Đang tải... (xem toàn văn)
Suy ra gãc cña SC hîp víi (SAD).. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SC.. Gäi N lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SM. I lµ trung ®iÓm cña AB.. TÝnh diÖ[r]
(1)I) Hai đường thẳng vuông góc:
1) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M, N, P, Q, R trung điểm AB, CD, AD, BC AC CMR:
a) MN RP b) MN RQ c) AB CD
2) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Biết: AB = CD = 2a; MN = a
3) Cho tứ diện ABCD có cạnh a gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Chứng minh: AO CD
3 TÝnh góc hai đường thẳng AB CD
II) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Góc đường thẳng mặt phẳng:
1) Cho hỡnh chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SA = a , SA (ABCD) Tính góc :
a) SC víi (ABCD) b) SC víi (SAB) c) SB víi (SAC)
2) Cho ABC vng cân B, AB = a, SA = a, SA (ABC) a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
b) Tính góc hợp SB (SAC)
3) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a SO (ABCD) (O tâm đáy) Gọi M, N trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600
a) TÝnh MN vµ SO
b) TÝnh gãc cđa MN với mặt phẳng (SBD)
4) Cho hỡnh vuụng ABCD SAB cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc Gọi I trung điểm AB
a) CM: SI (ABCD) vµ tÝnh gãc hỵp bëi SC víi (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD) Suy góc SC hợp với (SAD)
c) J lµ trung ®iĨm cđa CD CM: (SIJ) (ABCD) TÝnh gãc hợp đường thẳng SI (SDC)
) Chứng minh đường vuông góc với mặt, đường vuông góc với ®êng
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O; SA (ABCD) gọi H, I, K hình chiếu vng góc A lên SB, SC, SD
a) Chøng minh r»ng: BC (SAB); CD (SAD); BD (SAC)
(2)2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA = SC; SB = SD
a) CM: SO (ABCD)
b) Gọi I, J trung điểm AB, BC CMR: IJ (SBD)
3) Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác Gọi I trung điểm BC a) CM: BC (AID)
b) H¹ AH ID (H ID) CM: AH (BCD)
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SAB đều; SCD vuông cân đỉnh S I, J trung điểm AB, CD
a) Tính cạnh SIJ CMR: SI (SCD); SJ (SAB) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S lên IJ CMR: SH AC
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều, SC = a Gọi H, K trung điểm AB AD
a) CMR: SH (ABCD)
b) CMR: AC SK; CK SD
6) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc O lên (ABC) CMR:
a) BC (OAH)
b) H trực tâm ABC
1 1
c)
OH2 OA2 OB2 OC2 d) Các góc ABC nhọn
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a; BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vng D có SD = a
a) CM: SA (ABCD) vµ tÝnh SA
b) Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng qua A với AC cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu vng góc A lên SC Hãy Xác định giao điểm K, N SB, SD với mặt phẳng (HIJ) CMR: AK (SBC) AN (SCD)
c) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c AKHN
8) Gọi I điểm đường tròn tâm O bán kính R CD dây cung đường trịn (O) qua I Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) CMR:
a) SDE vu«ng b) SD CE c) SCD vuông
9) Cho MAB vuông M mặt phẳng () Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng () A ta lấy hai điểm C, D hai bên điểm A Gọi C' hình chiếu vuông góc C MD, H giao điểm AM CC'
(3)b) Gọi K hình chiếu vuông góc H AB CMR: K trực tâm BCD
10) Cho đường trịn (O) đường kính AB= 2R; (O) mặt phẳng () Dựng AS = 2R vng góc với mặt phẳng () Gọi T điểm di động tiếp tuyến đường tròn (O) A Đặt ABT = đường tròn BT gặp đường trịn (O) M Gọi N hình chiếu vng góc A SM
a) Chứng minh mặt bên tứ diện SAMB tam giác vuông b) CMR: T động đường thẳng TN qua điểm cố định H c) Tính để AHN cân
11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B; SA (ABC) AH đường cao kẻ từ A SAB HK SB (K SC) CM:
a) BC (SAB) b) AH (SBC) c) KH (SAB)
12) Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng đôi vng góc với A Ox, B Oy, C Oz Gọi H trực tâm ABC CMR: OH (ABC)
13) Cho tứ diện SABC có SA (ABC) H, K trực tâm ABC SBC CMR: a) AH, SK, BC đồng quy b) SC (BHK) c) HK (SBC)
14) Cho tø diÖn ABCD SA (ABC) Dùng ®êng cao AE cđa ABC a) CM: SE BC
b) H lµ hình chiếu vuông góc A SE CM: AH SC
15) Cho tứ diện đều, CMR hai cạnh đối tứ diện vng góc với
16) Cho mặt phẳng () đường tròn (C) đường kính AB chứa mặt phẳng M (C) không trùng với A B Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng () A ta lấy im S
a) CM: mặt bên tứ diện SAMB tam giác vuông
b) Một mặt phẳng () qua A vng góc với SB D cắt SM E CM: AED vuông 17) Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) đáy ABCD hình thang vng A D
AB
víi AD = DC = I lµ trung ®iĨm cđa AB
a) CM: CI SB vµ DI SC
b) Chøng minh mặt bên hình chóp S.ABCD tam giác vuông
) Thit din qua mt im cho trước vng góc với đường thẳng cho trước: 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) SA = 2a Gọi M điểm cạnh AB; () mặt phẳng qua M vng góc với AB Đặt x = AM (0 < x < a)
a) T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp S.ABCD với mặt phẳng () Thiết diện hình gì?
