 0+ + = (1) Phương pháp giải: - Nếu f(x)=0 (1) f (x)

g(x) = ì

Û í = ợ

- Nu f (x) 0ạ chia c hai vế phương trình cho f (x) ta g(x) g(x)

a b c

f (x) f (x)

+ + = Đặt t= g(x) ; t f (x) ³

Khi phương trình trở thành: bt2 + + =ct a 0 Giả sử có nghiệm t

0 mà t0 ³0

- Giải phương trình t0 g(x) f (x) =

Dạng 5: Phương trình dạng a f (x) g(x)( + )+b( f (x) ± g(x))±2a f (x).g(x) c 0+ = Phương pháp giải:

Đặt t= f (x) ± g(x) phương trình trở thành: at2+bt+c=0 Giả sử có nghiệm t0

- Giải phương trình t0 = f (x)± g(x) (Dạng 3)

Dạng 6: Phương trình dạng: x a+ - +b 2a x b- + x a+ 2- -b 2a x b- =cx d+

(1)

Phương pháp giải:

Phương trình (1)Û ( x b a)- + + ( x b a)- - =cx d+

x b a- + + x b a- - =cx d+

Đặt t= x b; t 0- ³ Khi phương trình trở thành: t a+ + - =t a c t( +b)+d

Sử dụng phương pháp phân khoảng để giải phương trình Dạng 7: Phương trình dạng: b bx a xn - = n +a

Đặty= n bx a- ta có hệ phương trình: ì -ïí + = - + = ïỵ

n

n

x by a

y bx a Đây hệ phương trình đẳng cấp bậc

Trừ vế cho vế ta được: ( - ) = Û êé = = ë

x y x y F(x,y)

F(x,y) - Với x=y

- Với F(x,y) 0=

Dạng 8: Phương trình dạng ax b r(ux r)+ = + +dx c+ Trong u=ar+d; v=br+e; a,u,r¹

Phương pháp giải:

Đặt uy v+ = ax b+ Từ ta có hệ:

( )

( )

( )

( )

ì + = + + + ì + = + + +

ï Ûï

í í

+ = + + = + + +

ï ï

ỵ ỵ

2

2

uy v r ux v dx e uy v r ux v dx e

ax b uy v ux v r uy v dx e Trừ vế cho vế ta

[ ] é =

- + + + = Û ê

+ + + = ë

x y u(x y) ru(x y) 2rv

ru(x y) 2rv Dạng 9: Phương trình dạng n a f(x)- +mb f(x) c + =

Phương pháp giải: Đặt u = n a f(x) ; v- =mb f(x)+ Khi ta có hệ: ì +í = + + = ỵ

n m

u v a b u v c Giải hệ phương pháp

Dạng 10: f(x) a+ ± f(x) b= Phương pháp giải:

Nhân lượng liên hợp vế trái phương trình suy ra: f(x) a+ m f(x) = a b Khi ta có hệ:

ì + ± =

ï í

+ =

ïỵ m

f(x) a f(x) b a f(x) a f(x)

b

Sử dụng phương pháp cộng đại số giả hệ phương trình

Phương trình (1)Û( f(x)± g(x) m) (ëé f(x) m g(x))- =1ùû

( )

é ± =

ê Û

ê - =

ë m

f(x) g(x)

m f(x) g(x)

Dạng 12: Bất phương trình dạng f (x)³ g(x) (1) Phương pháp giải:

Bất phương trình (1) g(x) f (x) g(x)

³ ì

Û í ³ ỵ

Dạng 13: Bất phương trình dạng f (x) g(x)³ (1) Phương pháp giải:

Bất phương trình (1)

2

f (x) g(x) g(x) f (x) g (x) éì ³

í

ê < ỵ

ê

Û êì ³ êí ³ êỵ ë

Dạng 14: Bất phương trình dạng f (x) g(x)£ (1) Phương pháp giải:

Bất phương trình (1)

2

f (x) g(x) f (x) g (x)

