Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi cuối học kỳ I năm học 2015-2016 môn Quy hoạch toán học giúp các bạn sinh viên ôn tập kiến thức, ôn tập kiểm tra, thi cuối kỳ, rèn luyện kỹ năng để các bạn nắm được toàn bộ kiến thức chương trình Quy hoạch toán học. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM Khoa Khoa học Cơ Bộ môn Toán ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: QUY HOẠCH TOÁN HỌC Mã môn học: MATH131001 Thời gian : 90 phút (12/1/2016) Đề thi gồm 02 trang Được phép sử dụng tài liệu Câu (2 điểm) Hãy lập mô hình toán học toán sau (chỉ lập mô hình, không giải) Một công ty may mặc cần sản xuất loại sản phẩm may mặc A, B, C sản phẩm phải qua công đoạn công đoạn 1, công đoạn 2, công đoạn Chi phí sản xuất trung bình (gồm tất chi phí nguyên liệu, nhân lực,…) sản phẩm, giá bán tương ứng sản phẩm, tổng số lao động ứng với công đoạn mà công ty có tuần định mức tiêu hao số lao động sản phẩm ứng với công đoạn cho bảng sau: Định mức tiêu hao số lao động sản phẩm ứng với công đoạn A B C Tổng số lao động ứng với công đoạn mà công ty có tuần Công đoạn 2,5 350 (CĐ1) Công đoạn 5 650 (CĐ2) 400 (CĐ3) Công đoạn Chi phí sản xuất $6 $5,5 $5 trung bình sản phẩm Giá bán $11 $9 $8,5 sản phẩm Biết sản phẩm sản xuất bán hết với điều kiện số sản phẩm A không vượt tổng số sản phẩm B C Hỏi tuần công ty cần sản xuất loại sản phẩm A, B, C với số lượng tương ứng để lợi nhuận trung bình lớn nhất? Câu (3 điểm) Cho toán (P) (1) f ( x) = x1 + x − x3 → max (2) ⎧ x1 ⎪ ⎨2 x1 ⎪2 x ⎩ (3) x1 ≥ , x2 ≥ , x3 ≥ + x2 + x2 − 3x2 - x3 + x3 - x3 =4 ≤ 14 ≥9 a) Lập toán đối ngẫu (D) tương ứng (P) b) Trong hai toán, xét xem toán đơn giản giải toán suy kết toán lại Câu (2,5 điểm) Một công ty may mặc cần sản xuất 15000 đơn vị sản phẩm loại A1, 13000 đơn vị sản phẩm loại A2 thông qua ba xí nghiệp B1, B2, B3 với khả sản xuất (số đơn vị sản phẩm loại A1 hay sản phẩm loại A2) 12000, 11000, 8000 đơn vị sản phẩm Chi phí (đơn vị tính 10.000 đồng/1sản phẩm) sản xuất sản phẩm xí nghiệp cho bảng sau Xí nghiệp Sản phẩm A1:15000 A2:13000 B2 11000 B1 12000 7,5 6,5 B3 8000 6,5 -1- Vì chiến lược phát triển công ty, nên xí nghiệp B1 phải thu đủ 12000 đơn vị sản phẩm để sản xuất Hỏi phải phân phối sản phẩm cho xí nghiệp sản xuất để tổng chi phí thấp tính tổng chi phí thấp đó? Câu (2,5 điểm) Một công ty đồ gỗ ký hợp đồng giao cho hệ thống khách sạn 350 bàn ghế giường (mỗi gồm bàn, ghế, giường) Công ty có hai xí nghiệp I II với suất trung bình xí nghiệp sản xuất bàn, ghế, giường cho bảng sau ( bàn/ngày, ghế/ngày, giường/ ngày) S.Phẩm X.Nghiệp Bàn Ghế Giường XN I: 40 90 32 XN II: 34 81 28 a) Hỏi phải phân công thời gian sản xuất xí nghiệp để ngày tạo nhiều bàn ghế giường nhất? Ước tính thời gian trung bình để công ty sản xuất đủ số bàn ghế giường hoàn thành hợp đồng b) Trong thực tế dây chuyền sản xuất, để thuận tiện cho việc cung cấp nguyên vật liệu tổ chức sản xuất, xí nghiệp vừa sản xuất bàn ghế giường tất ngày làm việc, mà phải sản xuất bàn (hoặc ghế, giường) xong chuyển sang sản xuất ghế (hoặc bàn, giường) Hỏi phải phân công trình tự sản xuất bàn ghế giường cho xí nghiệp để thuận tiện cho việc tổ chức sản xuất hoàn thành hợp đồng sớm nhất? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) Câu Lập mô hình toán học toán thực tế quản lý, sản xuất đời sống G1: 1.1, 1.2, G2:2.1, 2.3 2.4.2 G1: 1.1, 1.2, G2:2.1,2.3 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4 Caâu Lập toán đối ngẫu toán QHTT; xác định toán gốc toán đối ngẫu xem toán có độ phức tạp hơn; áp dụng thuật toán đơn hình định lý độ lệch bù yếu tìm nghiệm hai toán gốc đối ngẫu Câu Nhận dạng toán quản lý sản xuất có dạng BTVT không cân thu phát p dụng thuật toán vị thuật toán quy cước phí để tìm nghiệm BTVT Câu Nhận dạng toán quản lý sản xuất có dạng toán SXĐB p dụng thuật toán điều chỉnh nhân tử để tìm nghiệm toán SXĐB biết cách áp dụng nghiệm toán SXĐB vào việc lập kế hoạch cho sản xuất G1: 1.1, 1; G2:2,2.1,2.3 G2:2.1.1, 2.1.2, 2.4.2 G1: 1.1, 1.2; G2:2.1,2.3 2.1.1, 2.1.2, 2.4.2 Ngày 11 tháng năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -2- Đáp Án QUY HOẠCH TỐN HỌC (12/1/2016) Câu Gọi x, y, z số sản phẩm loại A, B, C mà công ty cần sản xuất tuần Lợi nhuận lớn nhất: f ( x, y , z ) = (11 − 6) x + (9 − 5,5) y + (8,5 − 5) z → max (0,5 ñ) (0,25 ñ) Số lao động sử dụng công đoạn không vượt tổng số lao động công đoạn mà công ty có tuần: Công đoạn 1: x + 2,5 y + z ≤ 350 Công đoạn 2: x + y + z ≤ 650 (0,5 đ) Công đoạn 3: x + y + z ≤ 400 Số sản phẩm loại A không vượt tổng số sản phẩm loại B C: x ≤ y + z (0,25 ñ) Số sản phẩm loại không âm nguyên: x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ x, y, z ngun (0,25 đ) Tóm lại ta có mơ hình tốn là tìm số x, y, z cho: (1) f ( x, y , z ) = x + 3,5 y + 2,5 z → max ⎧3x + 2,5 y + z ≤ 350 ⎪5 x + y + z ≤ 650 ⎪ (2) ⎨ ⎪4 x + y + z ≤ 400 ⎪⎩ x ≤ y +z (0,25 ñ) (3) x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ x, y, z nguyên Câu a) Bài toán đối ngẫu tương ứng (D): (1) g ( y ) = y1 + 14 y + y → ⎧ y1 ⎪ (2) ⎨ y1 ⎪− y ⎩ + y2 + y2 + y2 + y3 − y3 − y3 ≥1 ≥8 ≥ −3 (0,25 ñ) (0,5 ñ) (0,5 ñ) (3) y1 tùy ý, y ≥ , y3 ≤ b) Trong hai toán toán gốc đơn giản vì: Để giải toán gốc cần đưa vào hai ẩn phụ hai ẩn giả; để giải toán đối ngẫu phải đổi dấu ẩn âm, nhân hai vế bất phương trình thứ ba cho -1, đổi biến ẩn tùy ý thành ẩn đưa vào ẩn phụ, ẩn giả -1- Đưa toán đối ngẫu (P) dạng chuẩn ( PM ) (1) f ( x) = x1 + x − 3x3 + x + x5 − M ( x6 + x7 ) → max (với M số dương lớn tùy ý) (2) (3) ⎧ x1 ⎪ ⎨2 x1 ⎪2 x ⎩ + x2 + x2 − x3 + x3 − 3x2 − x3 + x7 + x4 − x5 =4 = 14 + x6 =9 x1 ≥ , x2 ≥ , x3 ≥ , x4 ≥ , x5 ≥ , x6 ≥ , x7 ≥ Lập bảng đơn hình (có thể không cần lập cột x6 , x7 ) Hệ số Hệ ẩn PA -3 0 -M -M