GOI NGUYEN DUC THANG

Gởi thầy NGUYỄN ĐỨC THẮNG và đồng nghiệp bài này tham khảo. Bài toán trong ĐỀ THI THỬ QUỐC HỌC QUY NHƠN ngày 28/4/1012.[r]

HUỲNH ĐỨC KHÁNH

Bài 1.Trong không gian với hệ trục Oxyzcho mặt phẳng (α) : 2x−y−2z−2 = 0và đường thẳng (d) : x

−1 = y+1

2 = z−2

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng(α)một góc nhỏ nhất.

BÀI GẢI.

Gọi−→nP(A;B;C)là tọa độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng(P). Vì(P)chứa(d)nên −n→P.−→ud =0⇒ −A+2B+C =0 ⇒C= A−2B. Gọiϕlà góc tạo hai mặt phẳng(P)và(α), ta có

cosϕ= |2A−B−2C| 3.√A2+B2+C2 =

|B| √

2A2−4BA+5B2.

•NếuB =0thìcosϕ=0.

•NếuB 6=0ta chọnB =1, đócosϕ= √ 1

2A2−4A+5.

Ta có ϕnhỏ nhất ⇔ cosϕlớn nhất ⇔ 2A2−4A+5nhỏ nhất ⇔ 2(A−1)2+3nhỏ nhất ⇔ A = 1 Suy ra C = −1 Khi đó cosϕ= √1

3 >0 Vậy ta chọn A = 1;B = 1;C = −1 Tóm lại mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến −n→P(1; 1;−1) và qua M(0;−1; 2) ∈ (d) nên (P) : x+y−z+3=0.

Bài 2.Trong không gian với hệ trụcOxyzcho mặt phẳng(α) : x+2y−z+5 =0và hai điểm M(−1;−1; 3),N(1; 0; 4) Viết phương trình mặt phẳng(P)đi qua hai điểmM,Nvà tạo với mặt phẳng(α)một góc nhỏ nhất.

BÀI GẢI.

Gọi−→nP(A;B;C)là tọa độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng(P). Vì(P)đi qua M,N nên−n→P.

−−→

MN =0⇒2A+B+C =0 ⇒C=−B−2A. Gọiϕlà góc tạo hai mặt phẳng(P)và(α), ta có

cosϕ= √ |A+2B−C| 6.√A2+B2+C2 =

3.|A+B| √

6.√5A2+4BA+2B2.

•NếuB =0thìcosϕ= √3

30.

•NếuB 6=0ta chọnB =1, đócosϕ= √ 3|A+1| 6.√5A2+4A+2.

Xét hàm số f (x) = √ |x+1|

5x2+4x+2 Dùng đạo hàm khảo sát hàm số tìm giá trị lớn của

hàm số bằng √1

2 đạt tạix=0suy racosϕ= √

3 2 >

3 √

30 Vậy ta chọnA=0;B=1⇒C =−1. Tóm lại mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến −n→P(0; 1;−1) và qua M(−1;−1; 3) ∈ (d) nên (P): y−z+4=0.

HUỲNH ĐỨC KHÁNH

Gởi thầy NGUYỄN ĐỨC THẮNG đồng nghiệp tham khảo

Bài toán ĐỀ THI THỬ QUỐC HỌC QUY NHƠN ngày 28/4/1012.Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng(α) : x+y−z−1=0, hai đường thẳng(∆) : x−1

−1 = y −1 =

z 1 và(∆0) : x

1 = y 1 =

z+1

3 Viết phương trình đường thẳng(d)sao cho(d) nằm trong(α)và cắt (∆0), đồng thời(d)và(∆)chéo mà khoảng cách chúng bằng

√ 6 2 .

HÃY TẬP ĐÁNH TEX bạn đam mê TOÁN HỌC

——— HẾT ———