- Thí sinh không được sử dụng tài liệu, không được trao đổi bài..[r]
(1)TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
THANH HÓA Năm học 2011 – 2012
Mơn thi: Tốn - Lớp 10
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang gồm câu)
………
Câu I.(6,0 điểm)
Cho hàm số f x mx2 2(m2)x m 7 Pm
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m1 Từ suy đồ thị của hàm số g x x – x 8 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hoành độ dương x , x1 và thỏa mãn điều kiện x – 2x1 0.
c) Tìm m để điểm đồ thị hàm số cho có tung độ khơng âm.
Câu II.(4 điểm)
a) Giải bất phương trình: 2− x¿2
x(x −4)√4x − x2≥4−¿
b) Giải hệ phương trình: ¿
¿
x − y −2y x =−2 xy−2y2
+x=0
¿
{
¿ Câu III.(2 điểm)
Cho a, b, c > 11 +a+
1 1+b+
1
1+c≥2 Chứng minh abc≤ Câu IV.(2 điểm)
Tính giá trị biểu thức P = sin
α+sinαcosα+cos2α
sin4α −cos4α tan α = với π<α<3π
2
Câu V. (6 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy, cho đường thẳng d: x – 7y + 10 = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng Δ : 2x + y = và tiếp xúc với đường thẳng d điểm A(4; 2)
b) Cho tam giác ABC thỏa mãn : a2+b2+c2=9R2 Chứng minh tam giác
ABC tam giác (a, b, c độ dài cạnh, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC)
c) Xác định toạ độ đỉnh B tam giác ABC biết C(4; 3) Đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ A nằm đường thẳng x + 2y - = 0 và 4x + 13y - 10 = 0.
(2)
- Cán coi thi khơng giải thích thêm.
- Họ tên thí sinh:……… Số báo danh………
TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
THANH HÓA Năm học 2011 – 2012
Mơn thi: Tốn - Lớp 10
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ( ( Đáp án gồm 03 trang)
CÂU, Ý NỘI DUNG ĐIỂM
I (6.0đ)
1
2
3
Với m = f(x) = x2 – 6x + 8
Đỉnh parabol I(3;-1) Trục đối xứng x =
Hàm số đồng biến khoảng (3;+∞) , nghịch biến khoảng (− ∞;3) x - ∞ +
∞
y +
∞ + ∞
-1 Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
Đồ thị hàm số y = x2 – 6|x| + gồm hai phần:
Phần đồ thị hàm số y = x2 – 6x + nằm phía bên phải trục tung
Phần phần đối xứng đồ thị hàm số y = x2 – 6x + nằm bên trái trục tung qua
trục tung
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
Đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt x1, x2 dương ⇔ f(x) = có hai
nghiệm phân biệt dương
'
7
0
0
3
2
0 m
m
m m
P
m m
m S
m
Khi theo Vi-et ta có:
1
1
2( 2) m
x x
m m x x
m
(1) Theo giả thiết x1 - x2 = ⇔x1=2x2
Thay vào (1) giải ta m = m = -32 (t/m) Vậy giá trị m cần tìm m = m = -32
……… Mọi điểm đồ thị hàm số cho có tung độ khơng âm điều kiện cần đủ f(x) ; ∀x¿∈
¿
R + m = (loại)
+ m f(x)
0 0;
' m
x R
m
0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ ……
0.5đ 0.5đ 0.5đ
(3)⇔
4 m
Vậy giá trị m cần tìm
4 ;
m
II
1 Đ/k: 0≤ x ≤4
2
2
2
( 4) 4 ( 4)( 1)
( 4) ( )
4
BPT x x x x x x
x x x x
x x do x x
x x
Kết hợp điều kiện suy x = x =
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Đ/k: x
+ Xét y = không thỏa mãn
+ Xét y chia hai vế phương trình (2) cho y ta
¿ HPT⇔ x − y −2y
x =−2 2x −2y+x
y=0
¿
⇔ x − y=2y
x −2 2(x − y)=− x y
¿ ¿{
¿
2
4
2
y x y
x
y x
x y
y x y
x
x y
Giải hệ ta
¿
x=−2 y=−1
¿{
¿
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
III (2.0đ)
1
Từ giả thiết suy 11 +a≥1−
1 1+b+1−
1 1+c=
b 1+b+
c 1+c Áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có:
1 1+a≥
b 1+b+
c 1+c≥2√
bc
(1+b)(1+c) Tương tự
1+b≥ a 1+a+
c 1+c≥2√
ac
(1+a)(1+c)
0.5đ
(4)1+c≥
b 1+b+
a
1+ca≥2√ ba
(1+b)(1+a)
8
(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
8
abc Suy ra
a b c a b c
Nên abc 0.5đ 0.5đ IVa
(2,0đ) Do tan
α = nên cos α ≠0
Ta có sin4α −cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α −cos2α)=sin2α −cos2α Do đóP=
2 sin2α cos2α +
sinα cosα +1 sin2α
cos2α −1
¿2 tan
2α
+tanα+1 tan2α −1
¿11 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ V (6.0đ)
Theo giả thiết (d) tiếp tuyến với đường tròn điểm A(4; 2) nên tâm I đường tròn phải thuộc đường thẳng (a) qua A vng góc với (d) Phương trình đường thẳng (a) là: 7(x - 4) + 1(y - 2) = 7x + y – 30 =
Tọa độ I nghiệm hệ phương trình:
¿ 2x+y=0 7x+y −30=0
¿{
¿
Giải hệ ta I(6; -12) Bán kính R = IA = √22
+142=10√2
Vậy phương trình đường trịn là: (x - 6)2 + (y + 12)2 = 200
Ta cã:
2 2
2 2
4
a b c
a b c
m m m
Nên giả thiÕt
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
4
9
4 2 2 2
3 ( ) ( ) ( )
9 3
3
a b c
a b c
a b c
m m m
R
m m m
R m m m R
GA GB GC R OA OB OC
( G, O lần lợt trọng tâm tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC)
2 2 2
0
AG AO BG BO CG CO OG GA GB GC OA OB OC
3OG OG O O G
Vậy ABC tam giác
Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình sau:
¿
x+2y −5=0 4x+13y −10=0
(5)Giải hệ ta A(9;-2)
Gọi C’ điểm đối xứng C qua đường phân giác góc A C’ AB, tìm C’(2; -1)
Dựng hình bình hành ABDC với AD đường chéo Phương trình đường thẳng DC là: x + 7y – 25 = Tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình
¿
4x+13y −10=0 x+7y −25=0
¿{
¿
Giải hệ ta D(-17; 6)
Gọi I = AD BC suy I trung điểm AD, nên tọa độ điểm I(-4; 2) Suy tọa độ điểm B(-12; 1)
0.5đ 0.5đ