ì ³

ï

Ûí ³

ï £

ỵ Dạng 15: Bất phương trình

2

ax +bx c+ ³ px +qx r+ ax2 +bx c+ £ px2 +qx r+

a b p = q Phương pháp giải:

Đặt t= px2+qx r ; t 0+ ³ bất phương trình (1) trở thành bất phương trình bậc

CHUYÊN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Các kiến thức cần nhớ:

- m

n số nguyên n ước m - Nếu: cy ax b m

n

= + + m a,b,c, x, yẻÂ thỡ m

n số ngun - Số phương khơng tận 2,3,7,8

- Số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p2 - Số phương chia cho dư

- Số phương chia cho dư - Số phương chia cho dư 0, - Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n

- Không tồn số phương nằm giữa: a2 (a+1)2 - Nếu a b, b N= Ỵ * a số phương

Một số dạng toán: Dạng 1: axy+bx+cy+d=0 Phương pháp giải:

- Phân tích thành tích: Nhân hai vế với a

( )( )

ax(ay b) c(ay b) bc ad+ + + = - Û ay b ax c+ + =bc ad

Suy ra: ay+b ax+c ước bc-ad đồng thời tích chúng bc-ad Chú ý: Ta giải cách rút y theo x sau:

bx d bc ad

y ay b

ax c ax c

- -

-= Û = - +

+ + Từ suy ax+c phải ước bc-ad Dạng 2: ax2 +by2 =c

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất chia hết số phương

Dạng 3: ax2 +by2+cx d 0+ = (hoặc ax2+by2+cy d 0+ = )

Phương pháp giải:

( )2 ( )2

2 2

ax +by +cx d 0+ = Û 2ax +4bay +4cax 4ad 0+ = Û 2ax c+ -4aby =4ad Dạng 4: ax2 +by2 +cxy d 0+ =

Phương pháp giải:

( )

2 2 2

Dạng 5: ax2 +by2+cxy dx ey f 0+ + + = (1)

Phương pháp giải:

( )

2 2

ax +by +cxy dx ey f 0+ + + = Ûax + cy d x by+ + +ey f 0+ = (2)

Ta xem phương trình (2) phương trình ẩn x Để phương trình (1) có nghiệm ngun phương trình (2) có D ³ Û0 (cy d+ )2-4a by( 2+ey f+ )³0 (hoặc D số

phương: Đặt D =k2)

Dạng 6: a c m bx dy+ = n Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu số, biến đổi dạng Dạng 7: a x b y+ = c

Phương pháp giải:

- Ta có: a x = c b y- Þa x c 2b cy b y2 = + + Do x, y nguyên nên cy số

nguyên (Nếu c k l= ta viết cy k my= ) Tức cy (hoặc m.y )là số phương

- Đặt cy cp= (hoặc my mp= Þ =y mp2, tương tự ta suy ra: x mq= 2) hay

y cp= Tương tự, ta suy ra: x cq=

CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC- BÀI TOÁN MIN,MAX

Kiến thức cần nhớ:

- Các bất đẳng thức luỹ thừa thức :

· n

A " ẻn Ơ vi A biểu thức , dấu xảy A = · 2nA³0 ; " ³ " ẻA 0; n Ơ ; du bng xy A =

· A+ B³ A B+ Với A³0;B³0

Dấu xảy có hai số không

· A B- £ A- B với A B o³ ³ dấu xảy B = - Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối

· A ³0 Với A , dấu xảy A = · A+ B ³ +A B dấu xảy A dấu

· A- B £ A B- Dấu xảy A B dấu A> B - Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) :

+ Bất đẳng thức Côsi cho n số không âm: Cho số:a ,a , ,a1 2 n ³0

1 n

n

1 n

a a a a a a

n + + +

£ Dấu xảy a1 =a2 = = an + Bất đẳng thức Cơsi cho hai số phát biểu dạng sau :

2 a b

ab

+ ³ Với a b số không âm ( )2

4

a b+ ³ ab Với a b số ( )

2 2

2 a b

a +b ³ + Với a b số Dấu xảy a = b

- Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi bất đẳng thức Côsi – Svac ) : + Cho hai số thực: a a1, , ,2 an b b1, , ,2 bn

