Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH _ Nguyễn Viết Thăng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ Chuyên nghành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy TS Trần Đình Thanh tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Thầy phản biện nhận xét đóng cho tơi ý kiến q báu Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy nhiệt tình giảng dạy thời gian học tập trường Đại học Sư phạm Tp HCM tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ tơi q trình học tập thực luận văn Tp HCM, tháng 10 năm 2010 Học viên Nguyễn Viết Thăng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều tượng tự nhiên xã hội dẫn đến việc nghiên cứu tồn tại, xây dựng xấp xỉ cho phương trình phi tuyến Phương pháp điểm bất động phương pháp quan trọng hữu hiệu để chứng minh tồn nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm lớp phương trình phi tuyến khác Lý thuyết điểm bất động đời từ năm 1920, phát triển hoàn thiện ngày để áp dụng cho ngày nhiều lớp phương trình Cùng với phát triển khoa học nhu cầu phát triển nội Toán học, ánh xạ đa trị đưa vào nghiên cứu từ năm 1950 Chúng công cụ hữu hiệu để mô tả nhiều tượng tự nhiên, xã hội, kinh tế… Từ nảy sinh yêu cầu phát triển phương pháp nghiên cứu với ánh xạ đa trị, có phương pháp điểm bất động Cho đến nay, lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị thu nhiều kết có giá trị Tuy nhiên hướng nghiên cứu nhà Toán học quan tâm nghiên cứu hứa hẹn tới kết thú vị lý thuyết ứng dụng Mục tiêu luận văn giới thiệu kết ban đầu lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị Cụ thể luận văn trình bày định lý điểm bất động vấn đề liên quan cho lớp ánh xạ dạng co, ánh xạ đa trị có giá trị lồi không lồi, ánh xạ đa trị tăng ánh xạ đưa ánh xạ tăng khơng gian có thứ tự Các lớp ánh xạ nghiên cứu phương pháp khác phương pháp sử dụng lát cắt đơn điệu, phương pháp bậc tôpô, phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy… Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn có chương Chương gồm khái niệm ánh xạ đa trị, định lý điểm bất động lớp ánh xạ có tính chất co, có giá trị lồi khơng lồi Phần 1.1 nhắc lại khái niệm ánh xạ đa trị; số thuật ngữ ký hiệu liên quan.Các kết trích từ tài liệu tham khảo Phần 1.2 trình bày định lý điểm bất động ánh xạ đa trị có tính chất co , tính chất tập điểm bất động ánh xạ đa trị có tính chất co.Đây mở rộng nguyên lý điểm bất động Banach, phần chúng tơi tham khảo [3] Phần 1.3 trình bày định lý điểm bất động ánh xạ đa trị có giá trị lồi, từ Định lý định lý điểm bất động Bruower  Bất đẳng thức KyFan  Định lý 1.3.6 điểm cân  Định lý điểm bất động Kakutani Phần tham khảo [3], [6], [7] Phần 1.4 trình bày định lý liên quan đến điểm bất động ánh xạ có giá trị khơng lồi.Phần chúng tơi tham khảo [3] Chương gồm khái niệm khơng gian Banach có thứ tự, định lý điểm bất động ánh xạ đa trị tăng có tính chất co, compact T – đơn điệu không gian Banach có thứ tự Phần chúng tơi tham khảo [2], [4], [5] Phần 2.1, 2.2 trình bày khái niệm kết khơng gian Banach có thứ tự ánh xạ đa trị đơn điệu Phần 2.3 trình bày định lý điểm bất động ánh xạ đa trị tăng mở rộng định lý Tarskii Phần 2.4 trình bày định lý điểm bất động ánh xạ đa trị tăng có tính chất co Phần 2.5 trình bày tốn tử có liên quan tới tính chất compact Phần 2.6 trình bày điểm bất động ánh xạ T – đơn điệu đa trị Phương pháp nghiên cứu Phương pháp lát cắt đơn điệu, ứng dụng định lý tập có thứ tự Phương pháp bậc tôpô phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy… Chương ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1.1 Ánh xạ đa trị Cho X , Y hai tập bất kỳ, ta ký hiệu 2Y họ tất tập Y Một ánh xạ F : X  2Y gọi ánh xạ đa trị từ X vào Y Điểm x * gọi điểm bất động ánh xạ đa trị F : X  X x*  F ( x*) 1.1.2 Một số thuật ngữ ký hiệu liên quan  Đồ thị F : X  2Y tập X  Y ký hiệu gphF , định nghĩa gphF  ( x, y)  X  Y : y  F ( x)  Domain F ( miền hữu hạn ) ký hiệu định nghĩa: domF   x  X : F ( x)    Miền ảnh ký hiệu rgeF : rgeF   y  Y : x  X , y  F ( x)  Ánh xạ ngược: F 1 : Y  X ánh xạ F : X  2Y định nghĩa công thức F 1 ( y )   x  X : y  F ( x) , ( y  Y ) x  F 1 ( y )  y  F ( x)  ( x, y )  gphF  Đối với tập M  Y ta phân biệt hai loại ảnh ngược sau đây: + Nghịch ảnh M là: F  ( M )   x : F ( x)  M   + Nhân M qua F là: F  ( M )   x : F ( x)  M   Giả sử G : X  2Y ; H : Y  2Z ( H  G )( x)   Khi H  G : X  2Z xác định bởi: H ( y ), x  X yG ( x )  Cho F : X  2Y ánh xạ đa trị, X , Y không gian tơpơ + Nếu gphF tập đóng khơng gian tơpơ tuyến tính X  Y F gọi ánh xạ đóng + Nếu X , Y khơng gian tuyến tính tơpơ gphF tập lồi khơng gian tích X  Y F gọi ánh xạ đa trị lồi + Nếu F ( x) tập đóng x  X F gọi ánh xạ có giá trị đóng + Nếu Y khơng gian tuyến tính tơpơ F ( x) tập lồi, x  X F gọi ánh xạ có giá trị lồi 1.1.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.1.3.1 Ta nói ánh xạ đa trị F nửa liên tục x  domF với tập mở V  Y thỏa mãn F ( x)  V tồn lân cận U x cho F ( x)  V , x  U Nếu F nửa liên tục điểm thuộc domF , F gọi nửa liên tục X Định nghĩa 1.1.3.2 Ta nói ánh xạ đa trị F nửa liên tục x  domF với tập mở V  Y thỏa mãn F ( x)  V   tồn lân cận U x cho F ( x )  V  , x  U  domF Nếu F nửa liên tục điểm thuộc domF , F gọi nửa liên tục X Định nghĩa 1.1.3.3 Ta nói F liên tục x  domF F đồng thời nửa liên tục nửa liên tục x Nếu F liên tục điểm thuộc domF , F gọi liên tục X Định nghĩa 1.1.3.4 ( Ánh xạ hêmi liên tục )  2Y hêmi liên tục x0  domF với p  Y * , hàm số Ta nói F : X  x     F ( x), p  nửa liên tục x0 F gọi hêmi liên tục hêmi liên tục x  domF 1.2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ CĨ TÍNH CHẤT CO Định nghĩa 1.2.1 Cho ( X , d X ) không gian metric A, C  X \    Đặt h( A, C )  max sup d X (a, C ), sup d X (c, A) , với h( A, C )   cho phép Số thực a A cC h( A, C ) gọi khoảng cách Housdorff A C liên quan đến metric d X Với d X ( x, A) khoảng cách điểm x tập A nghĩa d X ( x, A)  d X ( x, y ) y A Định lý 1.2.2 (Định lý điểm bất động Naler) [3] Nếu (X , dX ) không gian metric đầy đủ F : X  Pf (X ) ánh xạ h-co ( tức h(F (x ), F (y ))  kdX (x , y ) x  X : x  F (x ) với x, y  X , k  [0,1) ) F có điểm bất động tức Chứng minh Chọn k1  (k ,1) x  X Sau lấy x  F (x ) thỏa x1  x , tức dX (x , x )  (Nếu x1 khơng tồn x điểm bất động cần tìm F ) Vì dX (x 1, F (x ))  sup dX (x , F (x1 )) x F (x )    max   sup d X (x, F (x ), sup dX (y, F (x ))    y F (x1 ) x F (x )    = h(F (x ), F (x1 ))  kdX (x , x )  k1dX (x , x ) Theo tính chất inf, ta có x  F (x ) cho dX (x 1, x )  k1dX (x , x ) Bằng quy nạp, chọn dãy x n n 1 cho x n 1  F (x n ), n  dX (x n , x n 1 )  k1ndX (x , x ), n  (1.2.1) Từ bất đẳng thức (1.2.1) ta suy x n n 1  X dãy Cauchy Do X đầy đủ nên suy x n  x X Ta chứng minh x  F (x ) Thật ta có: dX (x n 1, F (x ))  h (F (x n ), F (x ))  kdX (x n , x )  Vì dX (x , F (x ))  F(x) đóng nên có x  F (x ) Ghi 2.1.3 i) Điểm bất động Định lý 1.2.1 không ii) Tập điểm bất động F (kí hiệu Fix(F)) tập