De thi hoc sinh gioi lop 9

a) Chøng minh tø gi¸c AEDH lµ h×nh b×nh hµnh... Gäi I lµ trung ®iÓm cña BD.[r]

Phòng Giáo dục & Đào tạo

_ Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010

Môn toán 9

Thi gian lm bi 150 phút (không kể thời gian giao đề)

§Ị thi gồm 01 trang Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1

Số báo danh: Chữ ký giám thị

Bài (4 điểm):

Cho biểu thức

 

5

3

4 12

x

x x

A

x x x x



 

  

    víi x0; x 9; x 16

a) Rót gän biĨu thøc A

b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị số nguyên Bài (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y ẩn, a tham số):

2

x ay

ax y

 

 

a) Giải hệ phơng tr×nh theo tham sè a

b) Tìm số ngun a lớn để hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mãn bất đẳng thức x0y0 <

Bài ( 3,5 điểm):

Cho biÕt:

1 1

z x y

 

   

  vµ x > 0; y > Chøng minh r»ng: x z  z y  x y

Bài (5 điểm):

Cho tam giỏc ABC nội tiếp đờng trịn tâm O đờng kính AC Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB F giao điểm DC với đờng tròn tâm O (B F nằm nửa mặt phẳng có bờ đờng thẳng AC) Đờng thẳng Dy vng góc với DC D, cắt tiếp tuyến Ax đờng tròn tâm O E H giao điểm AF với BC, M giao điểm DH với AC

a) Chøng minh tø gi¸c AEDH hình bình hành b) Chứng minh tam giác BED tam giác cân

c) Gọi N giao điểm DM với BF Chứng minh BN.MF = NF.BM Bài (3 điểm):

Cho ABC,BAC 2  

0

0  90

; AD tia phân giác BAC(D BC ) Chøng minh r»ng:

a)

1

.sin

ABD

S  AB AD 

b) sin

2 BC AB AC  

================== Hết =================

Phòng Giáo dục & Đào tạo Đáp án Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010 Môn toán

Bµi (4 ®iĨm):

a) Rót gän biĨu thøc A

Víi x0; x 9; x 16 ta cã:

 

   

5

3

4

x

x x

A

x x x x



 

  

   

0,5 ®

         

   

3

4

x x x x x

x x

      



  0,5 ®

   

9 10

4

x x x x

x x

     



 

0,5 ®

   

3

4

4

x

x

x x

 

 



  0,5 ®

b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị ngun

Víi x lµ sè nguyên x0; x 9; x 16 A có giá trị số nguyên

chỉ x ớc 0,5 đ

Do 4 x nhận giá trị -3; -1; 1; 0,5 đ Khi x nhận giá trị 49; 25; 9; 0,75 đ Vì x 9 nên a nhân giá trị 1; 25; 49 0,25 đ Bài (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y ẩn, a tham số):

2

x ay

ax y

 

 

 

a) Giải hệ phơng trình theo tham số a

Từ pt (1) ta có x = - ay thay vào pt (2) ta đợc (2 + a2)y = 2a - 0,5 đ

V× a2+ 0 víi mäi a nªn 2 a

a

y 

 0,5 ®

Tìm đợc 2

(2 1)

2

a a

a a a

x  ay    

0,5 đ

Vậy với giá trị a Hệ phơng trình có nghiệm nhất:

2

2 a

2 a

a x

a y

 

 

 



  

 



0,5 ®

b) Tìm số ngun a lớn để hệ ph ơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mãn bất

đẳng thức x0y0 < 0.

y x

E

A

N I

B H

M O C

F D

V× a2+ > víi a, hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả m·n:

x0y0 <  (a + 4)(2a – 1) < 0,5 ®

2

a a

  

 

 

 (3) hc

4

a a

  



 

 (4) 0,5 ®

Giải (3) ta đợc

4

a a

    

 

