BAI TAP HINH HOC 10

Tìm bán kính đường tròn đi qua trung điểm cạnh AB, tâm hình vuông và đỉnh C... Phân tính theo a, b các vectơ RQ và RP..[r]

V

ũ

M

ạ

nh Hùng

Trường THPT Nguyễn Hữu Huân

Bài T

ậ

p

10

Cơ Bản & Nâng Cao

112> Cho ABC với A = 120o, AB = 6cm, AC = 10cm Tính BC, bán kính

đường trịn ngoại tiếp ABC diện tích ABC

113> Cho ABC với A = 60o, AB = 5cm, BC = 7cm Tính AC, R, r, đường cao

AH

114> Cho ABC với A = 120o, BC = cm, AC = cm Tính AB, R, r, trung

tuyến AM, độ dài phân giác AD

115> Cho ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm Tính diện tích ABC,

chiều cao AH R

116> Cho ABC vng A có AB = 5, AC = 12, đường cao AH

¬ Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp ABC

− Vẽ đường phân giác AD ABC Tính DB, DC, AD

117> Cho ABC với AB = 8cm A = 60o nội tiếp đường trịn (O) bán

kính R = Tính độ dài cạnh BC, AC diện tích ABC.

upload.123doc.net> Cho ABC với A = 60o (B > C), bán kính đường trịn ngoại

tiếp, nội

tiếp: R = 13 cm , r =

3 cm Tính độ dài cạnh diện tích ABC.

119> Cho ABC với B = 60o, đường cao CH = 2 , nội tiếp đường tròn

bán kính R = 13 Tính độ dài cạnh diện tích ABC.

- 16 - Tích Vơ Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng

98> Trong ABC biết AB = c, BC = a, B =  Trên cạnh AB lấy điểm M cho

AM:MB = 3:2 Tính khoảng cách từ M đến trung điểm cạnh AC

VECT

Ơ

Vectơ 100> Cho ABC vng A, kéo dài BC phía C đoạn CD = AB = cm,

biết CAD = 30o Tính cạnh tam giác

ù

101> Cho ABC với AC = 13 cm, AB = cm, BC = 15 cm Tính B, bán kính

đường trịn ngoại tiếp ABC độ dài đường cao BH

102> Cho ABC với A = 120o, BC = cm, AC = cm Tính AB, bán kính

đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp ABC

103> Cho ABC có A = 60o, BC = cm diện tích S = 10 3 cm2 Tính AB,

AC

104> Cho ABC có AC = cm, AB = 3cm, BC = cm Tính A, B, C

105> Cho hình bình hành ABCD có AB = cm, AD = cm, A = 60o ¬ Tính độ dài đường chéo BD, AC diện tích hình bình hành − Tính trung tuyến BM bán kính R đường trịn ngoại tiếp ABD

106> Cho ABC có BC = 3, CA = 2, AB = 6 – 2.

¬ Tính giá trị góc A, B độ dài đường cao AH tam giác − Tính độ dài phân giác AE góc A

107> Cho ABC với A = 120o, B = 45o, AC = 2 cm

¬ Tính BA, BC, R, r , S

− Gọi I tâm đ.trịn nội tiếp ABC, tính bán kính đ.tròn ngoại tiếp BIC

Tổng hai vectơ a b vectơ, kí hiệu a + b, định nghĩa

sau: Từ điểm O tùy ý, vẽ OA = a, từ A vẽ AB = b Khi OB = a + b A

a b

a  b

O B

Hiệu hai vectơ a b, kí hiệu a – b, vectơ định bởi:

a – b = a + (– b)

Tích số k với vectơ a, kí hiệu ka, vectơ phương với a và:

Š Cùng hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < Š ka = ka

Điều kiện để hai vectơ phương: Nếu a  0:

b phương với a k: b = ka



“ BA = – AB

“ OA + OB = OC với OC đường chéo hình bình hành cạnh OA, OB

“ AC = AB + BC, AC = BC – BA

“ Nếu M trung điểm đoạn AB O điểm tuỳ ý thì:



MA + MB =  OA + OB = 2OM “ A, B, C thẳng hàng  AB = kAC

“ G trọng tâm ABC  GA + GB + GC =

108> Cho ABC biết: sin A

sin B 

sin C

6  “ Nếu a  b thì: ma + nb = m = n =

¬ Tính góc ABC − Nếu AC = 4cm Tính R, S

109> Cho a = x2 + x + 1, b = 2x + 1, c = x2– Định x để a, b, c độ dài cạnh tam giác.Với x tìm được, chứng minh tam giác có góc 120o

“ So sánh vectơ AB CD:



Nếu AB CD: Không so sánh JJJG JJJG JJJG JJJG

110> Cho ABC với A = 60o, AB = 5, AC = 8.



