+Sử dụng phương pháp lặp hoặc lệnh SHIFT SOLVE để tìm nghiệm gần đúng của phương trình.. +Chứng minh được phương trình có k nghiệm và tìm được k nghiệm đó.[r]
(1)MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ CÁC DẠNG TỐN TRONG ĐỀ THI CASIO CẤP TỈNH TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
+Tính giá trị biểu thức chứa nhiều hàm số như: lượng giác, mũ, lôgarit
+Các dạng biểu thức lặp, hàm hợp.
+Tất giá trị qua bước trung gian lưu vào biến nhớ Bài 1: (Giải tích-Tính giá trị hàm số)
Cho hàm số:
2
) (sin
log )
(
1
x
x x x
f y
x
Đặt
n
n f f f
f 2,009
Lập quy trình tính f1; f2; f5; f10; f15
HD:
Ấn 2,009 =
( X ^ ANS X ( ln ( sin ANS + ANS + 1) : ln 3) : ( 3ANS - ) = ấn phím = liên tiếp ta tính giá trị:
Đáp số: f1 2,64576; f2 2,71759; f5 2,802898; f10 2,83172; 83635
, 20
f
Bài (khu vực 2009) Tính giá trị hàm số sau x0,5:
3 2
sin ( )
ln( 3)
x x
f x
x x
Bài (Qtri 2010-2011)
Cho
( )
f x x x ( ) sin 22 3 cos3
7
g x x x
Tính: a) f g 713 ) 2011
b f f f
)
c g g g
ĐS: a) f g 713 4,1244
) 4.211,1978
2011
b f f f
(2)GIẢI PHƯƠNG TRÌNH :
+Sử dụng phương pháp lặp lệnh SHIFT SOLVE để tìm nghiệm gần phương trình.
+Chứng minh phương trình có k nghiệm tìm k nghiệm đó.
Bài (Qtri 2009-2010). Giải phương trình
x
x
Xét hàm số:
x
y x
, ta có:
3
' ln
2
x
y
Và ' ln3
2
x
y
32
7 log
3 ln
2
x
2
Vì y' 0 có nghiệm nên phương trình cho có nhiều
nhất nghiệm
Sử dụng máy tính nghiệm:
2
0,8681 7,8006
x x
Bài 2: Giải phương trình:
3 ) ( log
6x 6 x x
Giải: Đk: x > -3/5
Đặt t 3log6(6x3)(t > 0) Ta có hệ:
)2 ( 3 2 3 6
)1( 3
5 6
x t x
x t
t
x t
x 3 6 3
6
(*)
Xét hàm số: y = 6x + 3x ; y' =6x.ln6 +3 >
x nên hàm số đồng biến
Vậy (*) x=t Từ (2) ta có pt: 6x 5x3 6x 5x 30.(3) Xét hàm số y = 6x - 5x -
y'=6x.ln6 -5
y'=0 x=
6 ln
5
log6 pt (3)có nhiều nghiệm.
(3)Bài 3: Giải phương trình:
10 5 2 3
x x x
9
' 10 15
y x x
'' 90 30
y x x;
y’’=0 có hai nghiệm nên phương trình y’=0 có nhiều nghiệm Sử dụng máy tính tìm nghiệm gần phương trình y’=0 là:
1 1,03990081
x ;x2 0,3652539807;x3 0,365043279
Ta có: y x( )1 5, 064076165<0; y x( )2 2,513093304<0; y x( )3 3, 486822416 <0, xlim ydo phương trình cho có nghiệm
Sử dụng máy tính tìm nghiệm phương trình: 0,950804901
(4)CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY *Các tính tổng:
+Phát tính chất đặc biệt tổng. +Xây dựng công thức tổng quát tổng. *Các toán dãy lặp
+Phát chứng minh chu kỳ lặp. *Các tốn dãy truy hồi (phương trình sai phân)
+Lập quy trình bấm liên tục.
+Tìm công thức số hạng tổng quát. +Sử dụng để tính tổng.
*Tính giới hạn:
+Sử dụng máy.
