Xem cách giải khác: nhân chia lượng liên hợp ở bài 3b.[r]
(1)HƯỚNG DẪN GIẢI BAØI TẬP PT-BPT-HỆ PT Gv: Nguyễn Hữu Trung – THPT VĨNH ĐỊNH I) Giải phương trình bpt phương pháp biến đổi tương đương
Bài 1: Dạng
Câu a, b dạng A B c) Biến đổi thành HĐT, đặt đk phá dấu GTTĐ để giải g) Đặt đk, xét trường hợp để tách căn: x 1, x = x -2 Kết quả: S = {0; 9/8}
h) Đk, chuyển vế bình phương kq: S = (-; -2] i) S= [3; 4] j)quy đồng có dạng HĐT, sau dùng đ/n để phá dấu GTTĐ, kq: S = {3/5} k) Đặt đk, xét trường hợp: - x > 1- x < để nhân chéo
l)Đặt đk, xét trường hợp 3x + để rút gọn m) Đặt đk, ví mẫu dương nên quy đồng khử mẫu
n) Vì
2
2 3
2( 1) 2
2 4
x x x
nên 1- 2(x2 x 1) < nhân chéo đổi chiều bpt o) Đặt đk, nhân chéo không đổi chiều
p) Đặt đk, viết lại (x1) 2 x(x1)(x 2) xét trường hợp x +1 để rút gọn
q) Đk, nhận thấy có x = chung, xét trường hợp x 2, x = 1, x 1/2 để tách thành rút gọn. r)Đk, xét trường hợp x2 3 x> 0, x2 3 x < để biết dấu mẫu mà nhân chéo. s)đk xét TH: x > 1, x = x -5
t)Đặt đk Bpt (x2 ) 2x x2 3x 0
2
2
3
or
2 2
x x x x
x x x x
Có thể giải gọn dạng A B 0 sau: -Đặt đk: B 0
-Bpt A B 0 B = A 0 -Đối chiếu đk để kết luận tập nghiệm
Bài 2: Đặt nhân tử chung tổng bình phương
a)Đk, đưa x 3 2x 1 x10 b) đk x -1:
2 1 3 1 3 0
x x x x x
c) Đk, dạng A B m A B( ) A B 1 m A m B 0
d) đk, chuyển vế bình phương: (y1)2(2x1)22 y2 4x2y0 y = -1, x = 1/2
e) Đk x Viết lại
2
2
1 1 ( 1) 1 ( 1)
x x x x x x x x x
2
1 1
x x x x f) Tương tự dạng câu 2c
g)Đk PT
2
(x 1) 3x x 2x
Bài 3: Nhân chia lượng liên hợp
a) Đk, l.l.hợp 4x25x1 2 x2 x1 0 (vì khơng có nghiệm trùng nên khơng đồng thời 0)
b)Đk, llh 3 x 2 x6 >
c) đk, x < 2, đoán nghiệm x = 3/2 nên x = 3/2
6
2;
3 x 2 x PT
6 2 4 0
3 x x
d)
2 5 1 8 4 4 0( 2)
x x x x x
d') Đk
1
x x
, llh 1 x1> 0: Pt
1
0 x x
(2)e) Đk, 2 x 3x1 2x2 x1 0 Kq: vô nghiệm
f) Đk x 0, đoán nghiệm x = 1/2 nên nhóm: x x x
2
4
g) Đoán nghiệm x = x2 3 2x2 1 33;3 x 1 2x2 32 nên nhóm: x 2 2x2 1 x 1 2x2 0
h)đk, đoán nghiệm x = nên nhóm
x x 12 12 x 2 0
i) Đk, nhân vế với x 3 x1 0 đưa dạng tích x 3 1 x1 1 0 k)đk, llh
2 1 1x
Vì chưa biết llh dương hay chưa nên ta xét 2TH: *1 1x = x = thay vào để thử
*1 1x 1 1x
>
l) Đk, đoán nghiệm x =