(4)2) Cho tứ diện SABC có ABC cạnh a, SA (ABC) SA = 2a Gọi () mặt phẳng qua B vng góc với SC Tìm thiết diện tứ diện tạo vởi mặt phẳng () tính diện tích thiết diện
3) Cho tứ diện SABC có ABC tam giác cạnh a, SA (ABC) SA = a Tìm thiết diện tứ diện SABC với mặt phẳng () tính diện tích thiết diện trng hp sau:
a) () qua S vuông gãc víi BC
b) () qua A vµ vu«ng gãc víi trung tun SI cđa SBC
c) () qua trung điểm M SC AB
4) Cho hình tứ diện S.ABC có ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a SA (ABC) SA = a M điểm tuỳ ý cạnh AB, Đặt AM = x (0 < x < a) Gọi () mặt phẳng qua M vng góc với AB
a) Xác định thiết diện tứ diện SABC tạo mặt phẳng () b) Tính diện tích thiết diện theo a x
5) Cho h×nh chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a; SA (ABCD) SA = a Vẽ đường cao AH cña SAB
2
a) CMR: SH 2 SB
b) Gọi () mặt phẳng qua A vuông góc với SB, () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết
diện hình gì? Tính diện tích thiết diện
6) Cho hình vuông ABCD cạnh a; SA (ABCD) SA = a
qua A vng góc với SC; () cắt SB, SC, SD M, N, P
2 Gọi ( ) mặt phẳng
a) CMR: AM SB, AD SD SM.SB = SN.SC = SP.SD = SA2
b) CM: tứ giác AMNP nội tiếp có hai đường chÐo vu«ng gãc víi
c) Gäi O giao điểm AC BD; K = AN MP CMR: S, K, O thẳng hàng
d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c AMNP
7) Cho hình thoi ABCD có tâm O với đường chéo AC = 4a, BD = 2a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) O lấy điểm S víi SO = 2a
SC cắt SB, SC, SD B', C', D'
3 mỈt phẳng ( ) qua A a) Chứng minh tứ giác AB'C'D' có hai đường chéo vuông góc với
b) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c AB'C'D'
c) CMR: B'C'D' tam giác
8) Cho hình tứ diện S.ABC có ABC tam giác cạnh a SA (ABC) SA = a Gọi M điểm tuỳ ý AC, () mặt phẳng qua M AC
(5)b) Đặt CM = x (0 < x < a) Tính diện tích S thiết diện theo a x Xác định x để diện tích có GTLN Tính diện tích lớn
9) Cho hình lăng trụ ABC.AB'C' có đáy tam giác cạnh a AA' (ABC) AA' = a Có nhận xét thiết diện lăng trụ tạo mặt phẳng () trường hợp sau:
a) () qua A vµ B'C
b) () qua B' vµ A'I (I trung điểm BC) III) Hai mặt phẳng vuông góc:
) Nhị diện - góc hai mặt phẳng: 1) Cho hình vuông ABCD cạnh a, vÏ SA = a
sau: a) (S, AB, C) b) (S, BD, A) c) (SAB, SCD)
2) Cho hình vng ABCD cạnh a tâm O; SA (ABCD) Tính SA theo a để số đo nhị diện (B, SC, D) 1200
3 , SA (ABCD) Tính số đo nhị diện
3 a
VÏ SO (ABCD) vµ SO = a 3) Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O OB =
3 a) CM: gãc ASC = 300
b) Chøng minh mặt phẳng (SAB); (SAD) với
4) Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = SB = SC Gọi I, J trung điểm AB, BC Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAJ) (SCI)
5) Cho tứ diện ABCD có mặt ABC tam giác đều, mặt DBC vuông cân D Biết AB = 2a, AD = a
6) Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng với góc xOy = 900 gúc yOz =
600 Tính số đo nhị diện tạo hai mặt phẳng xOz, zOy
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB vng góc
(ABCD) Gäi H trung điểm AB
7 Tính số đo góc nhị diện cạnh BC
a) CM: SH (ABCD)
b) Gäi I lµ trung ®iĨm cđa BC CM: SC DI TÝnh sè ®o nhÞ diƯn (B, SC, D)