+Định lý qua giới hạn *Xem tài liệu:
+Một số dạng toán thi HSG giải toán máy tính điện tử - TS Tạ Duy Phượng.
+THTT số 388 (tháng 10-2009)
+Giới hạn dãy số hàm số - Nguyễn Văn Mậu
1 Tính tổng:
Bài 1: Cho ( ) 9
x x
f x
Tính
1999
1 2000 i
i
S f
HD: Ta thấy:
1 1999
2000 2000
1 1999
2000 2000
1 1999 9
1
2000 2000
9
T f f
Bài 2: Qtri 2009-2010
Tính tổng Ssinxsin 2xsin 2010x với
7 11
3
x
HD: 2sin 2sin sin 2sin sin 2sin sin 2010
2 2
x x x x
S x x x
= cos cos3 cos3 cos5
2 2
x x x x
4019 4021
cos cos
2
x x
=cos cos4021
2
x x
4021 cos cos
2
2sin
x x
S
x
Thay
7 11
3
x
(5)2.Dãy lặp:
Bài 1. Cho dãy số un xác định
7
1
1
1
2011,
3 n n
n
u
u u
u
với n
Tính uk với k 202011 Đặt u1tan
Ta có
0
0
2
1
1
1 3 tan 30 tan
tan 30 1 tan 30 tan
3 1
3
u u
u
u u
Bằng quy nạp ta chứng minh un tan ( n1)300
Suy ra: u1u6 1n , u2u6n2, u3u6n3 u4u6n4, u5u6n5, u6 u6nvới n
2
Ta có:
2011 2011 2011
20 (18 2) (mod 6)
k 2 22010(mod 6)
30 67
2 (2 ) (mod 6)
2 (mod 6)67 8 (mod 6)66
6
8 mod mod
1
Do
7
2 7
1 2011
4,9783 2011
k
u u
uk 4,9783
Bài 2: Cho số: x1=2; x2=
1
1
x x
;x3=
2
1
x x
; ;xn=
1
1
n n
x x
;
1)Tính xp với p=20092008
2)S=x1+ x2 + x3 + + x2008
ĐS: x1=x3n+1; x2=x3n+2; x3=x3n.(n>=1)
1)p=20092008=(2007+2)2008 22008(mod3) (3+1)1004(mod3)
11004(mod3) 1(mod3)
p=3k+1
Vậy xp =2
2) S = (x1+x2 + x3 ) + (x4+x5 + x6 )+ +(x2005+x2006 +
x2007)+ x2008
=669((x1+x2 + x3 )+ x2008= 669(x1+x2 + x3 ) + 2;
Kết quả : S= 4036
(6)3 Các tốn dãy số (Phương trình sai phân):
Đây toán quen thuộc đề thi giải Tốn máy tính bỏ túi
3.1:Dạng phương trình sai phân bậc nhất:
Cho u1 =C un =a.un-1+f(n) với n>1 Tính uk
C A ( A thay cho un)
1 X
Nhập biểu thức: X=X+1:A=aA+f(X)
Ấn phím = liên tục xem kết biến X; A
VD1: Cho dãy số (Un) thỏa:
U1=-3;
Un=un -1+ n3 (n>1) Lập quy trình tính un
-3 A ( A thay cho un)
1 X
Nhập bểu thức: X=X+1:A=A+X^3
Ấn phím = liên tục xem kết biến X; A
3.2: Dạng phương trình sai phân bậc hai:
Cho u1=GT1; u2 =GT2 un= a.un-2 + b.un-1+ f(n) với n>2
Tinh uk
GT1 A
GT2 B
2 X
Nhập biểu thức:
X=X+1:A=aA+bB+f(X):X=X+1:B=aB+bA+f(X)
Ấn phím = liên tục xuất giá trị X uX
VD2: Cho u1=1; u2=1; un = un-2+ un-1 với n>2.(Dãy
Phibonaci)
Sử dụng máy tính: A; B; X
Nhập biểu thức:
X=X+1:A=A+B:X=X+1:B:=A+B
(7)VD3: Cho dãy số un với u0=5; u1=3; un=3un-2 +2un-1
-n2+3n với n=2,3,4,5