2
1; 1; 2
x
x x
x
Do nhóm :
2
1
4 x
x x
x
đại lượng có giá trị nên làm xuất nhân tử chung II) Giải phương trình bpt phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn
Bài 4: Giải phương trình bpt sau(1 ẩn phụ)
a) t 3 x23x 0 b) nên đặt đk trước, đặt
1
t x
x
c)
x t
x
√
x −1
x =
t d)
2 1 0 1
t x x x x
t
e) Đk, t x 1 x 0 (Dạng f(a-b; ab) = 0
f)ĐK x viết lại
2
2(x x 1) 3( x 1) 7 x 1. x x 1 Đây phương trình dạng a.f(x) + b.g(x) + c f x( ) g x( )=
g) Dạng f(a + b; ab) = Đặt đk t = 2x 3 x1
h) Đặt t x Xem cách giải khác: nhân chia lượng liên hợp 3b i) x t đưa phương trình bậc có nghiệm chẵn
j) dạng f(a + b; ab) = Đặt đk t 3x 2 x10
k)t 2x2 5x1 l) t 2 x 2 x 0 m) 3x25x 7 3x25x2 1 n) t = x2 + x
0)t 3 x x p) Bình phương ,t= x21 q)Đk, t = x 2 x2 r)đk, t x 1 x 0
s) PT x x x +x x x x +x
2 2
2( 1) ( 1) ( 1)( 1)
3 dạng a.f(x) + b.g(x) + c. f x( ) g x( )= 0 w)tx x1
Bài 5: Giải phương trình bpt sau(2 ẩn phụ)
a) x = -1/3 không thỏa mãn nên
3
√3x+1
, chia vế cho
3
√3x+1
ta :
3 2 1 1 1
3 1 3 1
x x
x x
(3)Đặt
3 1;
3
x x
a b
x x
ta hpt: 3
1
4
a b
a b
b) u3 24x v; 12 x 0 c) u3 x7 ; v= √x 0 d) u4 x 0;v417 x 0 e) u3 2 x v; x 1 0
f) u x 0; v 5 x 0 đưa hệ :
2
5
u v
v u
Đây hệ gần đối xứng loại II, giải hệ đối xứng loại II trừ VTV
g)
4 x 1 x x 1 41 1 41
x x
;u 41 1;v 41
x x
h) u x2 x 0; v x2 x
i)Đặt u x22 0, v x22x 3 0, biểu diễn
2 2
2 1
2 ; ;
2
v u v u
x v u x x
pt cho trở thành (v u )(2u2v u 2uv v 2 1 uv) 0 u = v j) pt có dạng ( ) ( )
n n
f x b a a f x b
nên ta đặt t 2002x 2001 để đưa hệ đối xứng k)x3 4 x 12x 28 x
u = x + v = 4 x 12x 2uv = u2 + v2 - (u - v)2 = 1
m)u x3x22 0; v x3x21 0 đưa hệ 2
3
u v
u v
n)u x2 3 3;v 10 x2 0 đưa hệ 2
13
u v
u v
Bài 6: (Hai ẩn phụ để đưa pt đẳng cấp bậc 2)
a) đk x Đặt u x2 x 1 0;v x 0 Biểu diễn
2 2
2 2
6 11
4
x x u v
x x u v
ta pt đẳng cấp bậc
3: (u2 - 5v2).u = 2(u2 - 3v2).v
b) viết lại: x22x 2x 1 3(x2 2 ) (2x x 1) đặt u x2 2x 0;v 2x 0 III) Giải phương trình bpt phương pháp đặt ẩn phụ không hồn tồn
Bài 7: Giải phương trình sau( đặt t = căn, ưu tiên hết số hết lũy thừa có bậc cao nhất)
a)
2
2 1 x x 2x 1x 2x
b)2 3 x 16x2 x
c)(4x 1) x3 1 2x3 2x1 d)(x 5) 10 x2 x2 7x10 e)x1 x2 2x 3 x21 f) x2 (x2) x1 x