ứng dụng định lý diện tích hình chiếu đa giác
1) Cho ABC cạnh a mặt phẳng () Trên đường thẳng vng góc với () vẽ từ B C lấy đoạn BD = a ; CE = a nằm bên với ()
2 a) CM: ADE vu«ng TÝnh SADE b) TÝnh gãc cđa (ADE) vµ ()
2) Cho hình thoi ABCD có đỉnh A mặt phẳng () Các đỉnh khác không mặt phẳng (), BD = a, AC = a
h×nh vu«ng AB'C'D'
(6)a) Tính: SABCD , SAB ' ' C D ' Từ suy góc (ABCD) ()
b) Gọi E F giao điểm CB CD với mặt phẳng () Tính diện tích tứ giác EFDB EFD'B'
3) Cho ABC cạnh a Từ đỉnh A, B, C ta vẽ đường thẳng vng góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm A', B', C' cho AA' = a, BB' = 2a, CC' = x (A', B', C' phía mặt phẳng chứa tam giác)
a) Xác định x để A'B'C' vuông A'
b) Trong trường hợp tính góc (ABC) (A'B'C')
4) Cho ABC cân có đáy BC = 3a, BC () tam giỏc cú ng cao AH = a
mặt phẳng () (ABC)
3 A' hình chiếu A ( ) cho A'BCvuông A' TÝnh gãc cña hai
) Chøng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1) Cho tứ diện ABCD có AB (BCD) Trong BCD vẽ đường cao BE DF cắt O mặt phẳng (ADC) vẽ DK AC K
a) CM: (ADC) (ABE); (ADC) (DFK)
b) Gọi H trực tâm AOD CM: OH (ACD)
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O (SAD) (SAB) vng góc với (ABCD) Gọi () mặt phẳng qua A với SC, () cắt SC I
a) CMR: SA (ABCD)
b) Xác định giao điểm K () SO c) CM: (SBD) (SAO) BD // ()
d) Xác định giao tuyến d (SBD) ()
3) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, SA (ABCD)
a) CM: (SAD) (SCD)
b) Gọi BE, DF hai đường cao cña SBD CMR:
(ACF) (SBC); (ACE) (SDC); (AEF) (SAC)
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA (ABCD) Gọi M, N hai điểm cạnh BC, DC cho BM = a; DN = 3a CM: (SAM) (SMN)
2
5) Cho ABC vuông A Vẽ BB' CC' vuông góc víi (ABC) a) CM: (ABB') (ACC')
b) Gọi AH, AK đường cao ABC AB'C' CMR: (BCC'B') (AHK) (AB'C') (AHK)
6) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác vuông góc với đáy Gọi I trung điểm AB CMR:
(7)7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O; AB = a; SO (ABCD) a
SO = ; Gọi I, J trung điểm AD BC CMR:
a) (SAC) (SBD) b) (SIJ) (SBC) c) (SAD) (SBC)
8) Cho h×nh vuông ABCD, I trung điểm AB Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) I ta lÊy ®iĨm S (S I)
a) CM: (SAD) (SAB) (SBC) (SAB) b) J lµ trung ®iĨm cđa BC CM: (SBD) (SIJ)
9) Cho ABC vuông A; Gọi O, I, J trung điểm BC, AB, AC Trên đường thẳng (ABC) O ta lấy điểm S (S O) CMR:
a) (SBC) (ABC) b) (SOI) (SAB) c) (SOI) (SOJ)
10) Cho tø diÖn SABC cã SA = SC (SAC) (ABC) Gäi I trung điểm AC CM: SI (ABC)
11) Cho tø diÖn ABCD cã AB (BCD) Gäi BE, DF hai đường cao BCD ; DK đường cao ACD
a) CM: (ABE) (ADC); (DFK) (ACD)
b) Gọi O H trực tâm hai BCD , ACD CM: OH (ADC)
12) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SAB cân S (SAB) (ABCD) I trung điểm AB CMR: a) BC (SAB) b) AD (SAB) c) SI (ABCD)
) Thiết diện qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước:
1) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a; SA (ABCD) vµ SA = a Gäi () lµ mặt phẳng chứa AB (SCD)
a) Xác định rõ mặt phẳng () mặt phẳng () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình gì?
