Đang tải... (xem toàn văn)
Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ước đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, b[r]
(1)PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt MTBT khác Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính số hạng dãy số ví dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý quy trình bấm phím cho kết nhanh, xác Ngồi việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính tốn học mà từ kết tính tốn ta dự đốn, ước đốn tính chất dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đốn cơng thức số hạng tổng qt dãy số, tính hội tụ, giới hạn dãy từ giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải tốn cách sáng tạo Việc biết cách lập quy trình để tính số hạng dãy số cịn hình thành cho học sinh kỹ năng, tư thuật tốn gần với lập trình tin học Sau số quy trình tính số hạng số dạng dãy số thường gặp chương trình, ngoại khố thi giải Tốn MTBT: I/ Lập quy trình tính số hạng dãy số: 1) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát: f(n) biểu thức n cho trước Cách lập quy trình: - Ghi giá trị n = vào ô nhớ A : SHIFT STO A - Lập cơng thức tính f(A) gán giá trị ô nhớ : A = A + - Lặp dấu bằng: = = Giải thích: 1 SHIFT STO A : ghi giá trị n = vào ô nhớ A f(A) : A = A + : tính un = f(n) giá trị A (khi bấm dấu thứ lần nhất) thực gán giá trị ô nhớ A thêm đơn vị: A = A + (khi bấm dấu lần thứ hai) * Công thức lặp lại ấn dấu = (2)Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: 1 5 ; 1, 2,3 2 5 n n n u n Giải: - Ta lập quy trình tính un sau: SHIFT STO A ( ) ( ( ( + ) ) ANPHA A - ( ( ) ) ANPHA A ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 = - Lặp lại phím: = = Ta kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55. 2) Dãy số cho hệ thức truy hồi dạng: f(un) biểu thức un cho trước Cách lập quy trình: - Nhập giá trị số hạng u1: a = - Nhập biểu thức un+1 = f(un) : ( biểu thức un+1 chỗ có un ta nhập ANS ) - Lặp dấu bằng: = Giải thích: - Khi bấm: a = hình u1 = a lưu kết - Khi nhập biểu thức f(un) phím ANS, bấm dấu = lần thứ máy thực tính u2 = f(u1) lại lưu kết - Tiếp tục bấm dấu = ta số hạng dãy số u3, u4 Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: n+1 n u = a u = f(u ) ; n N* (3) 1 1 2 , * 1 n n n u u u n N u Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số sau: = (u1) ( ANS + ) ( ANS + ) = (u2) = = - Ta giá trị gần với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562 Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi: 3 3 3 , * n n u u u n N Tìm số tự nhiên n nhỏ để un số nguyên Giải: - Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số sau: SHIFT = (u1) ANS SHIFT 3 = (u2) = = (u 4 = 3) Vậy n = số tự nhiên nhỏ để u4 = số nguyên. 3) Dãy số cho hệ thức truy hồi dạng: Cách lập quy trình: 1 n+2 n+1 n u = a, u b u = A u + Bu + C ; n N* (4)* Cách 1: Bấm phím: b SHIFT STO A A + B a + C SHIFT STO B Và lặp lại dãy phím: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B B + C SHIFT STO B Giải thích: Sau thực b SHIFT STO A A + B a + C SHIFT STO B trong ô nhớ A u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C đẩy vào ô nhớ B , trên hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau thực hiện: A + ANPHA A B + C SHIFT STO A máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C đưa vào ô nhớ A Như ta có u4 hình ô nhớ A (trong ô nhớ B u3) Sau thực hiện: A + ANPHA B B + C SHIFT STO B máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C đưa vào ô nhớ B Như ta có u5 hình nhớ B (trong ô nhớ A u4) Tiếp tục vòng lặp ta dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C *Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta sử dụng chức COPY để lập lại dãy lặp quy trình sau (giảm 10 lần bấm phím tìm số hạng dãy số), thực quy trình sau: Bấm phím: b SHIFT STO A A + B a + C SHIFT STO B A + ANPHA A B + C SHIFT STO A A + ANPHA B B + C SHIFT STO B SHIFT COPY Lặp dấu bằng: = = * Cách 2: Sử dụng cách lập cơng thức Bấm phím: a SHIFT A b SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = A ANPHA B + B ANPHA A + C ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B (5)Lặp dấu bằng: = = Ví dụ : Cho dãy số xác định bởi: 1 n+2 n+1 n u = 1, u u = 3u + u + ; n N* Hãy lập quy trình tính un Giải: - Thực quy trình: 2 SHIFT STO A + + SHIFT STO B + ANPHA A + SHIFT STO A + ANPHA B + SHIFT STO B SHIFT COPY = = ta dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 Hoặc thực quy trình: 1 SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ANPHA B + ANPHA A + 5 ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C = = (6)4) Dãy số cho hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng: * Thuật tốn để lập quy trình tính số hạng dãy: - Sử dụng ô nhớ: A : chứa giá trị n B : chứa giá trị un C : chứa giá trị un+1 - Lập cơng thức tính un+1 thực gán A : = A + B := C để tính số hạng của dãy - Lặp phím : = Ví dụ : Cho dãy số xác định bởi: 1 n+1 n u = n u = u +1 ; n N* n+1 Hãy lập quy trình tính un Giải: - Thực quy trình: SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ( ANPHA A ( ANPHA A + ) ) ( ANPHA B + ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C = = ta dãy: 1 , 1, , 2, , 3, , 2 2 II/ Sử dụng MTBT việc giải số dạng tốn dãy số: 1) Lập cơng thức số hạng tổng quát: Phương pháp giải: 1 n+1 u = a u = f n u, n ; n N* Trong f n u, n kí hiệu biểu thức un+1 tính (7)- Lập quy trình MTBT để tính số số hạng dãy số - Tìm quy luật cho dãy số, dự đốn cơng thức số hạng tổng qt - Chứng minh cơng thức tìm quy nạp Ví dụ 1: Tìm a2004 biết: Giải: - Trước hết ta tính số số hạng đầu dãy (an), quy trình sau: 1 SHIFT STO A SHIFT STO B ANPHA C ANPHA = ANPHA A ( ANPHA A + ) ( ( ANPHA A + ) ( ANPHA A + ) ) ( ANPHA B + ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C - Ta dãy: 1 27 11 13 , , , , , , 20 50 15 14 - Từ phân tích số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a1 = a2 = 1 1.5 6303.10 dự đốn cơng thức số hạng tổng qt: a3 = 7 2.7 2.7 2040 4.10 a4 = 27 3.9 50 5.10 * Dễ dàng chứng minh công thức (1) đúng 2004 2003.4009 20050 a 1 0 ( 1) ( 1) ; * ( 2)( 3) n n a n n a a n N n n ( 1)(2 1) 10( 1) n n n a n (1) (8)Ví dụ 2 : Xét dãy số: Chứng minh số A = 4an.an+2 + số phương Giải: - Tính số số hạng đầu dãy (an) quy trình: 3 SHIFT STO A - + SHIFT STO B - ANPHA A + SHIFT STO A - ANPHA B + SHIFT STO B SHIFT COPY = = - Ta dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - Tìm quy luật cho dãy số: 1 1(1 1) 2 a 2 2(2 1) 2 a dự đốn cơng thức số hạng tổng qt: 3 3(3 1) 2 a 4 4(4 1) 10 2 a 5 5(5 1) 15 2 a * Ta hoàn toàn chứng minh cơng thức (1) Từ đó: A = 4an.an+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2 A số phương Cách giải khác: Từ kết tìm số số hạng đầu dãy,ta thấy: - Với n = A = 4a1.a3 + = 4.1.6 + = 25 = (2a2 - 1)2 - Với n = A = 4a2.a4 + = 4.3.10 + = 121 = (2a3 - 1)2 - Với n = A = 4a3.a5 + = 4.6.15 + = 361 = (2a4 - 1)2 Từ ta chứng minh A = 4an.an+2 + = (2an+1 - 1)2 (*) Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh (*) 2) Dự đoán giới hạn dãy số: 2.1 Xét tính hội tụ dãy số: Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính nhiều số hạng dãy số cách nhanh chóng Biểu diễn dãy điểm số hạng dãy số giúp cho ta trực quan tốt hội tụ dãy số, từ hình thành nên cách giải toán 1 * 1, 2 1; n n n a a a a a n N ( 1) n n n a (1) (9)Ví dụ 1: Xét hội tụ dãy số (an): sin( ) ; * 1 n n a n N n Giải: - Thực quy trình: 4 2 MODE SHIFT STO A sin ( ANPHA A ) ( ANPHA A + ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + = = ta kết sau (độ xác 10-9): n an n an n an n an 1 0,420735492 13 0,030011931 25 -0,005090451 37 -0,016935214 2 0,303099142 14 0,06604049 26 0,028242905 38 0,007599194 3 0,035280002 15 0,04064299 27 0,034156283 39 0,024094884 4 -0,151360499 16 -0,016935489 28 0,009341578 40 0,018173491 5 -0,159820712 17 -0,053410971 29 -0,022121129 41 -0,00377673 6 -0,039916499 18 -0,039525644 30 -0,031871987 42 -0,021314454 7 0,082123324 19 0,00749386 31 -0,012626176 43 -0,018903971 8 0,109928694 20 0,043473583 32 0,016709899 44 0,000393376 9 0,041211848 21 0,038029801 33 0,029409172 45 0,018497902 10 -0,049456464 22 -0,000384839 34 0,015116648 46 0,019186986 11 -0,083332517 23 -0,035259183 35 -0,011893963 47 0,00257444 12 -0,041274839 24 -0,036223134 36 -0,026804833 48 -0,015678666 - Biểu diễn điểm mặt phẳng toạ độ (n ; an): Dựa vào biểu diễn giúp cho ta rút nhận xét n lớn an gần (an 0) chính chất dãy hội tụ đến số an (10)2.2 Dự đoán giới hạn dãy số: Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (un), (n = 1, 2, ) xác định bởi: 1 2 2 ; * n n u u u n N có giới hạn Tìm giới hạn Giải: - Thực quy trình: = ( + ANS ) = = ta kết sau (độ xác 10-9): n un n un 1 1,414213562 11 1,999999412 2 1,847759065 12 1,999999853 3 1,961570561 13 1,999999963 4 1,990369453 14 1,999999991 5 1,997590912 15 1,999999998 6 1,999397637 16 1,999999999 7 1,999849404 17 2,000000000 8 1,999962351 18 2,000000000 9 1,999990588 19 2,000000000 10 1,999997647 20 2,000000000 Dựa vào kết ta nhận xét được: 1) Dãy số (un) dãy tăng 2) Dự đoán giới hạn dãy số 2 Chứng minh nhận định trên: + Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh dãy số (un) tăng bị chặn dãy (un) có giới hạn + Gọi giới hạn a: limun = a Lấy giới hạn hai vế công thức truy hồi xác định dãy số (un) ta được: limun = lim( 2un ) hay a = 2a 2 0 2 a a a a (11)Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, ) xác định bởi: 1 2 1 1 2 sin( ) , * 5 n n n x x x x x n N Chứng minh dãy (xn) có giới hạn tìm giới hạn Giải: - Thực quy trình: 4 2 MODE SHIFT STO A ( SHIFT ) + ( SHIFT ) sin ( ) SHIFT STO B x2 ( SHIFT ) + ( 2SHIFT ) sin ( ANPHA A ) SHIFT STO A x2 ( SHIFT ) + ( 2SHIFT ) sin ( ANPHA B ) SHIFT STO B SHIFT COPY = = ta tính số hạng đầu dãy số (xn) rút nhận xét sau: 1) Dãy số (xn) dãy không giảm 2) x50 = x51 = = 1,570796327 (với độ xác 10-9). 3) Nếu lấy xi (i = 50, 51, ) trừ cho 2 ta nhận kết 0. dự đoán giới hạn dãy số 2 . Chứng minh nhận định trên: + Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh xn (0 ; ) dãy (xn) không giảm dãy (xn) có giới hạn + Gọi giới hạn a, ta có: 2 2 sin( ), (1) 5 a a a + Bằng phương pháp giải tích (xét hàm số 2 2 ( ) sin( ) 5 f x x x x ) ta có (1) có nghiệm a = Vậy: lim xn = (12) 2 3 2 3 2 n n n u a) Chứng minh un nguyên với n tự nhiên b) Tìm tất n nguyên để un chia hết cho Bài 2: Cho dãy số (an) xác định bởi: 2 4 15 60 , * o n n n a a a a n N a) Xác định công thức số hạng tổng quát an b) Chứng minh số: 8 n A a biểu diễn dạng tổng bình phương số nguyên liên tiếp với n Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: 0, 1999 , o n n n u u u u u n N Tìm tất số tự nhiên n cho un số nguyên tố Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi: 1 1 5, 11 2 , 2, n n n a a a a a n n N Chứng minh rằng: a) Dãy số có vơ số số dương, số âm b) a2002 chia hết cho 11 Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi: 2 2 , 3, n n n a a a a n n N a Chứng minh an nguyên với n tự nhiên Bài 6: Dãy số (an) xác định theo công thức: 2 3n , * n a n N ; (kí hiệu 2 3 n là phần nguyên số2 3 n (13)CHUYÊN ĐỀ VỀ : Dãy Số Tìm số hạng thứ n dãy số? VD1: Cho U1 = 8; U2 = 13; Un+2 = Un+1+Un (n2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình để tính U13, U17? Cách làm: → A 13 → B B+A → A A +B→ B Gán vào ô nhớ A (U1) Gán 13 vào ô nhớ B (U2) Dòng lệnh (U3) Dòng lệnh (U4) # SHIFT # Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu n – lần và đọc kết (U13 = 584; U17 = 17 711) VD2: Cho U1 = 1; U2 = 2; Un+2 = 2Un+1- 4Un (n2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình để tính U15,U16, U17? Cách làm: → A → B 2B - 4A → A 2A - 4B → B Gán vào ô nhớ A (U1) Gán vào ô nhớ B (U2) Dòng lệnh (U3) Dòng lệnh (U4) # SHIFT # Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu n – lần đọc kết (U15 = 0; U16 = -32 768; U17 = - 65 536) VD3: Cho U1 = 1; U2 = 2; U3 = 3; Un+3 = 2Un+2 - 3Un+1 +2Un (n2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình để tính U19,U20, U66, U67, U68? c) Tính tổng 20 số hạng dãy (S20)? Cách làm:Câua+b) (14)2 → B → C 2C – 3B + 2A → A 2A – 3C + 2B → B 2B – 3A + 2C → C Gán vào ô nhớ B (U2) Gán vào ô nhớ C (U3) DL1:U4 = 2U3 - 3U2 +2U1 DL2:U5 = 2U4 - 3U3 +2U2 DL3:U6 = 2U5 - 3U4 +2U3 # # SHIFT # Đưa DL vào quy trình lặp ấn dấu n – lần đọc kết (U19 = 315; U20 = -142; U66 = 777 450 630;U67 = -3 447965 925; U68 = -9 002 867 128 ) Bài 1: Cho dãy số a1 = 3; an + = 3 1 n n n a a a . a) Lập quy trình bấm phím tính an + b) Tính an với n = 2, 3, 4, , 10 Bài 2: Cho dãy số x1 = 1 2; 3 1 n n x x a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + b) Tính x30 ; x31 ; x32 Bài 3: Cho dãy số 4 n n n x x x (n 1) a) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = tính x100 b) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = -2 tính x100 Bài 4: Cho dãy số 2 1 4 n n n x x x (n 1) a) Cho x1 = 0,25 Viết quy trình ấn phím liên tục để tính giá trị xn + b) Tính x100 Bài 5: Cho dãy số 5 7 5 7 2 n n n U với n = 0; 1; 2; 3; a) Tính số hạng U0, U1, U2, U3, U4 b) Chứng minh Un + = 10Un + – 18Un c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + theo Un + Un HD giải: a) Thay n = 0; 1; 2; 3; vào công thức ta U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 b) Chứng minh: Giả sử Un + = aUn + + bUn + c Thay n = 0; 1; công thức ta hệ (15) 2 3 4 10 10 82 82 10 640 U aU bU c a c U aU bU c a b c a b c U aU bU c Giải hệ ta a = 10, b = -18, c = c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + máy Casio 570MS , Casio 570ES Đưa U1 vào A, tính U2 đưa U2 vào B SHIFT STO A x 10 – 18 x SHIFT STO B, lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + với n = 2, 3, x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3) x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4) Bài 6: Cho dãy số 3 5 2 2 n n n U với n = 1; 2; 3; a) Tính số hạng U1, U2, U3, U4 , U5 b) Lập cơng thức truy hồi tính Un + theo Un Un – c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + máy Casio Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức 13−√3¿n ¿ 13+√3¿n−¿ ¿ Un=¿ với n = , , , k , a) Tính U1,U2, U3,U4,U5, U6, U7,U8 b) Lập cơng thức truy hồi tính Un+1 theo Un Un −1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un Un −1 Bài 8: Cho dãy số Un tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau tích hai số trước cộng với 1, U0 = U1 = a) Lập quy trình tính un b) Tính giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; c) Có hay khơng số hạng dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ Nếu khơng chứng minh Hướng dẫn giải: a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + = Un + Un + 1, (n =1; 2; ) Quy trình tính Un máy tính Casio 500MS trở lên: 1 SHIFT STO A x + SIHFT STO B Lặp lại dãy phím x ALPHA A + SHIFT STO A x ALPHA B + SHIFT STO B (16)U0 = U1 = U2 = U3 = U4 = U5 = 22 U6 = 155 U7 = 3411 U8 = 528706 U9 = 1803416167 Bài 9: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + = 3Un + Un – (n 2) a) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio b) Tính giá trị Un với n = 18, 19, 20 Bài 10: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + = Un + Un – (n 2) c) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio d) Tính giá trị Un với n = 12, 48, 49, 50 ĐS câu b) U12 = 144, U48 = 4807526976, U49 = 7778742049 , U49 = 12586269025 Bài 11: Cho dãy số thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 từ U3 trở tính theo công thức Un + = 2Un + Un + (n 2) a) Tính giá trị U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un c) Sử dụng quy trình tính giá trị Un với n = 22; 23, 24, 25 Bài 13/Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n 2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Sử dụng qui trình tính u13, u17? 14 /Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n 2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? 15 /Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2 n n n u u u (n 2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7? c /Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2 n n n u 3u 2u (n 2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? d/ Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n 3) 14 / Cho u1 = 4; u2 = 5, 2 n n n 5u u u 3 5 Lập qui trình ấn phím tính un+1? Bài 16: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 a Lập qui trình bấm phím để tính un+1 b Tính xác đến chữ số sau dấu phẩy tỉ số 3 2 1 u u u ; ;u ; u u u u Bài 17: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1 a Tính u3;u4; u5; u6; u7 b Viết qui trình bấm phím để tính un (17)Bài 18: (Thi khu vực, 2003, lớp dự bị) Cho dãy số n n n 2 3 u 2 a Tính số hạng dãy b Lập cơng thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 un c Lập qui trình tính un d Tìm số n để un chia hết cho Bài 19: (Thi khu vực, 2003, lớp dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1 a Lập quy trình tính un+1 b Tính u2; u3; u4; u5, u6 c Tìm cơng thức tổng qt un Bài 20: (Thi vơ địch tốn Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; 2 n n n u u u Tìm số dư của un chia cho Bài 21: (Tạp chí tốn học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u1 = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1 Chứng minh: A=4un.un+2 + số phương Bài 22: (Olympic tốn Singapore, 2001) Cho a1 = 2000, a2 = 2001 an+2 = 2an+1 – an + với n = 1,2,3… Tìm giá trị a100? Bài 23: (Tạp chí tốn học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số un xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 un+1 = 2un – 3un-1 với n = 2, 3,… Chứng minh rằng: a Dãy số có vơ số số dương số âm b u2002 chia hết cho 11 Bài 24(Thi giỏi toán, 1995)Dãy un xác định bởi: u0 = 1, u1 = un+2 = n n n n u 9u ,n 2k 9u 5u ,n 2k với n = 0, 1, 2, 3, …. Chứng minh rằng: a 2000 k k 1995 u chia hết cho 20 b u2n+1 khơng phải số phương với n Bài 25: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=? Bài 26: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = 2 n n n n 5u u 3 u u với n3 a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u8 dãy? Bài 27: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2) a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u14 dãy? Bài 28: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005) a.Cho u =1,1234 ; u =1,0123.u (n N; n 1)1 n+1 n Tính u50? b Cho 2 n 1 n+1 n 3u +13 u =5 ; u = (n N; n 1) (18)c Cho u0=3 ; u1= ; un = 3un-1 + 5un-2 (n2) Tính u12 ? Bài 29: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định công thức 2 n n n 4x x x , n số tự nhiên, n >= Biết x = 0,25 Viết qui trình ấn phím tính xn? Tính x100? Bài 30 /Cho dãy số Un xác định bởi: U1=1 Un+1=5Un-2n Tính U20 tổng 20 số hạng Bài 31 (5 điểm)Cho dóy số với số hạng tổng quỏt cho cụng thức : n n n 13+ - 13- U = 2 với n = 1, 2, 3, ……, k, … a) Tớnh U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8 b) Lập cụng thức truy hồi tớnh Un+1theo Un Un-1 c) Lập quy trỡnh ấn phớm liờn tục tớnh Un+1theo Un Un-1 Bài 32 Cho dãy số ( un ) xác định sau: u1=11 2 ; u2=2 1 3 ; un+2=3un+1−2un với n∈N❑ Tính u25 ? Bài 33 Dãy số un xác định sau: u0 = 1; u1 = 1; un+1= 2un - un-1 + 2, với n = 1, 2, … 1) Lập qui trình bấm phím để tính un; 2) Tính giá trị un , n = 1, 2, …,20 Câu 34 Cho u1=a; u2=b; un+1=Mun+Nun-1 Lập quy trình bấm phím tính un tính u13; u14; u15 với a=2; b=3; M=4; N=5 Câu 35): Cho Un+1 = Un + Un-1 , U1 = U2 = Tính U25 Bài 36 Cho u0=1; u1=3; un+1=un+un-1 Tính un với n = 1;2;3;…; 10 Bài 37 Cho dãy số xếp thứ tự U1 , U2 , U3 ,……… ,Un ,Un+1,…… biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; Un+1 = 3Un - Un-1 Tính U1 ; U2 ; U25 Bài 38 Cho dãy số 2 5 2 5 2 n n n u với n = , , … a) Tính số hạng dãy 0 u = u1 = u2 = u3 = u4= b) Lập cơng thức truy hồi để tính un2 theo un1 un c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính un máy tính Casio d) Tìm tất số nguyên n để un chia hết cho Bài 39: Cho u1 u2 1,un1 un2 un21 a) Viết quy trình tính un1 b) Tính u u u u6 , , ,7 Hãy điền kết tính vào vuông (19)23) Cho u11;u2 7và un13un2 2un Tính u u u5; ;6 ? Số 196603 số hạng thứ ? Bài 40: Cho 10 3 10 3 2 n n n u với n = 1; 2; 3; a) Tính u u u u u0, , , ,1 b) Lập công thức truy hồi để tính un2 theo un1 un c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính un2 theo un1 un tính u u5, , ,6 u16 Bài 41: Cho 3 7 3 7 n n n u với n = 0; 1; 2; a) Lập công thức truy hồi để tính un2 theo un1 un b) Lập quy trình ấn phím liên tục tính un( n = 5; 6; ) c) Tính