Khi : ( )2 ( 2 2 2)( 2 2 2) 1 2 n n n n

a b +a b + +a b £ a +a + +a b +b + +b Dấu xảy :

1

n n a

a a

b =b = = b với , bi khác ai =0 bi tương ứng

+ Bất đẳng thức Côsi – Svac cho hai cặp số : ( )2 ( 2 2)( 2 2)

ax by+ £ a +b x +y Dấu xảy ay = bx - Luỹ thừa hai vế bất đẳng thức :

a b ịa2n+1b2n+1 Vi mi nẻƠ

a b³ ³ Þ0 a2n ³b2n Với nẻƠ a bÊ < ị0 a2n b2n Vi mi nẻƠ < a < n m

a a

Một số toán min,max: Dạng 1: P(x) ax= +bx c+

Phương pháp giải: TH1: Nếu a>0:

min

b

P(x) a x P

2a 4a 4a

-D -D

ổ

= ỗ + ữ+ ị =

ố ứ

b x

2a = -TH2: Nếu a<0:

max

b

P(x) a x P

2a 4a 4a

-D -D

ổ

= ỗ + ữ+ ị =

ố ứ

b x 2a = -Dạng 2: 2

a 'x b'x c' P

ax bx c

+ +

=

+ + Phương pháp giải:

Nhân chéo, biến đổi phương trình bậc 2: (a ' Pa)x- +(b' Pb)x c' Pc 0- + - = (*)

TH1: Nếu a ' Pa 0- = Từ suy P x

TH2: Nếu a ' Pa 0- ¹ Phương trình (*) có nghiệmÛ D ³0 Giải bất phương trình bậc ẩn P

+ Nếu P m³ ÞPmin =m, thay trở lại (*) ta suy x + Nếu P M£ ÞPm ax =M, thay trở lại (*) ta suy x Chú ý:

+ Ngoài phương pháp miền giá trị, trường hợp: ax2 +bx c 0, x+ ³ " Ỵ¡

có thể tách: Tìm min:

2

2

a 'x b'x c' (px q)

P m

ax bx c ax bx c

+ + + = = + + + + + Tìm max: 2 2

a 'x b'x c' ( x )

P M

ax bx c ax bx c

a b

+ + +

= =

-+ + + +

+Nếu P có dạng:

2

2

a 'x b'x c' b' c'

P a '

x x x

+ +

= = + + Đặt y

x

= Khi

2

P a ' b' y c'y= + + Giải dạng +Nếu P có dạng:

( )

2

2

a 'x b'x c' P

x-a

+ +

= Đặt y x= -a Khi

2

2

py qy r P

y + +

= Đặt

1 t

y

Dạng 3: P a x b c x d

+ =

+ Phương pháp giải:

- Nhân chéo, biểu thị x theo P: x b Pd Pc a

-=

- - Do x b Pd

Pc a

-³ Þ ³

- Giải bất phương trình ta suy min,max Chú ý:

+ Nếu x b Pd Pc a

a - a

³ Þ ³

- Giải bất phương trình ta suy min,max + Nếu P có dạng: P a

b x c =

+ (a>0) Khi đó:

( )

( )

min max

max min

P b x c

P b x c

Û +

Û +

Dạng 4: P a 'x b' x c' ax b x c

+ +

=

+ +

Phương pháp giải:

Đặt x t, t 0= ³ Khi P trở thành:

2

2

a 't b't c'

P ; t

at bt c + +

= ³

+ +

Nhân chéo, biến đổi phương trình bậc 2: (a ' Pa)t- +(b' Pb)t c' Pc 0- + - = (*)

Phương trình (*) có nghiệm t 0 S D ³ ì ³ Û í ³

CHUYÊN ĐỀ 7: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ

PHƯƠNG TRÌNH

Các bước giải tốn cách lập phương trình – hệ phương trình : Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình:

a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn

b) Biểu diễn đại lượng chưa biết thông qua ẩn địa lượng biết

c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời

Chú ý: Tuỳ tập cụ thể mà ta lập phương trình bậc ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai

Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thức thực tế

Dạng 1: Toán quan hệ số Nững kiến thức cần nhớ:

+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab 10a b= + ( víi 0<a 9; b 9;a, b N)£ £ £ Ỵ

+ Biểu diễn số có ba chữ số : abc 100a 10b c= + + ( víi 0<a 9; b,c 9;a, b, c N)£ £ £ Ỵ

+ Tổng hai số x; y là: x + y

+ Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2 + Bình phương tổng hai số x, y là: (x + y)2 + Tổng nghịch đảo hai số x, y là: 1

x y+ Dạng 2: Toán chuyển động

Những kiến thức cần nhớ:

Nếu gọi quảng đường S; Vận tốc v; thời gian t thì: S = v.t; v s ; t s

t v

= =

Gọi vận tốc thực ca nô v1 vận tốc dịng nước v2 tì vận tốc ca nơ xi dịng

nước

v = v1 + v2 Vân tốc ca nơ ngược dịng v = v1 - v2 Dạng 3: Toán làm chung công việc

- Nếu đội làm xong cơng việc x ngày đội làm

x cơng việc

- Xem tồn cơng việc Chú ý:

+ Nếu có hai đối tượng làm công việc biết thời gian đại lượng hơn, đại lượng ta nên chọn ẩn đưa phương trình bậc hai

+ Nếu thời gian hai đại lượng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đưa dạng hệ phương trình để

Dạng 4: Tốn có nội dung hình học: Kiến thức cần nhớ:

- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y chiều dài) - Diện tích tam giác S 1x.y

2

= ( x chiều cao, y cạnh đỏy tương ứng)

- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c cạnh huyền; a,b cỏc cạnh gúc vuụng) - Số đường chộo đa giỏc n(n 3)

2

- (n số đỉnh)

Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng Những kiến thức cần nhớ :

+ x% = x

100

+ Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% dân số năm tỉnh A

x a a+

+

100

x x x

Số dân năm sau lµ (a+a ) (a+a ) 100 100 100 Dạng 6: Các dạng toán khác

Những kiến thức cần nhớ :

- V m (V thể tich dung dich; m khối lượng; D khối lượng riêng) D

=

Ø Chú ý : Trong tốn thơng thường liên quan đến đại lượng Một đại lượng biết, đại lượng chưa biết mà toán yêu cầu tim, đại lượng chưa biết có liên quan đến tình toán

Ø Mối quan hệ đại lượng: + Quãng đường = vận tốc x Thời gian

Vngược = Vthực - Vn + Tổng sản lượng = Năng suất x Thời gian

= Năng suất x số người

+ Khối lượng = Khối lượng riêng x thể tích (m = D.V ) + Nhiệt lương thu vào = nhiệt lượng toả

+ Tốn có nội dung hình học:

- Chu vi hình chữ nhật có cạnh a, b : C = (a +b).2 - Diện tích HCN có cạnh a, b: S = a.b

…………

+ Toán làm chung, làm riêng: -Coi tồn cơng việc (đv)

- Giả sử cơng nhân A hồn thành cơng việc x

Þ cơng nhân A làm

x

1 công việc

- Cơng nhân B hồn thành cơng việc y

Þ cơng nhân B làm

y

1 công việc

-Cả hai người làm t hồn thành cơng việc

Þ hai người làm

t

1 cơng việc

Þ Ta có phương trình :

t y x

1 1

= +

Chú ý: Trong toán chuyển động liên quan đến “đi trước, sau” cần nhớ: Gọi thời gian A chuyển động a, thời gian B chuyển động b

Xuất phát Vềđích Liên hệ

CHUYÊN ĐỀ 8: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Kiến thức cần nhớ:

* Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn - Để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, học sinh cần phải nắm vững dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn sau:

* Dấu hiệu 1: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối 1800thì tứ giác nội tiếp

được đường trịn

* Dấu hiệu 2: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh nội tiếp đường trịn