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn
3
2) Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông cân B; AB = a; SA (ABC) v SA = a
() mặt phẳng chứa EM vuông góc (SAB)
3 Gi E, F trung điểm SC SB M điểm AB, Đặt AM = x a) Xác định rõ mặt phẳng () mặt phẳng () cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện hình gì?
b) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn theo a vµ x
(8)a) Xác định rõ mặt phẳng () mặt phẳng () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình gì?
b) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn theo a vµ x
4) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' đáy tam giác cạnh a AA' (ABC) AA' = a Gọi M, N trung điểm cạnh AB A'C' Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng () qua MN vng góc (BCC'B') Tính diện tích thiết diện
5) Cho hình chóp S.ABCD đáy vng cạnh a SA (ABCD) SA = 2a Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD tạo mặt phẳng () trường hợp sau:
2
a) () qua tâm O đáy, trung điểm M SD vng góc (ABCD)
b) () qua A, trung điểm N CD (SBC)
IV) Khoảng cách:
Các toán khoảng cách:
1) Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác cạnh a, AB (BCD) AB = a Tính khoảng cách:
a) Từ D đến (ABC) b) Từ B đến (ACD)
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA (ABCD), SA = h Gọi O tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách:
a) Từ B đến (SCD) b) Từ O đến (SCD)
3) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng vạnh a, mặt bên (SAB) đáy SA = SB = b Tính khoảng cách:
a) Từ S đến (ABCD)
b) Từ trung điểm I CD đến (SHC), H trung điểm AB c) Từ AD đến (SBC)
Xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau:
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = h; SA (ABCD) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung của:
a) SB vµ CD b) SC vµ BD c) SC vµ AB d) SB vµ AD
2) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng:
(9)3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA (ABCD), SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng:
a) SA vµ BD b) SC vµ BD c) AC vµ SD
4) Cho hai tam giác cân khơng đồng phẳng ABC ABD có đáy chung AB a) CM: AB CD
b) Xác định đoạn vng góc chung AB CD 5) Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABC) SA = a
là trung điểm AB Tính độ dài đoạn vng góc chung SM BC
6) Cho hình vuông ABCD cạnh a I trung điểm cđa AB Dùng IS (ABCD) vµ IS = ABC vuông B với AB = a M
a
Gọi M, N, P trung điểm BC, SD, SB Dựng tính độ dài đoạn vng góc
(10)VI) Mặt cầu:
2) Cho t din OABC cú OA, OB, OC đơi vng góc với OA = a, OB = b, OC = c Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
3) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA (ABC); SA = 3a Xác nh
tâm bán kính mặt cầu ngoại tiÕp h×nh chãp S.ABC
4) Cho hình chóp tứ giác ABCD, cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
2 Xác định tâm 5) Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a, SA (ABCD); SA = 3a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
6) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang cân ABCD ngoại tiếp với đường trịn tâm O bán kính a Đường cao hình chóp SO = 2a
a) CM: O cách mặt bên hình chóp S.ABCD
b) Xác định tâm bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD
7) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên với đáy ()
8) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, đường cao SH = h
9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD tâm O, SO (ABCD)
a) CM: O cách mặt bên hình chóp Từ suy hình chóp có mặt cầu nội tiếp b) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp biết SO = h, góc BAD = a, < 900 AB = a
10) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, BC = 2a cạnh bên SA = SB = SC = b Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
11) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác vng góc với đáy Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
12) Cho tứ diện ABCD cạnh a, Gọi H hình chiếu vng góc A (BCD) a) Tính AH
b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
13) Cho tứ diện S.ABC có ABC tam giác vuông cân B, AB = a, SA = a
cầu ngoại tiếp tứ diện
2 , SA (ABC) Gọi M trung điểm AB Xác định tâm tính bán kính mặt 14) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên đường thẳng vng góc với (ABCD) dựng từ tâm O hình vng lấy điểm S cho OS = a
2 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
15) Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng góc xOy = 900 góc yOz = 600 , góc zOx = 120 Trên Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C cho OA = OB = OC = a
(11)b) Gäi I trung điểm AC CM: OI (ABC)
c) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC16) Cho ABC cân có góc BAC = 1200 đường cao AH = a
hai điểm I, J hai bên điểm A cho IBC JBC vuông cân
2 Trên đường thẳng vuông góc (ABC) A lấy a) Tính cạnh ABC
b) Tính AI, AJ CM: BIJ, CIJ tam giác vuông
c) Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC, IABC
17) Cho ABC vuông cân B (AB = a) Gọi M trung điểm AB Từ M dựng ®êng
