Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với một số lớp phương trình vi phân tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- ĐINH XUÂN KHÁNH ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngành: Tốn học Mã số: 9460101 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 Cơng trình hồn thiện tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội ——————————- Người hướng dãn khoa học: PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy TS Phan Xuân Thành Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Trường họp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi giờ, ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Các phương trình vi phân tiến hóa nảy sinh từ hệ thống tự nhiên, kỹ thuật đa dạng, hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần thể, Bằng cách chọn khơng gian tốn tử thích hợp phương trình viết dạng phương trình vi phân trừu tượng với toán tử tác động khơng gian Banach Khi nghiên cứu phương trình trừu tượng không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng phương pháp dựa phát triển gần tốn học để tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm phương trình Luận án nhằm nghiên cứu đánh giá tồn đa tạp bất biến thuộc lớp chấp nhận từ tìm hiểu tính chất tiệm cận (ổn định, khơng ổn định, ) nghiệm phương trình tiến hóa mơ tả hệ thống kể thời gian đủ lớn thơng qua phương pháp tốn học đại lý thuyết phổ toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa tạp bất biến, vv Bài toán tồn đa tạp bất biến chấp nhận vấn đề nhận quan tâm lớn nhiều tác giả Để nghiên cứu tồn đa tạp, người ta thường quan tâm đến đặc trưng nhị phân mũ phần tuyến tính khơng gian hàm, tính liên tục Lipschitz với số Lipschitz đủ nhỏ phần phi tuyến Tuy nhiên, mơ hình thực tế phần phi tuyến có hệ số Lipschitz phụ thuộc vào thời gian khơng đủ nhỏ Gần đây, cách sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron không gian hàm chấp nhận người ta đưa điều kiện tổng quát cho phần phi tuyến tồn đa tạp tích phân, điều kiện liên tục Lipschitz khơng (tính ϕ-lipschitz) với ϕ hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận Sự tồn đa tạp bất biến kiểu chứng minh kết PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Luận án nghiên cứu tồn đa tạp bất biến chấp nhận ổn định không ổn định thuộc không gian E-lớp, chứng minh tính hút đa tạp bất biến chấp nhận khơng ổn định Từ đó, áp dụng kết thu cho số mơ hình thực tế Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Luận án: Nghiên cứu tồn đa tạp bất biến chấp nhận ổn định không ổn định đưa cấu trúc hình học nghiệm phương trình vi phân nửa tuyến tính, mặt khác giúp làm đơn giản hóa nghiên cứu tính chất nghiệm đa tạp thay cho nghiên cứu nghiệm phương trình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng; Đa tạp bất biến chấp nhận ổn định khơng ổn định phương trình tính hút đa tạp bất biến chấp nhận không ổn định Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, sử dụng phương pháp sau: Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm giải tích (Analytic Semigroup) khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng họ tiến hóa biểu diễn nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Sử dụng lý thuyết đặt chỉnh tốn khơng ơ-tơ-nơm tuyến tính Lý thuyết không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết nhiễu tuyến tính phi tuyến hệ động lực vơ hạn chiều Lý thuyết đa tạp bất biến thông thường đa tạp chấp nhận Ý nghĩa kết luận án Luận án nhằm phát triển bổ sung lý thuyết ổn định, khơng ổn định, nhị phân mũ số tính chất định tính khác nghiệm phương trình tiến hóa dạng parabolic nửa tuyến tính vốn mơ hình q trình tiến hóa kỹ thuật công nghệ Bổ sung lý thuyết đa tạp bất biến chấp nhận ổn định không ổn định thuộc không gian hàm Banach chấp nhận E-lớp, từ đơn giản hóa việc đánh giá quy mơ tích chất tương lai hệ thống thông qua điều kiện ban đầu biết khứ Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án chia làm bốn chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian hàm Banach chấp nhận nửa đường thẳng R+ (hoặc toàn đường thẳng R), khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh số tính chất nửa nhóm, họ tiến hóa, nhị phân mũ họ tiến hố Chương 2: Trình bày tồn đa tạp bất biến chấp nhận khơng ổn định thuộc E-lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ; phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz Từ nghiên cứu tính hút đa tạp khơng ổn định ứng dụng lý thuyết cho mơ hình Fisher-Kolmogorov Chương 3: Trong chương này, mở rộng kết chương 2, chứng minh tồn nghiệm đa tạp bất biến chấp nhận không ổn định thuộc E-lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ, tính hút đa tạp ứng dụng vào mơ hình thực tế Chương 4: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ, với họ tiến hóa có nhị phân mũ chứng minh tồn đa tạp bất biến chấp nhận ổn định địa phương thuộc E-lớp, kiểm tra kết với mơ hình Hutchinson Nội dung luận án dựa vào ba báo liệt kê "Danh mục cơng trình cơng bố luận án", [1] đăng tạp chí thuộc nhóm (SCI), [2] đăng tạp chí quốc tế báo [3] gửi Chương KHÔNG GIAN HÀM, NỬA NHĨM VÀ HỌ TIẾN HĨA Để tiện cho việc trình bày, chương ký hiệu I thay cho R, R+ 1.1 Không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận Định nghĩa 1.1.1 Không gian hàm Banach EI gọi chấp nhận thoả mãn điều kiện sau: (i) Tồn số M ≥ cho [a, b] ⊂ I ϕ ∈ EI ta có b |ϕ(t)|dt ≤ a M (b − a) ϕ χ[a,b] EI EI t+1 (ii) EI bất biến với tốn tử Λ1 , Λ1 ϕ(t) = ϕ(τ )dτ t (iii) EI Tτ+ bất biến với τ ∈ I, Nếu I = R+ Tτ+ ϕ(t) = ϕ(t − τ ) với t, t − τ ≥ với t ≥ t − τ < 0 Nếu I = R Tτ+ ϕ(t) = ϕ(t − τ ) với t, τ ∈ R (iv) EI Tτ− bất biến với τ ∈ I, Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với t ∈ I Hơn ∃N1 , N2 > cho Tτ+ E ≤ N1 , Tτ− E ≤ N2 với τ ∈ I Mệnh đề 1.1.2 Cho EI không gian hàm Banach chấp nhận Ta có khẳng định sau: (a) Cho ϕ ∈ L1, loc (I) cho ϕ ≥ Λ1 ϕ ∈ EI Với σ > ta xác định Λσ ϕ Λσ ϕ sau: t e−σ|t−s| ϕ(s)ds, Λσ ϕ(t) = t0 t0 = I = R+ t0 = −∞ I = R ∞ e−σ(s−t) ϕ(s)ds Λσ ϕ(t) = t Khi đó, Λσ ϕ, Λσ ϕ ∈ EI Và ta có đánh giá Λσ ϕ EI ≤ N1 Λ1 T1+ ϕ −σ 1−e EI , Λσ ϕ EI ≤ N2 Λ1 ϕ − e−σ EI (1.1) Λ1 , T1+ N1 , N2 xác định Định nghĩa 1.1.1 Hơn nữa, ϕ ∈ M(I) (điều thoả mãn ϕ ∈ E ) Λσ ϕ Λσ ϕ bị chặn ta có: Λσ ϕ ∞ ≤ N1 Λ1 T1+ ϕ −σ 1−e ∞, Λσ ϕ ∞ ≤ N2 Λ1 ϕ − e−σ (b) e−α|t| ∈ EI với t ∈ I số α > cố định (c) eb|t| ∈ / EI t ∈ I số b > cố định ∞ (1.2) Chú ý 1.1.3 Cho EI không gian hàm Banach chấp nhận EI khơng gian liên kết Khi đó, ta có Bt ng thc Hăolder: |(t)(t)|dt EI ψ EI với ϕ ∈ EI , ψ ∈ EI (1.3) Giả thiết 1.1.4 Giả sử EI không gian hàm Banach chấp nhận cho không gian liên kết EI khơng gian hàm Banach chấp nhận Hơn nữa, giả sử EI chứa hàm EI -bất biến mũ, nghĩa với hàm ϕ ≥ ν > cố định hàm hν ∈ EI với hν (t) := e−ν|t−·| ϕ(·) 1.2 EI với t ∈ I (1.4) Họ tiến hóa, nhị phân mũ Định nghĩa 1.2.1 Một họ tốn tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s không gian Banach X gọi họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ) (i) U (t, t) = Id U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với t ≥ r ≥ s, (ii) Ánh xạ (t, s) → U (t, s)x liên tục với x ∈ X, (iii) Tồn số K, c ≥ cho U (t, s)x ≤ Kec(t−s) x với t ≥ s x ∈ X Định nghĩa 1.2.2 Một họ tiến hố (U (t, s))t≥s khơng gian Banach X gọi có nhị phân mũ I tồn tốn tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t), t ∈ I, X số N, ν > cho (i) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s t, s ∈ I; (ii) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s t, s ∈ I, đẳng cấu, biểu diễn ánh xạ ngược U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , s ≤ t; (iii) U (t, s)x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s t, s ∈ I; (iv) U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s t, s ∈ I Các toán tử chiếu P (t), t ∈ I, gọi toán tử chiếu nhị phân, số N, ν gọi số nhị phân Bổ đề 1.2.3 Cho (U (t, s))t≥s họ tiến hoá nhị phân mũ với tốn tử chiếu nhị phân P (t) Khi đó, họ toán tử chiếu (P (t))t∈I bị chặn liên tục mạnh Cho (U (t, s))t≥s họ tiến hoá nhị phân mũ I với họ toán tử chiếu P (t), t ∈ I Chúng ta định nghĩa hàm Green sau G(t, τ ) = P (t)U (t, τ ) t > τ t, τ ∈ I, −U (t, τ )| (I − P (τ )) t < τ t, tau ∈ I (1.5) Khi đó, với H = sup P (t) có đánh giá t∈I G(t, τ ) ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với t = τ t, τ ∈ I (1.6) Kết luận Chương Chương này, tổng hợp kiến thức biết nhiều tài liệu tham khảo khác Đó kiến thức sử dụng làm sở nghiên cứu cho chương sau luận án Chương TÍNH HÚT CỦA ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MƠ HÌNH FISHER-KOLMOGOROV Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dx = A(t)x + f (t, x), dt t ∈ R, x ∈ X (2.1) Trong A(t) tốn tử tuyến tính (có thể khơng bị chặn) khơng gian Banach X với t cố định, f : R × X −→ X toán tử phi tuyến Ta ký hiệu ER không gian hàm Banach, X không gian Banach E := E(R, X) := {g : R → X : g đo mạnh g(·) ∈ ER } với chuẩn g E := g(·) ER Khi đó, khơng gian Banach E gọi không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach ER 2.1 Nghiệm phương trình tiến hóa