CB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 -M x7 4 -1 0 x4 14 2 0 -M x6 -3 -1 -1 -3M-1 -M-8 2M-3 -M 0 (0,25 đ) Bảng f M ( x) = −13M x1 4 -1 0 x4 -6 0 -2 x6 -11 -1 -2 11M-4 -M+2 M 3M+1 -M Baûng f M ( x) = −M + x1 -7 0 -1 -1 x4 49 -5 -3 x3 -11 -1 18 0 Baûng f M ( x) = λi -2+M -7+M (0,5 đ) Trong bảng 3, M số dương lớn nên Δj ≥ ∀ j = 1,7 PACB có toán ( PM ) ( x1 , x , x3 , x , x5 , x6 , x7 ) = (5,0,1,1,0,0,0) toái ưu Trong hệ ẩn không ẩn giả nên ẩn giả y6 = y7 = nên toán (P) có PATƯ ( x1 , x , x3 ) = (5,0,1) , f max = ⎧ 5( y1 + y + y − 1) = ⎪ Theo định lý độ lệch bù yếu ta có: ⎨ 1(− y1 + y − y + 3) = ⇔ ⎪ y (2 × + × + × − 14) = ⎩ Phương án tối ưu toán gốc (P ) laø: ( y1 , y , y3 ) = (5,0,−2), g = -2- ⎧ y1 = ⎪ ⎨ y = , g = ⎪ y = −2 ⎩ (0,5 ñ) Câu Bài toán có dạng toán vận tải không cân thu phát với lượng phát lượng thu (8000 + 11000 + 12000 ) − (15000 + 13000 ) = 3000 Lập thêm trạm giả A3 với lượng cần phát a3 = 3000 Để trạm B1 thu đủ lượng hàng giả trạm A3 không phát vào trạm B1 nên ô (3,1) ô cấm, cần tổng chi phí thấp nên toán f → “cước phí” ô (3,1) (0,75 đ) M (với M số dương lớn tùy ý) Lần lượt phân phối sau: ô ( 2,3) 8000 ; ô (1,2) 11000; oâ ( 2,3) 500; oâ (1,3) 400; oâ (3,3) 300 Sau phân phối xong ta phương án ban đầu không suy biến, tìm vị hàng vị cộ tính kij = ui + vj - cij ta được: Xí nghiệp Sản phẩm A1:15000 A2:13000 A3: 3000 B1 12000 7,5 × 4000 × 5000 M × Đưa 3000 B2 B3 11000 8000 6,5 × 1100 6,5 × 8000 M-1 × M-0,5 v1 = v2 = −1 u1 = 7,5 u2 = u3 = M Đưa vào v3 = −0,5 Còn ô (3,3) có k 33 = M − 0,5 > nên phương án có không tối ưu (0,75 đ) Ô đưa vào ô (3,3) Vòng điều chỉnh V = {(2,1), (2,3), (3,1), (3,3)}, V C = {(2,3), (3,1)}, V L = {(2,1), (3,3)} Ô đưa ô (3,1) lượng điều chỉnh x31 = 3000 Lập phương án tìm hệ thống vị ta được: Xí nghiệp Sản phẩm A1:15000 A2:13000 A3: 3000 B1 12000 7,5 × 4000 × 8000 M 0,5-M B2 B3 11000 8000 6,5 × 1100 6,5 × 5000 -0,5 × M-0,5 3000 v1 = v2 = −1 -3- v3 = −0,5 u1 = 7,5 u2 = u = 0,5 Tất ô có k ij ≤ nên phương án tối ưu Vì ô cấm (3,1) nhận giá trị nên toán có phương án tối ưu là: Xí nghiệp Sản phẩm B2 11000 B1 12000 A1:15000 7,5 A2:13000 6,5 4000 1100 8000 B3 8000 6,5 5000 Tổng chi phí bé nhất: f = 7,5 × 4000 + 6,5 × 11000 + × 8000 + 6,5 × 5000 = 190.000(×10.000 đồng) (0,25 đ) Chú ý: Có thể giải thuật toán quy cước phí Câu Đây toán dạng “Bài toán sản xuất đồng bộ”, gồm bàn, ghế giường Đưa toán dạng toán SXĐB dạng chuẩn S.Phẩm X.Nghiệp XN I: Baøn 40 XN II: 34 Ghế(quy ước) 30 × × × 27 v1 = v2 = Giường(quy ước) 16 × u = 36 14 v3 = u1 = 40 (0,75 ñ) 1a) max{cij : i = 1,2; j = 1,2,3} = 40 = c11 nên ô chọn ô (1,1), u1 = 40 , v1 = 1b) k = : max{c1 j : j = 2,3} = max{30,16} = 30 = c12 ⎧ u1 ⎫ 40 = ; ô (1,2) ô chọn ⎬= ⎩ c12 ⎭ 30 Nhân tử cột v = ⎨ 1c) Chỉ hàng chưa có nhân tử nên r = nhân tử hàng 4⎫ ⎧ u = max{c j v j : j = 1,2} = max ⎨34,27 × ⎬ = 36 = c 22 v Ô (2,2) ô chọn 3⎭ ⎩ 1b) Chỉ cột