thẳng vng góc (ABC) lấy điểm S cho SAB
a) Dùng trôc đường tròn ABC SAB
(12)VII) DiƯn tÝch, ThĨ tÝch khèi ®a diƯn
1) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy AB = a mặt bên hợp với đáy góc Tính thể tích Sxq hình chóp
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = b, SA (ABCD) M điểm thuộc SA với AM= x, mặt phẳng (MBC) cắt SD N Tính thể tích khối đa diện ABCDMN theo a, b x
3) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vng cân có AB = AC = a, cạnh bên AA' = a gọi E trung điểm AB, F hình chiếu vng góc E lên BC mặt phẳng (C'EF) chia lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần
4) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác vng có CA = CB = a; CC' = 2a M, N trung điểm AB AA', mặt phẳng (C'MN) cắt BC P
a) CM: PC = 2PB b) TÝnh: V AMNCPC '
5) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi E, F trung điểm C'D' C'B' Mặt phẳng (AEF) chia hình lập phương thành hai phần Tính thể tích phần
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA (ABCD), SA = h Gọi I, J, K trung điểm SA, BC, CD Chứng minh mặt phẳng (IJK) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần tích
7) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy avà góc ASB = a) Tính diện tích xung quanh hình chóp
b) Chứng minh đường cao hình chóp a
1 cot g2 c) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp
8) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy.Đáy ABC tam gíc cân đỉnh A Trung tuyến AD a Cạnh SB tạo với đáy góc tạo với mặt phẳng (SAD) góc
a) Xác định góc
b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2 c) Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp
9) Cho hỡnh lp phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a E F trung điểm C'B' C'D'
a) Xác định thiết diện hình lập phương tạo (AEF)
b) Tính thể tích hai phần hình lập phương mặt phẳng (AEF) cắt
10) Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Từ A hạ đường vng góc AE với SB AF với SD
(13)b) Gọi P giao điểm (AEF) với SC Tìm quỹ tích P S chạy nửa đường thẳng Ax vng góc với đáy ABCD
c) Chứng minh có hai vị trí S Ax cho VPABCD giá trị V cho trước với điều kiện V không vượt giá trị V1 mà ta phải xác định
VII) To¸n tỉng hợp phần:
1) Cho ABC u cú đường cao AH = 3a, lấy điểm O đoạn AH cho AO = a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác O lấy điểm S cho OS = BC
a) CM: BC SA
b) TÝnh SO, SA, SH theo a
c) Qua I đoạn OH vẽ mặt phẳng () OH () cắt AB, AC, SC, SB M, N, P, Q CM: MNPQ hình thang cân
d) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a x = AI Xác định x để diện tích có giá trị lớn
2) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABCD) Đáy ABC khơng phải tam giác cân Gọi B' C' hình chiếu vng góc A SB SC
a) Chứng minh tứ giác BCC'B' nội tiếp cạnh BC B'C' không song song b) CM: ®iĨm A, B, C, B', C' ë mặt cầu
c) Gọi I giao điểm đường thẳng BC B'C' CM: góc IAB = gãc ICA
3) Cho hai nửa đường thẳng chéo Ax, By hợp với góc 600, AB = a đoạn vng góc chung Trên Ax, By lấy điểm C, D cho AC = 2a, BD = a Gọi () mặt phẳng chứa By // Ax, E hình chiếu vng góc C lên ()
a) CM: CD By
b) Chứng minh điểm A, B, C, D, E mặt cầu, tính bán kính mặt cầu c) Tính góc hợp CD mặt phẳng (ABC)
d) Tính độ dài đoạn vng góc chung CE AD
4) Cho hai nửa đường thẳng Ax, By hợp với góc nhọn nhận AB = h làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a, gọi D hình chiếu vuông góc C Ax Gọi Az nửa đường thẳng qua A vµ // By
a) Tính độ dài AD khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)
b) Xác định tâm mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D
c) Tính khoảng cách từ D đến By
5) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy avà góc ASB = a) Tính diện tích xung quanh hình chóp
b) Chøng minh đường cao hình chóp a cot g2 1
2
(14)6) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy.Đáy ABC tam gíc cân đỉnh A Trung tuyến AD a Cạnh SB tạo với đáy góc tạo với mặt phẳng (SAD) góc
a) Xác định góc
b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2
c) TÝnh diện tích toàn phần thể tích hình chóp
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB điểm di động đường thẳng BC
a) Chøng minh r»ng SH (ABCD) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.ABCD
b) Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc S lªn DM
c) Tính khoảng cách từ S đến DM theoa x = CM
8) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a E F trung điểm C'B' C'D'
a) Xác định thiết diện hình lập phương tạo (AEF)
b) Tính thể tích hai phần hình lập phương mặt phẳng (AEF) cắt
9) Cho hình chóp SABCD đáy hình vng cạnh a; SA = a SA (ABCD), AI, AJ AE đường cao xuất phát từ A tam giác SAB, SAD SAC
a) Chứng minh: AI, AJ, AE đồng phẳng
Chứng minh tứ giác AIEJ có đường chéo vng góc tính diện tích 10) Cho hình chóp SABCD đáy hình chữ nhật cạnh; SA (ABCD) Dựng đường cao AH, AK tam giác SAB SAD Chứng minh:
(AHK) (SBC) vµ (AHK) (SCD)
11) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chữ nhật A lấy điểm S mặt phẳng qua CD cắt SA M SB N
a) CDMN hình gì?
