a) Chøng minh tø gi¸c AEDH lµ h×nh b×nh hµnh... Gäi I lµ trung ®iÓm cña BD.[r]
(1)Phòng Giáo dục & Đào tạo
_ Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010
Môn toán 9
Thi gian lm bi 150 phút (không kể thời gian giao đề)
§Ị thi gồm 01 trang Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1
Số báo danh: Chữ ký giám thị
Bài (4 điểm):
Cho biểu thức
5
3
4 12
x
x x
A
x x x x
víi x0; x 9; x 16
a) Rót gän biĨu thøc A
b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị số nguyên Bài (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y ẩn, a tham số):
2
x ay
ax y
a) Giải hệ phơng tr×nh theo tham sè a
b) Tìm số ngun a lớn để hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mãn bất đẳng thức x0y0 <
Bài ( 3,5 điểm):
Cho biÕt:
1 1
z x y
vµ x > 0; y > Chøng minh r»ng: x z z y x y
Bài (5 điểm):
Cho tam giỏc ABC nội tiếp đờng trịn tâm O đờng kính AC Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB F giao điểm DC với đờng tròn tâm O (B F nằm nửa mặt phẳng có bờ đờng thẳng AC) Đờng thẳng Dy vng góc với DC D, cắt tiếp tuyến Ax đờng tròn tâm O E H giao điểm AF với BC, M giao điểm DH với AC
a) Chøng minh tø gi¸c AEDH hình bình hành b) Chứng minh tam giác BED tam giác cân
c) Gọi N giao điểm DM với BF Chứng minh BN.MF = NF.BM Bài (3 điểm):
Cho ABC,BAC 2
0
0 90
; AD tia phân giác BAC(D BC ) Chøng minh r»ng:
a)
1
.sin
ABD
S AB AD
b) sin
2 BC AB AC
================== Hết =================
(2)Phòng Giáo dục & Đào tạo Đáp án Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010 Môn toán
Bµi (4 ®iĨm):
a) Rót gän biĨu thøc A
Víi x0; x 9; x 16 ta cã:
5
3
4
x
x x
A
x x x x
0,5 ®
3
4
x x x x x
x x
0,5 ®
9 10
4
x x x x
x x
0,5 ®
3
4
4
x
x
x x
0,5 ®
b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị ngun
Víi x lµ sè nguyên x0; x 9; x 16 A có giá trị số nguyên
chỉ x ớc 0,5 đ
Do 4 x nhận giá trị -3; -1; 1; 0,5 đ Khi x nhận giá trị 49; 25; 9; 0,75 đ Vì x 9 nên a nhân giá trị 1; 25; 49 0,25 đ Bài (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y ẩn, a tham số):
2
x ay
ax y
a) Giải hệ phơng trình theo tham số a
Từ pt (1) ta có x = - ay thay vào pt (2) ta đợc (2 + a2)y = 2a - 0,5 đ
V× a2+ 0 víi mäi a nªn 2 a
a
y
0,5 ®
Tìm đợc 2
(2 1)
2
a a
a a a
x ay
0,5 đ
Vậy với giá trị a Hệ phơng trình có nghiệm nhất:
2
2 a
2 a
a x
a y
0,5 ®
b) Tìm số ngun a lớn để hệ ph ơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả mãn bất
đẳng thức x0y0 < 0.
(3)y x
E
A
N I
B H
M O C
F D
V× a2+ > víi a, hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) thoả m·n:
x0y0 < (a + 4)(2a – 1) < 0,5 ®
2
a a
(3) hc
4
a a
(4) 0,5 ®
Giải (3) ta đợc
4
a a
0,5 ®
Giải (4) ta đợc -4 < a <
2 0,5 đ
Hệ phơng trình có nghiệm (x0, y0) tho¶ m·n x0y0 < - < a <
2 (5) 0,25 ® => Số nguyên lớn thoả mÃn (5) a = 0,25 đ Bài ( 3,5 điểm):
Cho biÕt:
1 1
z x y
vµ x > 0; y > Chøng minh r»ng: x z z y x y
1 1
z x y
vµ x > 0; y > => z < vµ xy + yz + xz = 0 0,5 ®
=> z2= z2+ xy + yz + xz = z(x + z) + y(x + z) = (x + z)(y + z) (1) 0,5 ®
=> (x + z)(y + z) > 0,25 ®
Tõ
1 1
z x y
=>
1 1
0
y z
x z y yz
=>
y z yz
Mà yz < nên y + z > => x + z >
0,25 đ 0,25 đ Vì z < nên từ (1) => x z y z z 0,5 ® 2z + x z y z 0 0,5 ® (x + z) + (y + z) + x z y z x + y 0,25 đ Vì x + z y + z số dơng nên ta có:
2
x z y z x y 0,25 ®
(4)D N M
B C
A
Bµi (5 điểm):
a) Tứ giác AEDH hình bình hành Kéo dài DH cắt AC M
Chỉ đợcEA AC DM; AC AF; DC (0,75 đ) Chỉ đợc AE//DH; AH//DE (0,25 đ) Suy tứ giác AEDH hình bình hành (0,25 đ) b) Tam giác BED tam giác cân
Gọi I trung điểm BD (0,25 đ)
Tứ giác AEDH hình bình hành => DE = AH (0,25 đ) AD = 3AB I trung điểm BD => AB = BI = ID (0,25 đ) Tứ giác AEDH hình bình hành => DE // AH => EDI HAB (0,25 ®)
Suy đợcEDI HAB (0,25 đ)
Suy DIE ABH mµ ABH 900=>DIE900=> EIBD (0,25 ®)
BED
có EI vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến nên BED cân (0,25 đ) c) Chứng minh BN.MF = NF.BM
Chøng minh
DB DH
DBH DMA
DM DA
DA DH
DM DB
(0,5 ®)
ADH vµMDB cã
DA DH
DM DB ; Chung D => ADH MDB (0,25 ®)
=> DAH DMB (1) (0,25 đ) Tơng tự nh chứng minh ta có DMF DCH (2) (0,25 đ) Mà DAH DCH (cïng phơ víi ADC) (3) (0,25 ®) Tõ (1); (2); (3) => DMF DMB=> MN tia phân giác góc BMF (0,25 đ)
BMF cú MN đờng phân giác =>
BN BM
BN MF NF BM
NF MF (0,25 đ)
Bài (3 điểm): a)
1
.sin
ABD
S AB AD
Kẻ BM vuông góc với AD M
AD phân giác BAC => BAD =DAC = 0,25 ®
Chỉ đợc
1
ABD
S BM AD
(1) 0,5 ®
Chứng minh đợc BM = AB.sin (2) 0,25 đ
Tõ (1); (2) =>
1
.sin
ABD
S AB AD
(5)b) sin
2 BC AB AC
Kẻ CN vuông góc với AD N
Có đợc BM = AB.sin ; CN= AC.sin => BM + CN = (AB + AC).sin 0,5 đ
Có đợc BM + CN BC 0,5 đ
=> (AB + AC).sin BC =>
sin BC
AB AC
0,25 ®
Mà AB AC AB AC 0,25 đ
=>
BC BC
AB AC AB AC => sin
BC AB AC
0,25 ® * Chó ý:
1, Trong tõng c©u:
+ Học sinh giải cách khác hợp lý, kết cho điểm tơng ứng.
+ Các bớc tính, chứng minh độc lập cho điểm độc lập, bớc liên quan với nhau đến đâu cho điểm đến đó.