Q điểm trong dendroid

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Quốc Ấn Q – ĐIỂM TRONG DENDROID Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 𝐵𝑛 : cầu đơn vị 𝑛 − chiều ℝ𝑛 𝐼𝑛 : hình lập phương 𝑛 − chiều ℝ𝑛 𝐸(𝑋): tập điểm cuối 𝑋 𝑆(𝑋): tập điểm cuối đỉnh 𝑋 𝐶𝐿(𝑋): siêu khơng gian gồm tập đóng khác rỗng 𝑋 2𝑋 : siêu không gian gồm tập đóng, khác rỗng, compact 𝑋 𝐶 (𝑋): siêu khơng gian gồm tập đóng, khác rỗng, compact, liên thông 𝑋 𝑂𝑟𝑑𝑝 𝑋: bậc điểm 𝑝 (theo nghĩa thông thường) điểm 𝑝 continuum 𝑋 𝑝𝑞: cung nối hai điểm 𝑝 𝑞 dendroid lim sup 𝐴𝑛 : giới hạn dãy tập 𝐴𝑛 lim inf 𝐴𝑛 : giới hạn dãy tập 𝐴𝑛 lim 𝐴𝑛 : giới hạn dãy tập 𝐴𝑛 𝑁𝑑 (𝑟, 𝐴): cầu suy rộng tâm tập 𝐴, bán kính 𝑟 𝐻𝑑 : metric Hausdorff cảm sinh metric 𝑑 𝐹𝐻 : quạt điều hòa 𝐹𝐶 : quạt Cantor ≤𝑝 : thứ tự điểm cắt yếu tương ứng với điểm 𝑝 (trong dendroid) ≤ : thứ tự điểm cắt yếu (trong dendroid) không sợ nhầm lẫn 𝛼 = 𝛼1 ⋓ 𝛼2 ⋓ … ⋓ 𝛼𝑘 : kí hiệu cho 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑘 phân hoạch 𝛼 Cl(𝐴): bao đóng tập 𝐴 𝐹𝑟(𝐴): tập điểm biên tập 𝐴 MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 0T 0T MỤC LỤC 0T T MỞ ĐẦU 0T T CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LÍ THUYẾT CONTINUUM VÀ SIÊU KHƠNG GIAN 0T T 1.1 Các khái niệm mở đầu lí thuyết continuum ([18] [8]) 0T T 1.1 Định nghĩa continuum T 0T 1.1 Ví dụ T T 1.2.3 Các khái niệm liên quan T 0T 1.1.4 Dendroid quạt 10 T 0T 1.2 Vài khái niệm siêu không gian ( [14]) 12 0T T 1.2.1 Các siêu không gian thường gặp 12 T 0T 1.2.2 Tôpô siêu không gian 12 T 0T 1.2.3 Ví dụ đơn giản siêu không gian 12 T T 1.2.4 Cơ sở tôpô siêu không gian 12 T T 1.2.5 Metric siêu không gian 13 T 0T 1.3 Giới hạn trên, giới hạn giới hạn dãy tập hợp continuum 14 0T T 1.3.1 Định nghĩa 14 T 0T 1.3.2 Các định lí mệnh đề 15 T 0T 1.4 Q – điểm 16 0T T CHƯƠNG : TÍNH CO RÚT ĐƯỢC CỦA DENDROID 18 0T T 2.1 Các khái niệm mở đầu 18 0T 0T 2.1.1 Định nghĩa ([8]) 18 T 0T 2.1.2 Một vài tính chất quạt dendroid qua ánh xạ 19 T T 2.1.3 Định nghĩa 19 T 0T 2.1.4 Định nghĩa 20 T 0T 2.1.5 Định lí 20 T 0T 2.1.6 Định lí 20 T 0T 2.1.7 Định nghĩa 21 T 0T 2.1.8 Định lí 21 T 0T 2.1.9 Một số kết quạt Cantor ([8] [7]) 21 T T 2.2 Tính co rút tính chất liên quan 22 0T 0T 2.2.1 Tính trơn tính co rút 22 T 0T 2.2.2 𝑹 −cung, 𝑹 −điểm 𝑹𝒊 −continuum tính co rút 22 T T 2.2.3 Dendroid kiểu 𝑵 tính co rút 23 T 0T 2.2.4 Quạt có tính chất 𝑷, Q – điểm tính co rút 23 T T 2.2.5 Tính trơn khúc tính co rút 26 T T 2.2.6 Sự tồn zig – zag tính co rút 26 T T 2.2.7 Định lí 26 T 0T 2.2.8 Hàm tập hợp 𝑻 tính co rút 27 T 0T 2.2.9 Tính chất giao cong tính co rút 29 T T 2.2.10 Tính chọn tính co rút 33 T 0T CHƯƠNG 3: SỰ TỒN TẠI Q – ĐIỂM TRONG DENDROID 35 0T T 3.1 Các định lí tồn Q – điểm 35 0T 0T 3.2 Các ví dụ 37 0T T KẾT LUẬN .47 0T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 0T 0T MỞ ĐẦU Lí thuyết continuum siêu khơng gian phận hình học tơpơ Trong tốn học đại, tơpơ có vai trị vơ quan trọng Những ứng dụng vơ lớn dùng khơng ngành tốn học túy giải tích, đại số mà cịn học lí thuyết, học lượng tử, vật lí hạt nhân,… Một continuum (hay continua) không gian compact liên thông Hausdorff Khái niêm continuum giới thiệu lần Georg Cantor vào năm 1893 Trong [16], tác giả chứng minh khái niệm