Nếu AB CD AB = k.CD: AJJBJG  k.CJDJJG AJJBJG CJJDJJG

¬ Tính BC, diện tích ABC bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC

− Đường trịn đường kính BC cắt AB AC M, N Tính MN 111> Cho ABC có AB = 6 − 2, BC = 3, CA = 6 + Tính  góc A, bán kính

đường trịn ngoại tiếp ABC đường cao AH

⎨ AB −k.CD khi

ABCD

“ Tìm hệ thức liên hệ điểm M, A, B, C với A, B, C thẳng hàng:JJJG JJJJG

AB = kAC MB – MA = k(MC – MA) MA = MB − k MC

- - Vectơ

1/ Cho hình bình hành ABCD CE = BD Chứng minh :

¬ AC + BD = AD + BC − AB + BC + CD = AB + CE

® AC + BD + CB = DB + CE + BC

Vũ Mạnh Hùng 15

-84> Cho hai đường tròn đồng tâm Chứng minh tổng bình phương khoảng cách từ điểm đường tròn đến điểm mút đường kính đường trịn khơng phụ thuộc vào vị trí điểm đường kính

85> Cho đường trịn tâm O bán kính R, điểm M nằm đường kính đường trịn với MO = a, AB dây cung song song với đường kính

khơng? Tính MA2+ MB2

3/ Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm tuỳ ý Chứng minh: MA + MB + MC + MD = 4MO

4/ Chứng minh hình bình hành ABCD tìm điểm M cho MA + MB + MC + MD =

5/ Cho lục giác ABCDEF Chứng minh: AB + AC + AE + AF = 2AD 6/ Cho tứ giác ABCD M, N trung điểm đoạn AB DC Chứng minh AC + AD + BC + BD = 4MN

7/ Cho ABC với M trung điểm AB, E trung điểm MC, AE cắt

BC F, đường thẳng qua M song song với AE cắt BC H Chứng minh: BH = HF = FC

8/ Cho ABC với D trung điểm AC, E trung điểm BD, AE cắt BC

tại M Chứng minh: BC = 3BM

9/ Nếu M điểm đoạn AB với AM:MB = 2:3 O điểm tuỳ ý Chứng minh: OM = OA  + O B

10> Cho ABC A B  C trọng tâm tương ứng G G Chứng 

minh rằng: GG = (A A + BB + CC ). 11> Cho ABC với trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh rằng:

AD + BE + CF =

12> Cho ABC trung tuyến AK, BM Phân tích theo a = AK b = BM

vectơ AB, BC, CA

13> Cho ABC với trung tuyến AM, BN, CP G trọng tâm

¬ Chứng minh O điểm tuỳ ý thì:

OA + OB + OC = OM + ON + OP = 3OG − Biểu diễn AM, BN, CP theo a = BC, b = CA

14> Trên cạnh Ox góc xOy lấy điểm A B cho OA = a, AB = 2a Qua A, B kẻ đường thẳng song song cắt Oy C, D với OC = b Phân tích CD, OD, AC, BD, AD, CB theo a b

86> Xác định tập hợp điểm M thoả MA.MB = k, A, B điểm cố định k  số

87> Cho ABC vuông C Xác định tập hợp điểm M thoả:

MA2 + MB2 = 2MC2

£

D i ệ n tích

88> Cho ABC đều, N điểm cạnh AC cho AN = AC Tính tỉ số

các bán kính đường tròn ngoại tiếp ABN

ABC

89> Cho ABC với A = , BA = c, AC = b Trên cạnh AC AB lấy hai điểm

M, N với M trung điểm cạnh AC dt(AMN) = dt(ABC) Tính độ dài

đoạn MN

90> Cho ABC với AB = 2cm, trung tuyến BD = 1cm, BDA = 30o Tính AD,

BC diện tích ABC

91> Đường trịn bán kính R qua đỉnh A, B ABC tiếp xúc với AC

A Tính diện tích ABC A = , B = 

92> dt(ABC) = 15 3 cm2, A =120o, B > C Khoảng cách từ A đến tâm đường

tròn nội tiếp tam giác 2cm Tính độ dài trung tuyến BM ABC

93> Tính diện tích hình thoi ABCD bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC

và ABD R r

£



T ng ổ H ợ p

94> Cho ABC đều, K M hai điểm AC AB cho AK:KC = 2:1,

AM:MB = 1:2 Chứng minh KM bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC

95> Trong hình bình hành ABCD với AB = a, BC = b, B =  Tính khoảng cách

giữa tâm hai đường tròn ngoại tiếp BCD DAB

96> Cho ABC với A = , C = , AC = b Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD

= 3DC Qua B D kẻ đường tròn tiếp xúc với AC Tính bán kính đường trịn

97> Chứng minh ABC ta có OG2 = R2 –  (a2 + b2 + c2) với G trọng

- 14 - Tích Vơ Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng

69> Cho ABC, đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA M, D, N Tính độ dài đoạn MD NA=2, NC=3, C = 60o

70> Đường tròn nội tiếp KLM tiếp xúc với KM A Tính độ dài đoạn

AL AK = 10, AM = 4, L = 60o

71> Cho ABC với B = 60o, AB + BC = 11cm (AB > BC) Bán kính đường trịn nội tiếp ABC 2: 3 cm Tính độ dài đường cao AH

72> Cho ABC cân A với A =  Đường trịn tâm BC bán kính r tiếp xúc với cạnh AB, AC Tiếp tuyến điểm đường tròn cắt AB, AC M, N với MN = 2b

Tính BM, CN

73> Cho ABC, đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC M Tính độ dài cạnh AB, AC BM = 6cm, MC = 8cm bán kính đường trịn

nội tiếp 4cm

£} Đ ị nh L í Hàm ố S Sin

74> Chứng minh tam giác có a:cosA = b:cosB tam giác cân 75> Chứng minh ABC:

a(sinB – sinC) + b(sinC – sinA) + c(sinA – sinB) = 76> ABC cân A với A = 30o, AB = AC = 5cm Đường thẳng qua B tâm

O đường tròn ngoại tiếp ABC cắt AC D Tính BD

77> Cho ABC, đường trịn bán kính r qua A, B cắt BC D Tìm bán kính

đường trịn qua điểm A, D, C AB = c, AC = b

78> Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm bán kính đường trịn qua trung điểm cạnh AB, tâm hình vng đỉnh C 79> Trong đường trịn bán kính R kẻ hai dây cung MN, PQ vng góc Tính khoảng cách MP NQ = a 80> Trong ABC với BC = a, A = , B =  Tìm bán kính đường trịn tiếp xúc với AC A tiếp xúc với BC

81> Cho ABC với BC = a, B = , C =  Đường phân giác góc A cắt đường

trịn ngoại tiếp ABC K Tính AK £~ Độ d i t rung tu ếy n

82> Trong ABC với M trung điểm cạnh AB Tính CM AC = 6, BC = 4, C = 120o

Vũ Mạnh Hùng -15> Cho tứ giác ABCD với AB = a, BC = b, CD = c Phân tích CA, DB, DA theo a, b, c

16> Cho hình bình hành ABCD với H trung điểm AD, F M điểm BC cho BF = MC = BC Phân tích theo a = AB b = AD vectơ AM, MH, AF 17> Cho hình bình hành ABCD tâm O với H trung điểm OD, AH cắt CD

tại F Phân tích BD, AC, BH, AH, AF theo a = AB b = AD

18> Trong hình thang ABCD tỉ số độ dài cạnh đáy AD BC m Đặt AC = a BD = b Phân tích theo a b vectơ AB, BC, CD, DA

19> Cho hình thang ABCD đáy AB CD, đường trung bình MP O trung điểm MP với AB = a, CD = b, AD = c Phân tích theo a, b, c vectơ BC, AO, DO, OC MP

20> Cho ABC với AB = 10cm, BC = 8cm, CA = 5cm Đường tròn nội tiếp

trong ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA tương ứng M, N, P

¬ Tìm độ dài đoạn AM, BN, CP

− Nếu CN = a, AP = b Phân tích BA theo a b 21> Cho tứ giác ABCD với AB = b, AC = c, AD = d

¬ Phân tích BC, CD, DB theo b, c, d

− Gọi Q trọng tâm BCD Phân tích AQ theo b, c, d

22>Cho ABC với AB = a, AC = b Gọi P, Q, R điểm cho BP = 2BC, AQ = AC, AR = AB Phân tính theo a, b vectơ RQ RP Suy P, Q, R thẳng hàng

