Xấp sỉ nghiệm của phương trình toán tử và phương án newton

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN  LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI: XẤP XỈ NGHIỆM CỦA PHƯỜNG TRÌNH TOÁN TỬ VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON GVHD : TS NGUYỄN CAM SVTH : PHAN THÀNH ĐƠNG TP.HCM, 2007 LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Cam người tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban gián hiệu, Phịng tổ chức cán tổ Tốn trường Cao Đẳng Sư Phạm Long An tạo điều kiện thuận lợi cho theo học lớp cao học Tôi xin chân thành cảm ơn bạn học viên lớp cao học khóa 15 hỗ trợ cho tơi suốt khóa học Tác giả luận văn Phan Thành Đông MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong thực tế đa phần toán đưa tốn tìm nghiệm phương trình hệ phương trình Việc tìm nghiệm xác phương trình nhiệm vụ vơ khó khăn có khơng thể thực được, ta tìm lời giải xấp xỉ phương trình đến độ xác cần thiết để đáp ứng nhu cầu thực tế Từ nhu cầu thực tế đó, luận văn “ Xấp xỉ nghiệm phương trình tốn tử phương pháp Newton” nghiên cứu việc xây dựng lời giải xấp xỉ số phương trình hệ phương trình MỤC ĐÍCH Bằng kiến thức giải tích hàm đại số tuyến tính, luận văn đưa lời giải xấp xỉ số toán với điều kiện cụ thể ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nội dung luận văn giới thiệu áp dụng phương pháp Newton để xây dựng lời giải xấp xỉ nghiệm phương trình f  x   , f ánh xạ từ E vào E , với E   n E khơng gian tuyến tính định chuẩn vơ hạn chiều Với điều kiện thích hợp dãy lặp: x k 1  x k 1   k f  x k  ; xk 1  xk  f/1  xk  f  xk  ; x k 1  x k   k  x k  x k 1  x k   k H 1  x k  f  x k  , với xo tùy ý E, dãy lặp hội tụ nghiệm phương trình Luận văn gồm ba chương: Chương dành cho việc giới thiệu phương pháp Newton số kiến thức cần thiết để trình bày cho chương sau Chương với nội dung áp dụng phương pháp Newton để trình bày cách xây dựng lời giải xấp xỉ nghiệm phương trình hệ phương trình khơng gian hữu hạn chiều Chương dành cho việc trình bày mở rộng kết chương không gian định chuẩn tổng quát với định lý Kantorovich PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trên sở nghiên cứu kết giáo trình Constructive Real Analysis giáo sư Allen A.Goldstein giáo trình giải tích hàm khác luận văn xây dựng lời giái xấp xỉ số phương trình hệ phương trình Chương 1: GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP NEWTON 1.1 ĐẶT VẤN ĐỀ Chúng ta xét việc tìm bậc hai số dương a phép tính tốn lặp đơn giản, 1 a cho công thức sau: xn 1   xn   Công thức kết phương pháp 2 xn  Newton mà ta giới thiệu phần sau a sai số tương đối xấp xỉ cho công thức Nếu xn xấp xỉ Định lý i) Giả sử a xo số dương 1 a ii) Ta xác định dãy  xn  xn 1   xn   2 xn  iii) Đặt  n  xn  a a Thì 1   a)  n1   n  n  0,1,2,   n  b)  n  n  0,1,2, c)   : xn  xn  xn1      n   , n  N a Chứng minh a) Do (iii) xn  a  n  1 , dùng (ii) ta được:   n2  1 a xn 1   a  n  1    a 1    a  n  1   1   n   Cũng (iii):  x  a x   a  n 1   xn1 a 1   n1   a   n1   a   a  Nên ta có:  n1  n2  n Vậy a) chứng minh xn  a a b) Từ iii)   o  xo  a a  xo  a  o  1   o   (vì xo  0, a  )   o2   1   0   o  n2 Suy  n  0, n phương pháp quy nạp (vì  n1  )  n c) Từ ii) ta có: xn xn2  a a a xn 1  xn   xn  xn1    2 xn 2 xn xn xn xn  a   xn  xn 1   a a Do giả thiết c) ta có:  xn  xn  xn1    a xn  a  2  2   a Do xn  a 1  2     xn2