khơng gian E-lớp Định nghĩa 2.1.1 Cho ER không gian hàm Banach chấp nhận ϕ hàm xác định dương thuộc ER Một hàm f : R × X → X gọi ϕ-Lipschitz f thỏa mãn (i) f (t, 0) = với t ∈ R hầu khắp nơi, Hơn nữa, hai nghiệm u1 (t), u2 (t) đa tạp U hút cấp mũ, tức thỏa mãn đánh giá sau u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t0 −t) (I − P (t0 ))(u1 (t0 ) − u2 (t0 )) với t ≤ t0 (2.5) với µ, Cµ số dương không phụ thuộc vào t0 u1 , u2 Định lý 2.2.3 Giả sử điều kiện Định lý 2.2.2 thỏa mãn Với α > cố định cho α < ν, xác định hàm eν−α (t) = e−(ν−α)|t| , hν−α (t) = e−(ν−α)|t−·| ϕ(·) ER với t ∈ R Giả sử l < l = N (1 + H) max N1 q eν−α ER + hν−α ER , q + (N1 + N2 ) Λ1 ϕ − e−(ν−α) ∞ N N1 (1 + H) eν ER ϕ ER với q := Khi đa tạp bất biến chấp nhận − N (1 + H) hν ER không ổn định E-lớp U = { Ut }t∈R hút cấp mũ tất nghiệm phương trình (2.2) theo nghĩa với nghiệm u(·) phương trình (2.2) với giá trị ban đầu u(ξ) tồn nghiệm u∗ (·) nằm U số α > cho u(t)−u∗ (t) ≤ Ce−α(t−ξ) gξ ((I−P (ξ))u(ξ))−P (ξ)u(ξ) , 2.3 t ≥ ξ hầu khắp nơi Ứng dụng mơ hình Fisher-Kolmogorov Chúng ta xét tốn sau  ∂ ∂2 r   u(t, x) = u(t, x) + ru(t, x) − u (t, x), t ≥ s, x ∈ [0, π],    ∂t ∂x K(t) ux (t, 0)     u(s, x) = ux (t, π) = 0, = φ(x), t ∈ R, (2.6) ≤ x ≤ π Ở đây, u(t, x) đại diện cho mật độ quần thể phụ thuộc biến không gian x thời gian t, số r > tốc độ sinh sản K(t) > biểu thị sức chứa môi trường thời điểm t Chúng ta giả sử r = n2 với n ∈ N 11 Với kỹ thuật chọn khơng gian, tốn tử tuyến tính, phi tuyến chọn K(t) := beα|t| với t ∈ R số α > ν, b > Theo Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.3 thấy N (1 + H)4bρr νq q N N1 αp p + 2α p(α + ν)(α − ν) p Cho ER , ER ϕ ∈ ER Giả thiết 1.1.4 Giả sử f : R × C → X ϕ-Lipschitz, u(t) nghiệm phương trình (3.4) (−∞, t0 ] cho hàm z(·) = χ(−∞,t0 ] u(t) ∈ E Khi đó, với t ≤ t0 , u(t) viết sau t0 G(t, τ )f (τ, uτ )dτ, u(t) = U (t, t0 )| v1 + −∞ Trong v1 ∈ X1 (t0 ) = (I − P (t0 ))X, G(t, τ ) hàm Green 14 (3.5) Chú ý 3.1.3 Chúng ta gọi phương trình (3.5) phương trình LyapunovPerron Bằng tính tốn tương tự Chú ý 2.1.3, ta thấy điều ngược lại Bổ đề 3.1.2 đúng, tức là, nghiệm phương trình (3.5) thỏa mãn phương trình (3.4) với t ≤ t0 Định lý 3.1.4 Với giả thiết Bổ đề 3.1.2 cho hν hàm xác định Giả thiết 1.1.4 Giả sử N (1 + H)eνr hν ER < Khi đó, với φ ∈ ImP (t0 ) có nghiệm u(t) phương trình (3.4) (−∞, t0 ] thỏa mãn điều kiện P (t0 )ut0 = φ hàm z(·) = χ(−∞,t0 ] u(t) ∈ E Hơn nữa, N (1+H)eνr (N1 +N2 ) Λ1 ϕ ∞ < 1, với hai nghiệm u(t), v(t) tương ứng với φ1 , φ2 ∈ ImP (t0 ) ta có: ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t−s) φ1 (0) − φ2 (0) với t ≤ t0 , µ, Cµ số không phụ thuộc vào t điều kiện ban đầu 3.2 Đa tạp bất biến không ổn định tính hút Định nghĩa 3.2.1 Một tập S ⊂ R × C gọi đa tạp bất biến chấp nhận không ổn định thuộc E-lớp nghiệm phương trình (3.4) với t ∈ R ta có C = X0 (t) ⊕ X1 (t) với phép chiếu tương ứng P (t) cho supt∈R P (t) < ∞ tồn họ ánh xạ Lipschitz liên tục Φt : X0 (t) → X1 (t), t∈R với số Lipschitz không