continuum Georg Cantor định nghĩa continuum Những tính chất continua suy từ tính liên thơng khơng gian tơpơ Từ khái niệm continuum Georg Cantor đời nay, nhiều nhà toán học tên tuổi nghiên cứu thu kết quan trọng có ứng dụng cao tốn học thực tiễn Cho đến nay, nhiều tốn lí thuyết continuum cịn tốn mở Giải toán mở hướng nghiên cứu ứng dụng to lớn Do việc nghiên cứu lí thuyết continuum thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Một continuum 𝑋 gọi có tính chất unicoherent với hai continuum 𝐴, 𝐵 𝑋, ta ln có 𝐴 ∩ 𝐵 liên thơng Một continuum 𝑋 liên thơng đường có tính chất unicoherent di truyền gọi dendroid Một dendroid có điểm phân chia gọi quạt Một tính chất quan trọng nghiên cứu continuum tính co rút dendroid quạt Tính co rút không gian khái niệm ta biết từ lý thuyết đồng luân: không gian tôpô 𝑋 gọi co rút có đồng luân 𝐻: 𝑋 × 𝐼 → 𝑋 cho với điểm 𝑝 ∈ 𝑋 với 𝑥 ∈ 𝑋 ta có 𝐻 (𝑥, 0) = 𝑥 𝐻 (𝑥, 1) = 𝑝 Có nhiều khái niệm đưa để phục vụ cho việc nghiên cứu tính co rút dendroid quạt Cụ thể [1], D P Bellamy J J Charatonik sử dụng hàm tập hợp 𝑇 để nghiên cứu tính co rút cho continuum; [17], Taejin Lee dùng tính chất giao cong để nghiên cứu tính co rút cho quạt; [9], J J Charatonik đưa mối quan hệ hàm chọn liên tục tính co rút, … Một công cụ vô hiệu sử dụng để nghiên cứu tính co rút Q – điểm Khái niệm Q – điểm giới thiệu Raph Bennett, ơng dùng Q – điểm để chứng minh cho tính khơng co rút dendroid Từ Q – điểm dùng để tìm điều kiện khơng co rút dendroid Đối với quạt, quạt có chứa Q – điểm quạt khơng co rút Điều chứng minh Lex G Oversteengen Trong [20], Lex G Oversteengen sử dụng Q – điểm để đưa đặc trưng cho quạt không co rút Một câu hỏi lớn đưa cách tự nhiên là: “Có phải dendroid có Q – điểm khơng co rút được?” Đây toán quan trọng Q – điểm tốn mở Khi tiến hành tìm lời giải cho toán trên, cách tự nhiên, người ta đưa câu hỏi: “ Nếu quạt có Q – điểm, liệu đỉnh quạt Q – điểm?”, “Nếu quạt khơng liên thơng địa phương đỉnh đỉnh có phải Q – điểm?” Người ta tìm quạt mà đỉnh quạt khơng phải Q – điểm có dãy Q – điểm hội tụ đỉnh nên hai câu hỏi giải Tuy nhiên ta thay điều kiện quạt điều kiện mạnh quạt phẳng, ta có tốn mới: “Nếu quạt phẳng có Q – điểm Q – điểm có phải đỉnh quạt không?”; “Nếu quạt phẳng không liên thông đỉnh đỉnh có phải Q – điểm hay khơng?”; “Nếu quạt khơng liên thơng địa phương đỉnh quạt có Q – điểm hay khơng?”, … Như nay, nhiều tốn lí thuyết continuum siêu khơng gian cịn toán mở Giải toán mở tạo ứng dụng lớn thực tiễn Tuy nhiên muốn giải toán mở không đơn giản Khái niệm Q – điểm đưa vào nhằm góp phần giải tốn mở Với lí trên, chúng tơi định chọn đề tài Q – điểm để nghiên cứu Như nói trên, với mong muốn tiến gần toán mở Q – điểm dendroid: “Có phải dendroid có Q – điểm khơng co rút được?”, mà ta có kết “Nếu quạt có Q – điểm quạt khơng co rút được”, ta nên xuất phát từ việc nghiên cứu Q – điểm quạt, từ mở rộng việc nghiên cứu dendroid với hữu hạn điểm phân chia dendroid tổng quát Do tên đề tài luận văn mà chúng tơi lựa chọn : “Q – điểm dendroid” Nội dung luận văn gồm ba chương Chương trình bày khái niệm lí thuyết continuum siêu không gian Những kiến thức đưa chương hầu hết đơn giản đủ giúp hiểu khái niệm phần sau Chương chủ yếu trình bày khái niệm liên quan đến tính co rút dendroid mối liên quan khái niệm với tính co rút dendroid Chương tồn Q – điểm dendroid trả lời cho số vấn đề nêu Trong phần kết luận, ta trình bày nhận xét hướng mở rộng cho luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Trong trình học tập làm luận văn, thầy động viên giúp tác giả tiếp cận với hướng toán học đại, vấn đề lớn toán mở toán Sự động viên hướng dẫn tận tình thầy khơng giúp tác giả việc hồn thành luận văn mà cịn giúp tác giả có thêm cách nhìn nhận lĩnh vực khác sống xã hội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gởi lời cám ơn đến giáo sư Felix Capulín, Universidad Autónoma Del Estado De México; Facultad De Ciencias, Departamento De Matemáticas; Instituto Literario No 100, Col Centro; Código Postal 50 000, Toluca, Edo de México, México giúp đỡ hỗ trợ số tài liệu phục vụ cho luận văn góp ý giúp tác giả hồn thành luận văn Xin chân thành cám ơn thầy Tổ Hình học, Khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học, Phịng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LÍ THUYẾT CONTINUUM VÀ SIÊU KHÔNG GIAN Trong chương này, đưa sở lí thuyết nhằm phục vụ cho chương Các kiến thức chủ yếu chương khái niệm lí thuyết continuum siêu không gian Hầu hết kiến thức đưa ngắn gọn để hiểu khái niệm phần sau Để tìm hiểu chi tiết, ta tham khảo thêm tài liệu [8], [14] [18] Sau khái niệm nhập mơn lí thuyết continuum 1.1 Các khái niệm mở đầu lí thuyết continuum ([18] [8]) 1.1 Định nghĩa continuum Một continuum (hay continua) không gian compact liên thông Hausdorff Nếu continuum xét khơng gian metric ta gọi continuum continuum metric Continuum có nhiều điểm gọi continuum không suy biến Sau ví dụ continuum : 1.1 Ví dụ Một cung hiểu ảnh qua phép đồng phơi đoạn [0,1] đường thẳng thực Vì [0,1] continuum, tính compact, liên thông Hausdorff bất biến qua phép đồng phôi nên cung continuum Giả sử ℎ đồng phơi [0,1] cung cho Khi giả sử 𝑝 = ℎ(0) 𝑞 = ℎ(1) ta gọi 𝑝 𝑞 điểm cuối cung Trong khơng gian ℝ𝑛 , cầu đơn vị ta kí hiệu 𝐵𝑛 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ ‖𝑥‖ ≤ 1} với ‖𝑥‖ kí hiệu cho chuẩn Euclide 𝑥 Một không gian tạo thành ảnh 𝐵𝑛 qua phép đồng phôi gọi 𝑛 – tế bào Vì 𝐵𝑛 continuum nên 𝑛 – tế bào continuum Trong ℝ𝑛 , ta có 𝐵𝑛 ≈ 𝐼𝑛 = ∏𝑛𝑖=1[0,1]𝑖 nên nhiều tài liệu tác giả định nghĩa 𝑛 −tế bào không gian đồng phôi với 𝐼𝑛 1.2.3 Các khái niệm liên quan Một (𝑛 − 1) −mặt cầu không gian đồng phơi với 𝜕𝐵𝑛 hay 𝜕𝐼𝑛 Một hình lập phương Hilbert không gian đồng phôi với Đây continuum 𝐼 ∞ = ∏∞ 𝑖=1[0,1]𝑖 Nếu khơng gian đó, hai điểm nối với cung nằm khơng gian khơng gian gọi không gian liên thông cung (hay liên thông đường) Một không gian gọi liên thông cung khơng gian liên thơng cung với 𝜀 > cho trước, tồn số tự nhiên 𝑘 cho cung có 𝑘 điểm chia cung thành cung có đường kính nhỏ 𝜀 Một tính chất 𝒫 gọi di truyền khơng gian 𝑋 tập (đóng, mở) 𝑋 có tính chất 𝒫 Hợp ba cung xuất phát từ điểm 𝑣 gọi triod đơn giao hai cung ba cung ln 𝑣 Khi 𝑣 gọi đỉnh triod đơn cung gọi cánh tay Cho không gian 𝑋 hợp cung theo nghĩa điểm 𝑋 nằm cung chứa 𝑋 Một điểm 𝑥 𝑋 gọi điểm cuối 𝑋 𝑥 điểm cuối cung 𝑋 chứa 𝑥 Khi tập điểm cuối 𝑋 kí hiệu 𝐸(𝑋) Một điểm 𝑥 𝑋 gọi điểm phân chia có triod đơn chứa 𝑋 nhận 𝑥 làm đỉnh Một continuum gọi