23> Cho vectơ khác cặp không phương a, b, c

Tính a + b + c a + b c phương, b + c a phương 24> Trong ABC cho điểm M, N cho AM = AB, CN = CM

Đặt a = AB, b = AC Phân tích AN BN theo a b

25> Trong ABC lấy điểm M, N cho AM = AB AN = AC

¬ Tìm quan hệ   để MN BC phương

− Nếu   chọn cho MN BC không phương Đặt BC = a, MN = b, phân tích AB AC theo a b

- - Vectơ

27> Trên đường thẳng  cho điểm P, Q, R đường thẳng m cho điểm P , Q , R cho PQ = kQR, PQ = kQ R   Chứng minh trung điểm đoạn PP , Q Q , RR  nằm đường thẳng

28> Cho ABC Trên đường thẳng BC, CA, AB cho tương ứng cặp điểm

(A1, A2), (B1, B2), (C1, C2) cho A1A2 + B1B2 + C1C2 = Chứng minh rằng: BC:A1A2 = CA:B1B2 = AB:C1C2

29>Trong ABC kẻ đường phân giác CC (C chân đường phân giác) Phân

Vũ Mạnh Hùng 13

-Hệ thức lượng tam giác

a, b, c: độ dài cạnh đối diện đỉnh A, B, C ha, hb, hc: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C

ma, mb, mc: độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C R, r: bán kính đường trịn ngoại, nội tiếp ABC

p = (a + b + c): nửa chu vi S: diện tích tam giác

ƒ Định lí cos i n : a2 = b2 + c2 – 2bccosA

30> Điểm I tâm đường tròn nội tiếp ABC Chứng minh :

BC.IA + CA.IB + AB.IC =

ƒ Định lí si

n : sin Aa  b 

sin B c sin C

 2R

31> Cho ABC, tìm tập hợp điểm M cho:

¬ M A+MB+MC = MB – MC  − 2M A+MB–MC =

MA +

 MB 

32> Cho hình bình hành ABCD k > Tìm tập hợp điểm M cho:

ƒ Độ dài tru

n g tuyến :

2 b  c a

2

− a

4

2

2 BC

¬ MA + MB + MC + MD = k2 − MA + MB + MC +

3MD = k

ú

Chú ý : Từ cơng thức tính độ dài trung tuyến: AB M trung điểm BC

ƒ Diện tích tam giác:

+ AC

= 2AM +

33> Cho hình lục giác ABCDEF ¬ S = aha = bh b = chc − S = abs inC = acsinB = bcsinA

¬ Biểu diễn vectơ AC, AD, AF, EF qua vectơ u = AB, v = AE

− Tìm tập hợp điểm M cho: ® S = abc ¯ S = pr4R ° S = p(p –a)(p–b)(p–c) (công thức Héron)

|MA + MB + MC + MD| = 3|MA – MD| ® Tìm tập hợp điểm M cho:

£| ị Đnh L í cosin:

61> Giả sử a b độ dài cạnh hình bình hành, d1, d2 độ dài hai đường chéo

|MA + MB + MC| + |MD + ME + MF| Chứng minh d1 + d2 = 2(a2+ b2)

đạt giá trị nhỏ

34> Cho ABC trung tuyến CM Đường thẳng CM cắt đường thẳng BC,

CA, AB tương ứng A , B , C  Chứng minh: A C + B C = CA + CB

35> Tứ giác ABCD có đường chéo AC, BD vng góc cắt M nội tiếp đường trịn (O) Gọi I, J trung điểm AB, CD Chứng minh IMJO hình bình hành

36> Cho ABC trọng tâm G Phân tích AG theo a = AB, b = AC

37> Cho hình bình hành ABCD, gọi M N trung điểm cạnh CB, CD Tính AC AM = a, AN = b

38> Cho hình bình hành ABCD, gọi M N điểm cho CM = CB,

 CN = C D Tính AC, AB, AD AM = a, AN = b

62> Chứng minh ABC a = 2bcosC tam giác cân

63> Trong ABC biết AC = 13cm, AB + BC = 22cm, B = 60o Tính AB, BC

64> Trong ABC biết AB = 3cm, AC = 5cm, A = 120o Tính độ dài đường phân

giác BD đoạn AD, CD

65> Trong ABC biết B = 120o, AB = 6cm, AC = 10cm Tính BC

66> Tính độ dài phân giác góc A ABC biết BC = 18cm, AC =

15cm, AB = 12cm

67> Cho ABC cạnh a Trên đoạn BC AB lấy hai điểm D, E

sao cho BD = a, AE = DE Tính CE.