Nói cách dựng đường vuông góc hạ từ S vuông góc với (CDMN)
12) Cho hình thang ABCD vuông A D vµ AB = 2a; AC = DC = a; SA = a đoạn thẳng vuông góc với (ABCD)
a) Chøng minh (SAC) (SBC) TÝnh gãc nhÞ diƯn (A, SB, C)
13) Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a Hai điểm M N di động cạnh BC CD Đặt Chứng minh: = x CN = y Trên đường thẳng At vng góc với (P) lấy điểm S Tìm hệ thức liên hệ x y để:
a) Góc mặt phẳng (SAM) (SAN) 450 (SAM) (SMN)
14) Cho hình chóp SABCD đáy hình vng ABCD cạnh a Hai mặt phẳng (SAB)
(SAD) vu«ng gãc víi nhau; SA = a
a) Chøng minh: (SAB) (SBC) vµ (SBD) (SAC)
b) Xác định tính góc nhị diện (S, BD, A)
c) Xác định tính góc nhị diện (B, SC, D)
15) Cho hình vng ABCD cạch a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình vng A ta lấy điểm S với AS = h Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung của:
(15)b) SC AD
16) Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a lấy điểm M với AM = x (0 < x < a) nửa đường thẳng Ax vuông góc với mp(ABCD) A ta lấy điểm S cho AS = y > a) Chøng minh nhị diện cạnh SB hình chóp SABCM nhị diện vuông
b) Tớnh khong cỏch t M n mp(SAC)
c) Gọi I trung điểm SC; H hình chiếu vuông góc I lên Chứng minh: Tìm quỹ tích H M chạy cạnh AD S chạy Ax
17) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vuông ABCD vuông A B, AB = BC = a; AD = 2a; đường cao hình chóp SA = 2a
a) Xác định tính đoạn vng góc chung AD SC
b) Tính góc phẳng nhị diện cạnh SD
18) Cho hình chóp SABCD đáy nửa lụa giác cạnh a, chiếu cao SA = h a) Tính thể tích hỡnh chúp SABCD
b) mặt phẳng qua A vuông góc với SD cắt SB, SC, SD đường thẳngại B, C’ , D’ Chøng minh r»ng tø gi¸c AB’C’D’ néi tiÕp
c) Chøng minh: A’B’ > C’D’
19) Cho hình chóp SABCD, đáy hình vng ABCD cạnh a, chiu cao SA
a) HÃy nêu cách dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC
b) Tính diện tÝch thiÕt diƯn
20) Cho hình chóp SABCD đáy nửa lục giác ABCD với AD = 2a, AB = BC = CD = A Cạnh SA = h vng góc với đáy (P) mặt phẳng qua A vng góc với SD cắt SB, SC, SD B’, C’, D’
a) Chøng minh r»ng AB’C’D’ lµ tứ giác nội tiếp b) Tính thể tích hình chãp SAB’C’D’
c) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c AB’C’D’
21) Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Từ A hạ đường vng góc AE với SB AF với SD
d) Chøng minh: (AEF) SC
e) Gọi P giao điểm (AEF) với SC Tìm quỹ tích P S chạy nửa đường thẳng Ax vng góc với đáy ABCD
f) Chứng minh có hai vị trí S Ax cho VPABCD giá trị V cho trước với điều kiện V không vượt giá trị V1 mà ta phải xỏc nh
22) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi O giao điểm AC BD Trên đường thẳng Ox vuông góc với (P) ta lÊy ®iĨm S
1/ Giả sử mặt bên hình chóp SABCD tạo với đáy góc
a) Xác định đường vng góc chung SA CD Tính độ dài đường vng góc chung theo a
b) Một mặt phẳng qua AC vng góc với (SAD) chia hình cầu thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần
2/ Giả sử điểm S thay đổi, xác định vị trí S Ox cho mặt phân giác góc nhị diện ứng với cạnh đáy mặt xung quanh hình chóp SABCD thành hai phần có diện tích
23) Trong mặt phẳng (P) cho đường trịn (r) bán kính R; A điểm cố định (r), S điểm đường thẳng (d) vuông góc với (P) A ABCD tứ giác nội tiếp (r) có hai đường cheo AC BD vng góc với
(16)b) Với ABCD định chọn câu a Giả sử S di động (d) Trên đoạn AB lấy điểm M Đặt AM = x (0 x R