g)6x2 10x 5 4x 6x 2 6x 5 0 h)
2 3 2 1 2 2
x x x x
i)2 2x4 2 x 9x216 j)t x 22x 2
k)(3 x2 2) 3 x t, 3 x2, đưa hệ đối xứng l)m) (3x+1)√2x2−1=5x2+32x −3 IV) Giải phương trình bpt phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số:
a)2x3 8 x3 4 x 2 4x 8 1;HD f x: ( 3 4)f(2 x2)b) 4x1 4x21 1 c) 2−√3¿
x
¿
√¿
+
2+√3¿x ¿ ¿
√¿
(4)d)4x7x 9x2 (Dùng đến y''; ĐS: S 0;1 ) HD: Xét f x( ) 4 x7x 9x 2, x R Ta có:
'( ) ln ln 9x x
f x f x''( ) ln ln 0, x x x f'(x) đồng biến R
f'(x) = có tối đa nghiệm f(x) = có tối đa nghiệm
Mặt khác f(x) = nhận x = 0; làm nghiệm nên phương trình có tập nghiệm S0;1 e) 3x213 4 x 3 3x26 (x3 / vô nghiệm, x > 3/4 x =1)
f) 3sin2x+3cos
2
x
=2x+2− x+2
Bất đẳng thức cô si cho ta kết VP + = Dấu "=" xảy x = 0
Xét hàm số f t( ) 3 t ,1t tsin2 x[0;1] cho ta maxf(t) = hay VT 4, dấu "=" xảy t = 0 Vậy VT VP nên dấu xảy hay phương trình có nghiệm x = 0
IV- Giải hệ phương pháp biến đổi tương đương: Bài 9: Dạng bản(đối xứng loại I, II, đẳng cấp)
1)
¿
√x+√3 y=4 x+y=28
¿{
¿
2)
¿
2x2− y2=3x+4 − x2+2y2=3y+4
¿{
¿
3)
2
420 280
x y xy
y x xy
4)
¿
x2−xy
+y2=7 x+xy− y=1
¿{
¿
5)
2
3
2
2
y x
x y y x
6)
2
2
1 1
x y x
y x y
7) 2
( 2)( 2) 24
2( ) 11
xy x y
x y x y
8)
2
4 2
x y 5
x x y y 13
9)
3
2
1
2
x y
x y xy y
10)
3 2
2
(1 ) ( 2) 30
(1 ) 11
x y y x y y xy
x y x y y y
11)
3
2
16
1 5( 1)
x x y y
y x
12)
8
x x y x y y
x y
13)
2
3
3
x x y
y y x
14)
2
2
91
91
x y y
y x x
(LLH) 15)
2
3
2
2
x xy
x xy y x
Bài 10: Công trừ , rút thế(Rút x y biểu thức theo x, y; phát pt hệ đẳng cấp; phân tích pt hệ thành nhân tử để rút thế; giải pt hệ để vào pt lại; nâng lũy thừa)
1)
¿
x2+x=y2+y x2
+y2=3(x+y)
¿{
¿
pt đầu đối xứng nên phân tích thành (x - y)(x + y + 1) =
2)
2
2
3
1
x y xy
x y
Bình phương (2) sau x2y2xy3 để phương trình ẩn xy
3) 3
x y 3log (9x ) log y
(B/05) Đặt đk, giải (2) x = y vào (1)
4)
3
x y x y
x y 2y
Đặt đk nâng lũy thừa hai vế (1) (x+y-1)2.(x+y-2) = 0
5)
2
2
5 2( )
x y x y x y
x y
(5)pt đầu:
2 2
2
2 2 2
5
5
2( ) 25 10
x y
x y x y x y
x y x y x y
thay 2(x2 y2) 5 giải 2
x y
= kết hợp với (2) để giải
6)
¿
x+y −√xy=3
√x+1+√y+1=4
¿{
¿
(A/06) giống câu 2
7)
4 2
1 log log 16
log
4 16
xy
y
x
x x xy x x y