phụ thuộc vào t cho: (i) S = {(t, ψ + Φt (ψ)) ∈ R × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R, ψ ∈ X0 (t)}, ký hiệu St := {ψ + Φt (ψ) | (t, ψ + Φt (ψ)) ∈ S}, t ∈ R, (ii) St đồng phôi với X0 (t) với t ∈ R, (iii) Mỗi t0 ∈ R, φ ∈ St0 có nghiệm u(t) tương ứng phương trình (3.4) (−∞, t0 ] thỏa mãn ut0 = φ hàm z(·) ∈ E, 15 (iv) S bất biến phương trình (3.4) theo nghĩa, u(t) nghiệm phương trình R Định lý 3.2.2 Với giả thiết Định lý 3.1.4 xác định hàm eν (t) = e−ν|t| với t ∈ R Khi đó, hàm f ϕ-Lipschitz với ϕ thỏa mãn max{N (1 + H)eνr (N1 + N2 ) Λ1 ϕ ∞ , N (1 + H)(eνr hν ER + N N1 eν ER ϕ ER )} < 1, tồn đa tạp bất biến chấp nhận không ổn định S thuộc E-lớp cho nghiệm phương trình (3.4) Định lý 3.2.3 Cho < α < ν cố định, xét hàm eν−α (t) = e−(ν−α)|t| , hν−α (t) = e−(ν−α)|t−·| ϕ(·) ER với t ∈ R Giả sử giả thiết Định lý 3.2.2 thỏa mãn l < l := N (1 + H)eνr max N N1 keνr eν−α ER + hν−α νr ER , N ke + (N1 + N2 ) Λ1 ϕ − e−(ν−α) ∞ N N1 (1 + H) eν ER ϕ ER với k := Khi đó, đa tạp bất biến chấp nhận − N (1 + H)eνr hν E không ổn định thuộc E-lớp S = { (t, St ) }t∈R hút cấp mũ nghiệm phương trình (3.4) Tức là, nghiệm u(·) phương trình (3.4) với điều kiện ban đầu uξ , tồn nghiệm u∗ (·) nằm S cho ut − u∗t 3.3 C ≤ Ce−α(t−ξ) uξ − u∗ξ C với t ≥ ξ hầu khắp nơi Ứng dụng vào mơ hình Fisher-Kolmogorov Xét mơ hình Fisher-Kolmogorov sau:  ∂2 ∂   u(t, x) = u(t, x) + ru(t, x)   ∂t ∂x   r   − u(t − 1, x)u(t, x) với t ≥ s, x ∈ [0, π], K(t)    ux (t, 0) = ux (t, π) = 0, t ∈ R,     u(s + θ, x) = φ(θ, x), θ ∈ [−1, 0], ≤ x ≤ π 16 (3.6) Với kỹ thuật chọn không gian, tốn tử tuyến tính, phi tuyến chọn K(t) := n+1 b(1 + 4t2 ) p với t ∈ R, số b > 0, ≤ p < +∞, n ∈ N n ≥ p 2r(2ρ + C) ∈ Lq (R) q số liên hợp p, tức là, Khi đó, ϕ(t) = K(t) 1 + = Khi đó, áp dụng Định lý 3.2.2 3.2.3 có, p q max    N νp p π q + eνr νq q p q π(2n − 1)!! + (2n)!! νp p , 2eνr   2r(2ρ + C)  b < N (1 + H) tồn đa tạp bất biến chấp nhận không ổn định S = {(t, St )}t∈R thuộc Lp -lớp hút tất nghiệm đủ tốt phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ Và giao {(t, St ∩ Bρ )}t∈R đa tạp bất biến chấp nhận không ổn định địa phương thuộc Lp -lớp cho nghiệm đủ tốt phương trình (3.6) xung quanh nghiệm u0 (t, ·) dẫn đến không ổn định nghiệm Kết luận Chương Như vậy, chương này, mở rộng kết đạt chương cho phương trình nửa tuyến tính với trễ liên tục Kết đạt được: • Chỉ tính tồn nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với trễ liên tục • Chỉ tồn đa tạp bất biến chấp nhận không ổn định cho nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ tính hút • Đưa ứng dụng cụ thể phần lý thuyết mơ hình FisherKolmogorov chứa trễ Kết chương dựa vào báo [3], Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 17 Chương ĐA TẠP BẤT BIẾN ỔN ĐỊNH ĐỊA PHƯƠNG THUỘC E-LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA NỬA TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ Trong chương này, chúng tơi xét phương trình có dạng du = A(t)u(t) + f (t, ut ), dt t ∈ R+ , (4.1) Cho E không gian