của M AB để hình chóp SAMBC tích lớn
24) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình chữ nhật Cạnh bên SA (ABCD) Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB B’, cắt SD D’
a) Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối vng góc
b) Chứng minh S di chuyển đường thẳng vng góc với (ABCD) A mặt phẳng (AB’C’D’) ln qua đường thẳng cố định Chứng minh điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ nằm mặt cầu cố định
c) Gi¶ sư gãc SC mặt (SAB) x Tính tỷ số thể tích hình chóp SABCD thể tích hình chóp SABCD theo x, biÕt r»ng AB = BC
25) Cho hình chóp SABCD có mặt đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = b Cạnh ) AS = y Biết SM = R Hãy xác định vị trí
SA vu«ng góc với (ABCD) SA = 2a M điểm SA vuông góc với (ABCD) SA = 2a M điểm SA với AM = x
(0 x 2a)
a) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiế diện hình gì? Tính diện tích thiết diện
b) Xác định x cho thiết diện nói có diện tích lớn
c) Xác định x cho mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần tích
26) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân, AB = AC = a, góc A = Biết SA vng góc với (ABC) SA = h cho biết tồn điểm M, N, P thuộc AB, AC, BC cho AM = AN = AP tam giác SMP, SNP, tương đương
a) Chøng minh P trung điểm BC b) Tíng thể tích cđa h×nh chãp SAMPN
c) Chứng minh hình chóp SAMPN có mặt cầu nội tiếp Tính bán kính mặt cầu 27) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA (ABCD), AB = a, AD = b,
SA = 2a Gäi M trung điểm SA
Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện hình Tính diện tÝch thiÕt diÖn Êy
đh đà lạt – d - 2000
28) Cho hình vng ABCD cạnh a, đường thẳng d qua A vuông góc vơi mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S cho SA = a Trên cạnh CD lấy điểm M di động Hạ SH BM AK SH Đặt góc ABM =
a) Chøng minh: AK (SBM) vµ tÝnh AK theo a vµ
Hạ AI SB Chứng minh SB (AKI) tìm quỹ tích K M thay đổi cạnh CD đh qg – d - 2000
Kim tù th¸p
bài1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy hình vng ABCD có cạnh a Mặt bên tạo với mặt đáy hình chóp góc 600 Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB cắt SC, SD M N Cho biết góc tạo mặt phẳng (P) mặt đáy hình chóp 300
a) Tø gi¸c ABMN hình gì?
b) Tính VSABMN theo a đh sp – a - 2000
bài2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy hình vng ABCD có cạnh a SA = SB = SC = SD = a
(17)b) TÝnh cosin cđa gãc nhÞ diƯn (SAB, SAD)
bài3: Cho hình thoi ABCD tâm O; SO đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng hình thoi a) Chứng minh (SAC) mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh SA SC Suy
ra O cách bốn mặt bên hình chóp SABCD Tìm điểm cách năm mặt hình chóp
bài4: Cho hình chóp SABCD đáy hình vng cạnh a Gọi O tâm hình vng; SO vng góc với (ABCD); SA = b, SA tạo với (ABCD) (SBC) hai góc
a) Xác định hình chiếu H A xuống mặt phẳng (SBC) Chứng minh SO = AH b) Tìm hệ thức liên hệ a b suy giá trị tg
bài5: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành ABCD, diện tích a2
giữa hai đường chéo 600 Biết cạnh hình chóp nghiêng mặt đáy góc 450
3 vµ gãc
a) Chứng minh: ABCD hình chữ nhật b) Tính thể tÝch h×nh chãp
bài6: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, đường cao h Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với SC C’
a) h phải thoả mãn điều kiện a để C’ SC?
