Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại hai điểm cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông.. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp (BCD) theo a.[r]
(1)1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN -
ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC CAO ĐẲNG 2010 MÔN: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) - I Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Bài 1: Cho hàm số 3
3
y= x +x − x+
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 Gọi A B giao điểm (C) trục Ox Chứng minh đồ thị (C) tồn hai điểm nhìn đoạn AB góc vng
Bài : Giải phương trình sau sin2 cos2
2
x x
tg x
π
− − =
2
2
x2−x−
2
2+x−x2=
3
Bài : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y =
1
+ +
x x
đoạn [–1; 2] Tính tích phân : I =
∫
x −xdx2
0
Bài 4: Cho hai mp(P) (Q) vng với nhau, có giao tuyến đường thẳng (∆) Trên (∆) lấy hai điểm A B với AB = a Trong mp(P) lấy điểm C, mp(Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với (∆) AC = BD = AB
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mp (BCD) theo a II) Phần riêng (3 điểm)- Thí sinh làm phần
A PHẦN I Bài 5a
1 Trong mp Oxy cho đường tròn (C) :
(x –1)2 +(y –2)2 = đường thẳng (d) : x – y –1 =
Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường trịn (C) qua (d) Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’)
2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (dk): giao tuyến hai mặt phẳng (P): x +3ky –z +2 = 0; (Q): kx –y +z +1 =
Tìm k để đường thẳng (dk) vuông với (R): x –y –2z +5 =
Bài 6a Từ tổ gồm bạn nam bạn nữ, chọn ngẫu nhiên bạn xếp vào bàn đầu theo thứ tự khác Tính xác suất cho cách xếp có bạn nam
B PHẦN II
Bài 5b Cho hai đường thẳng
( )
x t
d : y t z 2t
= + = − =
( )
x 2t ' d' : y
z t '
= − = = +
1) Chứng minh (d) (d’) chéo Hãy viết pt đường vng góc chung (d) (d’) 2) Viết pt mp song song cách (d) (d’)
Bài 6b: Cho hàm số
2 2 4
2
x x
y x
− +
=
− có đồ thị (C), chứng minh (C) có tâm đối xứng
(2)ĐÁP ÁN Nội dung Lời giải chi tiết
Bài 1: Cho hàm số
1
3
3
y= x +x − x+
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
3
1 3
3
y= x +x − x+ , D = R
y’ = x2 +2x –3 , y’ = <=> x x
=
= −
lim , lim
x→−∞y= −∞ x→+∞y= +∞ y tăng (-∞; -3) (1 ; +∞)
y giảm (-3; 1), CĐ(-3; -32/2) CT(1; 0)
+
-∞
+∞
0
32
BBT
_ f(x)
f'(x)
x -∞ -3 +∞
0
0 +
2) Gọi A B giao điểm (C) trục Ox Chứng minh đồ thị (C) tồn hai điểm nhìn đoạn AB góc vng
Phương trình hồnh độ 3 0
3
x
x x x
x
=
+ − + = <=>
= −
=> A(-5; 0) B(1; 0)
Gọi M thuộc (C) => M ; 1 3
3
a a a a
+ − +
khác A B
3
1 5
5 ; ; ;
3 3
AM a + a +a − a+ BM a − a +a − a+
Theo giả thiết AM⊥BM <=> AM BM =0
<=> (a +5)(a -1) +[1 3(a -1)
2(a +5)]2 =
Do M khác A B nên a khác -5 a khác nên pt tương đương +1
9(a -1)
3(a +5) = hay a4 +2a3 -12a2 +14a +4 = (*) Đặt y = a4 +2a3 -12a2 +14a +4 có tập xác định D = R
y’ = 4a3 +6a2 -12a +14 ; y’ = có nghiệm thực a0 y0 2043
2 16
−
≈ − => ≈
+∞
+∞
9 +
y0<0
+
_ 0
y'
1
BBT a0
y
a -∞ +∞
Từ BBT ta thấy (*) ln có nghiệm khác -5
Vậy tồn điểm nhìn đoạn AB góc vng Bài : Giải phương trình