68> Cho tứ giác lồi ABCD với E, F, H, G trung điểm AB, BC, CD, DA O giao điểm EH, FG Tìm độ dài đường chéo tứ giác ABCD EH = a, FG = b, FOH = 60o

2

- 12 - Tích Vơ Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng

50> Cho ABC với A(5;0), B(0;1), C(3;3) Tìm góc tam giác

51> Cho ABC với A(1;1), B(0;2), C(2;–1) Trong góc tam giác có góc tù khơng ?

52> Trong mpOxy lập phương trình tập hợp điểm M cách điểm A(3;–1), B(–3;5)

53> Trong mpOxy cho điểm A(2;2), B(5;–3) Lập phương trình tập hợp

điểm M cho MA.MB = AB2

54> Cho A(–2;1), B(4;–2)

¬ Tìm tập hợp điểm M cho MA:MB = 1:2 − Tìm tập hợp tâm đường trịn qua A, B 55> Cho điểm A(3;–2), B(– 4;3)

¬ Lập phương trình đường trịn (C) đường kính AB − Lập phương trình tiếp tuyến với (C) A

56> Cho đường tròn tâm I(–3;2) điểm A(1;1) đường trịn Lập phương trình tiếp tuyến với đường trịn A 57> Lập phương trình tập hợp điểm M cho MA.MB = 2MI2

A(0;5), B(– 4;3) I trung điểm đoạn AB 58> Cho điểm A(3;–5), B(–3;3), C(–1;–2)

¬ Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác Tìm toạ độ điểm D cho ABDC hình bình hành

− Tìm toạ độ điểm E cho AE = 2AB – 3AC ® Tính chu vi diện tích ABC

¯ Tìm toạ độ trọng tâm G, toạ độ trực tâm H ABC, toạ độ tâm I

đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh I, H, G thẳng hàng

° Tìm giao điểm đường phân giác ngồi góc A với BC 59> Cho điểm A(1;3), B(3;1) Tìm toạ độ điểm C cho ABC

60> Cho ABC vuông A, với AB = 3a, AC = 4a Gọi M, N điểm cho

BM = BA, BN = BC Tìm CA điểm K cho BK MN.

Vũ Mạnh Hùng

-39> Cho ABC, gọi M, N điểm cho AB = –3AM, AN = 3NC, I J trung điểm đoạn MN BC

¬ Phân tích AI, IJ theo a = AB, b = AC − Phân tích AB, AC theo m = IJ, n = MN

40> Cho đường tròn tâm O dây cung AB, CD vng góc cắt E ¬ Chứng minh rằng: OA + OB + OC + OD = 2OE

− Gọi I, J trung điểm AD, BC Chứng minh OIEJ hình bình hành ® Tìm tập hợp điểm M cho M A + MB + MC + MD = 2a (a > 0)

41> Từ điểm M ngồi đường trịn tâm O, kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường trịn Phân tích MO theo a = MA b = MB AMB = 2

42> Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N điểm cho MB = –2MA, ND =

CD, G trọng tâm BMN Đặt AB = b, AC = c

¬ Tính AN theo b c − Tính AG theo b c

® Nếu I điểm cho BI = kBC Xác định k để A, G, I thẳng hàng 43> Cho ABC trọng tâm G, P điểm cho AP =kAB Đặt AB = b, AC = c

¬ Tính CP theo b, c, k Định k để C, P, G thẳng hàng

− Tìm tập hợp điểm M cho 4MA + MB + MC = MB – MC 

44> Cho ABC Gọi M, N trung điểm BC, AM P điểm cho CM = CP

¬ Chứng minh NB + 5NC = 6NP

− Gọi K điểm cho AK = kAB Tính PK, NK theo b = AB c = AC Định k để N, K, P thẳng hàng