phẳng nếu có đồng phơi 𝑋 với mặt phẳng Euclide Một điểm 𝑝 continuum 𝑋 liên thơng cung gọi có bậc 𝑘 (theo nghĩa thơng thường) điểm 𝑝 điểm cuối 𝑘 cung nối điểm 𝑝 với điểm khác đồng thời cung phải nằm 𝑋 Khi ta kí hiệu 𝑂𝑟𝑑𝑝 𝑋 = 𝑘 CHƯƠNG 3: SỰ TỒN TẠI Q – ĐIỂM TRONG DENDROID Trong chương 2, nghiên cứu tính co rút dendroid khái niệm, tính chất liên quan đến tính co rút Q – điểm khái niệm Đối với quạt bất kì, ta tồn Q – điểm quạt đó, ta kết luận quạt khơng co rút Vì việc xem xét tồn Q – điểm trở thành vấn đề đáng lưu ý nghiên cứu tính co rút Tuy nhiên, câu hỏi đặt điểm quạt Q – điểm hay có khả Q – điểm Trong quạt gặp trước đây, Q – điểm thường đỉnh quạt, điều có quạt khơng hay quạt cần điều kiện để Q – điểm đỉnh quạt Khi trả lời câu hỏi này, việc xem xét tồn Q – điểm rút ngắn nhiều Nội dung chương gồm hai phần, chủ yếu cho câu trả lời cho câu hỏi vừa nêu lên Trong phần 3.1, định lí 3.1.1 định lí 3.1.3 cho ta điều kiện để quạt có Q – điểm Q – điểm phải đỉnh quạt định lí 3.1.2 cho điều kiện để dendroid khơng có Q – điểm Trong phần 3.2, ta đưa ví dụ 3.2.1 để chứng tỏ chiều đảo định lí 3.1.3 khơng ví dụ 3.2.2 quạt có đỉnh khơng phải Q – điểm có dãy Q – điểm quạt hội tụ đỉnh 3.1 Các định lí tồn Q – điểm 3.1.1 Định lí Cho 𝑋 quạt với đỉnh 𝑣, 𝑝 Q – điểm {𝑝𝑛 }∞ 𝑛=1 dãy định nghĩa Q – điểm Giả sử continuum 𝐿 = lim sup 𝑝𝑝𝑛 liên thông địa phương 𝑝 Khi 𝑝 = 𝑣 Chứng minh Giả sử 𝑝 ≠ 𝑣 Cho 𝑒 điểm cuối 𝑋 cho 𝑝 ∈ 𝑣𝑒 Nếu có cung 𝐴 𝑋 số nguyên dương 𝑁 cho 𝑝𝑛 ∈ 𝐴 với 𝑛 > 𝑁 lim 𝑝𝑛 = 𝑝 nên 𝐿 = {𝑝} (mâu thuẫn theo định nghĩa Q – điểm 𝐿 = lim sup 𝑝𝑝𝑛 ≠ {𝑝}) Vì với cung 𝐴 𝑋, tồn vô hạn số nguyên duong 𝑛 cho 𝑝𝑛 ∈ 𝐴 Vì 𝑋 quạt nên ta xây dựng dãy �𝑝𝑛𝑘 � ∞ 𝑘=1 dãy {𝑝𝑛 }∞ 𝑛=1 cho với 𝑘 ≥ ta có 𝑝𝑛𝑘 ∉ 𝑣𝑒 , 𝑣𝑝𝑛𝑘 ∩ 𝑣𝑝𝑛𝑚 = {𝑣 } 𝑘 ≠ 𝑚 dãy �𝑝𝑝𝑛𝑘 � 𝑣 ∈ 𝑝𝑝𝑛𝑘 Vì 𝑣 ∈ lim 𝑝𝑝𝑛𝑘 ⊂ 𝐿 ∞ 𝑘=1 hội tụ Từ ta với 𝑘 ≥ , Với 𝑚 ≥ cho trước ta có 𝑞𝑚 ∈ 𝑥𝑝𝑚 với 𝑥 ∈ 𝐿 Nói riêng ta có 𝑞𝑚 ∈ 𝑣𝑝𝑚 Vì 𝑝 ≠ 𝑣 lim 𝑞𝑛 = 𝑝 nên ta giả thiết 𝑞𝑚 ≠ 𝑣 Với 𝑘 ≥ cho trước, 𝑝𝑛𝑘 ≠ 𝑣𝑒 nên 𝑣 ∈ 𝑞𝑛𝑘 𝑝 Mặc khác 𝐿 liên thông địa phương 𝑝 nên tồn lân cận mở liên thông 𝐸 𝑝 𝐿 cho 𝑣 ∉ 𝐸 Vì dãy 𝑞𝑚 chứa 𝐿 nên tồn 𝑘0 ≥ cho 𝑣 ∉ 𝐸 Vì 𝑋 dendroid nên 𝑝𝑞𝑛𝑘0 ⊂ 𝐸 Từ ta có 𝑣 ∈ 𝐸 (mâu thuẫn) 3.1.2 Định lí Cho 𝑋 dendroid Giả sử 𝑋 liên thơng địa phương điểm bao đóng tập điểm phân chia 𝑋 Khi 𝑋 khơng có Q – điểm Chứng minh ∞ Ta giả sử ngược lại 𝑋 có Q – điểm 𝑝 Cho {𝑝𝑛 }∞ 𝑛=1 {𝑞𝑛 }𝑛=1 dãy định nghĩa Q – điểm Đặt 𝐿 = lim sup 𝑝𝑝𝑛 Ta biết 𝐿 continuum 𝑋 Trước tiên ta chứng minh 𝐿 cung Giả sử ngược lại 𝐿 cung Cho 𝑈 tập mở 𝑋 cho 𝑝 ∈ 𝑈, Cl𝑋 (𝑈) chứa điểm cuối 𝐿 𝑈 không chứa điểm phân chia 𝑋 Nếu tồn 𝑁 ≥ cho 𝑝𝑛 ∈ 𝐿 hay 𝑝𝑝𝑛 ⊂ 𝑈 với 𝑛 > 𝑁, gọi 𝑉 tập mở 𝑋 cho 𝑝 ∈ 𝑉 ⊂ 𝑈 𝑉 ∩ 𝐿 liên thông Cho 𝑀 ≥ thỏa 𝑝𝑛 ∈ 𝑉 với 𝑛 ≥ 𝑀 Vì với 𝑛 ≥ 𝑀, 𝑝𝑝𝑛 ⊂ 𝑈 nên ta có 𝐿 ⊂ Cl𝑋 (𝑈) Điều mâu thuẫn với cách chọn 𝑈 Vì tồn dãy �𝑝𝑛𝑘 � ∞ 𝑘=1 ∞ {𝑝𝑛 }𝑛=1 cho 𝑞𝑛𝑘 ∈ 𝑈 , 𝑝𝑛𝑘 ∉ 𝐿 𝑝𝑝𝑛𝑘 ⊈ 𝑈 với 𝑘 ≥ Với 𝑘 ≥ cho trước, 𝑞𝑛𝑘 điểm phân chia 𝑋, 𝑞𝑛𝑘 ∈ 𝐿 𝑝𝑛𝑘 𝑞𝑛𝑘 ∩ 𝐿 = �𝑞𝑛𝑘 � Điều suy 𝑞𝑛𝑘 điểm cuối 𝐿 Vì 𝑝 điểm cuối 𝐿 𝑞𝑛𝑘 = 𝑝 với 𝑘 ≥ Chú ý 𝐿 ∪ 𝑝𝑛1 𝑞𝑛1 cung 𝑝 khơng phải điểm cuối cung Vì tồn điểm 𝑧 ∈ 𝑝𝑛1 𝑞𝑛1 \�𝑝𝑛1 , 𝑞𝑛1 � = 𝑝𝑛1 𝑝\�𝑝𝑛1 , 𝑝� ⊂ 𝑋\𝐿 cho 𝑝𝑧 ⊂ 𝑈 Chú ý 𝐿1 = 𝐿 ∪ 𝑝𝑧 cung 𝑝 không điểm cuối cung Với 𝑘 ≥ cho trước, đặt 𝑟𝑘 ∈ 𝐿1 điểm thỏa 𝑝𝑛𝑘 𝑟𝑘 ∩ 𝐿1 = {𝑟𝑘 } Vì 𝑝𝑛𝑘 𝑞𝑛𝑘 ∩ 𝐿 = �𝑞𝑛𝑘 � nên ta có 𝑟𝑘 ∈ 𝑝𝑛𝑘 𝑞𝑛𝑘 ∩ 