5 A; B; X
Nhập biểu thức:
X=X+1:A=3A+2B-X2+3X : X=X+1: B=3B+2A-X2+3X
Ấn phím = liên tục xuất giá trị X uX
VD4:Cho (xn ; yn) với x0=3; y0= 2; xn=3xn-1+4yn-1; yn=2x n-1+3yn-1 , n=1,2,3
Lập quy trình tính (xn ; yn)
HD: Sử dụng biến A, B, C, D A; B;
Nhập biểu thức:
C=3A+4B:D=2A+3B:A=3C+4D:B=2C+3D
Bài tập:
1 Lập quy trình tính tổng sau:
S1 =1-23 + 33-43 + +(-1)n+1n3 S2 =
1 1
1.2 2.3 3.4 n n.( 1);
S3=
1
1 1 ( 1)
1.2 2.3 3.4 4.5 ( 1) n
n n
; S4=1 + 27 + 125+ +
(2n-1)3
2.Lập quy trình bấm phím liên tục xác định giá
trị dãy số:
a) x0=1; xn15xn 24xn2 1 n N
b)
2
2;
2 ( 2,3 )
n n n
x x
x x x n
c)
0
2
2
1;
2 n n n ( 0,1, )
x x
x x x n n n
d)
2
3;
4 12 ( 1, 2,3 )
n n n
x x
x x x n n
e)
1 2
1
2
( 3) n
n n
x x x
x n
x
(8)Tính giới hạn :
Bài 1: Tính gần giới hạn dãy số có số hạng tổng quát là: sin(1 sin(1 s in1))
n
u
Qua giới hạn, limun nghiệm phương trình
sin(1 )
x x
Giải phương trình nghiệm pt: x0, 48903
Bài 2:
Cho dãy {xn} xác định sau:
1 1
2
n n
n
a
x x
x
với n>=2; a>0; x > 0
(9)TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO
Bài 1(qt 2010) Tính đạo hàm cấp hàm số f x( ) ln 2 x điểm 2,3456
x
2
2 '
1
y
x
2
( 2).( 1).1.( 2) "
(1 ) (1 )
y
x x
(3)
3
( 4).( 1).2.( 2) 16 (1 ) (1 )
y
x x
(4)
4
( 16).( 1).3.( 2) 96 (1 ) (1 )
y
x x
(5)
5
( 96).( 1).4.( 2) 768 (1 ) (1 )
y
x x
4
Thay x0 2,3456 ta tìm
(5)
( ) 0,1286
y x
Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng công thức
1
( ) ( 1) ( 1)!
( )
n n n
n
a n
y
ax b
phải chứng minh
Sau áp dụng với n5,a2, x x 2,3456
Bài 2(khu vực 2008):
Tính gần giá trị đạo hàm cấp 100 hàm số f(x) = sinx x = 140308
(10)CÁC DẠNG KHÁC
Bài 1: Tìm hệ số số hạng chứa 13
x khai triển:
8 3 1
3x
5 Ta có
2 8 16
3
8
3
0
1 1
2
3 5
k k
k k
x C x
16
8 16
3
8 3 16
0
1
2
5
k k k m
m
k m
k
k m
C C x
16
8 16
16
8 3 16
0
1
2
5
k k k m
m
k m k m
k
k m
C C x
Số hạng chứa x13 ứng với k m, N thỏa mãn 16 2 k m 13 m2k 3
3 k k m m Vậy hệ số x13 khai triển cho bằng:
0 16
3
0 3
8 3 16
1 C C +
1 16
1
1
8 3 14
1 C C
Bấm máy ta có kết 0,8217
Bi 2:
Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn tam giác ABC đường tròn nội tiếp tam giác
Biết B=750, AB=6cm Đường trung tuyến AM =7 cm.
Yêu cầu kết xác đến 10 chữ số.
Âaïp aïn:
Bài 1: Đặt AB=c; AC=b; BC=a
Ta coï: AM2 = c2 + BM2
-2.c.BM.cos750.