45> Cho hình bình hành ABCD, gọi M N điểm cho CM =

CB, CN = CD

¬ Tính AM, AN theo b = AB c = AC

− I, J điểm cho CI = CD, BJ = BI Định ,  cho J trọng tâm AMN

46> Cho ABC, M N điểm cho BM = 2BC – AB, CN = kAC – BC

¬ Định k để C, M, N thẳng hàng

− Định k để MN qua trung điểm I AC Tính IM:IN

- - Vectơ

¬ Tính EF theo b = AB c = AC

Vũ Mạnh Hùng 11 -31> Cho ABC vuông A Từ điểm I cạnh BC kẻ INAB cắt AC N

IM AC  cắt AB M Đặt AB = u, AC = v biết IB = kIC 48> Cho ABC v = 3MA – 2MB – MC với M điểm

¬ Chứng minh v vectơ khơng đổi

¬ Chứng minh MN = k

v + k −

1 u k −

− Dựng AD = v AD cắt BC E, chứng minh 2EB + EC =

® Dựng MN = v Gọi P trung điểm CN, chứng minh MP qua điểm cố định M thay đổi

÷

Trục Toạ Độ & Hệ Trục Toạ Độ |

 Trụ c t o độ (tr c,ụ tr c s ụ ố ) :

’ Trục đường thẳng có xác định điểm O vectơ đơn vị i, kí

hiệu (O,i) Trục cịn kí hiệu xOx Ox

’ Toạ độ điểm vectơ trục:

+ x toạ độ điểm M OM = x.i + a toạ độ a a =  a.i

’ Độ dài đại số AB trục, kí hiệu AB, toạ độ AB: AB = AB.i

JJJG JJJG G

− Tìm k theo u và v để MN AO (O trung điểm cạnh BC)

ù

32> Cho a = (–1;2) Tìm toạ độ vectơ b phương với a biết |b| = 10

33> Cho a = (2;–3) Tìm toạ độ b phương với a biết a.b = – 26 34> Cho a = (–2;1) Tìm toạ độ b vng góc với a biết |b| = 5.

35> Tìm x, y để điểm A(2;0), B(0;2), C(0;7), D(x;y) đỉnh liên tiếp hình thang cân

36> Chứng minh ABC với A(1;3), B(–3;1), C(–2;–1) tam giác vng Tìm D

để ABCD hình chữ nhật 37> Cho A(5;–1), B(–1;3)

¬ Tìm trục tung điểm P cho góc APB vng

− Tìm trục hồnh điểm M cho MA2 + 2MB2 nhỏ

38> Cho ABC với A(–3;6), B(9;–10), C(–5;4) Xác định tâm I tính bán kính

AB = | ABJJ| JG

n Ỉ u

AJJBJG 

Gi

đường tròn ngoại tiếp ABC

⎨− | AB | n Ỉ u AB i

’ Hệ thức Chasles: AB + BC = AC

}

 H ệ Tr ụ c to độ :

’ Toạ độ điểm vectơ:

+ M(x;y)  OM = x.i + y.j + a = (a1;a2) a =  a1.i + a2.j

Trong i = (1;0), j = (0;1) vectơ đơn vị trục Ox, Oy Giả sử a = (a1;a2) b = (b1;b2)

’ Vect b ằ ng – Toạ độ vectơ tổn g , hi ệ u, tích ve c t với s ố:

Œa = b ⇔ a1 = b1, a2 = b2

Œa  b = (a1  b1;a2  b2) Œka = (ka1;ka2) ’ Toạ độ c AB : AB = (xB – xA;yB – yA)

a a

39> Chứng minh A(1;–1), B(5;1), C(3;5), D(–1;3) đỉnh hình vng 40> Xác định toạ độ điểm M đối xứng với điểm N(1;4) qua đường thẳng qua hai điểm A(– 4;–1), B(5;2)

41> Cho đỉnh đối diện hình vng ABCD: A(3;4), C(1;–2) Tìm hai đỉnh cịn lại

42> Cho đỉnh kề hình vng ABCD: A(–1;–3), B(3;5) Tìm đỉnh cịn lại

43> Cho ABC với A(2;– 4), B(1;3), C(11;2), tìm toạ độ trực tâm H

44> Cho ABC với A(–2;6), B(6;2), C(1;–3), tìm toạ độ chân đường cao CH

tính độ dài đường cao

45> Cho ABC với AB = (3;– 4), BC = (1;5) Tính độ dài đường cao CH

46> Cho ABC với A(3;–5), B(1;–3), C(2;–2), tìm toạ độ chân đường phân

giác ngồi góc B

47> Cho ABC cân A, biết A = 120o, B(–1;2), C(4;1) Tìm toạ độ đỉnh A ’ Hai vectơ phương: a b  ⇔ a = kb ⇔  2(b1b2  0)

b1 b2 48> Cho hình thoi ABCD với A(1;3), B(–1;–1) Tìm toạ độ C, D đường

thẳng CD qua điểm M(6;7)