𝑝𝑧 Vì 𝑝𝑧 ⊂ 𝑈 nên 𝑟𝑘 khơng phải điểm phân chia 𝑋 Vì 𝑟𝑘 = 𝑧 Vì 𝑝𝑧 ⊂ 𝑝𝑛𝑘 𝑞𝑛𝑘 = 𝑝𝑛𝑘 𝑝 Điều cho ta 𝑧 ∈ 𝐿(mâu thuẫn với 𝑧 ∉ 𝐿) Vì ta chứng minh 𝐿 khơng phải cung Vì 𝐿 dendroid nên 𝐿 chứa điểm phân chia 𝑎 ta có 𝑝 ≠ 𝑎 Do tồn điểm 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿\{𝑎} cho hai cung cung 𝑏𝑎, 𝑐𝑎, 𝑝𝑎 giao {𝑎} Vì 𝑏 ∈ 𝐿 nên tồn dãy �𝑝𝑛𝑘 � dãy �𝑝𝑛𝑘 𝑏𝑘 � ∞ 𝑘=1 ∞ 𝑘=1 {𝑝𝑛 }∞ 𝑛=1 điểm 𝑏𝑘 ∈ 𝑝𝑝𝑛𝑘 cho 𝑏 = lim 𝑏𝑘 Ta giả sử hội tụ continuum 𝑅 𝑋 Chú ý 𝑝𝑏 ⊂ 𝑅 Vì 𝑎 ∈ 𝑝𝑏 nên tồn dãy 𝑎𝑘 điểm 𝑋 cho với 𝑘 ≥ 1, 𝑎𝑘 ∈ 𝑝𝑛𝑘 𝑏𝑘 lim 𝑎𝑘 = 𝑎 Theo giả thiết ta có 𝑋 liên thơng địa phương 𝑎 Vì tồn lân cận đóng rời 𝑉 𝑎 𝑊 𝑏 cho 𝑉 liên thông 𝑊 ∩ 𝑎𝑝 = ∅ Cho 𝑘 ≥ cho 𝑎𝑘 ∈ 𝑉 𝑏𝑘 ∈ 𝑊 Khi 𝑎𝑎𝑘 ⊂ 𝑉 Vì 𝑝𝑝𝑛𝑘 ⊂ 𝑝𝑎 ∪ 𝑎𝑘 𝑝𝑛𝑘 nên ta 𝑏𝑘 ∉ 𝑝𝑝𝑛𝑘 (mâu thuẫn) ∞ hội tụ 𝑤, 3.1.3 Định lí Cho 𝑋 quạt với đỉnh 𝑤 Nếu tồn dãy điểm {𝑧𝑟 }𝑟=1 lim 𝑤𝑧𝑟 ≠ {𝑤 } lim 𝑤𝑧𝑟 liên thơng địa phương 𝑤 Q – điểm Chứng minh Cho 𝐿 = lim 𝑤𝑧𝑟 Với 𝑛 ∈ ℕ, cho 𝑞𝑛 ∈ 𝐿 cho 𝑧𝑛 𝑞𝑛 ∩ 𝐿 = {𝑞𝑛 } Để chứng minh 𝑤 Q – điểm ta cần chứng minh lim 𝑞𝑛 = 𝑤 Giả sử lim 𝑞𝑛 ≠ 𝑤 Ta giả thiết lim 𝑞𝑛 = 𝑞 với 𝑞 ∈ 𝐿\{𝑤 } Lấy tập đóng liên thơng 𝐴 𝐿 cho 𝑞 ∈ int 𝐿 (𝐴) 𝑤 ∉ 𝐴 Vì 𝑋 quạt nên 𝐴 cung tồn 𝑦 ∈ 𝑋 cho 𝐴 ⊂ 𝑤𝑦\{𝑤 } y điểm cuối 𝑋 Cố định điểm 𝑥 ∈ 𝑤𝑞\{𝑤, 𝑞 } Ta giả thiết 𝑞𝑛 ∈ 𝐴 𝑞𝑛 ∈ 𝑥𝑦 với 𝑛 ∈ ℕ Với 𝑛 ∈ ℕ cho trước, 𝐿 liên thơng nên 𝑤𝑞𝑛 ⊂ 𝐿, 𝑧𝑛 ∈ 𝑞𝑛 𝑦 ⊂ 𝑥𝑦 Từ ta 𝑤 ∈ 𝑥𝑦 (mâu thuẫn) Vì 𝑤 phải Q – điểm 𝑋 Như câu hỏi đặt liệu chiều đảo lại định lí có khơng? Ví dụ 3.2.1 cho câu trả lời 3.2 Các ví dụ 3.2.1 Ví dụ Cho 𝑤 = (0,0) 𝐿 quạt điều hòa xác định ℝ2 sau 𝐿 = 𝑤(0,1) ∪ �∪ �𝑤 �1, � : 𝑛 ∈ ℕ�� Với 𝑛 ∈ ℕ, cho 𝐴𝑛 cung ℝ3 nối điểm 𝑤 với 𝑧𝑛 cho 𝑛 𝐻 (𝐴𝑛 , 𝐿) < 𝑛 (𝐻 metric Hausdorff), lim 𝑧𝑛 = 𝑤, 𝐴𝑛 ∩ 𝐴𝑚 = {𝑤 } với 𝑛 ≠ 𝑚 𝐴𝑛 ∩ 𝐿 = {𝑤 } với 𝑛 Đặt 𝑋 = 𝐿 ∪ (∪ {𝐴𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ}) (hình vẽ) Khi 𝑋 quạt với đỉnh 𝑤 cho có dãy ∞ điểm {𝑧𝑟 }𝑟=1 hội tụ 𝑤, lim 𝑤𝑧𝑟 ≠ {𝑤 }, 𝑤 Q – điểm 𝑋 lim 𝑤𝑧𝑟 khơng liên thơng địa phương Hình Tiếp theo đây, ta ví dụ quạt 𝑋 với đỉnh 𝑋 Q – điểm có dãy Q – điểm hội tụ đỉnh 3.2.2 Ví dụ Do tính phức tạp ví dụ nên ta quy ước lại số kí hiệu.Trước hết ta đồng mặt phẳng Euclide ℝ2 với khơng gian ℝ2 × {0} ℝ3 Với 𝑖 ∈ {1,2,3}, gọi 𝜋𝑖 : ℝ3 → ℝ phép chiếu lên thành phần thứ 𝑖 Cho 𝑝, 𝑞 hai điểm ℝ3 , ta kí hiệu 𝑝𝑞 đoạn thẳng lồi ℝ3 nối 𝑝 𝑞 Trong chương 1, ta định nghĩa cầu suy rộng tâm 𝐴, bán kính 𝜀 𝑁𝑑 (𝜀, 𝐴) Ứng với không gian metric ℝ3 với metric thông thường, với tập compact khác rỗng ℝ3 với số thực 𝜀 > 0, ta kí hiệu 𝑁𝑑 (𝑟, 𝐴) trở thành {𝑝 ∈ ℝ3 : 𝜋2 (𝑝) > 𝜋3 (𝑝)} 𝑁(𝜀, 𝐴) = {𝑞 ∈ ℝ3 : tồn 𝑝 ∈ ℝ3 cho |𝑝 − 𝑞| < 𝜀 } Đặt 𝑉 = 1 �0, � , 𝑥𝑛,𝑚 = � − 𝑛 1 Cho 𝑣 = (0,0) 𝑦1,∞ = (0,1) với 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ , 𝑛 ≤ 𝑚 , cho 𝑦𝑛,𝑚 = � , � , 𝑣𝑛 = 𝑛 22𝑛 +22(𝑚+1) 1 𝑛 𝑚 ∞ , �, 𝑥𝑛,∞ = ( , 0) Ta thấy với 𝑛 cố định, dãy �𝑥𝑛,𝑚 �𝑚=1 hội ∞ 𝑚 tụ điểm 𝑥𝑛,∞ dãy �𝑥𝑛,∞ �𝑛=1 hội tụ 𝑣 𝑛 Trước đưa quạt 𝑋, ta xây dựng continuum 𝑌 ℝ3 Xét dendroid 𝐹0 (hình 2) sau: 𝐹0 = ⋃�𝑣𝑛 𝑦1,𝑛 ∪ 𝑣𝑦1,∞ ∪ 𝑣𝑣1 : 𝑛 ∈ ℕ� Continuum 𝑌 kết thay đoạn thẳng lồi 𝑥𝑛,𝑚 𝑦𝑛,𝑚 cung thích hợp 𝐴(𝑛, 𝑚) cung 𝐴(𝑛, 𝑚) nối 𝑥𝑛,𝑚 với 𝑦𝑛,𝑚 (với 𝑛 < 𝑚) Với 𝛼 cung ℝ3 nối hai điểm 𝑝, 𝑞, ta thấy dãy hữu hạn cung 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑘 𝛼 gọi phân hoạch 𝛼 𝛼 = 𝛼1 ∪ 𝛼2 ∪ … ∪ 𝛼𝑘 𝛼𝑖 cung nối điểm 𝑝𝑖−1 với 𝑝𝑖 , 𝑝0 = 𝑝 𝑝𝑘 = 𝑞 Ta viết 