BM2-12BM.cos750-13=0
Vì u cầu kết xác
đến 10 chữ số nên ta khơng giải phương trình
chương trình cài sẳn mà phải tính ' Ta sử
dụng công thức sau:
'=(6cos750)2+13; BM=6cos750- ' < BM =
6cos750+
(11)a=2BM; b2= a2+c2 -2a.c.cos750 ; S
ABC =
1
2a.c.sin75
0;
SABC =pr r= SABC /p;
Sâtr= r2; S = SABC - Sâtr= SABC- (2SABC /(a+b+c))2
Tiến hành bấm máy:
(6 x cos750)2+13 SHIFT STO D (Tênh v lỉu vo D)
6 x cos750- D=( kết âm nên loại);
2(ANS + D)SHIFT STO A (tênh a=2BM lỉu vo A)
(62 + A2 -2 x x A x cos75) SHIFT STO B ( Tênh b
v lỉu vaìo B)
1
2 x x A x sin75
0 = (Tính diện tích tam giác )
ANS - ( x ANS : (6 + B + A))2 x =
KẾT QUẢ: S 15, 59696525
Bài 3:(hình học khơng gian)
Cho tứ diện SABC có cạnh SA=SB=SC=3,1415 BSA=1200; BSC=600; ASC=900
a) Tính thể tích khối tứ diện SABC b)Tính thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện Giải:
Đặt SA=a
Tam giác SBC BC=a;
Đặt SA=a, tam giác ABC nên BC=a
Gọi H trung đểm AB ta có: BA=a 3; AC=a
ABC vng C
SH (ABC)
1)VSABC=
1
3SH*SABC=
1
3 2
a a = 2 12
a
3,65411549 (đvtt)
2) Gọi O tâm hình cầu nội tiếp tứ diện có bán kính r, ta có chiều cao hình chóp OABC; OSAC; OSAB; OSBC R Vậy:
VSABC=
1
3r.Stp (Stp diện tích tịan phần tứ diện SABC) SSBC=
2
1 3
2
a a
a ; SSAB
2 3
a
; SSAC
2
a ;
Stp=
2( 3 2 1)
a
r=3
2( 1) SABC
tp
V a
S 0,535768922
Bài 5:
Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn:
3
318 1 18 1
x x
(12)Đặt
3
1 18
1 18
x v
x u
ta có:
36
3 v u
v u y ta có: (u+v)(u2 + v2 - uv)=36 (u+v)[(u+v)2 -3uv]=36 ( 33 323 ) 36
x
y y
3 323 36 y x
y
33 323 x y2 36y (*)
Vì x, y nguyên dương nên (*) xảy 36 chia hết cho y Hay y={1; 2; 3; 4; 6;9;12;18;36}
3
3 36
323
y y x
Thế giá trị y vào ta thấy y=3 ; x=324 thỏa mãn điều kiện toán Vậy
3 324
y x
Baìi 8:
Bạn gữi 15.000.000 đ vào ngân hàng với lãi suất kép 0,7% / 1tháng (tiền lãi tháng trước cộng vào tiền gốc tháng sau)
1)Sau năm số tiền gốc lẫn lãi bao nhiêu?
2)Mỗi tháng bạn rút 50.000 sau năm số tiền gốc lẫn lãi bao nhiêu?
3)Bạn muốn rút dần tiền vòng năm hết số tiền ngân hàng Hỏi tháng bạn rút ?
HD:
Gọi số tiền tháng thu gốc lẫn lãi xn, lãi
r=0,7%
x0=15.000.000; x1=x0 + r.x0 =(1+r)x0; x2=x1+rx1=x0
(1+r)2; x
n=x0(1+r)n
1) x36=x0(1+0,007)3619.282.005,35â
2) xn=xn-1+rxn-1- m
Giaíi pt sai phán ta coï xn=x0(1+r)n +m
r [1-(1+r)
n]
x3617 242 955,18
3)với x36=0, từ công thức ta có: m=
-36
36 (1 ) (1 )
x r r
r
472