* Dấu hiệu 3: Tứ giác có đỉnh cách điểm ( mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác

* Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc µ(an-pha) nội tiếp đường tròn

* Dấu hiệu 5: Chứng minh tổng góc ngồi đỉnh với góc đối diện bù

* Dấu hiệu 6: Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB tứ giác ABCD nột tiếp (Trong M AB CD; N AD BC= Ç = Ç )

* Dấu hiệu 7: Nếu PA.PC = PB.PD tứ giác ABCD nội tiếp (Trong P AC BD= Ç ) * Dấu hiệu 8: Chứng minh tứ giác hình thang cân; hình chữ nhật; hình vng; … CHUN ĐỀ 9: CỰC TRỊ- TẬP SỐ NGUYÊN

1.Định nghĩa

Tìm giá trị lớn (max) hay giá trị nhỏ (min) biểu thức xác định giá trị biến để biểu thức đạt giá trị lớn hay nhỏ

-Giá trị lớn biểu thức A: maxA

Để tìm maxA cần A M£ , M số Khi maxA = M -Giá trị nhỏ biểu thức A: minA

Để tìm minA cần A m³ , m số Khi minA = m 2.Các dạng tốn thường gặp

2.1 Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường bậc hai):

Nếu A = B2 + m (đa thức biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), … A có giá trị nhỏ minA = m

Nếu A = - B2 + M (đa thức biến), A = - B2 – C2 + M (đa thức hai biến), … A có giá trị lớn maxA = M

2.2.1 Phân thức A m B

= , m số, B đa thức

-Nếu mB > A lớn B nhỏ nhất; A nhỏ B lớn

-Nếu mB < (giả sử m < 0) A lớn B lớn nhất; A nhỏ B nhỏ

2.2.2 Phân thức A = B

C, B có bậc cao bậc C

Khi ta dùng phương pháp tách giá trị nguyên để tách thành

m D

A n ; A n

C C

= + = + m, n số; D đa thức có bậc nhỏ bậc C 2.2.3 Phân thức A = B

C, C có bậc cao bậc B Cần ý tính chất: A có giá trị lớn

A có giá trị nhỏ ngược lại

2.3 Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa thức bậc hai: -Chia khoảng giá trị để xét

-Đặt ẩn phụ đưa bậc hai

-Sử dụng tính chất giá trị tyệt đối:

a + ³ +b a b; a - ³b a - b "a,b Dấu “=” xảy ab 0³ -Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc

Bất đẳng thức Côsi: ( ) n

1 n n n

1

a ,a , ,a a a a a a a n

³ Þ + + + ³ dấu

“=” xảy a1 = a2 = …= an

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: "a ,a , ,a ;b ,b , ,b1 2 n 1 2 n

có( 2 2)( 2 2) ( )2

1 n n 1 2 n n

a +a + + a b +b + + b ³ a b +a b + + a b dấu “=” xảy

1 n

1 n

a a a

b = b = = b

4 Bài toán tập số ngun: Bài tốn: tìm t ngun để P= U(t)

V(t) nguyên

Trường hợp 1: Bậc đa thức U(t) lớn bậc đa thức V(t) + Biến đổi aP= aU(t) =Q t( )+ b

V(t) V(t) P(t), Q(t), R(t), U(t), V(t) đa thức ẩn t với hệ số nguyên; bậc a, b số nguyên

+ với t số nguyên, để hệ có nghiệm ngun V(t) ước b Từ suy giá trị t

+ Thử lại, kết luận

Trường hợp 2: Bậc đa thức V(t) lớn bậc đa thức U(t): Bậc V(t)= bậc U(t)+k

+ Nhân P(t) với số hạng: t đó: k t Pk = t U(t)k = +a b V(t) V(t)

+ với t số ngun, để hệ có nghiệm ngun V(t) ước b Từ suy giá trị t

+ Thử lại, kết luận

Chú ý: Nếu U(t), V(t) có đa thức bậc hai Khi đó: P U(t) U(t) P.V(t) At2 Bt C 0

V(t)