hàm chấp nhận E không gian liên kết Đặt E := E(R+ , C) := {g : R+ → C : g đo mạnh g(·) với chuẩn g E := g(·) C E C ∈ E} (4.2) Khi khơng gian Banach E gọi không gian Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận E 4.1 Sự tồn nghiệm phương trình tiến hóa có trễ Giả sử họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ R+ với họ phép chiếu P (t), t ≥ Chúng ta định nghĩa họ toán tử (P (t))t≥0 C sau P (t) : C → C (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với θ ∈ [−r, 0] 18 (4.3) Ta có (P (t))2 = P (t) tốn tử P (t), t ≥ 0, phép chiếu C Hơn nữa, ImP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t − θ, t)ν0 với ∀θ ∈ [−r, 0] ν0 ∈ ImP (t)} Định nghĩa 4.1.1 Cho E không gian hàm Banach chấp nhận ϕ hàm dương thuộc E, Bρ cầu bán kính ρ tâm gốc tọa độ X, tức Bρ := {x ∈ X : x ≤ ρ} Một hàm f : [0, ∞) × Bρ → X gọi thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với số dương M, ϕ, ρ f thỏa mãn (i) f (t, φ) ≤ M ϕ(t) với t ∈ R+ φ ∈ Bρ (ii) f (t, φ1 )−f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 −φ2 C với t ∈ R+ φ1 , φ2 ∈ Bρ Tiếp theo, nghiệm đủ tốt phương trình (4.1) hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tích phân sau   u(t) = U (t, s)u(s) + t U (t, ξ)f (ξ, uξ )dξ với t ≥ s ≥ 0, s  u s (4.4) = φ ∈ C Bổ đề 4.1.2 Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phép chiếu tương ứng P (t), t ≥ số nhị phân N, ν > 0; E không gian hàm Banach chấp nhận được, E không gian liên kết E E := E(R+ , C) không gian Banach chấp nhận tương ứng E Giả sử ϕ ∈ E hàm E-bất biến mũ định nghĩa Giả thiết 1.1.4; f thuộc lớp (M, ϕ, ρ) u(t) nghiệm phương trình (4.4) cho hàm χ[s,∞) (t)ut , t ≥ 0, thuộc Bρ ⊂ E với s ≥ cố định Khi đó, với t ≥ s viết u(t) dạng ∞   u(t) = U (t, s)ν0 + G(t, τ )f (τ, uτ )dτ, s (4.5)   us = φ ∈ C với ν0 ∈ X0 (s) = P (s)X, G(t, τ ) hàm Green định nghĩa (1.5) 19 Chú ý 4.1.3 Phương trình (4.5) gọi phương trình Lyapunov-Perron Bằng tính tốn tương tự Chú ý 2.1.3, thấy điều ngược lại Bổ đề 4.1.2 Điều có nghĩa là, nghiệm phương trình tích phân (4.5) thuộc E nghiệm phương trình (4.4) không gian Banach chấp nhận E với t ≥ s Sử dụng tính chất chấp nhận được, xây dựng cấu trúc nghiệm phương trình (4.4) định lý sau Để làm điều này, trước tiên ký hiệu Bl := {φ ∈ C : φ C ≤ l} cầu với bán kính l C Định lý 4.1.4 Với giả thiết Bổ đề 4.1.2, cho ϕ ∈ E hàm E-bất biến mũ hàm tương ứng hν định nghĩa Giả thiết 1.1.4 Khi đó, hàm f thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với số dương M, ρ thỏa mãn N (1 + H)eνr hν với l = ρ 2N N1 eνr eν E < , tồn tương ứng với φ ∈ Bl ∩ ImP (s) có nghiệm u(t) phương trình (4.4) [s − r, ∞) thỏa mãn điều kiện P (s)us = φ hàm χ[s,∞) (t)ut , t ≥ 0, thuộc cầu Bρ E Hơn nữa, N (1+H)eνr (N1 1−e−(ν−µ) Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ ϕ ∞) < đánh giá sau với hai nghiệm u(t), v(t) tương ứng với điều kiện ban đầu φ1 , φ2 ∈ Bl ∩ ImP (s): ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t−s) φ1 (0) − φ2 (0) với t ≥ s ≥ 0, (4.6) µ số dương thỏa mãn < µ < ν + ln − N (1 + H)eνr (N1 Λ1 T1+ ϕ N eνr Cµ := (1+H)eνr + − N1−e −(ν−µ) (N1 Λ1 T1 ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ 20 ∞ + N2 Λ ϕ ∞) ∞) , 4.2 Đa tạp bất biến ổn định địa phương thuộc E-lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ Chúng tơi đưa định nghĩa đa tạp bất biến chấp nhận ổn định địa phương thuộc E-lớp cho nghiệm phương trình (4.4) Định nghĩa 4.2.1 Tập S ⊂ R+ × C gọi đa tạp bất biến chấp nhận ổn định địa phương thuộc E-lớp cho nghiệm phương trình (4.4) với t ∈ R+ không gian pha C = X0 (t) ⊕ X1 (t) với phép chiếu tương ứng P (t) cho sup P (t) < ∞, t≥0 tồn số dương ρ, ρ0 , ρ1 họ ánh xạ Lipschitz Φt : Bρ0 ∩ X0 (t) → Bρ1 ∩ X1 (t), t ∈ R+ với số Lipschitz không phụ thuộc vào t thỏa mãn: (i) S = {(t, ψ + Φt (ψ)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , ψ ∈ Bρ0 ∩ X0 (t)}, ký hiệu St := {ψ + Φt (ψ) : (t, ψ + Φt (ψ)) ∈ S}, (ii) St đồng phôi với Bρ0 ∩ X0 (t) với t ≥ 0, (iii) Với φ ∈ Ss , phương trình (4.4) có nghiệm u(t) [s − r, ∞) thỏa mãn điều kiện ban đầu us = φ hàm χ[s,∞) (t)ut , t ≥ 0, thuộc cầu bán kính ρ E χ[s,∞) hàm đặc trưng khoảng [s, ∞) Hơn nữa, hai nghiệm u(t) v(t) phương trình (4.4) tương ứng với điều kiện ban đầu φ1 , φ2 ∈ Ss hút cấp mũ theo nghĩa, tồn số dương µ Cµ phụ thuộc vào s ≥ cho ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t−s) (P (s)φ1 )(0) − (P (s)φ2 )(0) với t ≥ s, (4.7) 21 (iv) S bất biến dương phương trình (4.4), tức là, u(t), t ≥ s − r, nghiệm phương trình (4.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu us ∈ Ss χ[s,∞) (t)ut ∈ Bρ ⊂ E có ut ∈ St với mọil t ≥ s Định lý 4.2.2 Với giả thiết Bổ đề 4.1.2; cho ϕ ∈ E hàm E-bất biến mũ hν (·) định nghĩa Giả thiết 1.1.4 định nghĩa hàm eν (t) = e−νt với t ≥ Khi đó, hàm f ϕ-Lipschitz với ϕ thỏa mãn max{ N (1 + H)eνr (N1 Λ1 T1+ ϕ N (1 + H)eνr ( hν E ∞ + N2 Λ ϕ + N N1 eν E ϕ E ∞ ), ) } < 1, tồn đa tạp bất biến chấp nhận ổn định địa phương S thuộc E-lớp cho nghiệm phương trình (4.4) 4.3 Ứng dụng vào mơ hình Hutchinson Xem xét phương trình Hutchinson suy rộng với khuếch tán phụ thuộc thời gian  ∂w(x, t) ∂ w(x, t)   = a(t)[ + ηw(x, t)]   ∂t ∂x2     +ψ(t)w(x, t − 1)(1 + w(x, t)) với < x < π, t ≥ 0, ∂w(0, t) ∂w(π, t)   = = 0, t ≥ 0,    ∂x ∂x   w(x, θ) = φ(x, θ) ∈ C với < x < π, θ ∈ [−1, 0], (4.8) đây, η ∈ R η = n2 với n ∈ N; hàm a(·) ∈ L1,loc (R+ ) thỏa mãn điều kiện < γ0 ≤ a(t) ≤ γ1 với t ∈ R+ số γ0 , γ1 cố định Tiếp theo, đặt X := C [0, π], C := C([−1, 0], X), cho A : X ⊃ D(A) → X định nghĩa Ay = y + ηy, với miền xác định D(A) = {y ∈ X : y (0) = y (π) = 0} 22 Ta định nghĩa hàm f : R+ × C → X f (t, ϕ) := ψ(t)(δ−1 ϕ)(1 + ϕ) với ϕ ∈ C := C([−1, 0], X) δ−1 hàm Dirac delta tập trung −1,   d u(·, t) = A(t)u(·, t) + f (t, ut (·, θ)), dt u (·, θ) = φ(·, θ) ∈ C Bây chọn ω(t) := be−αt với t ∈ R+ , với số α > ν, b > Đặt ϕ(t) = (1 + 2ρ)ω(t) với t ∈ R+ thấy ϕ ∈ Lp (R+ ) với ≤ p < +∞ theo Định lý 4.2.2 có: (1 + 2ρ)bN (1 + H)eνr νq q N N1 (1 + 2ρ)bN (1 + H)e αp νr νq q p + 2α p(α + ν)(α − ν) 2α p(α + ν)(α − ν) p < p