u5 , u6 , u7 , u8 , u9 ? Bài 42: Cho 3 5 2 2 n n n u với n = 0; 1; 2; a) Tính u u u u u0, , , ,1 b) Lập cơng thức truy hồi để tính un2 theo un1 un c) Tính từ u10 đến u15 ? Bài 43 :Cho dãy số u u1, , ,2 un , biết 1 4, 7, 5, n n n n u u u u u u u n a)Lập quy trình ấn phím n4 b)Tính u u u25, 28, 30 Bài 44 Cho 3 2 3 2 2 n n n u với n = 1; 2; 3; a) Tính u u u u u0, , , ,1 b) Lập công thức truy hồi để tính un2 theo un1 un c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính un2 theo un1 un d) Tính từ u10 đến u15 ? Bài 45 Cho 4 11 4 11 2 11 n n n u với n = 0;1; 2; 3; a) Tính u u u u u0, , , ,1 b) Viết cơng thức truy hồi để tính un2 theo un1 un c) Tính từ u11 đến u13 ? u0 = u1 = u2 = u3 = u4 = 2 n u = u13 = u14 = u15 = Bài 46: Cho dãy số u u1, , ,2 un , biết u11,u2 2,un12003un2004un1n2,3, (20)5 S Bµi 47: Cho d·y sè: u1=21, u2=34 vµ un+1=un+un-1 a/ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh un+1? b/Áp dơng tÝnh u10, u15, u20 Bµi 48: Cho d·y sè : Un = (3+2√5) n +(3−√5 2 ) n −2 , víi n = 0, 1, 2, 3, … 1) TÝnh sè hạng đầu dÃy số U1, U2, U3, U4, U5 2) LËp c«ng thøc truy håi tÝnh Un+1 theo Un Un-1 3) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 máy Casio Bi 49: (5 điểm) Cho dãy số xác định theo công thức: x1 = 1; xn-1 = 1 n n x n x a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính xn: Tính x50 Bài 50 a ) Cho dãy số x1 = 1; xn+1 = √2+xn Với n a.1) Tính x100 a.2) Lập quy trình ấn phím liên tục tính xn+1 Bài 51 Cho dãy số với số hạng tổng quát đựoc cho công thức: U ❑n = (−17 110 √15− 13 22) (7−2√15) ❑n + ( 17 110 √15− 13 22) (7+2√15) ❑n với n=1,2,3,… a) Tính U ❑1 ;U ❑2 ;U ❑3 ;U ❑4 ;U ❑5 ;U ❑6 . b) Lập cơng thức truy hồi tính U ❑n+2 Theo U ❑n+1 U ❑n . c) Lập quy trình ấn phím liên tục để tính U ❑n+2 Theo U ❑n+1 U ❑n . Câu 52: Cho dãy số 2 0 1 1, n n n n a a a a a với n = 0,1,2,… 1) Lập quy trình bấm phím tính an1 máy tính cầm tay 2) Tính a a a a a a a1, , , , ,2 10, 15 ‘Câu 53: Cho dãy số 1 2 1 2 2 n n n U với n =1,2,…,k,… Chứng minh rằng: Un12UnUn1 với n 2 Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un1 theo Un Un1 với U1 1,U2 2 3 Tính giá trị từ U11 đến U20 Bài 54: Cho dãy số xác định công thức : 2 13 n n n x x x với x1 0,09, n = 1,2,3,…, k,… 3) Viết quy trình bấm phím liên tục tính xn1 theo xn 4) Tính x x x x x2, , , ,3 6( với đủ 10 chữ số hình ) 5) Tính x100,x200 ( với đủ 10 chữ số hình ) Bài 56 : Cho Un (3 7)n(3 7)n với n= 0, 1, 2… (21)a) Lập cơng thức tính Un2 theoUn1 Un b) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un2 theo Un1 Un. Bài 57: Cho dãy số có: U1 = 60; U2 = 40; U3 = 803 ; U4 = 1207 ; … không thoả mãn: từ số hạng thứ hai trở số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi. 1) Tìm số hạng U5; U7; U10 Tính tổng S10 10 số hạng dãy số tích P6 số hạng dãy số U5 = U7 = U10 = S10 P6 2) Viết quy trình nhấn phím để tìm liên trình tự: số hạng thứ n, tổng Sn, tích Pn cđa n số hạng dÃy số B ài 58: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2, ): 2 3 2 3 2 n n n u a) Chứng minh un nguyên với n tự nhiên b) Tìm tất n nguyên để un chia hết cho Bài 59: Cho dãy số (an) xác định bởi: 2 4 15 60 , * o n n n a a a a n N a) Xác định công thức số hạng tổng quát an b) Chứng minh số: 1 8 n A a biểu diễn dạng tổng bình phương số nguyên liên tiếp với n Chứng minh an nguyên với n tự nhiên Bài 61: Cho dãy số Un = 4 3 4 3 2 n n với n = , , , ……… a) Tính U0 , U1 , U2 , U3 , U4 b) Lập cơng thức để tính Un+2 theo Un+1 Un c) Tính U13 , U14 Bài 62: Cho dãy số xếp thứ tự U1 , U2 , U3 ,……… ,Un ,Un+1,……… biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; U (22)C. TOÁN VỀ DÃY SỐ: I MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Cho dãy số xếp thứ tự U1 ; U2 ; U3 ; ; Un ; Un+1; biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; Un13Un 2Un1 Tính U1 ; U2 ; U25 Giải: Ta có 1 3 n n n U U U nên U4 = 340; U3 = 216; U2 = 154; U1 = 123; Và từ U5 = 588 ; U6 = 1084 ; Un1 3Un 2Un1 U25 = 520093788 Ví dụ 2: Cho U0 2 ; U1 10 Un110Un Un1, n = 0; 1; 2; 3; 1 Lập quy trình tính Un1 2 Tìm cơng thức tổng quát củaUn Tính U2; U3; U4; U5; U6 Giải: 1 10 SHIFT STO A x 10 – SHIFT STO B Lặp lại dãy phím : x 10 – ALPHA A SHIFT STO A x 10 – ALPHA B SHIFT STO B 2 Công thức tổng quát un : Un110UnUn1 1 10 n n n U U U 3 Thay U0 2; U1 10 vào cơng thức Un110Un Un1 ta tính đước giá trị U2 98; U3978; U4 9778; U5 97778; U6 977778 Ví dụ 3: Cho dãy số : 13; 25; 43; …; 3(n2 + n) + a Gọi Sn tổng n số hạng dãy Tính S15; S19; S20 b Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Sn c CMR dãy cho khơng có số hạng lập phương số tự nhiên Giải: Ví dụ 4: Cho số a1 , a2 , a3 ,…………,a2003 Biết ak = 2 3k + 3k +1 k + k (23)Giải: Ta có: ak = 3 3 3 3 3 3 3 k + 3k + 3k +1 - k k +1 - k 1 1 = = -k k +1 k k +1 k k +1 Do đó: a1 + a2 + a3 + + a2003 = 3 1 8048096063 8048096064 1 2 2003 2004 2004 3 3 3 1 1- 1- - Ví dụ 5: Giải: II BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1 Bài 1: Giải: 2 Bài 2: Cho dãy số 3 2 3 2 2 n n n U n = 1; 2; 3; 1 Tính U1; U2; U3; U4; U5 2 Chứng minh : Un2 6Un1 7Un 3 Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 máy tính Giải: 3 Bài 3: Cho dãy số u1 = 2; u2 = 20, Un12UnUn1 n2 1 Tính U3; U4; U5; U6; U7; U8 2 Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với u1 = 2; u2 = 20 3 Sử dụng quy trình để tính giá trị U22; U23; U24; U25 Giải: Tính được: U3 42; U4 86; U5 174; U6 350;U7 702 ; U8 1406 2 bấm phím 20 SHIFT STO A x + SHIFT STO B Rồi lặp lại dãy phím x + ALPHA A SHIFT STO A x + ALPHA B SHIFT STO B +) Sử dụng máy tính Casio FX 570MS (24)Khai báo công thức un+1 = 2un + un-1 ALPHA C ALPHA = ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA C Rồi lặp lại dãy phím = Bài 4: Cho dãy số 2 3 2 3 2 n n n U , n = 0, 1, … Tính số hạng dãy 2 Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 un 3 Lập quy trình tính un 4 Tìm tất số n nguyên để un chia hết cho Giải: 2 Ta chứng minh un+2 = 4un+1 – un thật vậy, đặt : 2 3 2 n n a ; 2 3 2 n n b Khi Un = an – bn un+1 = 2 3an 2 3bn 2 2 3 n n n U a b 7 3 an 7 3 bn 8 3 an 8 3 bn an bn 4 2 an bn an bn 4Un1Un Un2 4Un1 Un 3 SHIFT STO A x – SHIFT STO B Lặp lại dãy phím x – ALPHA A SHIFT STO A x – ALPHA B SHIFT STO B 4 un chia hết cho n chia hết cho 5 Bài 5: Cho dãy số : 3 5 2 2 n n n U , n = 1, 2, 1 Tính số hạng dãy số 2 Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un un-1 3 Lập quy trình tính un+1 (25)Giải: 6 Bài 6: Dãy số an xác định sau : a1 = 1; a2 = 2; 2 1 3 n n n a a a với n N* Tính tổng 10 số hạng dãy số Giải: Bài 7: Cho dãy số Un = 4 3 4 3 2 n n với n = , , , ……… d) Tính U0 , U1 , U2 , U3 , U4 e) Lập cơng thức để tính Un+2 theo Un+1 Un f) Tính U13 , U14 Giải: a) U0 = ; U1 = ; U2 = ; U3 = 51 ; U4 = 304 ; U5 = 1769 b) Un+2 = Un+1 - 13 Un c) U13 = 2081791609 ; U14 = 11932977272 