chưa có nhân tử nên t = nhân tử cột ⎧u u ⎫ ⎧ 40 36 ⎫ u v3 = ⎨ , ⎬ = ⎨ , ⎬ = = ⎩ 16 14 ⎭ c13 ⎩ c13 c 23 ⎭ OÂ (1,3) ô chọn -4- Tính : z = 40 + 36 456 = ≈ 15,7241 29 1+ + S.Phẩm X.Nghiệp XN I: XN II: Bàn 40 × 57 x11 = 145 34 x21 = v1 = (+) Ghế(quy ước) 30 đưa × 109 x12 = − 290 × 27 x 22 = (-) v2 = Giường(quy ước) × 57 x13 = 58 u1 = 40 (+) 14 đưa vào x 23 = (+) v3 = u = 36 (-) 16 ⎧ n ⎪ ∑ xij = 1, i = 1,2 ⎫⎪ ⎪ j =1 ⎬voi (i, j) ∈ S , với S tập ô chọn "×" Dựa vào ⎨ m ⎪ ⎪∑ cij xij = z , j = 1,3 ⎭ i =1 ⎪ xij = 0, voi (i, j) ∉ S ⎩ 57 109 57 ≥ , x21 = ≥ , x 22 = > 0, x 23 = ≥ nên giả ≥ 0, x12 = − < 0, x13 = 145 290 58 phương án không phương án tối ưu (0,75 đ) tính x11 = ⎧ u 36 ⎫ 36 ⎪⎪ 36 , λ = ⎨ = = Ô đưa vào ô (2,3) ⎬ c 23 v3 ⎪ 34 × 14 × ⎭ 35 ⎩⎪ Sửa nhân tử S.Phẩm X.Nghiệp XN I: Bàn 40 × x11 = XN II: 405 1036 35 Ghế(quy ước) 30 x12 = 27 x21 = v1 = 36 35 x 22 v2 = 288 + 36 4050 z = = Tính : ≈ 15,6370 36 18 259 + + 35 -5- × 150 = 259 Giường(quy ước) 16 × 631 x13 = 1036 14 × 109 = 259 x 23 v3 = 18 u1 = 288 u = 36 ⎧ n ⎪ ∑ xij = 1, i = 1,2 ⎫⎪ ⎪ j =1 ⎬voi (i, j) ∈ S , với S tập ô chọn "×" Dựa vào ⎨ m ⎪ ⎪∑ cij xij = z , j = 1,3 ⎭ i =1 ⎪ xij = 0, voi (i, j) ∉ S ⎩ 405 631 150 109 ≥ , x21 = ≥ , x 22 = ≥ neân ≥ 0, x12 = ≥ , x13 = > 0, x 23 = Tính x11 = 1036 1036 259 259 giả phương án phương án tối ưu Thời gian trung bình để công ty sản xuất đủ số bàn ghế giường hoàn thành hợp đồng: 350 1813 T= = ≈ 22,38 ngày (0,5 đ) 4050 81 259 b) X 11 = x11 × T = X 22 = x 22 × T = 35 = 8,75 ; X 12 = x12 × T = ; X 13 = x13 × T = 4417 ; 324 X 21 = x21 × T = ; 350 763 ≈ 12,9629 , X 23 = x 23 × T = ≈ 9,4197 27 81 S.Phẩm X.Nghiệp XN I: Baøn 40 X 12 = X 13 = 81 35 X 21 = 32 90 35 X 11 = = 8,75 XN II: Giường Ghế 4417 ≈ 13,6327 324 28 X 22 350 = ≈ 12,9629 27 X 23 = 763 ≈ 9,4197 81 Phân công trình tự sản xuất bàn ghế giường cho xí nghiệp sau: Xí nghiệp I sản xuất bàn trước (khoảng 8,75 ngày-đủ 350 bàn), sau sản xuất bàn xong chuyển sang sản xuất giường (khoảng 13,6327 ngày); xí nghiệp II sản xuất ghế trước (khoảng 12,9629 ngày- đủ 1050 ghế), sau sản xuất ghế xong chuyển sang sản xuất giường (khoảng 9,4197 ngày- xí nghiệp I sản xuất đủ 700 giường) (0,5 đ) Hết -6- ... Hệ ẩn PA -3 0 -M -M CB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 -M x7 4 -1 0 x4 14 2 0 -M x6 -3 -1 -1 -3 M-1 -M-8 2M-3 -M 0 (0,25 đ) Bảng f M ( x) = −13M x1 4 -1 0 x4 -6 0 -2 x6 -1 1 -1 -2 11M-4 -M+2 M 3M+1 -M Baûng... Trong hai toán toán gốc đơn giản vì: Để gi? ?i toán gốc cần đưa vào hai ẩn phụ hai ẩn giả; để gi? ?i toán đ? ?i ngẫu ph? ?i đ? ?i dấu ẩn âm, nhân hai vế bất phương trình thứ ba cho -1 , đ? ?i biến ẩn tùy ý... đồng sớm nhất? Ghi : Cán coi thi không gi? ?i thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA N? ?i dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) Câu Lập mô hình toán học toán thực tế quản lý, sản xuất đ? ?i sống G1: 1.1,