𝛼 = 𝛼1 ⋓ 𝛼2 ⋓ … ⋓ 𝛼𝑘 để kí hiệu 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑘 𝛼 gọi phân hoạch 𝛼 Hình Với số thực dương 𝜀 tập compact khác rỗng 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑘 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑘 ℝ3 Bất đẳng thức 𝐻 ∗ (𝛼1 ∪ 𝛼2 ∪ … ∪ 𝛼𝑘 , 𝛽1 ∪ 𝛽2 ∪ … ∪ 𝛽𝑘 ) < 𝜀 có nghĩa 𝐻 (𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 ) < 𝜀 với 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑘 } Do từ bất đẳng thức ta có 𝐻(𝛼1 ∪ 𝛼2 ∪ … ∪ 𝛼𝑘 , 𝛽1 ∪ 𝛽2 ∪ … ∪ 𝛽𝑘 ) < 𝜀 Sau ta đưa bước biến đổi liên tiếp 𝐹0 Bước Ta kí hiệu cung 𝐹0 nối 𝑥1,2 với 𝑥1,1 �𝑥1,2 ; 𝑥1,1 � Ta thay đoạn thẳng lồi 𝑥1,2 𝑦1,2 (chứa 𝑣2 𝑦1,2 ) cung 𝐴(1,2) nối 𝑥1,2 với 𝑦1,2 (như hình bên dưới) thỏa 𝐴(1,2) = 𝛼1 ⋓ 𝛼2 𝑥1,2 ∈ 𝛼1 𝑦1,2 ∈ 𝛼2 Hình Hơn ta có 𝐻 ∗ �𝛼1 ∪ 𝛼2 , �𝑥1,2 ; 𝑥1,1 � ∪ �𝑥1,2 ; 𝑥1,1 �� < 24 𝐴(1,2) ⊂ �[0,1] × � , 1� × [0,1]� ∩ 𝑉 Như sau bước ta thu dendroid ta kí hiệu dendroid 𝐹1,1 Bước Ta kí hiệu cung 𝐹1,1 nối 𝑥2,3 với 𝑥2,2 �𝑥2,3 ; 𝑥2,2 � Ta thay đoạn thẳng lồi 𝑥2,3 𝑦2,3 (chứa 𝑣3 𝑦1,3 ) cung 𝐴(2,3) nối 𝑥2,3 với 𝑦2,3 (như hình bên dưới) thỏa 𝐴(2,3) = 𝛼1 ⋓ 𝛼2 𝑥2,3 ∈ 𝛼1 𝑦2,3 ∈ 𝛼2 Hơn ta có 𝐻 ∗ �𝛼1 ∪ 𝛼2 , �𝑥2,3 ; 𝑥2,2 � ∪ �𝑥2,3 ; 𝑥2,2 �� < 26 1 𝐴(2,3) ⊂ ��0, � × � , � × [0,1]� ∩ 𝑉 Như sau bước hai ta thu dendroid ta kí hiệu dendroid 𝐹1,2 Bước Ta kí hiệu cung 𝐹1,2 nối 𝑥1,3 với 𝑥1,2 �𝑥1,3 ; 𝑥1,2 � 𝑥1,2 với 𝑥1,1 �𝑥1,2 ; 𝑥1,1 � Ta thay đoạn thẳng lồi 𝑥1,3 𝑦1,3 (𝑥1,3 𝑦1,3 ⊂ 𝑦2,3 𝑦1,3 ⊂ 𝐹1,2) cung 𝐴(1,3) ℝ3 nối 𝑥1,3 với 𝑦1,3 (hình 4) thỏa 𝐴(1,3) = 𝛼1 ⋓ 𝛼2 ⋓ 𝛼3 ⋓ 𝛼4 𝑥1,3 ∈ 𝛼1 𝑦1,3 ∈ 𝛼4 Hơn ta có 𝐻 ∗ �𝛼1 ∪ 𝛼2 ∪ 𝛼3 ∪ 𝛼4 , �𝑥1,3 ; 𝑥1,2 � ∪ �𝑥1,2 ; 𝑥1,1 � ∪ �𝑥1,2 ; 𝑥1,1 � ∪ �𝑥1,3 ; 𝑥1,2 �� < 𝐴(1,3) ⊂ �[0,1] × � , 1� × [0,1]� ∩ 𝑉 26 Hình Như sau bước ba ta thu dendroid ta kí hiệu dendroid 𝐹2,2 Bước Giả sử ta xây dựng dendroid 𝐹𝑖,𝑗 với ≤ 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 𝑛 ≥ Bây ta xây dựng 𝐹1,𝑛 , 𝐹2,𝑛 , … , 𝐹1,𝑛 Để xây dựng dendroid 𝐹1,𝑛 , ta gọi cung 𝐹𝑛−1,𝑛−1 nối 𝑥𝑛,𝑛+1 với 𝑥𝑛,𝑛 �𝑥𝑛,𝑛+1 ; 𝑥𝑛,𝑛 � Ta thay đoạn thẳng lồi 𝑥𝑛,𝑛+1 𝑦𝑛,𝑛+1 (chứa 𝑣𝑛+1 𝑦1,𝑛+1) cung 𝐴(𝑛, 𝑛 + 1) nối 𝑥𝑛,𝑛+1 với 𝑦𝑛,𝑛+1 thỏa 𝐴(𝑛, 𝑛 + 1) = 𝛼1 ⋓ 𝛼2 𝑥𝑛,𝑛+1 ∈ 𝛼1 𝑦𝑛,𝑛+1 ∈ 𝛼2 Hơn ta có 𝐻 ∗ �𝛼1 ∪ 𝛼2 , �𝑥𝑛,𝑛+1 ; 𝑥𝑛,𝑛 � ∪ �𝑥𝑛,𝑛+1 ; 𝑥𝑛,𝑛 �� < 22(𝑛+1) 1 𝐴(𝑛, 𝑛 + 1) ⊂ ��0, � × � , � × [0,1]� ∩ 𝑉 𝑛 𝑛+1 𝑛 Như ta thu dendroid 𝐹1,𝑛 Tiếp theo ta xây dựng dendroid 𝐹2,𝑛 Gọi cung 𝐹1,𝑛 nối 𝑥𝑛−1,𝑛+1 với 𝑥𝑛−1,𝑛 �𝑥𝑛−1,𝑛+1; 𝑥𝑛−1,𝑛 � 𝑥𝑛−1,𝑛 với 𝑥𝑛−1,𝑛 �𝑥𝑛−1,𝑛+1 ; 𝑥𝑛−1,𝑛−1 � Ta thay đoạn thẳng lồi 𝑥𝑛−1,𝑛+1 𝑦𝑛−1,𝑛+1 (chứa 𝑦𝑛,𝑛+1 𝑦1,𝑛+1 ) cung 𝐴(𝑛 − 1, 𝑛 + 1) nối 𝑥𝑛−1,𝑛+1 với 𝑦𝑛−1,𝑛+1 thỏa 𝐴(𝑛 − 1, 𝑛 + 1) = 𝛼1 ⋓ 𝛼2 ⋓ 𝛼3 ⋓ 𝛼4 𝑥𝑛−1,𝑛+1 ∈ 𝛼1 𝑦𝑛−1,𝑛+1 ∈ 𝛼4 Hơn ta có: 𝐻 ∗ �𝛼1 ∪ 𝛼2 ∪ 𝛼3 ∪ 𝛼4 , �𝑥𝑛−1,𝑛+1 ; 𝑥𝑛−1,𝑛 � ∪ �𝑥𝑛−1,𝑛 ; 𝑥𝑛−1,𝑛−1 � ∪ �𝑥𝑛−1,𝑛 ; 𝑥𝑛−1,𝑛−1 � ∪ �𝑥𝑛−1,𝑛+1 ; 𝑥𝑛−1,𝑛 �� < 𝐴(𝑛 − 1, 𝑛 + 1) ⊂ ��0, Ta thu dendroid 𝐹2,𝑛 22(𝑛+1) 1 �×� , � × [0,1]� ∩ 𝑉 𝑛−1 𝑛+1 𝑛−1 Tiếp theo ta xây dựng dendroid 𝐹𝑖+1,𝑛 với ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − Với 𝑗 ∈ {𝑛 − 𝑖, … , 𝑛}, ta gọi cung 𝐹𝑖,𝑛 nối 𝑥𝑛−𝑖,𝑗 với 𝑦𝑛−𝑖,𝑗+1 �𝑥𝑛−𝑖,𝑗 ; 𝑥𝑛−𝑖,𝑗+1 � Ta thay đoạn thẳng lồi 𝑥𝑛−𝑖,𝑛+1 𝑦𝑛−𝑖,𝑛+1 (chứa 𝑦𝑛−𝑖+1,𝑛+1 𝑦1,𝑛+1) cung 𝐴(𝑛 − 𝑖, 𝑛 + 1) nối 𝑥𝑛−𝑖,𝑛+1 với 𝑦𝑛−𝑖,𝑛+1 thỏa 𝐴(𝑛 − 1, 𝑛 + 1) = 𝛼1 ⋓ 𝛼2 ⋓ … ⋓ 𝛼2(𝑖+1) 𝑥𝑛−𝑖,𝑛+1 ∈ 𝛼1 𝑦𝑛−𝑖,𝑛+1 ∈ 𝛼2(𝑖+1) Hơn ta có: 𝐻 ∗ �𝛼1 ∪ 𝛼2 ∪ … ∪ 𝛼4 , �𝑥𝑛−𝑖,𝑛+1 ; 𝑥𝑛−𝑖,𝑛 � ∪ … ∪ �𝑥𝑛−𝑖,𝑛−𝑖+1 ; 𝑥𝑛−𝑖,𝑛−𝑖 � ∪ �𝑥𝑛−𝑖,𝑛−𝑖+1 ; 𝑥𝑛−𝑖,𝑛−𝑖 � ∪ … ∪ �𝑥𝑛−𝑖,𝑛+1 ; 𝑥𝑛−𝑖,𝑛 �� < 22(𝑛+1) 𝐴(𝑛 − 𝑖, 𝑛 + 1) ⊂ ��0, 1 �×� , � × [0,1]� ∩ 𝑉 𝑛−𝑖 𝑛+1 𝑛−𝑖 Ta thu dendroid 𝐹𝑖+1,𝑛 ta hoàn thành việc xây dựng dendroid �𝐹𝑖,𝑗 : ≤ 𝑖 ≤ 𝑗� Dendroid 𝐹3,3 cho hình bên (hình 5) Hình Với ≤ 𝑛 ≤ 𝑚, ta gọi cung 𝐹𝑚−1,𝑚−1 nối 𝑣𝑚 với 𝑥𝑛,𝑚 �𝑣𝑚 ; 𝑥𝑛,𝑚 � 𝑣𝑚 với 𝑦𝑛,𝑚 �𝑣𝑚 ; 𝑦𝑛,𝑚 � Khi �𝑣𝑚 ; 𝑦𝑛,𝑚 � = �𝑣𝑚 ; 𝑥𝑛,𝑚 � ∪ 𝐴(𝑛, 𝑚) ta thấy cung �𝑣𝑚 ; 𝑥𝑛,𝑚 � �𝑣𝑚 ; 𝑦𝑛,𝑚 � không thay đổi trình xây dựng dendroid 𝐹𝑟,𝑠 với 𝑠 ≥ 𝑚, 𝑟 ≥ 𝑛 Vì cung cung dendroid 𝐹𝑟,𝑠 (với 𝑠 ≥ 𝑚, 𝑟 ≥ 𝑛) Với ≤ 𝑛 ≤ 𝑚, cho �𝑥𝑛,𝑚 , 𝑥𝑛,𝑚+1 � = �𝑣𝑚 ; 𝑥𝑛,𝑚 � ∪ 𝑣𝑚,𝑚+1 ∪ �𝑣𝑚+1 ; 𝑥𝑛,𝑚+1 � Cuối ta xác định dendroid 𝑌 sau: 𝑌 = 𝑣𝑦1∞ ∪ 𝑣𝑣1 ∪ �⋃��𝑣𝑚 ; 𝑦1,𝑚 �: 𝑚 ∈ ℕ�� Ta chứng minh 𝑌 compact (chứng minh trình bày [2], tr 97) hiển nhiên 𝑌 liên thông cung nên 𝑌 continuum ℝ3 Tiếp theo ta xác định quạt 𝑋 nêu Trên continuum 𝑌, ta đồng cung 𝑣𝑣1 thành điểm Khi ta gọi 𝑋 không gian tạo thành từ phép đồng Giả sử phép đồng tự nhiên 𝜑: 𝑌 → 𝑋 Đặt 𝑤 = 𝜑(𝑣 ), 𝑤∞ = 𝜑(𝑦1,∞ ) với 𝑛 ∈ ℕ, đặt 𝑤𝑛 = 𝜑(𝑦1,𝑛 ) Theo [18, định lí 3.9], ta có 𝑋 continuum liên thơng đường Trong 𝑋, với hai điểm 𝑝, 𝑞 phân biệt; gọi 𝑝𝑞 cung 𝑋 nối hai điểm 𝑝, 𝑞 Vơi ≤ 𝑛 ≤ 𝑚, đặt 𝑢𝑛,𝑚 = 𝜑�𝑥𝑛,𝑚 �, 𝑤𝑛,𝑚 = 𝜑�𝑦𝑛,𝑚 �, 𝑢𝑛,∞ = 𝜑�𝑥𝑛,∞ �, 𝑊𝑛 = 𝜑(𝑌𝑛 ) 𝐹𝑛 = 𝜑(𝑆𝑛 ) Chú ý 𝑢𝑛,𝑚 𝑤𝑛,𝑚 = 𝜑(𝐴(𝑛, 𝑚)) Ta chứng minh 𝑋 quạt với đỉnh 𝑤; 𝑤 không Q – điểm; với 𝑛 ∈ ℕ, ta có 𝑢𝑛,∞ ∞ Q – điểm dãy �𝑢𝑛,∞ �𝑛=1 hội tụ 𝑤 (chứng minh trình bày [2]) Ta quạt 𝑋 với đỉnh 𝑋 Q – điểm có dãy Q – điểm hội tụ đỉnh KẾT LUẬN Phần đầu luận văn dành cho việc giới thiệu kiến thức lí thuyết continuum siêu khơng gian Những vấn đề mở cần nghiên cứu lí thuyết continuum siêu không gian nhiều, nội dung luận văn, chủ yếu tập trung đề cập đến tính co rút Tiếp theo luận văn trình bày khái niệm liên quan phục vụ cho việc nghiên cứu tính co rút tính trơn, khái niệm 𝑅 − điểm, 𝑅 − cung, 𝑅 𝑖 −continua, dendroid kiểu 𝑁, quạt có tính chất 𝑃, tính trơn khúc, tồn zig – zag, hàm tập hợp 𝑇, tính chất giao cong, tính chọn Q – điểm Luận văn chủ yếu nghiên cứu Q – điểm liên quan Q – điểm với tính co rút dendroid, luận văn cho kết là: “Nếu quạt có Q – điểm khơng co rút được” Nội dung luận văn nghiên cứu Q – điểm tồn Q – điểm dendroid Trong định lí 3.1.1 3.1.3 cho ta điều kiện để Q – điểm đỉnh quạt, định lí 3.1.2 đưa điều kiện để dendroid khơng tồn Q – điểm Trong ví dụ 3.2.2 ta ví dụ quạt có đỉnh khơng phải Q – điểm có dãy Q – điểm hội tụ đỉnh Do ta trả lời cho câu hỏi đưa là: “Nếu quạt có Q – điểm Q – điểm có phải đỉnh quạt?” “Nếu quạt không liên thông địa phương đỉnh đỉnh quạt có phải Q – điểm?” Tuy trả lời câu hỏi điều đặt tốn mở cần nghiên cứu, ví dụ như: • Bài tốn Nếu quạt phẳng có Q – điểm Q – điểm có phải đỉnh quạt khơng? • Bài tốn Nếu quạt phẳng khơng liên thơng đỉnh đỉnh có phải Q – điểm hay khơng? • Bài tốn Nếu quạt khơng liên thơng địa phương đỉnh quạt có Q – điểm hay khơng ? Với kết đạt được, ta tiếp cận với toán lớn Q – điểm: “Có phải dendroid có Q – điểm khơng co rút được?” TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D P Bellamy, J J Charatonik, The set function 𝑇 and contractibility of continua, Bull Acad Polon Sci Ser Sci Math Astronom, Phys., 25 (1997), 47–49 [2] Felix Capulín, Alejandro