49> Cho h.thoi ABCD với B(1;–3), D(0;4), A = 60o Tìm toạ độ đỉnh A, C

Vũ Mạnh Hùng

-¬ Tính AM PN − Xác định k để AM PN. x  x yA  yB

23> Cho hình vng ABCD có cạnh a = 5cm ’ Toạ độ trung điểm M đoạn AB : xM =

A B , y

M =

2

¬ Xác định điểm I J cho : IA – 3IB = 0, 3JC + JD = − Tính IJ theo AB, AD Suy tính tích vơ hướng IJ.AC

’ Toạ độ trọ ng tâm G  ABC : xG

=

x A  x B  xC

3

, yG = yA  yB  yC

3 ® Tìm tập hợp điểm M cho (MA – 3MB).BD =

24> Cho ABC với đường trung tuyến AM, BN, CP Các đường cao AD,

BE cắt H Chứng minh rằng: ¬ BA.BC = BH BC = BH BE

− AH.AM + BH BN + CH CP = (AB + BC2 + CA2) 25> Cho hình bình hành ABCD Gọi E giao điểm hai đường chéo

¬ Tính AC2, BD2, AC2 + BD2 biết AB = a, AD = b, BAD = ϕ

− Chứng minh AB.AD = AE2 – BE2 = (AC – BD2)

26> Cho ABC vuông A có AB = 6cm, AC = 8cm Gọi M, N hai điểm

cho AM = AB, CN = CB

¬ Biểu diễn AN theo AB, AC Tính AN   − Tinh AM.AN Suy giá trị cạnh MN

27> A , B ,  C là trung điểm cạnh BC, CA, AB ABC Hãy

tính: BC.AA + CA.BB + AB.CC 

28> Cho ABC đều, gọi M, N điểm cho MB = – 2MC, NB = NC.

¬ Phân tích AM, AN theo b = AB, c = AC

− P điểm cho AP = kAB Xác định k để PN PM. ® G trọng tâm ABC, phân tích AG theo AM AN

¯ Tìm tập hợp điểm I cho: (IC + 2IB)(IA – 2IB) = 29> Cho ABC với AB = cm, AC = cm, BC = cm

¬ Tính giá trị góc B

− Gọi M, N điểm cho BM = BA, BN = BC Tính độ dài MN ® Tìm điểm D AC cho BD MN.

30> Cho ABC với A = 120o, AB = cm, AC = cm

¬ Tính độ dài cạnh BC trung tuyến BM

− N điểm cho BN = kBC Tính AN theo AB AC Xác định k để AN BM.

49> Cho a = (2;–3), b = (5;4), c = (–2;–1) Tính toạ độ 4a – 5b + c 50> Cho a = (2;–3), b = (1;2), c = (9;4) Tìm p, q để c = pa + qb

51> Cho a = (x;2y), b = (–2y;3x) c = (4;–2) Xác định x, y để 2a – b = c 52> Cho a = (3;–1), b = (1;–2), c = (–1;7) Biểu diễn p = a + b + c theo a b 53> Cho điểm A(–3;2), B(2;–1), C(5; 12)

¬ Tìm điểm M cho AM = 3AB – 5AC

− Chứng minh A, B, C khơng thẳng hàng Tìm điểm D cho ABDC hình bình hành

54> Cho A(–1;2), B(–3;–1) Tìm toạ độ điểm M đối xứng với B qua A

55> Cho M(4;1), N(2;–1), P(3;–2) trung điểm cạnh AB, BC, CA

ABC Xác định toạ độ đỉnh tam giác

56> Cho ABC có A(–1;1), B(–3;–7), đỉnh C trục hồnh, trọng tâm G

trên trục tung Tìm toạ độ C, G

57> Cho A(3;–2), B(6;4) Đoạn AB chia thành phần nhau, tìm toạ độ điểm chia

58> Chứng minh điểm A(1;2), B(–2;–3), C(7;12) nằm đường thẳng 59> Chứng minh tứ giác ABCD với A(–1;2), B(2;3), C(6;1), D(–6;–3) hình thang

60> Cho vectơ khơng phương a, b Tìm x cho vectơ c = (x – 2)a + b d = (2x + 1)a – b phương