sau 1)
2 2
sin cos
2
0
x x
tg x
π
− −
=
Với đk x ≠ π +kπ
2 , phương trình thành
(
1 cos)
1
2 cos
1
= +
−
−
− x π tg x x
<=> (1 –sinx) x x 2
cos
sin – (1 +cosx) = <=> (1 +cosx)(1 –cosx –1 –sinx) =
<=> cosx = -1 sinx +cosx = <=> cosx = -1 tgx = -1
x y
(3)3
ĐS x = π +k2π x = −π +kπ
4 (k ∈ Z)
2)
2
x2−x−
2
2+x−x2=
3
Đặt t =2
x2−x, với t > phương trình thành: −4 =3 tt <=> t2 –3t –4 = <=> t = –1 (loại) t =
<=>
2
x2−x = 22 <=> x2 – x –2 = ĐS x = –1 x =Bài 3:
1) Tìm giá trị lơn giá trị nhỏ hàm số y =
1
+ +
x x
đoạn [–1; 2]
y =
1
+ +
x x
có miền xác định D = [–1; 2] y’ =
) ( 1
2
+ +
−
x x
x
= x =
So sánh giá trị y(1) = ; y(-1) = y(2) =
5
ta có max y = y(1) = ; y = y(-1) =
2) Tính tích phân I =
∫
x −xdx2
0
2 I =
∫
x −xdx=∫
(
x −x)
dx +∫
(
x −x)
dx1
0 2
0
2
=
2
3
2
1
0
=
− +
− x x x
x Bài 4: Cho hai mp(P)
(Q) vuông với nhau, có giao tuyến đường thẳng (∆) Trên (∆) lấy hai điểm A B với AB = a Trong mp(P) lấy điểm C, mp(Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với (∆) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a
Cách 1: Các góc B, C nhìn DC góc vng nên mặt cầu ngoại tiếp có tâm I trung điểm BC
Vẽ AF// BD => F trung điểm BC Vì ∆ ABC vuông cân nên AF ⊥BC (1)
Và DB ⊥(ABC)=> DB ⊥AF (2)
(1) (2) AF⊥(DBC) Nên d(A;
(BCD)) =AF =
2 a
Cách 2: Chọn hệ trục Oxyz cho A(0; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a), I(x; y; z) Theo giả thiết ta có: IA = IB = IC = ID =
2
CD = R <=> x = y = z =
2 a
<=> R = IA =
3 a
=> nBCD = (0; a2; a2) Pt (BCD): y +z –a = => d(A; (BCD)) =
2 a PHẦN RIÊNG
A Phần Bài 5a :
1) Trong mp Oxy cho đường tròn (C) : (x –1)2 +(y –2)2 = đường thẳng
(d) : x – y –1 = Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua (d)
(C) có tâm I(1 ; 2) bán kính R =
(∆) đường thẳng qua I (∆)⊥(d) có pt : (x –1) +(y –2) =
Giao điểm H (∆) với (d): x y x y
− − =
+ − =
=> H(2; 1)
Gọi I’ điểm đối xứng I qua (d) H trung điểm I’I Áp dụng công thức trung điểm => I’(3; 0)
(4)Tìm tọa độ giao điểm
của (C) (C’) Giải hệ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 2
( ) : 1 2 4
1
( ') :
C x y x y
x y
C x y
− + − =
− + − =
<=>
− − =
− + =
Ta có giao điểm A(1; 0) B(3; 2)
2) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (dk): giao tuyến hai mặt phẳng
(P): x +3ky –z +2 = 0, (Q): kx –y +z +1 = Tìm k để đường thẳng (dk) vuông với
(R): x –y –2z +5 =
(P) có vtpt n=
(
1;3 ; 1k −)
, (Q) có vtpt n'=
(
k; 1;1−)
=> Đường thẳng dk có vtcp u=n n, '=
(
3k− − − −1; k 1; 3k2−1)
Gỉa thiết dk vuông (R) nên ta có ,u nR=0
<=>
2
3
3
2
k k
k k k
k
− + + =
− + − = <=> =
− + =
Vậy k = đáp số
Chọn ngẫu nhiên bạn thứ tự (chỗ ngồi) => không gian mẫu Ω gồm A115 (phần tử)
Kí hiệu A biến cố: “Trong cách xếp có bạn nam” Chọn bạn,
- Chọn nam từ nam, có
C cách - Chọn nữ từ nữ, có
5 C cách
- Xếp bạn chọn vào vị trí khác có 5! Cách
-Từ theo quy tắc nhân ta có biến cố A chọn người vào vị trí (trong có nam) là: n(A) =
6
C C52.5! Bài 6a:
Từ tổ gồm bạn nam bạn nữ, chọn ngẫu nhiên bạn xếp vào bàn đầu theo thứ tự khác Tính xác suất cho cách xếp có bạn nam
Vậy:
3 5 11 5!