Đặt đk, giải (1) vào (2)
8)
3
(6 21 ) ( 6) 21
x y
x y
Xét x = 0, chia xuống hệ đx loại II
9)
3
2
3 5.6 4.2
( )( )
x y x x y
x y y y x y x
đặt đk biến đổi (2):
( )( ).( )
x y y y x y x y x * x = y = thỏa mãn hệ
*y (2)
2
(2 ).( )
x y
y x y x
x y y
x = 2y vào (1)
10)
x x y xy y
x y x y
3 6 9 4 0
2
phương trình đầu đẳng cấp bậc 3, giải vào (2)
11)
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y
đk, phân tích phương trình đầu thành nhân tử:
x y2 2xy 2xy
x y
2
1
x y xy
x y
2
1 xy
x y x y
x y
x y 1x2 y2 x y 0
x + y - = (do đk x + y > 0)
12)
2
3
16
3
xy
x y
x y
x y x y x
(Tương tự câu 11)
13)
4 2
2
4
2 22
x x y y
x y x y
rút y từ (2) thay vào (1) x = 2;
14)
2
x y x y y
x y
Đặt đk, bình phương vế (1) được:
2
2
2
2 2
2
0
5
2
y x x y x y
x x y y
y y x
y xy
x y y x
or thay vào (1) để giải
15)
2
(5 4)(4 )
5 16 16
y x x
y x xy x y
thay y2 vào (2) để giải
16)
2
36 72
x y xy y x xy
(6)17)
3 6 9 4 0
x x y xy y
x y x y
trùng câu 10
18)
3 2
5
3 18
x x y
x x y xy x
rút y vào (2)
19)
3( )
2
x y xy
x y
đặt đk, bình phương (1) để đưa
( )(3 ) 0
x y x y
x y 20) 2 xy y xy x
xét TH GTTĐ, x = không thỏa mãn nên rút y từ (2) vào (1)
21)
2
2
( 1)( 1) 1
x y x y x x
xy x x
rút xy vào (1)
VI- Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ:
2)
2
0
u x y
v x y
3)
u x y v x y 4) u x y v x y
5) u = x+y,v = y
x 6)
1
u x y v x
7) xét y = để chia cho y đặt
2 1
x u
y v x y
8) 2
3 16 33
xy x y
x y x y
2
3 16
1 38
xy x y
x y
Vì (x-1)(y-2) = xy - 2x - y + nên biến đổi 16
xy x y (xy - 2x - y + 2) - (x - 1) - (y- 2) = 21 (x-1)(y-2) - (x - 1) - (y- 2) = 21 Vậy đặt u = x - v = y -
9) u x v y
10) Đặt đk
2
u x y
v x y
2
u x
v y x y
11) 2 2 2 x x y
y y x y
chia pt (2) cho y2 đặt ẩn phụ
12)
2
2
u x x
v y y
14)2222 13 xyxy xyxy
đặt u = x + y v = x - y Bình phương (1) u + v vào (2)
15)
2
2
3
4( )
( )
1
2
x y xy
x y x x y 2
3 ( ) 13
1
( )
x y x y
x y
x y x y
x y
nên đặt
1
,
u x y u x y v x y
16) 2 2 1 22 y
x y x
x x y y
2 1
(7)17) Đk đặt
u x y
v x y
18)
2 1 2
( 1)( 2)
x y x y xy x y x y
2
( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1) ( 1)
x y
x y x y
20) )
2
3
2
1
(1 )
1
x x
y y
x x
x
y y y
2
3
1
4
1
( )
x x
y y
x
x x
y y y