= Û = Û + + = Vì phương trình ln có nghiệm

Û D ³ Û £ £a P b

Trong đoạn [a b; ], chọn giá trị P0 ngun Từ giải phương trình

U(t) P

V(t)

CHUYÊN ĐỀ 10: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

1.Định lý Pitago ABC

D vuông A ÛAB2 +AC2 =BC2

2.Hệ thức lượng tam giác vuông

B

H C

A

1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC

3) AH2 = BH.HC 4) 2 12 2

AH = AB + AC Kết quả:

-Với tam giác cạnh a, ta có:

2

a a

h ; S

2

= =

3.Tỉ số lượng giác góc nhọn

Đặt ACBÐ = a Ð; ABC= b đó:

AB AH AC HC AB AH AC HC

sin ; cos ; tg ; cot g

BC AC BC AC AC HC AB AH

a = = a = = a = = a = =

b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC

= = = =

= = = =

Kết suy ra:

1) sina =cos ;b cosa =sin ;b tga =cotg ;b cot ga = btg

sin cos

2) sin 1; cos <1; tg ; cot g

cos sin

a a

< a < < a a = a =

a a

2

2

1

3) sin cos 1; tg cot g 1; cot g ; tg

sin cos

a + a = a a = = + a = + a

a a

4) Cho ABCD nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó:

2 2

ABC

1

a b c 2bc.cosA; S bcsin A

D

CHUYÊN ĐỀ 11: CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VNG GĨC -

ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG 1.Tam giác

a) Khái niệm: ABC A 'B'C' A A'; B B'; C C' AB A'B'; BC B'C'; AC A'C' Ð = Ð Ð = Ð Ð = Ð ì

D = D í

= = =

ỵ

b) Các trường hợp hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g

c) Các trường hợp hai tam giác vuông: hai cạnh góc vng; cạnh huyền cạnh góc vng; cạnh huyền góc nhọn

d) Hệ quả: Hai tam giác đường cao; đường phân giác; đường trung tuyến tương ứng

2.Chứng minh hai góc

-Dùng hai tam giác hai tam giác đồng dạng, hai góc tam giác cân, đều; hai góc hình thang cân, hình bình hành, …

-Dùng quan hệ góc trung gian với góc cần chứng minh

-Dùng quan hệ góc tạo đường thẳng song song, đối đỉnh

-Dùng mối quan hệ góc với đường trịn.(Chứng minh góc nội tiếp chắn cung hai cung đường tròn, …)

3.Chứng minh hai đoạn thẳng -Dùng đoạn thẳng trung gian

-Dùng hai tam giác

-Ứng dụng tính chất đặc biệt tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng, hình thang cân, hình chữ nhật, …

-Sử dụng yếu tố đường tròn: hai dây cung hai cung nhau, hai đường kính đường trịn, …

-Dùng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang, … 4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song

-Dùng mối quan hệ góc: So le nhau, đồng vị nhau, phía bù nhau, …

-Dùng mối quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba -Áp dụng định lý đảo định lý Talet

-Chứng minh chúng song song với hai đường vng góc khác

-Dùng tính chất: đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại

-Dùng tính chất đường cao cạnh đối diện tam giác -Đường kính qua trung điểm dây

-Phân giác hai góc kề bù 6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng

-Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d A, B, C thẳng hàng

-Áp dụng tính chất điểm đặc biệt tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, …

-Chứng minh tia tạo ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC 1800 A, B, C thẳng hàng

-Áp dụng tính chất: Hai góc có hai cạnh nằm đường thẳng hai cạnh nằm hai nửa mặt phẳng với bờ đường thẳng

-Chứng minh AC đường kính đường trịn tâm B 7.Chứng minh đường thẳng đồng quy

-Áp dụng tính chất đường đồng quy tam giác

-Chứng minh đường thẳng qua điểm: Ta hai đường thẳng cắt điểm chứng minh đường thẳng lại qua điểm

-Dùng định lý đảo định lý Talet

CHUYÊN ĐỀ 12: CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác đồng dạng

-Khái niệm:

A A '; B B'; C C' ABC A'B'C' AB AC BC

A'B' A 'C' B'C'

Ð = Ð Ð = Ð Ð = Ð ì

ï

D D í

= =

ïỵ

:

-Các trường hợp đồng dạng hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g

-Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vng: góc nhọn; hai cạnh góc vng; cạnh huyền - cạnh góc vng…

*Tính chất: Hai tam giác đồng dạng tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bình phương tỉ số đồng dạng

2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học

-Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng tam giác vuông, …

Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD

-Chứng minh hai tam giác MAC MDB đồng dạng hai tam giác MAD MCB

-Trong trường hợp điểm nằm đường thẳng cần chứng minh tích tích thứ ba

Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB chứng minh hai tam giác MTA MBT đồng dạng so sánh với tích thứ ba

CHUYÊN ĐỀ 13: HÌNH THANG- HÌNH BÌNH HÀNH-HÌNH CHỮ NHẬT-HÌNH THOI-HÌNH VNG

1 Tổng góc tứ giác 3600

2 HÌNH THANG HThang tứ giác có hai cạnh đối song song - Hai góc kề cạnh bên hình thang bù (tổng 1800) - Hình thang vng hình thang có góc vng

- Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy + Trong hình thang cân, hai cạnh bên

+ Trong hình thang cân, hai đường chéo - Cách CM tứ giác thang cân:

+ Hình thang có hai góc kề đáy + Hình thang có hai đường chéo

- Đường trung bình hình thang: Đoạn nối trung điểm hai cạnh bên Đường trung bình có độ dài nửa tổng hai đáy

- DTHT nửa tổng hai đáy đường cao

3 HÌNH BÌNH HÀNH: HBH tứ giác có cạnh đối // - Cách CM tứ giác là HBH

3.1 Các cạnh đối //

3.2 Các cạnh đối

3.3 Một cặp cạnh đối //

3.4 Các góc đối góc kề bù 3.5 Hai đường chéo cắt trung điểm đường - DT HBH đáy nhân chiều cao

4 HÌNH CHỮ NHẬT: HCN tứ giác có góc vng Trong HCN hai đường chéo cắt trung điểm đường

- Cách CM tứ giác là HCN 4.1 Có góc vng

4.2 HBH có góc vng

4.3 HBH có hai đường chéo 4.3 Hthang cân có góc vng

- DT HCN tích hai kích thước (dài nhân rộng)

5 HÌNH THOI: Hthoi tứ giác có cạnh Trong hình thoi hai đường chéo vng góc với hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi

5.1 cạnh

5.2 HBH có hai cạnh kề 5.3 HBH có hai đường chéo vng góc

5.4 HBH có đường chéo đường phân giác góc - DT hình thoi bằng: Tích hai đường chéo đáy nhân chiều cao

6 HÌNH VNG: HV tứ giác có góc vng có cạnh - Cách CM tứ giác là HV

6.1 HCN có hai cạnh kề 6.2 HCN có hai đường chéo vng góc

6.3 HCN có đường chéo đường phân giác góc 6.4 Hthoi có góc vng

6.3 Hthoi có hai đường chéo - DT hình vng cạnh nhân cạnh ĐA GIÁC

7.1 Tổng góc đa giác n cạnh (n – 2).1800 7.2 Trong đa giác n cạnh, số đường chéo

2 ) (n

-n

7.3 Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc Số đo góc đa giác n cạnh

n n 2).1800

( -

CHUYÊN ĐỀ 14: MỘT SỐĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG

Định lí Ptơleme: Cho tứ giác ABCD nội tiếp Giả sử AC BD cắt M AB CD cắt N Ta có

+ AC.BD=AB.CD+BC.AD + MA.MC=MB.MD

+ MA.MB=MC.MD

Định lí Mênêlauyt: Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB,BC,CA M, N, P Khi đó: MA NB PC

MB NC PA =

Định lí Ceva:Cho tam giác ABC.Gọi E, F, G ba điểm tương ứng nằm BC, CA, AB Ba đường thẳng AE, BF, CG cắt điểm O