 0,5 ®

Giải (4) ta đợc -4 < a <

2 0,5 đ

Hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) tho¶ m·n x0y0 <  - < a <

2 (5) 0,25 ® => Số nguyên lớn thoả mÃn (5) a = 0,25 đ Bài ( 3,5 điểm):

Cho biÕt:

1 1

z x y

 

   

  vµ x > 0; y > Chøng minh r»ng: x z  z y  x y

1 1

z x y

 

   

  vµ x > 0; y > => z < vµ xy + yz + xz = 0 0,5 ®

=> z2= z2+ xy + yz + xz = z(x + z) + y(x + z) = (x + z)(y + z) (1) 0,5 ®

=> (x + z)(y + z) > 0,25 ®

Tõ

1 1

z x y

 

   

  =>

1 1

0

y z

x z y yz

  

     

  =>

y z yz



Mà yz < nên y + z > => x + z >

0,25 đ 0,25 đ Vì z < nên từ (1) => x z y z      z 0,5 ® 2z + x z y z     0 0,5 ® (x + z) + (y + z) + x z y z x + y 0,25 đ Vì x + z y + z số dơng nên ta có:

2

x z  y z  x y 0,25 ®

D N M

B C

A

Bµi (5 điểm):

a) Tứ giác AEDH hình bình hành Kéo dài DH cắt AC M

Chỉ đợcEA AC DM;  AC AF; DC (0,75 đ) Chỉ đợc AE//DH; AH//DE (0,25 đ) Suy tứ giác AEDH hình bình hành (0,25 đ) b) Tam giác BED tam giác cân

Gọi I trung điểm BD (0,25 đ)

Tứ giác AEDH hình bình hành => DE = AH (0,25 đ) AD = 3AB I trung điểm BD => AB = BI = ID (0,25 đ) Tứ giác AEDH hình bình hành => DE // AH => EDI HAB (0,25 ®)

Suy đợcEDI HAB (0,25 đ)

Suy DIE ABH mµ ABH 900=>DIE900=> EIBD (0,25 ®)

BED

 có EI vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến nên BED cân (0,25 đ) c) Chứng minh BN.MF = NF.BM

Chøng minh

DB DH

DBH DMA

DM DA

    DA DH

DM DB

 

(0,5 ®)

ADH vµMDB cã

DA DH

DM DB ; Chung D => ADH MDB (0,25 ®)

=> DAH DMB (1) (0,25 đ) Tơng tự nh chứng minh ta có DMF DCH (2) (0,25 đ) Mà DAH DCH (cïng phơ víi ADC) (3) (0,25 ®) Tõ (1); (2); (3) => DMF DMB=> MN tia phân giác góc BMF (0,25 đ)

BMF cú MN đờng phân giác =>

BN BM

BN MF NF BM

NF MF (0,25 đ)

Bài (3 điểm): a)

1

.sin

ABD

S AB AD

Kẻ BM vuông góc với AD M

AD phân giác BAC => BAD =DAC = 0,25 ®

Chỉ đợc

1

ABD

S  BM AD

(1) 0,5 ®

Chứng minh đợc BM = AB.sin (2) 0,25 đ

Tõ (1); (2) =>

1

.sin

ABD

S  AB AD 

b) sin

2 BC AB AC  

Kẻ CN vuông góc với AD N

Có đợc BM = AB.sin ; CN= AC.sin => BM + CN = (AB + AC).sin 0,5 đ

Có đợc BM + CN  BC 0,5 đ

=> (AB + AC).sin  BC =>

sin BC

AB AC

 

 0,25 ®

Mà AB AC AB AC 0,25 đ

=>

BC BC

AB AC  AB AC => sin

BC AB AC

 

0,25 ® * Chó ý:

1, Trong tõng c©u:

+ Học sinh giải cách khác hợp lý, kết cho điểm tơng ứng.

+ Các bớc tính, chứng minh độc lập cho điểm độc lập, bớc liên quan với nhau đến đâu cho điểm đến đó.