đóng Chứng minh i) Nếu F ( x)  X , x  X với x  X điểm bất động F Lấy x n   Fix (F ) ii) Giả sử x n  x , ta chứng minh x  Fix (F ) nghĩa chứng minh x  F (x ) Ta có dX (x n , F (x ))  h(F (x n ), F (x ))  kdX (x n , x )  Suy d X (x, F (x ))  Vậy Fix(F) đóng Mệnh đề 1.2.4 [3] Nếu (X , dX ) không gian metric đầy đủ, F1, F2 : X  Pbf (X ) h-co với số co k  [0,1) Fix (Fi ) kí hiệu tập điểm bất động Fi (i  1, 2) sup h(F1 (x ), F2 (x ))  k x X h(Fix (F1 ), Fix (F2 ))  Chứng minh  Lấy e  chọn x  cho x  n.k n  n 1 Đặt e1  xe 1k Lấy x  Fix (F1 ) sau chọn x1  F2 (x ) cho dX (x , x )  h(F1 (x ), F2 (x ))  e (1.2.2) Vì x  Fix (F1 )  x  F1 (x ) Đặt A  dX (x , x ) : x  F2 (x )  inf A  dX (x , F2 (x ))  h F1 (x ), F2 (x ) Suy x  F2 (x ) cho dX (x , x )  h(F1 (x ), F2 (x ))  e Vì h F2 (x ), F2 (x )  kdX (x1 , x ) nên tìm x  F2 (x ) thỏa dX (x , x )  kdX (x 1, x )  ke1 Thật ta có : d (x1 ; F2 (x ))  h(F2 (x ), F2 (x1 ))  kdX (x , x ) Suy tồn x  F2 (x ) cho d (x , x )  kdX (x , x )  ke1 Bằng phương pháp quy nạp ta chọn dãy xn  cho n 1 x n 1  F2 (x n ), n  (1.2.3) dX (x n 1, x n )  k n dX (x , x )  nk n e1 (1.2.4) Từ bất đẳng thức (1.2.4) ta   d(x n 1 , x n )  n m  km dX (x , x1 )  e1  nk n 1k n m Do (2.1.5) nên xn  dãy Cauchy, (X , dX ) đầy đủ nên ta có: n 1 x n  x X Từ (1.2.3) ta có: d (x n 1 , F2 (x ))  h(F2 (x n ), F2 (x ))  kdX (x n , x )  Suy d (x , F2 (x ))   x  F2 (x ) Vậy x  Fix (F2 ) Hơn từ (1.2.5) (1.2.2) ta có   dX (x , x )   dX (x n , x n 1 )  dX (x , x )  e1  nk n 1k n0 n 1  h F1 (x ), F2 (x )  2e 1k (1.2.5) Suy h Fix (F1 ), Fix (F2 )  Suy , h Fix (F1 ), Fix (F2 )    sup h F1 (x ), F2 (x )  2e, e    k  x X sup h F1 (x ), F2 (x )  k x X Hệ 1.2.5 [3] Nếu (X , dX ) không gian mêtric đầy đủ, Fn , F : X  Pbf (X ) với n  hàm h-co với số k  [0,1) sup h Fn (x ), F (x )  , x X h Fix (Fn ), Fix (F )  Chứng minh Áp dụng Định lí 1.2.3 ta có h Fix (Fn ), Fix (F )  sup h Fn (x ), F (x )  k x X Do sup h Fn (x ), F (x )  x X Suy ra, h Fix (Fn ), Fix (F )  1.3 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ LỒI Định nghĩa 1.3.1 Giả sử X không gian mêtric, K  X  i , i  1, 2, , n phủ mở hữu hạn K Ta nói hàm liên tục  i : K   phân hoạch đơn vị liên tục ứng với họ phủ  i  sup( i )   x  K :  i ( x)  0   i với n x  K ,   i ( x)  ;   i ( x)  i 1 Định nghĩa 1.3.2 Cho X không gian vectơ a) Một tập C gọi đóng hữu hạn giao với phẳng hữu hạn chiều Y  X (Y  x  L với x  X L khơng gian hữu hạn chiều X) đóng không gian tôpô Euclid Y b) Một họ C i  X gọi có tính chất giao hữu hạn giao họ hữu hạn i 1 khác rỗng Định lý 1.3.3 ( Định lý điểm bất động Brouwer) [6] Ánh xạ f đơn trị liên tục từ tập lồi compact khơng gian hữu hạn chiều vào tập ln có điểm bất động, tức tồn điểm x thỏa f ( x)  x Định lý 1.3.4 (Bất đẳng thức Ky Fan) [6], [7] Giả sử K tập lồi, compact không gian định chuẩn X Giả sử  : X  X   thỏa: i) Với y  K ,  (., y ) hàm liên tục ii) Với x  K ,  ( x,.) hàm lõm iii) Với y  K ,  ( y, y )  Khi đó, tồn x  K cho   x, y   0, y  K Chứng minh i) Xét trường hợp X hữu hạn chiều Giả sử x  K , y  K cho  ( x, y )  Với y  K , đặt  y  { x  K :  ( x, y )  0} (*) Vì  (., y) hàm liên tục nên  y tập mở không gian tôpô cảm sinh K Từ (*) suy  y  yK phủ mở K n Do K compact nên tồn y1 , y2 , , yn  K cho K   y Khi tồn phân hoạch liên tục i i 1  i  ứng với họ phủ  y i1, ,n i Xét ánh xạ ( đơn trị ) f : K  K sau: n x  K , f ( x )   i ( x) yi i 1 n Vì K tập lồi, yi  K với i  1, , n ;  i ( x)    ( x)  nên i i 1 Do  i () hàm liên tục nên f ( x ) ánh xạ liên tục Theo định lý Brouwer tồn y  K cho y  f  y  Do giả thiết ii)    n    n     y, y    y,   i y yi     i y  y, yi  i 1   i 1   Đặt I  y   i      y   I  y    n   y   i i 1 Ngoài ta có i  I  y  y  supp i   y i Do theo định nghĩa  y ,   y, yi   suy n    y    y, y      y    y, y   i i 1 i i   iI y i f ( x)  K , x 2.5 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG CĨ TÍNH COMPACT Định lý 2.5.1 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K, M  X tập đóng F : M  M \  ánh xạ đa trị đơn điệu thỏa mãn: i) F(x) đóng, x  M ii) Tồn x0  X cho  x0   F ( x0 ) iii) x  M , y1 , y2  F ( x ), y  F ( x) : y1  y , y  y iv) Nếu dãy ( xn ), ( yn ) dãy tăng cho yn  F ( xn ) dãy ( yn ) hội tụ Khi đó, F có điểm bất động cực đại M Chứng minh Đặt M   x  M :  x  F ( x) Ta giả sử x  y, y  F ( x) với x  M (*) Thật vậy, ta định nghĩa toán tử G xác định M sau: G ( x )  F ( x )  [ x,  ) x  y , y  G ( x ) Mặt khác, ta có G : M  M Vì y  G ( x ) x  y , từ suy F ( x )  F ( y ) mà y  F ( x) nên  y  F ( y ) , nghĩa y  M Ngoài ra, G thỏa mãn điều kiện i), ii), iii), iv) định lý Thật ta có: Xét x  M , giả sử dãy  xn   G ( x) xn  z Khi đó:  xn   F ( x) F(x) đóng nên z  F ( x) Mặt khác x  xn , n nên suy x  z Suy z  G ( x) , nghĩa G(x) đóng + Theo giả thiết tồn x0  M cho  x0   F ( x0 ) Khi tồn z0  F ( x0 ) cho x0  z0 Suy ra: z0  F ( x0 )  [ x0 ; )  G ( x0 ) , nghĩa  x0   G ( x0 ) + x  M , y1 , y  G ( x ) Suy y1 , y2  F ( x) nên tồn y  F ( x) cho y1  y , y  y Vì y1 , y2  G ( x) nên x  y1 , x  y2 suy x  y nghĩa y  G ( x) Vậy ta có: x  M , y1 , y2  G ( x ), y  G ( x ) : y1  y , y2  y + Giả sử dãy  xn  ,  yn  dãy tăng cho yn  G ( xn ) Khi đó, yn  F ( xn ) nên dãy  yn  hội tụ Từ (*), ta kiểm tra F ( M )  M Thật vậy, với y  F ( M ) tồn x  M cho y  F ( x) ( F ( M )   F ( x) ) Khi theo (*) ta có x  y  F ( x)  F ( y)   y  F ( y ) nghĩa y  M0 xM Để áp dụng nguyên lý Entropy, ta kiểm tra hai điều kiện sau: Điều kiện 1: Chứng minh dãy tăng ( xn ) M có cận Khi đó, ta chọn dãy tăng ( yn ) cho yn  F ( xn ) ( F đơn điệu) Đặt y  lim yn yn  y , n n Vì yn  F ( xn ) , nên theo (*), ta có xn  y , n  F ( xn )  F ( y ), n Khi đó, tồn zn  F ( y ) cho yn  zn Do điều kiện c) ta giả sử ( zn ) dãy tăng Khi đó, dãy zn hội tụ z  F ( y ) Ta có zn  z , n  yn  z , n Suy ra: y  z   y  F ( y ) nghĩa y  M Vậy dãy tăng ( xn ) có cận y  M Điều kiện 2: Tồn hàm đơn điệu tăng bị chặn xác định M Với x  M , ta đặt: M x  (u , v)  M  M / u  v, u  F ( y ), v  F ( z ), x  y  z; y, z  M  Ta có ( x, x)  M x nên M x   Xét hàm S : M  [0; ] xác định bởi: S ( x)  sup  u  v /(u , v)  M x  Nếu x  y M y  M x nên S hàm giảm Do (  S ) hàm tăng Áp dụng nguyên lý Entropy cho x  M , x  a  S ( x)  S ( a) M hàm (  S ) , tồn a  M cho: (**) Ta chứng minh S (a )  Giả sử ngược lại tồn   cho S (a )   Tồn x1 , x2 , y1 , y2 cho: a  x1  x2 y1  F ( x1 ), y2  F ( x2 ), y1  y2 y1  y2   Vì a  y2  M , theo (**), suy : S ( y2 )  S (a )   Tiếp tục, ta chọn x3 , x4 , y3 , y4 cho: y  x3  x4 y3  F ( x3 ), y4  F ( x4 ), y3  y4 y3  y4   Vì y2  F ( x2 ) , nên theo (*), ta có : x2  y2 suy x2  x3 Vì y3  F ( x3 ) , nên theo (*), ta có : x3  y3 suy y2  y3 Khi a  y3  M , suy ra: S ( y3 )  S (a )   Làm tương tự, ta có dãy ( xn ), ( yn ) tăng cho yn  F ( xn ) thỏa mãn : y2 n 1  y2 n   ( điều mâu thuẩn với điều kiện d)) Vậy S (a)  Ta chứng minh: b  F ( a) điểm bất động F M Thật vậy, với c  F (b) , ta có: b  c  F (b) Vì a  b  F ( a) nên suy (b, c )  M a Suy ra: b  c  S (a )   b  c  F (b) nên b điểm bất động F Vậy F có điểm bất động b  F ( a ) Ta chứng minh: b  F ( a ) điểm bất động cực đại M Thật vậy, x điểm bất động F M x  b thì: b  x ax  b  F ( a)  (b , x )  M a  b  x  S ( a )  Suy x  b Vậy b  F ( a) điểm bất động cực đại F M Hệ 2.5.2 Giả sử X khơng gian Banach thứ tự nón K M  u, v  X , F : M  2M \  toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn: a) F ( x ) đóng, x  M b) x  M , y1 , y2  F ( x ), y  F ( x ) : y1  y , y2  y c) K nón Khi F có điểm bất động M Chứng minh Do M  u , v nên u  F (u ) Ta chứng minh: ( xn ), ( yn ) dãy tăng cho yn  F ( xn ) ( yn ) hội tụ Thật vậy, yn  v, n K nón nên ( yn ) hội tụ Như điều kiện a), b), c) hệ 2.5.2 thảo điều kiện a), b), c), d) định lý 2.5.1 Vậy F có điểm bất động Hệ 2.5.3 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K M  u, v  X , F : M  2M \  toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn: a) F ( x) đóng, x  M b) x  M , y1 , y2  F ( x ), y  F ( x ) : y1  y , y2  y c) K nón chuẩn X khơng gian phản xạ Khi F có điểm bất động M Chứng minh Ta có, K nón chuẩn X khơng gian phản xạ K nón Từ áp dụng hệ 2.5.2 ta có kết tốn tử F có điểm bất động Định lý 2.5.4 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K X khơng gian đóng X , M tập đóng X , F : M  2M \  toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn: a) F ( x) đóng, x  M b) Tồn x0  X cho  x0   F ( x0 ) c) X  F ( x)  , x  M nữa: y1 , y2  F ( x), y  F ( x) : y1  y, y2  y d) Nếu ( xn ), ( yn ) dãy tăng cho yn  F ( xn )  F ( x ) dãy ( yn ) hội tụ Khi F có điểm bất động M Chứng minh Đặt M   x  M :  x  F ( x) Ta giả sử x  y, y  F ( x) với x  M (*) Thật vậy, ta định nghĩa toán tử G xác định M sau: G ( x)  F ( x)  [ x, ) x  y, y  G ( x) Mặt khác, ta có G : M  M Vì y  G ( x) x  y , từ suy F ( x)  F ( y ) mà y  F ( x) nên  y  F ( y ) , nghĩa y  M Ngoài ra, G thỏa mãn điều kiện a), b), c), d) định lý Thật ta có: Xét x  M , giả sử dãy  xn   G ( x) xn  z Khi đó:  xn   F ( x) F(x) đóng nên z  F ( x) Mặt khác x  xn , n nên suy x  z Suy z  G ( x) , nghĩa G(x) đóng + Theo giả thiết tồn x0  M cho  x0   F ( x0 ) Khi tồn z0  F ( x0 ) cho x0  z0 Suy ra: z0  F ( x0 )  [ x0 ; )  G ( x0 ) , nghĩa  x0   G ( x0 ) + Vì X  F ( x )   nên suy x  M , y1 , y2  X  G ( x ) Suy y1 , y2  X  F ( x) nên tồn y  X  F ( x) cho y1  y, y2  y Vì y1 , y2  X  G ( x) nên x  y1 , x  y2 suy x  y nghĩa y  X  G ( x ) Vậy ta có: x  M , y1 , y2  X  G ( x), y  X  G ( x) : y1  y, y2  y + Giả sử dãy  xn  ,  yn  dãy tăng cho yn  X  G ( xn ) Khi đó, yn  X  F ( xn ) nên dãy  yn  hội tụ Từ (*), ta kiểm tra F ( M )  M Thật vậy, với y  F ( M ) tồn x  M cho y  F ( x) ( F ( M )   F ( x) ) Khi theo (*) ta có x  y  F ( x)  F ( y)   y  F ( y ) nghĩa xM Để áp dung nguyên lý Entropy, ta kiểm tra hai điều kiện sau: Điều kiện 1: Chứng minh dãy tăng ( xn ) M có cận Khi đó, ta chọn dãy tăng ( yn ) cho yn  X  F ( xn ) ( F đơn điệu) Đặt y  lim yn yn  y , n n Vì yn  X  F ( xn ) , nên theo (*), ta có xn  y, n  F ( xn )  F ( y), n y  M0 Khi đó, tồn zn  X  F ( y) cho yn  zn Do điều kiện c) ta giả sử ( zn ) dãy tăng Khi đó, dãy zn hội tụ z  X  F ( y) Ta có zn  z , n  yn  z , n Suy ra: y  z   y  F ( y ) nghĩa y  M Vậy dãy tăng ( xn ) có cận y  M Điều kiện 2: Tồn hàm đơn điệu tăng bị chặn xác định M Với x  M , ta đặt: M x  (u , v)  M  M / u  v, u  F ( y ), v  F ( z ), x  y  z; y, z  M  Ta có ( x, x )  M x nên M x   Xét hàm S : M  [0; ] xác định bởi: S ( x)  sup  u  