( ) C C 0, 433 P A
A
= ≈
B Phần
Bài 5b Cho hai đường thẳng
( )
x t
d : y t z 2t
= + = − =
( )
x 2t ' d' : y
z t '
= − = = +
1) Chứng minh (d) (d’) chéo Hãy viết phương trình đường vng góc chung (d) (d’)
• d qua điểm M(2; 1; 0) có vtcp u=
(
1; 1; 2−)
• d’ qua điểm M’(0; 3; 1) có vtcp u'= −
(
2;0;1)
(
)
' 2; 2;
M M − −
u u, '= − − −
(
1; 5; 2)
, ' ' 10 10
u u M M
= − + + = ≠
nên d d’ chéo • Đường vng góc chung (D) cắt (d) I => I(2 +t; –t; 2t)∈(d)
và (D) cắt (d’) J =>J(–2s; 3; +s) ∈(d’)
=>JI =(2+ +t ; 2s − − − +t; 2t−s)
• Theo giả thiết đường vng góc chung nên ' JI u JI u
=
=
1
(2 ) (2 )
3 ( 4 )
1
t s t t s t
t s t s
s
−
+ + + + − + − = =
<=> <=>
− − − − + − =
= −
• Lúc 4; ; 3 I −
, J(2; 3; 0)
1; 5;
3 3
JI = − − −
(5)5 • Vậy phương trình (D)
1
3
3
x l
y l
z l
= −
= −
= −
2) Viết pt mp(Q) song song
cách (d) (d’) mp(Q) có vtpt n=u u, '= − − −
(
1; 5; 2)
và qua điểm M0(1; 2; ½) trung điểm đoạn MM’ Vậy phương trình mp(Q) –1(x -1) –5(y –2) –2(z –1/2) = <=> (x –1) +5(y –2) +2(z –1/2) = <=> x +5y +2z –12 = Bài 6b: Cho hàm số
2 2 4
2
x x
y x
− +
=
− có đồ thị
(C), chứng minh (C) có tâm đối xứng
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = tiệm cận xiên y = x Giao điểm tiệm cận I(2 ; 2)
● Cách : Tịnh tiến Oxy sang IXY công thức đổi trục
2
x a X x X
y b Y y Y
= + = +
<=>
= + = +
Thay vào hàm số cho Y X Y X
X X
+ = + + <=> = +
Y hàm số lẻ theo X nên đồ thị đối xứng qua I (dccm) ● Cách : Gọi
2 2 4
;
2
m m
M m m
− +
−
thuộc (C),
điểm M’ đối xứng với M qua I <=> I trung điểm M’M <=>
' '
2
' '
4
' : 2 4 6 12
4
2
M M
M M
x m x m
M m m m m
y y
m m
= − = −
<=>
− + − + −
= − =
− −
Từ xM’ = –m suy xM2'−2xM'+4=m2−6m+12 xM’ -2 = –m Nên
2
' '
' '
2 12
2
M M
M M
x x m m
y
x m
− + − +
= =
− − hay tọa độ M’ thỏa pt (C)
Vậy đồ thị (C) đối xứng qua điểm I(2; 2)