8 Bài 8: (Đề thi HSG giải tốn máy tính casio lớp - Năm 2004-2005- Hải Dương) Bài 4(3, điểm) Dãy số un xác định sau: u0 = 1; u1 = 1; un+1= 2un - un-1 + 2, với n = 1, 2, 3) Lập qui trình bấm phím để tính un; 4) Tính giá trị un , n = 1, 2, ,20 Giải: Trên fx500A: (Min) () (-) (+)2 (=) lặp lại dãy phím (SHIFT)(XM)(+/-)(+)2(+)2()(MR) (=) fx500MS : (SHIFT)(STO)(A)( )2(-)1(SHIFT)(STO)(B) lặp lại ()2(-)(ALPHA)(A)(+)(SHIFT)(STO)(A)()2(-)(ALPHA)(B)(+) 2(SHIFT)(STO)(B) 2) u1= 1, u2=3, u3 =7, u4 =13, u5 =21, u6 =31, u7 =43, u8 =57, u9 =73, u10 =91, u11 =111, u12 =133, u13 =157, u14 =183, u15 =211, u16 = 241, u17 =273 , u18 = 307, u19 =343, u20 =381 9 Bài 9: Cho Un+1 = Un + Un-1 , U1 = U2 = Tính U25 ( Nêu rõ số lần thực phép lặp)? Giải: 10 Bài 10: (Đề thi HSG CASIO lớp 9- Cẩm Đàn - Huyện Sơn động - Năm 2007 - 2008) (26) a/ Viết quy trình bấm phím tính un+1? b/ Áp dụng tính u10, u15, u20 Giải: a/ Quy trình bấm phím để tính un+1 34 SHIFT STO X 21 SHIFT STO Y và lặp lại dãy phím: ALPHA SHIFT STO X ALPHA Y SHIFT STO Y b/ u10 = 1597 u15=17711 u20 = 19641 6 Bài 6: Giải: Bài toán 5: Cho dãy số U0 = 1; U1 = 9; …Un= 10Un-1- Un-2 (n N, n ) 1 Tính U6; U7; U8; U9; U10 2 Chứng minh rằng: k IN, k thì: Uk2 + U2k+1 - 10Uk Uk-1 = -8 Bài toán 6: Cho Un = √5 [( 1+√5 2 ) n −(1−√5 2 ) n ] n N 1 Tính U9 , U11 , U13 , U15 , U17 dãy số 2 Tìm số dư phép chia (U17)2008 cho 49 Bài toán 7: Cho dãy số {un} = (5+2 √6 )n + (5 - √6 )n Với n = 1, 2, … 1 Tính số hạng đầu dãy 2 Chứng minh rằng; Un+2 = 10Un+1 - Un Bài toán Học sinh tính kết cho 2.5 đ U6 U7 U8 U9 U10 854569 8459361 83739041 828931049 8205571449 * Un = 10.Un-1- Un-2 Un - 5Un-1 = 5Un-1- Un-2 (Un - 5Un-1)2 = (5Un-1- Un-2)2 Un2 - 10Un Un-1 = -10Un-1 Un-2 + U2n-2 (27)U32 - 10U3 U2 = -10U2 U1 + U21 U42 - 10U4 U3 = -10U3 U2 + U22 … Uk-12 - 10Uk-1 Uk-2 = -10Uk-2 Uk-3 + U2k-3 Uk2 - 10Uk Uk-1 = -10Uk-1 Uk-2 + U2k-2 Cộng vế theo vế ta được: Uk2 + U2k+1 - 10Uk Uk-1 = -8 Bài toán 6. 1 U9 U11 U13 U15 U17 34 89 233 610 1597 2.Ta tìm số dư chia 15972008 cho 49 Ta có: 1597 29(mod 49) Suy 15972008 292008 (mod 49) 292008 = (294 )502 294 15(mod 49) (294 )502 15502 (mod 49) 15502 (157)71 155 Có 157 1(mod 49) (157)71 1(mod 49) 155 22( mod 49) Nên (157)71 155 22( mod 49) Kết luận: Vậy số dư chia số 15972008 cho 49 22. 2.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài Tính điền KQ vào ô U1 U2 U3 U4 U5 10 98 970 9602 95050 Giả sử Un+2 = aUn+1 + bUn Thay n=1 ta được: U3 = aU2+bU1 hay 970 = a.98+b10 Thay n=2 ta được: U4 = aU3+bU2 hay 9602 = a.970+b98 Giải hệ ta được: a = 10 b = -1 V ậy: Un+2 = 10Un+1 - Un 2.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (28)1. Tính số hạng thứ n dãy số Ví dụ: Cho dãy số Un xác định bởi: U1=1; U2=2; U3=3 Un+3=2Un+2+Un+1-3Un Tìm U15 ? Thuật tốn: Cách 1: Hơi dở sử dụng nhiều biến, xử lý vấn đề chậm ngắn gọn thuật tốn: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES): X=X+1:A=2B+C-D: D=C:C=B:B=A Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 3= B? Bấm 3= C? Bấm 2= D? Bấm 1= = = = Trong X số hạng thứ X; A, B, C,D giá trị UX Cách 2: Hay cách sử dụng biến, xử lý vấn đề nhanh thuật tốn dài dịng: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES): D=D+1:A=2B+C-3A:D=D+1:C=2A+B-3C:D=D+1:B=2C+A-3B Bấm CALC máy hỏi D? Bấm 3= B? Bấm 3= C? Bấm 2= A? Bấm 1= Cách 3: Bấm quy trình sau (fx 500MS): 1 |shift| |sto| |C| 2 |shift| |sto| |B| 3 |shift| |sto| |A| 2 |alpha| |A|+|alpha| |B|-|alpha| |C| |shift| |sto| |C| U4 2 |alpha| |C|+|alpha| |A|-|alpha| |B| |shift| |sto| |B| U5 2 |alpha| |B|+|alpha| |C|-|alpha| |A| |shift| |sto| |A| U6 replay(tam giác phía trên) hai lần |shift| |replay|= U7; U8… Thuật tốn dài số dấu (29)2. Tính tổng n số hạng đầu dãy số Ví dụ: Cho dãy số Un xác định bởi: U1=1 Un+1=5Un-2n Tính U20 tổng 20 số hạng Thuật tốn: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES): X=X+1:B=5A-2X:C=C+B:X=X+1:A=5B-2X:C=C+A Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 1= A? Bấm 1= C? Bấm 1= === Trong X số hạng thứ X; A, B giá trị ; C tổng X số hạng - dãy 3. Tính tích n số hạng dãy số Ví dụ: Cho dãy số Un xác định bởi: U1=U2=1 Un+2=Un+1+2Un Tính tích 10 số hạng đầu dãy Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:C=C+2A:D=DC:X=X+1:A=C+2B:D=DA:X=X+1:B=A+2C:D=DB Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 2= B? Bấm 1= A? Bấm 1= D? Bấm 1= === Trong X số hạng thứ X; A, B, C giá trị ; D tích X số hạng - dãy 4 Bài tập (30)U1=U2=1; U3=3; Un+3=2Un+2+Un+1-3Un Tính U20; U30 ? 2) Cho dãy số Un xác định bởi: U1=2; U2=1 Un+2=nUn+1-3Un+n2-2 Tính U15 tính tổng 16 số hạng dãy 3) Cho dãy số Un xác định sau: U1=3 Tính U15; tính tích 16 số hạng dãy Dạng 7: Tính giá trị biểu thức có phép lặp: Ví dụ 1: Cho U1=7; U2=12 Viết cơng thức tính Un+1= 2 U + 8U 2 Tính U10 -Quy trình bấm phím: Ví dụ 2: Cho Uo= 12 Viết cơng thức tính Un= 3 o o 2 o U 2U U - Tính U13 Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n để 28+211+2n số phương. Ta có 28+211=28(1+33)=482. Nhớ U1=7 vào A; U2=12 vào B; Lập công thức: A2+8B nhớ vào A; B2+8A, nhớ vào B Bấm nút REPLAY lần ta U10 Đây U3(Vì cho U2 Đây U4(Vì tínhU3 Nhớ Uo=12 vào A; Lập cơng thức: (A3-2A ):A2 nhớ vào A Bấm nút REPLAY 12 lần ta U13 (31)Để 28+211+2n số phương å 28+211+2n =k2 hay 2n=k2-482=(k-48)(k+48) Suy k-48=2p k+48=2q Ta có 2q-2p=2p(2q-p-1)=(k+48)+(k-48)=96=25.3 Vậy với p=5; q=3 hay n=12 28+211+2n số phương. Tính máy CASIO là: Khai báo công thức an = 28+211+2n Bấm máy sau: 2 11 Lần lượt khai báo X=1; 2;3 … 12 dung để trở cơng thức trên, sau bấm phím ta a12=80 Vậy n=12 Ví dụ 4: Cho dãy số n 2004 U n n = + Tìm số hạng nhỏ dãy số: Giải: Khai báo công thức Lần lượt cho X=1;2;3……… ta có kết cuối VII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Bài 1: Cho dãy số a1 = 3; an + = 3 n n n a a a . c) Lập quy trình bấm phím tính an + d) Tính an với n = 2, 3, 4, , 10 Bài 2: Cho dãy số x1 = 1 2; 1 n n x x c) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + d) Tính x30 ; x31 ; x32 Bài 3: Cho dãy số 4 n n n x x x (n 1) c) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = tính x100 d) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = -2 tính x100 Bài 4: Cho dãy số 2 n n n x x x (n 1) c) Cho x1 = 0,25 Viết quy trình ấn phím liên tục để tính giá trị xn + d) Tính x100 Bài 5: Cho dãy số 5 7 5 7 2 n n n U với n = 0; 1; 2; 3; d) Tính số hạng U0, U1, U2, U3, U4 e) Chứng minh Un + = 10Un + – 18Un f) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + theo Un + Un HD giải: c) Thay n = 0; 1; 2; 3; vào công thức ta ( ^ + ^ + ^ ALPHA X ) D = (32) U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 d) Chứng minh: Giả sử Un + = aUn + + bUn + c Thay n = 0; 1; cơng thức ta hệ phương trình: 2 3 4 10 10 82 82 10 640 U aU bU c a c U aU bU c a b c a b c U aU bU c Giải hệ ta a = 10, b = -18, c = c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + máy Casio 570MS , Casio 570ES Đưa U1 vào A, tính U2 đưa U2 vào B SHIFT STO A x 10 – 18 x SHIFT STO B, lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + với n = 2, 3, x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3) x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4) Bài 6: Cho dãy số 3 5 2 2 n n n U với n = 1; 2; 3; d) Tính số hạng U1, U2, U3, U4 , U5 e) Lập công thức truy hồi tính Un + theo Un Un – f) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + máy Casio Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức 13−√3¿n ¿ 13+√3¿n−¿ ¿ Un=¿ với n = , , , k , a) Tính U1,U2, U3,U4,U5, U6, U7,U8 b) Lập cơng thức truy hồi tính Un+1 theo Un Un −1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un Un −1 Bài 8: Cho dãy số Un tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau tích hai số trước cộng với 1, U0 = U1 = d) Lập quy trình tính un e) Tính giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; f) Có hay khơng số hạng dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ Nếu khơng chứng minh Hướng dẫn giải: a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + = Un + Un + 1, (n =1; 2; ) Quy trình tính Un máy tính Casio 500MS trở lên: 1 SHIFT STO A x + SIHFT STO B Lặp lại dãy phím x ALPHA A + SHIFT STO A x ALPHA B + SHIFT STO B (33)U0 = U1 = U2 = U3 = U4 = U5 = 22 U6 = 155 U7 = 3411 U8 = 528706 U9 = 1803416167 Bài 9: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + = 3Un + Un – (n 2) e) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio f) Tính giá trị Un với n = 18, 19, 20 Bài 11: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + = Un + Un – (n 2) g) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio h) Tính giá trị Un với n = 12, 48, 49, 50 ĐS câu b) U12 = 144, U48 = 4807526976, U49 = 7778742049 , U49 = 12586269025 Bài 12: Cho dãy số thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 từ U3 trở tính theo cơng thức Un + = 2Un + Un + (n 2) d) Tính giá trị U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 e) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un f) Sử dụng quy trình tính giá trị Un với n = 22; 23, 24, 25 VI Dạng 6: DÃY TRUY HỒI Dạng 6.1 Dãy Fibonacci 6.1.1 Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ tháng để được đôi thỏ con, đôi thỏ sau tháng lai sinh đôi thỏ nữa, sau tháng lại sinh đôi thỏ khác v.v… giả sử tất thỏ sống Hỏi có đơi thỏ ni từ tháng giêng đến tháng đẻ đơi thỏ đến cuối năm có đơi thỏ? Giải - Tháng (giêng) có đơi thỏ số - Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số Vậy có đơi thỏ tháng - Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số 3, đơi thỏ số chưa đẻ Vậy có đôi thỏ tháng - Tháng đôi thỏ số đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số chưa đẻ Vậy tháng có đơi thỏ Tương tự ta có tháng có đơi thỏ, tháng có 13 đơi thỏ, … Như ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12) Đây dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba tổng hai số hạng trước đó Nếu gọi số thỏ ban đầu u1; số thỏ tháng thứ n un ta có cơng thức: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n 2) Dãy un có quy luật dãy Fibonacci u (34)6.1.2 Công thức tổng quát số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh số hạng thứ n dãy Fibonacci tính theo cơng thức sau: n n n 1 5 u 2 (*) Chứng minh Với n = 1 5 u 2 ; Với n = 2 1 1 5 u 2 ; Với n = 3 1 1 5 u 2 ; Giả sử công thức tới n k Khi với n = k + ta có: k k k k k k k k k 1 5 1 5 u u u 2 2 5 1 1 1 2 5 5 k k k k 1 5 5 2 5 5 1 5 2 Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) chứng minh 6.1.3 Các tính chất dãy Fibonacci: 1 Tính chất 1: um = uk.um+1-k + uk-1.um-k hay un+m = un-1um + unum+1 Ví dụ: Để tính số thỏ sau 24 tháng ta chọn n = m = 12 thay vào công thức ta có: u24 = u12 + u12 = u11.u12 + u12.u13 = 144(89 + 233) 2 Tính chất 2: u2n+1 = u(n+1)+n= unun + unun+1 = 2 n n u u Ví dụ: Để tính số thỏ sau 25 tháng ta làm sau: u25 = 2 13 12 u u = 2332 + 1442 = 7502. 3 Tính chất 3: n n n n u u u 4 Tính chất 4: u u1 u u5 2n 1 u2n 5 Tính chất 5: n tacó: u un n 2 u un n 3 6 Tính chất 6: nsố 4u u u un 2 n n 4 9 số phương 7 Tính chất 7: n số 4u u un n k n k n 2k 1 u u u số phương2 2k k 1 Tính chất 8: n n 1 n n n n u u lim vaø lim u u trong 1; 2là nghiệm phương trình x2 – x – = 0, tức 1 1 1,61803 ; 0,61803 2 Nhận xét: Tính chất cho phép tính số hạng dãy Fibonacci mà (35)số hạng lớn dãy Fibonacci tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử khơng thể tính (kết khơng hiển thị hình) Các tính chất từ đến có tác dụng giúp việc chứng minh tốn có liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp thi, tính chất giúp tìm số hạng không dãy Fibonacci mà số hạng dãy biến thể Fibonacci có tính hội tụ (bị chặn) khoảng Dạng tốn thường gặp kỳ thi tỉnh kỳ khu vực 6.1.4 Tính số hạng dãy Fibonacci máy tính điện tử 6.1.4.1 Tính theo cơng thức tổng qt Ta có cơng thưc tổng qt dãy: n n n 1 5 u 2 5 Trong công thức tổng quát số hạng un phụ thuộc n, n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n phép tính Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: 1 b / c 1 a ( ( ( 1 ) 2 ) ) ^ Ans ( ( 1 ) 2 ) ) ^ Ans ) Muốn tính n = 10 ta ấn 10, dùng phím lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn 6.1.4.2 Tính theo dãy Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A > gán u2 = vào biến nhớ A 1 SHIFT STO B > lấy u 2+ u1 = u3 gán vào B Lặp lại phím: ALPHA A SHIFT STO A > lấy u 3+ u2 = u4 gán vào A ALPHA B SHIFT STO B > lấy u 4+ u3 = u5 gán vào B Bây muốn tính un ta lần , liên tục n – lần Ví dụ: Tính số hạng thứ dãy Fibonacci? Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A 1 SHIFT STO B ALPHA A SHIFT STO A ALPHA B SHIFT STO B (21) Chú ý: Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng un dãy qui trình qui trình tối ưu số phím ấn Đối với máy fx-500 MS ấn , đối với máy fx-570 MS ấn ấn thêm SHIFT COPY để tính số hạng từ thứ trở Dạng 6.2 Dãy Lucas Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n a, b hai số tùy ý đó) Nhận xét: Dãy Lucas dãy tổng quát dãy Fibonacci, với a = b = dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) (36)a SHIFT STO B > lấy u 2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào B Lặp lại phím: ALPHA A SHIFT STO A > lấy u 3+ u2 = u4 gán vào A ALPHA B SHIFT STO B > lấy u 4+ u3 = u5 gán vào B Bây muốn tính un ta lần , liên tục n – lần Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n 2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Sử dụng qui trình tính u13, u17? Giải a Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: 13 SHIFT STO A 8 SHIFT STO B Lặp lại phím: ALPHA A SHIFT STO A ALPHA B SHIFT STO B b Sử dụng qui trình để tính u13, u17 Ấn phím: (u 13 = 2584) (u 17 = 17711) Kết qủa: u13 = 2584; u17 = 17711 Dạng 6.3 Dãy Lucas suy rộng dạng Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1 (với n a, b hai số tùy ý đó) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A a SHIFT STO B A B > tính u 3 (u3 = Ab+Ba) gán vào B Lặp lại phím: A ALPHA A B SHIFT STO A > Tính u 4 gán vào A ALPHA B SHIFT STO B A B > lấy u 5 gán vào B Bây muốn tính un ta lần , liên tục n – lần Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n 2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? Giải Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: 13 SHIFT STO A 3 SHIFT STO B Lặp lại phím: 3 ALPHA A 2 SHIFT STO A ALPHA B SHIFT STO B Dạng 6.4 Dãy phi tuyến dạng Cho Cho u1 = a, u2 = b, 2 n n n (37)Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A 2 a SHIFT STO B x x > lấy u22+ u 12= u3 (u3 = b2+a2) gán vào B Lặp lại phím: x2 ALPHA A x2 SHIFT STO A > lấy u 32+ u22= u4 gán vào A 2 ALPHA B SHIFT STO B x x > lấy u42+ u 32= u5 gán vào B Bây muốn tính un ta lần , liên tục n – lần Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2 n n n u u u (n 2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7? Giải a Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A 2 1 SHIFT STO B x x Lặp lại phím: x2 ALPHA A x2 SHIFT STO A 2 ALPHA B SHIFT STO B x x b Tính u7 Ấn phím: (u 6 =750797) Tính u7 =u62 + u52 = 7507972 + 8662 = 563 696 135209 + 749956 = 563 696 885165 Kết qủa: u7 = 563 696 885165 Chú ý: Đến u7 máy tính khơng thể hiển thị đầy đủ chữ số hình phải tính tay giá trị giấy nháp có sử dụng máy tính hỗ trợ tính Ví dụ: 7507972 = 750797.(750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 = 563097750000 + 598385209= 563 696 135209 Dạng 6.5 Dãy phi tuyến dạng Cho Cho u1 = a, u2 = b, 2 n n n u Au Bu (với n 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A 2 a SHIFT STO B x A x B > Tính u3 = Ab2+Ba2 gán vào B Lặp lại phím: x2 A ALPHA A x2 BSHIFT STO A > Tính u 4 gán vào A 2 ALPHA B SHIFT STO B x A x B > Tính u5 gán vào B Bây muốn tính un ta lần , liên tục n – lần Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2 n n n u 3u 2u (n 2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? Giải Lập qui trình bấm phím (38)Ấn phím: SHIFT STO A 3 1 2 SHIFT STO B x x Lặp lại phím: x2 3 ALPHA A x2 2 SHIFT STO A 2 3 ALPHA B 2 SHIFT STO B x x Dạng 6.6 Dãy Fibonacci suy rộng dạng Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n 3) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A > gán u2 = vào biến nhớ A 2 SHIFT STO B > gán u3 = vào biến nhớ B ALPHA A ALPHA B SHIFT STO C > tính u4 đưavào C Lặp lại phím: ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A > tính u5 gán biến nhớ A ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B > tính u 6 gán biến nhớ B ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C > tính u 7 gán biến nhớ C Bây muốn tính un ta , liên tục n – lần Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2? Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A SHIFT STO B ALPHA A ALPHA B SHIFT STO C ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C (u 10 = 149) Dạng 6.7 Dãy truy hồi dạng Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) (với n 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A a f(n) SHIFT STO B A B + > tính u 3 (u3 = Ab+Ba+f(n)) gán vào B Lặp lại phím: A ALPHA A B + f(n) SHIFT STO A > Tính u 4 gán vào A ALPHA B f(n) SHIFT STO B A B + > tính u 5 gán vào B Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + 1 n(n 2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Tính u7? Giải a Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A (39)Lặp lại phím: ALPHA X SHIFT STO X b/ c 3 ALPHA B 2 ALPHA A 1 a ALPHA X SHIFT STO A 3 ALPHA A ALPHA B a b/ c ALPHA X SHIFT STO B b Tính u7 ? Ấn phím: (u 7 = 8717,92619) Kết qủa: u7 = 8717,92619 Dạng 6.8 Dãy phi tuyến dạng Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = F (u ) F (u )1 n n 1 (với n 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: a SHIFT STO A b SHIFT STO B Lặp lại phím: F ( ALPHA B ) F ( ALPHA A ) SHIFT STO A1 1 F ( ALPHA A ) F ( ALPHA B ) SHIFT STO B Ví dụ: Cho u1 = 4; u2 = 5, 2 n n n 5u u u 3 5 Lập qui trình ấn phím tính un+1? Giải Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A 5 SHIFT STO B Lặp lại phím: ( ( ALPHA B ) a ) ( ALPHA A x b/ c 2 ) a ) SHIFT STO Ab/ c b/ c b/ c ( ( ALPHA A ) a ) ( ALPHA B x 2 ) a ) SHIFT STO B Dạng 6.9 Dãy Fibonacci tổng quát Tổng quát: k n i i i u F (u ) u1, u2, …, uk cho trước Fi(ui) hàm theo biến u Dạng tốn tùy thuộc vào mà ta có qui trình lập dãy phím riêng Chú ý: Các qui trình ấn phím qui trình ấn phím tối ưu (thao tác nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) áp dụng qui trình khơng cẩn thận dẫn đến nhầm lẫn sai xót thứ tự số hạng Do đó, ta sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề không ảnh hưởng đến đánh giá kết giải Ví dụ: Cho u1 = a, u2 = b, 2 n n n u Au Bu (với n 2) Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: a SHIFT STO A > gán u1 = a vào biến nhớ A b SHIFT STO B > Tính u2 = b gán vào B Lặp lại phím: A ALPHA B x2 B ALPHA A x2 SHIFT STO A > Tính u 3 gán vào A A ALPHA A x2 B ALPHA B x2 SHIFT STO B > Tính u 4 gán vào B (40)Nhận xét: Lập qui trình theo kiểu tất dạng tốn làm được, nhầm lẫn tính tối ưu không cao Chẳng hạn với cách lập dạng 6.5 để tính un ta cần ấn liên tục n – lần, lập phải ấn n – lần. Nhờ vào máy tính để tính số hạng dãy truy hồi ta phát quy luật dãy số (tính tuần hồn, tính bị chặn, tính chia hết, số phương, …) giúp lập công thức truy hồi dãy dãy số Đây dạng toán thể rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử học toán theo hướng đổi Trong hầu hết kỳ thi tỉnh, thi khu vực có dạng tốn Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 a Lập qui trình bấm phím để tính un+1 b Tính xác đến chữ số sau dấu phẩy tỉ số 3 2 1 u u u ; ;u ; u u u u Bài 2: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1 a Tính u3;u4; u5; u6; u7 b Viết qui trình bấm phím để tính un c Tính giá trị u22; u23; u24; u25 Bài 3: (Thi khu vực, 2003, lớp dự bị) Cho dãy số n n n 2 3 u 2 a Tính số hạng dãy b Lập cơng thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 un c Lập qui trình tính un d Tìm số n để un chia hết cho Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1 a Lập quy trình tính un+1 b Tính u2; u3; u4; u5, u6 c Tìm cơng thức tổng qt un Bài 5: (Thi vơ địch tốn Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; 2 n n n u u u Tìm số dư của un chia cho Bài 6: (Tạp chí tốn học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u1 = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1 Chứng minh: A=4un.un+2 + số phương Bài 7: (Olympic tốn Singapore, 2001) Cho a1 = 2000, a2 = 2001 an+2 = 2an+1 – an + với n = 1,2,3… Tìm giá trị a100? Bài 8: (Tạp chí tốn học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số un xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 un+1 = 2un – 3un-1 với n = 2, 3,… Chứng minh rằng: a Dãy số có vơ số số dương số âm b u2002 chia hết cho 11 Bài 9: (Thi giỏi toán, 1995)Dãy un xác định bởi: u0 = 1, u1 = un+2 = n n n n u 9u ,n 2k 9u 5u ,n 2k với n = 0, 1, 2, 3, …. Chứng minh rằng: a 2000 k k 1995 u (41)b u2n+1 khơng phải số phương với n Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=? Bài 11: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = 2 n n n n 5u u 3 u u với n3 a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u8 dãy? Bài 12: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2) a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un dãy? b Tìm số hạng u14 dãy? Bài 13: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005) a.Cho u =1,1234 ; u =1,0123.u (n N; n 1)1 n+1 n Tính u50? b Cho 2 n 1 n+1 n 3u +13 u =5 ; u = (n N; n 1) u +5 Tính u15? c Cho u0=3 ; u1= ; un = 3un-1 + 5un-2 (n2) Tính u12 ? Bài 14: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định công thức 2 n n n 4x x x , n số tự nhiên, n >= Biết x = 0,25 Viết qui trình ấn phím tính xn? Tính x100? 7.3.2 Tìm cơng thức tổng qt từ cơng thức truy hồi: Ví dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy sốu0 2;u 10 vaø u1 n 1 10un un 1 (*) Tìm cơng thức tổng quát un dãy? Giải Phương trình đặc trưng phương trình (*) là: 2 10 1 0 có hai nghiệm 1,2 5 Vậy n n n n n 1 2 u C C C 6 C 6 Với n = 0; ta có hệ phương trình sau: 1 C C 5 C C 10 => 1 C C Vậy số hạng tổng quát n n n u 6 6 7.3.3 Tính số hạng thứ n dãy biết công thức truy hồi: Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp nhiều dẫn đến thao tác sai, ta tìm cơng thức tổng quát cho số hạng un theo n sau thực tính Ví dụ 3: Cho dãy sốu0 2;u 10 vaø u1 n 1 10un un 1 Tính số hạng thứ u100? Giải (42)Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: SHIFT STO A 10 SHIFT STO B Lặp lại phím: 10 ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A 10 ALPHA A ALPHA B SHIFT STO B Bây muốn tính u100 ta 96 lần Cách 2: Tìm công thức tổng quát n n n u 6 6 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) ( 2 ) 100 ( 2 ) 100 Nhận xét: Như cách nhanh xác nhiều so với cách thời gian để tìm cơng thức tổng qt Do số hạng cần tính nhỏ ta dùng cách 1, cịn lớn ta dùng cách Bài 4. Cho Uo = 2, U1 = 10 U n+1 = 10Un – U n-1, n = 1,2,3, a) Lập quy trình tính U n+1 b) Tìmcơng thức tổng qt Un c) Tính Un với n = 2,……,12 Giải: a) 10SIHFT STO A 10 2 SIHFT STO B Rồi lặp lại dãy phím: 10 alpha A SIHFT STO A 10 alpha B SIHFT STO B a) Công thức tổng quát Un là: 5 6 n 6n n U (1) Thật vậy: Với n = 0 5 6 o U n = 1 1 6 10 U n = 2 2 6 98 U Giả sử công thức (1) với n k Ta chứng minh cho n = k + Ta có : 1 10 10 6 6 n n n n n n n U U U 2 2 1 1 1 5 10 10 5 6 49 20 49 20 5 5 6 5 (5 6) 5 6 5 6 n n n n n n n n (43) Điều phải chứng minh c) 2 98; 970; 9602; 95050; 940898; 9313930 U U U U U U U8 92198402;U9 912670090;U10 9034502498;U1189432354890; U12 885289046402 CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ I Ví dụ Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức : n n n 13+ - 13- U = 2 với n = 1, 2, 3, ……, k, … d) Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8 e) Lập cơng thức truy hồi tính Un+1theo Un Un-1 f) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1theo Un Un-1 Hướng dẫn giải a) U1 = U5 = 147884 U2 = 26 U6 = 2360280 U3 = 510 U7 = 36818536 U4 = 8944 U8 = 565475456 b) Đặt Un+1 = a.Un + b.Un-1 Theo kết tính trên, ta có: 510 26 26a 510 8944 510 26 510a 26 8944 a b b a b b Giải hệ phương trình ta được: a = 26,b = -166 Vậy ta có cơng thức: Un+1 = 26Un – 166Un-1 c) Lập quy trình bấm phím máy CASIO 500MS: Ấn phím: 26 Shift STO A x 26 - 166 x Shift STO B Lặp lại dãy phím x 26 - 166 x Alpha A Shift STO A x 26 - 166 x Alpha B Shift STO B II.Bài tập Bài Cho dãy số thứ tự u u u1, 2, 3, , ,u un n1, biết: 1 1, 2, 3; n n n n ( 4) u u u u u u u n 1.1 Tính u u u u4, 5, 6, (44)1.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị u20, u22, u25, u28 u 5 u u6 u7 Bài 2. Cho dãy số thứ tự u u u1, 2, 3, , ,u un n1, , biết u5 588 , u6 1084 un1 3un 2un1 Tính u u u1, 2, 25 Bài 3: Cho 2 2 1 1 2 n n u i n ( i1nếu n lẻ, i1 n chẵn, n số nguyên n ). 3.1 Tính xác dạng phân số giá trị: u u u4, ,5 3.2 Tính giá trị gần giá trị: u u u20, 25, 30 3.3 Nêu qui trình bấm phím để tính giá trị un u4 = - u5 = - u6 = -u20 u25 u30 Bài 4: Cho dãy số un xác định bởi: 1 1 2 1 2 1; 2; 3 n n n n n u u u u u u u 4.1 Qui trình bấm phím để tính un Sn: 4.2 Tính giá trị u10, u15,u21 4.3 Gọi Sn tổng n số hạng dãy số un Tính S10, S15, S20 u10 = u15 = u21= Qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n4 20 u u22 u25 u28 u1 = u2 = u25 = Qui trình bấm phím: (45)S10 = S15 = S20 = Bài 5 : Cho dãy số {un} với un=(1+cosn n ) n a) Hãy chứng tỏ , với N = 1000 , tìm cặp hai số , m lớn N cho |um−u1|≥2 b) Với N = 000 000 điều nói cịn khơng ? c) Với kết tính tốn , Em có dự đốn giới hạn dãy số cho ( n → ∞ ) Bài 6. Cho dãy số u u u1, 2, 3, , ,u un n1, biết:u11,u2 2,u3 3;un un12un23un3 (n4) 6.1 Tính u u u u4, 5, 6, 6.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n4 6.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị u22, u25,u28 Bài Cho dãy số U1 = √33 ; Un=(Un −1) 3 √3 , n số tự nhiên n 2 7.1 Viết quy trình bấm phím để tính Un 7.2 Tính số hạng đầu tên dãy số Quy trình bấm phím Kết 2) Cho Sn=1−2+3−4+ .(−1)n Tính S2004 + S2005 + S2006 + S2007 Quy trình bấm phím Kết Bài 8 Cho dãy số U0=2, U1=10, Un+1=10Un− Un −1 , n = 1, 2, Hãy tính giá trị số hạng U5,U10 Bài 9. Cho 1 2 3 4 n n S n n , n số tự nhiên. a) Tính S10 cho kết xác phân số hỗn số b) Tính giá trị gần với chữ số thập phân S15 Bài 10. Cho dãy số anđược xác định sau: 2 1 1, 2, 3 n n n a a a a a với n,n3 Tính xác dạng phân số tổng 10 số hạng dãy số Bài 11. Cho dãy số un xác định sau: (46) 11.1 Qui trình bấm phím để tính un 11.2 Tính giá trị u u u6, 12, 15 Bài 12 Cho dãy số un xác định sau: 2 1 2, 3, 2 n n n u u u a a với n,n3 12.1 Qui trình bấm phím để tính un, Sn 12.2 Tính giá trị u S15, 15 Bài 15 Cho 1 1 3 3 n n S với n * 15.1 Lập quy trình bấm phím để tính Sn 15.2 Tính giá trị gần với chữ số thập phân S15 15.3 Tính giới hạn limn Sn Bài 16 Cho 2 0 2008, , ,0 1003 1 n n n a a n n a Hãy tính gần với chữ số thập phân giá trị bé của an. Bài 17 Cho dãy số 3 2 3 2 2 n n n u với n = 1, 2, 3, … 17.1 Tính số hạng dãy số u1, u2, u3, u4, u5 17.2 Chứng minh un+2 = 6un+1 – 7un 17.3 Lập quy trình bấm phí liên tục để tính un+2 Câu 9(5đ)(Câu thay)Cho dãy số xếp thứ tự U1 , U2 , U3 ,……… ,Un ,Un+1,…… Biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; Un+1 = 3Un - Un-1 Tính U1 ; U2 ; U25