v /(u, v)  M x  ( X  X ) Nếu x  y M y  M x  M y  ( X  X )  M x  ( X  X ) nên S hàm giảm Do (  S ) hàm tăng Áp dung nguyên lý Entropy cho x  M , x  a  S ( x)  S ( a) M0 hàm (  S ) , tồn a  M (**) Ta chứng minh S (a)  Giả sử ngược lại tồn   cho S (a )   Tồn x1 , x2 , y1 , y2 cho: a  x1  x2 y1  X  F ( x1 ), y2  X  F ( x2 ), y1  y2 y1  y2   Vì a  y2  M , theo (**), suy : S ( y2 )  S (a)   Tiếp tục, ta chọn x3 , x4 , y3 , y4 cho: cho: y  x3  x4 y3  X  F ( x3 ), y4  X  F ( x4 ), y3  y4 y3  y4   Vì y2  F ( x2 ) , nên theo (*), ta có : x2  y2 suy x2  x3 Vì y3  F ( x3 ) , nên theo (*), ta có : x3  y3 suy y2  y3 Khi a  y3  M , suy ra: S ( y3 )  S (a)   Làm tương tự, ta có dãy ( xn ), ( yn ) tăng cho yn  X  F ( xn ) thỏa mãn : y2 n 1  y2 n   ( điều mâu thuẩn với điều kiện d)) Vậy S (a )  Ta chứng minh: b  X  F (a ) điểm bất động F M Thật vậy, với c  X  F (b) , ta có: b  c  X  F (b) Vì a  b  X  F ( a ) nên suy (b, c )  M a  ( X  X ) Suy ra: b  c  S (a )   b  c  X  F (b) nên b điểm bất động F Vậy F có điểm bất động b  F ( a ) Định lý 2.5.5 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K M  u , v  X , F : M  M toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn: a) K nón chuẩn b) F toán tử đa trị đơn điệu nghiêm ngặt c) Nếu ( xn ) dãy đơn điệu từ dãy ( F ( xn )) ta lấy dãy hội tụ ( yn ) cho yn  F ( xn ) Khi F có điểm bất động M Chứng minh Ta đặt M   x  M :{ x}  F ( x) M   (Vì u  M ) Ta chứng minh: F ( M )  M z  F (M )   F ( x) , tồn x    xM Vì x  F ( x) nên x  z cho z  F ( x) Do F đơn điệu nghiêm ngặt nên suy ra: F ( x)  F ( z )  z  F ( z ) (vì z  F ( x) ), suy z  M Vậy F ( M )  M Giả sử N  M tập thẳng nghĩa x, y  N  x  y hay y  x Ta chứng minh N có cận M Trước hết ta chứng minh F ( N ) tập compact đương đối Thật vậy, giả sử dãy ( yn )  F ( N )   F ( x) Khi với n, tồn xn  N cho yn  F ( xn ) x N Do N tập thẳng nên từ dãy ( xn ) , ta chọn dãy ( xnk ) hội tụ (theo mệnh đề 2.1.5)   với y Theo điều kiện c), tồn dãy yn' k ' nk  F ( xnk ), k Đặt lim yn' k  y k Vì xn1  xn2   xnk  nên F ( xn1 )  F ( xn2 )   F ( xnk )  Khi ta có: yn' k 1  ynk  yn' k 1 Cho k   ta có ynk  y (do K nón chuẩn) Vậy từ dãy ( yn )  F ( N ) , ta tìm dãy ( ynk ) hội tụ, nên F ( N ) tập compact tương đối Ta chứng minh N có cận Do F ( N ) compact tương đối nên tồn dãy ( zn ) trù mật khắp nơi F ( N ) Khi n, un  N : zn  F (un ) Vì N tập thẳng nên ta xây dựng dãy tăng  un'    un  un  un' , n Theo điều kiện c), từ dãy tăng  un'  , tồn dãy tăng   hội tụ với  F (u n' ) Đặt lim  x0 n Vì  x0 , n nên F (vn )  F ( x0 ), n  F (vn )  F ( x0 ) Mà  F (un' )  F ( M )  M   F (vn ) Suy  F ( x0 ), n  {x0 }  F ( x0 ) nghĩa x0  M Ta lại có F ( x )  {x0 }, x  N Thật xét x  N t  F ( x ) t  F ( N ) nên tồn dãy ( znk )  ( zn ) cho znk  t Vì un'  un'   un' k  nên F (un' )  F (un' )   F (un' k )  Suy ra: znk 1  znk  znk 1 , k  vnk  t ( K nón chuẩn ) Mà vnk  x0 , k nên suy t  x0 Vậy F ( x)  {x0 } Như với x  N ta có: F ( x )  {x0 } { x0 }  F ( x ) nên suy x  x0 Vậy N có cận Theo bổ đề Zorn, tập thẳng N M có cận M có phần tử cực đại x* Ta chứng minh x* điểm bất động F Thật t  F ( x*) t  M  t  x * (vì x* phần tử cực đại M ) Mà x*  F ( x*) (vì x*  M ) nên x*  t Từ suy x*  t  F ( x*) Vậy x* điểm bất động F Hệ 2.5.6 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K M  u , v  X , F : M  M toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn: a) K nón b) F tốn tử đa trị đơn điệu nghiêm ngặt Khi F có điểm bất động M Chứng minh Giả