nên ta đặt
1
u x
y x v
y
24)
(Giải cách t = x+y t = 1/2) VI- Giải hệ phương pháp hàm số, đánh giá vecto:
Bài 12: Sử dụng hàm số
1)
1
( )(2 ) 2ln
1
x x y x y
y x y
2)
2
2
log log
2
x y
e e y x
x y
3)
2 y
2 x
x x 2x
y y 2y
4)
1
2
(1 ).5 (1)
3 (2)
x y x y x y
x y y y
x (giải hs đặt t =
1
x x
) 5)
3
4
5
1
x x y y
x y
VIII)Giải tốn có chứa tham số:
Bài 13: Xác định giá trị m để phương trình sau có nghiệm(khơng đặt ẩn phụ):
1) x 3 m x21 2) 2x2 2(m4)x5m10 3 x0(m 3) 3) x2 x x2 x 1 m 4)8) 4 x2 1 x m
Bài 14: Xác định giá trị m để phương trình sau có nghiệm:
1) ( x 1 x)3 x(1 x) m 2) x 3 6 x m (x3)(6 x), (3 4,5 m3) 3) 3√x −1+m√x+1=2 √4x2−1 (A/07) 4) 2x 2 x (2x)(2 x) m
5) m( 1x2 1 x2 2) 1 x4 1x2 1 x2 (B/04) 6)
1
( 3)( 1) 4( 3) ,( 4)
x
x x x m m
x
7) x x x12 m 5 x 4 x 8) 31 x 31 x m(đặt u,v)
9) 11/ x1 4 m x4 2 3x 2 (m3) x 0 10) x6 x 9 x x (x m ) / Bài 15: Xác định giá trị m để phương trình sau có nghiệm nhất:
1) |2x
2
−3x −2|=5m −8x −2x2 2)
2
2
x
x mx
x
b) 4 x413x m x 1 0 Bài 16: Xác định giá trị m để phương trình:
1) √x2+mx+2=2x+1 có ng pbiệt(B/06) 2)4 2x 2x2 64 x2 6 x m ng pbiệt(A/08) 3) x2+2x −8=√m.(x −2) 2 ng pbiệt (B/07) 4)3 1 x2 x32x2 1 m có nghiệm thuộc 1/ 2;1. 5)2x2 2mx 1 4x32x có nghiệm pbiệt 6) x4 5x24 log 2m có nghiệm.
7) (x2−1)(x
+3) (x+5)=m có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn
1
x1+
1
x2+
1
x3+
1
x4=−1
8)
2
1/ 1/
1
( 1).log ( 2) 4( 5) log 4
2
m x m m
x
có nghiệm thực đoạn 5;4
(8)a) x x1m có nghiệm với m > 0 b) (m2)x m x1 có nghiệm [0; 2]. c) (x21)2m x x 2 2 TM với x0;1 d) (x4)(6 x)x2 2x m TM x 4;6 e)m x 2 2x2 1 x(2 x) 0 có nghiệm x 0; 1 3: t = x2 2x2
Bài 18: Xác định số m nhỏ để bpt
2
2 1) 1
(x x x x
m x[0; 1](t = x2 + x) Bài 19:Tìm m để hệ sau có nghiệm thực:
a)
3
2
2 ( 2)
( , )
x y x xy m
x y
x x y m
(D/11) b)
¿
√x+√y=1 x√x+y√y=1−3m
¿{
¿
(D/2004)
c)
2
1
x y m
x xy
(Rút y) d)
3
2 2
x y 3y 3x
x x 2y y m
(t =x +1, y = t)
Bài 20: Cho hệ:
¿
x3− y3=m(x − y) x+y=−1
¿{
¿
a)Giải hệ m =
b)Tìm m để hệ có nghiệm ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ),( x3 ; y3 ) với x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng
Bài 21:Tìm m để hệ :
2
2
2
( )
x y x y
m x y x y