61> Cho a = (3;5), b = (3;–2) điểm I(2;–3) Nếu IM = a + tb Định t để O, M, I thẳng hàng

Tích Vô H

ướ

ng C

ủ

a Hai Vect

ơ

&

Ứ

ng D

ụ

ng

Vũ Mạnh Hùng

-12> Tính góc vectơ a b biết 7a – 5b vng góc với a + 3b a – 4b vng góc với 7a – 2b 13> Các vectơ a b tạo với góc 120o Tìm x |b| = 2|a| vectơ a + xb

vng góc với vectơ a – b

Đị nh n gh ĩa : a.b =

a b cos(a,

    b) G G G G 14> Cho điểm tuỳ ý A, B, C, D Chứng minh AB.CD + AC.DB + AD.BC =

’ a ⊥ b ⇔ a.b = 0. ’ a.b = | a || b |

G G n u a bG Ỉ G 

⎨ − | a || b | n Ỉ u a b

’ a2 = |a|2 ’ a.b = a.chab

Biểu t h ức t o đ ộ : a.b = a1b1 + a2b2

Độ dài (mô đ un) c ủ a vect : a  = a + a2

Kh o ả ng c ch đ i ể m : AB = A B = (x B − xA)2 + (yB −

yA)2

15> Cho hai hình vng hướng OABC OABC M trung diểm

AC Chứng  minh OM A C

16> Cho ABC với AB = b, AC = c Phân tích BM theo b c M

chân đường cao kẻ từ B

17> Cho hình thang cân ABCD đáy lớn AB, góc nhọn đáy 60o Đặt AB = a,

AD = b Biểu diễn BC theo a, b Tìm quan hệ a b để AC BD.

Góc củ a vectơ : cos(a,b ) =

a.b

= a b1  a b . 18> Cho hình bình hành ABCD có AB = a AD = b Trên cạnh AD lấy điểm

| a | | b | a  a 2 b 2  b 2 2

1/ Cho ABC vuông A BC= a, B = 60o Tính tích vơ hướng CB.BA

2/ Cho ABC vng cân A với BC = a Tính tích vô hướng BC.CA

3/ Cho ABC, cạnh BC lấy điểm E, F cho BE = EF = FC Đặt AE =

a, EB = b

¬ Biểu thị AB, BC, AC theo a b

− Tính AB.AC b = 2,  a = 5, ( a,b) = 120o

4/ Cho ABC với AB = c, CB = a CA = b Chứng minh 2a.c = a2 + c2 – b2

5/ Xác định hình dạng ABC AB.AC = AC2

6/ Cho ABC vuông cân A Tính cosin góc tù tạo trung tuyến

tam giác kẻ từ B C

7/ Tính a + b , a –   b nếu (a,b) = 60o a = 5,  b = 8/ Cho a = 13,  b = 19, a + b = 24.  Tính a – b  9/ Cho a = – i + j b = i + 3j Tìm góc vectơ

c = 4a + b d = – a + b.

10> Các vectơ a, b, c thoả a + b + c = |a| = 1, |b| = 3, |c| = Tính a.b + b.c + c.a

11> Tính góc vectơ a b biết |a| = |b|  hai vectơ p = a + 2b, q = 5a – 4b vng góc với

M cho MA + 2MD =

¬ Chứng minh 3BM = 2b – 3a

− Cho a = 2,  b = và (a,b) = 60o Tính BM.AC ® Gọi N = AC  BM Chứng minh 5AN = 2AC

19> Cho ABC có đường cao CH thoả hệ thức CA2 = AB.AH

¬ Chứng minh ABC vng C

− Gọi I, J trung điểm HC HB Chứng minh: AI CJ. 20> Cho ABC có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a

¬ Tính AB.AC, BC.BA

− Gọi E, F điểm cho AE = –  AC, AF = –  AB Gọi I trung điểm đoạn EF Chứng minh AI BC.

21> Cho ABC với AB = 8, AC = 3, BAC = 60o Gọi E, F điểm cho BE

= BC, CF = CA

¬ Chứng minh EF = (AC – 2AB) − Tính AB.AC, suy độ dài đoạn BC

® I điểm BC cho BI = x Xác định x để AI EF.

¯ Tìm tập hợp điểm M cho (MA –3MB)(MA +MB –2MC) = 22> Cho ABC đều, gọi M, N, P điểm cho BM = BC, CN = CA,

AP = kAB Đặt b = AB, c = AC