sử ( xn ) dãy đơn điệu tăng M, ta có: x1  x2   xn   v Do F toán tử đơn điệu nghiêm ngặt nên: F ( x1 )  F ( x2 )   F ( xn )   F (v) Ta chọn yn  F ( xn ) cho: y1  y2   yn   v Suy dãy ( yn ) tăng bị chặn trên, nên dãy ( yn ) hội tụ (vì K nón đều) Theo kết định lý 2.5.4, F có điểm bất động M Hệ 2.5.7 Giả sử X khơng gian Banach thứ tự nón K M  u , v  X , F : M  2M toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn: a) K nón chuẩn K khơng gian phản xạ b) F tốn tử đa trị đơn điệu nghiêm ngặt Khi F có điểm bất động M Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.10 chương 1, K nón chuẩn X khơng gian phản xạ K nón đều.Vậy ta suy điều kiện hệ 2.5.6 nên F có điểm bất động M Hệ 2.5.8 Giả sử X không gian Banach thứ tự nón K M  u , v  X , F : M  2M toán tử đa trị đơn điệu thỏa mãn: a) K nón chuẩn b) F tốn tử đa trị đơn điệu nghiêm ngặt c) F toán tử compact Khi F có điểm bất động M Chứng minh Giả sử ( xn ) dãy đơn điệu M, ta có: x1  x2   xn   v Vì F tốn tử chặt nên ta chọn yn  F ( xn ) Do F ( M ) tập compact tương đối (vì     hội tụ F toán tử compact) nên tồn ynk   yn  cho ynk Vì K nón chuẩn nên suy  yn  dãy hội tụ Vậy với dãy đơn điệu ( xn ) ta chọn dãy  yn  hội tụ với yn  F ( xn ) Theo định lý 2.5.4, suy F có điểm bất động M 2.6 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ T – ĐƠN ĐIỆU ĐA TRỊ Định nghĩa 2.6.1 Cho X không gian Banach thứ tự nón K tốn tử tuyến tính T : X  X Số   C gọi điểm quy T (.I  T ) song ánh, với I toán tử đồng X Ta ký hiệu  (T )   /  điểm quy T  Khi ta định nghĩa phổ T là:  (T )  C \  (T ) Định nghĩa 2.6.2 Cho X không gian Banach thứ tự nón K Cho tốn tử tuyến tính T : X  X toán tử đa trị F : X  X F gọi toán tử đa trị T – đơn điệu thỏa mãn: x, y  X , x  y T ( y  x)  F ( x)  F ( y ) Bổ đề 2.6.3 Cho X la khơng gian Banach thứ tự nón K Cho toán tử đa trị F : M  u, v  2M tốn tử tuyến tính T : X  X Xét    Nếu (  )   (T ) ta có: x  ( I  T ) 1 ( F  T )( x)  x  F ( x) Chứng minh Vì (  )   (T ) nên (.I  T ) song ánh Khi ta có: x  F ( x )   x  T ( x)   F ( x)  T ( x )  ( I  T )( x )  ( F  T )( x )  ( I  T ) 1 (.I  T )( x)  ( I  T ) 1 ( F  T )( x)  x  (.I  T )1 (.F  T )( x) Bổ đề 2.6.4 Cho X la không gian Banach thứ tự nón K tốn tử tuyến tính T : X  X Xét    Nếu (  )   (T ) A, B  M cho A  B ta có: (.I  T ) 1 ( A)  ( I  T ) 1 ( B) Chứng minh Lấy x  (.I  T ) 1 ( A) , suy (.I  T )( x )  A Vì A  B nên tồn y  B cho (.I  T )( x )  y Vì (  )  (T ) nên (.I  T ) song ánh, nên suy ra: x  ( I  T ) 1 ( y ) Mà (.I  T ) 1 ( y )  ( I  T ) 1 ( B ) nên suy ra: (.I  T ) 1 ( A)  ( I  T ) 1 ( B) Bổ đề 2.6.5 Cho X không gian Banach thứ tự nón K tốn tử tuyến tính T : X  X Giả sử toán tử đa trị F : M  u, v  2M chặt T – đơn điệu thoả mãn: a) T tốn tử tuyến tính dương b) Tồn   (0,1) cho (  )   (T ) T ( x)   x x  K Khi S  ( I  T ) 1 ( F  T ) toán tử đa trị đơn điệu M Chứng minh Xét   (0,1) cho (  )  (T ) T ( x)   x x  K (*) Ta chứng minh (.I  T ) 1 song ánh dương Thật vậy, (  )   (T ) nên (.I  T ) 1 song ánh Do đó, (.I  T ) 1 song ánh Lấy x  (.I  T ) 1 ( K ) Thì tồn y  K cho y  (.I  T )( x) Suy ra:  x  T ( x )  K   x  T ( x)   T ( x )   x Theo (*), ta suy ra: x  K Suy (.I  T ) 1 ( K )  K Vậy (.I  T ) 1 song ánh dương Ta chứng minh S toán tử đa trị đơn điệu M Với x, y  M , x  y ta có: T ( y  x )  F ( x) Suy ra: T ( y  x )   F ( x )   F ( y ) (vì   (0,1) )   F ( x)  T ( x )   F ( y )  T ( y )  ( F  T )( x)  ( F  T )( y) Vì (.I  T ) 1 tốn tử tuyến tính dương nên suy ra: (.I  T )1 (  F  T )( x )  ( I  T ) 1 ( F  T )( y )  S ( x)  S ( y ) Vậy S toán tử đa trị đơn điệu M Định lý 2.6.6 Cho X không gian Banach thứ tự nón K tốn tử tuyến tính T : X  X Giả sử toán tử đa trị F : M  u, v  2M thoả mãn: a) K nón b) F tốn tử đa trị T – đơn điệu c) T toán tử tuyến tính dương d) Tồn   (0,1) cho (  )   (T ) T ( x)   x x  K Khi F có điểm bất động M Chứng minh Ta xét toán tử đa trị: S  ( I  T ) 1 ( F  T ) Từ điều kiện c), d) theo bổ đề 2.6.5, ta có S tốn tử đa trị đơn điệu M Theo hệ 2.5.2 x*  M cho x*  S ( x*) Theo bổ đề ta có: x*  S ( x*)  ( I  T ) 1 ( F  T )( x*)  x*  F ( x*) Vậy F có điểm bất động M Hệ 2.6.7 Cho X khơng gian Banach thứ tự nón K tốn tử tuyến tính T : X  X Giả sử toán tử đa trị F : M  u, v  2M thoả mãn: a) X khơng gian phản xạ a) K nón chuẩn b) F toán tử đa trị T – đơn điệu e) T tốn tử tuyến tính dương f) Tồn   (0,1) cho (  )   (T ) T ( x)   x x  K Khi F có điểm bất động M Chứng minh Ta có kết quả: K nón chuẩn X khơng gian phản xạ K nón Áp dụng định lý 2.6.6, suy F có điểm bất động M KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu tài liệu, dẫn, lý giải thêm thầy hướng dẫn nắm nội dung số kết cổ điển điểm bất động số lớp ánh xạ đa trị số mở rộng ban đầu điểm bất động ánh xạ đa trị tăng, ánh xạ đa trị tăng có tính chất co, compact T – đơn điệu Tuy nhiên, chúng tơi chưa có điều kiện trình bày ứng dụng kết vào việc chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình cụ thể Một số hướng phát triển luận văn là: Làm giảm nhẹ điều kiện kết trình bày luận văn Tìm ứng dụng kết lý thuyết vào việc chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình cụ thể phương trình vi phân, phương trình tích phân … Qua q trình làm luận văn thấy kiến thức học phần giải tích: giải tích hàm nâng cao, giải tích phi tuyến, lý thuyết bậc tô pô… giúp nhiều việc hoàn thành luận văn Quan trọng bước đầu học phương pháp tự học nghiên cứu Tôi hy vọng học tập nghiên cứu thêm ứng dụng đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO K Deimling (1984), Nonliear Functional Analysis, Springer – Verlag Đào Bảo Dũng, Toán tử đa trị đơn điệu tăng khơng gian Banach có thứ tự ứng dụng Luận văn thạc sỹ, ĐHSP TP.HCM, 2000 L Gasinski, N.S Papageorgiou (2005), Nonlinear Analysis, Chamman and Hall / CRC Nguyen Bich Huy (2002), “Fixed points of increasing multivalued operators and an application to quasimonotone elliptic equations”, Nonlinear Analysis, 51, pp 673-678 Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Hữu Khánh Fixed point for multivalued increasing operrators (gởi đăng) Phan Quốc Khánh (1999), Giải tích đa trị, Giáo trình cao học, ĐHQG TP.HCM Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình giải tích đa trị, nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ E Zeidler (1985), Nonlinear Analysis and its Applications, Springer – Verlag ... thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị Cụ thể luận văn trình bày định lý điểm bất động vấn đề liên quan cho lớp ánh xạ dạng co, ánh xạ đa trị có giá trị lồi không lồi, ánh xạ đa trị tăng ánh xạ đưa ánh. .. Chương ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1.1 Ánh xạ đa trị Cho X , Y hai tập bất kỳ, ta ký hiệu 2Y họ tất tập Y Một ánh xạ F : X  2Y gọi ánh xạ. .. điểm bất động M KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu tài liệu, dẫn, lý giải thêm thầy hướng dẫn nắm nội dung số kết cổ điển điểm bất động số lớp ánh xạ đa trị số mở rộng ban đầu điểm bất động ánh xạ