Illanes, Fernando Orozco-Zitli, Isabel Puga, and Pavel Pyrih, Q Points in Fans, Topology Proceedings Volume 36 (2010), 85–105 [3] J J Charatonik, On fans, Diss Math , 54, Warszawa 1967 [4] J J Charatonik, Carl Eberhart, On smooth dendroids, Fund Math 67 (1970), pp 297-322 [5] J J Charatonik, Carl Eberhart, On contractible dendroids, Colloq Math 25 (1972), pp 89-98 [6] J J Charatonik, Z Grabowsky, Homotopically fixed arcs and contractibility of dendroids, Fund Math 100 (1978), 229–239 [7] ] J J Charatonik, W.J Charatonik, Images of the Cantor fan, Topology and its applications 33 (1989), pp 163-172 [8] J.J Charatonik, W.J Charatonik, and S Miklos, Confluent Mapping of Fan, Dessertationes Math Rozprawy Mat 301 Warszawa : Instytut Matematyczny PAN, 1990 [9] J.J Charatonik, Contractibility and continuous selections, Fund Math 108 (1990), no.2, 109 – 118 [10] J.J Charatonik, Condition related to selectibility, Math, Balkania (N.S) (1991), no.4, 359 – 372 (1992) [11] J J Charatonik, T J Lee, and K Omiljanowski, Interrelations between some noncontractibility conditions, Rend Circ Mat Palermo (2) 41 (1992), no 1, 31–54 [12] S T Czuba, 𝑅 𝑖 − continua and contractibility, Proceedings of the International Conference on Geometric Topology, PWN Warszawa 1980; 75-79 [13] Barry Glenn Graham, On contractible fans, Fund Math 111 (1981), no 1, 77–93 [14] Alejandro Illanes and Sam B Nadler, Jr., Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 216 New York: Marcel Dekker, Inc., 1999 [15] J L Kelley, Hyperspaces of a continum, Trans Amer Math Soc 52 (1942), pp 22-36 [16] K Kuratowski, Topology, Vol 2, Acad Press, New York, 1968 [17] Taejin Lee, Every contractible fan has the bend intersection property, Bull Polish Acad Sci Math 36 (1988), no 7-8, 413–417 (1989) [18] Sam B Nadler, Jr., Continuum Theory: An Introduction Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 158 New York: Marcel Dekker, Inc., 1992 [19] Sam B Nadler and L E Ward, Jr , Concerning continuous selection, Proc Amer Math Soc 25 (1970), pp 369-374 [20] Lex G Oversteegen, Internal characterizations of contractibility for fans, Bull Acad Polon Sci Sr Sci Math 27 (1979), no 5, 391–395 [21] Lex G Oversteegen, Non-contractibility of continua, Bull Acad Polon Sci Ser Sci Math [22] Lex G Oversteegen, Fan and embedding in the plane [23] Lex G Oversteegen, Several properties of contractible fan [24] L E Ward, Jr , Rigid selections on smooth dendroids, Bull Acad Polon Sci Sér Sci Math Astronom Phys 19 (1971), pp 1041-1043 [25] H Whitney, Regular families of curves, Ann of Math 34 (1933), pp 244-270 ... phải Q – điểm có dãy Q – điểm hội tụ đỉnh Do ta trả lời cho câu hỏi đưa là: “Nếu quạt có Q – điểm Q – điểm có phải đỉnh quạt?” “Nếu quạt không liên thơng địa phương đỉnh đỉnh quạt có phải Q – điểm? ”... TỒN TẠI Q – ĐIỂM TRONG DENDROID Trong chương 2, nghiên cứu tính co rút dendroid khái niệm, tính chất liên quan đến tính co rút Q – điểm khái niệm Đối với quạt bất kì, ta tồn Q – điểm quạt đó,... quạt khơng co rút Vì việc xem xét tồn Q – điểm trở thành vấn đề đáng lưu ý nghiên cứu tính co rút Tuy nhiên, câu hỏi đặt điểm quạt Q – điểm hay có khả Q – điểm Trong quạt gặp trước đây, Q – điểm