b) Trong điều kiện (P) cịn cắt SB, SD B’, D’ Chứng minh B’C’D’ tam giác tù
bài7: Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh a , đường cao SO = a
a) M điểm đoạn OC với AM = x Qua M ta dựng mặt phẳng (P) song song với SA BD Nêu cách dựng thiÕt diƯn vµ tÝnh diƯn tÝch cđa nã theo a x
3
b) Nếu M thuộc đoạn AO, hÃy lặp lại câu hỏi
bi8: Cho hình chóp tứ giác SABCD Gọi M, N, E trung điểm AB, AD SC
a) Dựng thiết diện hình chóp với mặt ph¼ng (MNE)
b) TÝnh tû sè thĨ tÝch hai phần hình chóp phân chia thiết diện
bài9: Cho hình chóp tứ giác SABCD đỉnh S, cạnh đáy a, đường cao SH Một điểm M bắt kỳ thuộc AH, mặt phẳng (P) qua M song song với AD SH cắt AB, DC, SD SA I, J, K, L
a) Cho biết SH = a Xác định vị trí M AH để thiết diện IJKL tứ giác ngoại tiếp
b) Xác định vị trí M AH để thể tích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn nhât c) mặt phẳng (P) cắt DB N Tìm quỹ tích giao điểm P hai đường chéo tứ giác
MNKL M thay đổi AH
bài10: Cho hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy Qua cạnh đáy ta dựng mặt phẳng tạo với mặt đáy góc Tính diện tích thiết diện
bài11: Cho hình chóp tứ giác SABCD ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SC = SD = a
a) TÝnh chiÕu cao vµ thĨ tÝch h×nh chãp
b) Gäi M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AD SC Mặt phẳng MNP cắt SB SD Q R So sánh đoạn QB RD víi SB
(18)bài12: Chop hình chóp tứ giác SABCD có độ dài cạnh đáy AB = a góc SAB = Tính thể tích hình chóp SABCD theo a
®h y hn - 2000
bài13: Cho hình chóp tứ giác đều: SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Góc phẳng nhị diện tạo mặt bên đáy (450 < < 900)
a) Tính diện tích toàn phần VSABCD
b) Gọi M trung điểm BC Từ M kẻ MK vuông góc với mp(SAD) Mặt phẳng (BCK) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì?
TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn theo a vµ ®h nn - 2000
bài14:Cho hình chóp tứ giác SABCD có đường cao SH, đường trung đoạn thuộc mặt bên (SBC) SN = a hợp với đường cao SH góc
a) TÝnh VSABCD theo a cđ lđ xh - 2000 b) Trong mặt phẳng (SHN) HK SN
S
Chứng minh: HK khoảng cách từ H tíi mỈt (SBC)
TÝnh HK biÕt a = 3960 vµ = 22030’
c) TÝnh HK biết diện tích toàn phần hình chóp là:
TP = 8a
2sincos2(450 – /2) Chãp côt:
bài1:Một chóp cụt tứ giác có chiều cao h, cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ, cạnh bên tạo với cạnh đáy lớn xuất phát từ đỉnh góc
TÝnh diƯn tÝch xung quanh vµ thĨ tÝch chãp cơt
bài2: Biết hai đáy chóp cụt có diện tích B, B’ Tính diện tích thiết diện trung bình , tức kà thiết diện qua điểm cạnh bên song song với hai đáy chóp cụt
bài3: Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho sẵn Tính thể tích hình chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đơi cạnh đáy nhỏ
bài4: Cho chóp cụt tứ giác ABCDA’B’C’D’ Tính tỷ số diện tích hai tứ giác ACC’A’ ABC’D’ biết góc mặt phẳng tạo bới hai tứ giác
bài5: Cho chóp cụt lục giác ngoại tiếp hình cầu tâm I bán kính R Gọi O O’ tâm hai đáy, x y trung đoạn hai đáy
a) Chứng minh với R cho sẵn tích xy khơng đổi
b) Tính thể tích chóp cụt theo x, y R Tính giá trị nhỏ thể tích x, y thay đổi
c) Tính góc mặt bên với đáy lớn x + y = 4R x – y = 2R
bài6: Cho hình chóp cụt tam giác ABCA’B’C’ ngoại tiếp hình cầu tâm O bán kính R a) Chứng minh hai mặt phẳng (OBC) (OB’C’) vng góc với
b) H giao điểm BC’ B’C’ Chứng tỏ OH vuông góc với mặt phẳng (BCC’B’) c) Trong hình chóp cụt nói xác định hình chóp cụt tích nhỏ nhất, Chứng
minh r»ng ®iỊu kiƯn diện tích toàn phần hình chóp cụt nhỏ Tính giá trị nhỏ nói
H×nh chãp:
(19)bài2: Cho hình vng ABCD cạch a Từ trung điểm I AD ta dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S cho SAD tam giác
a) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung SD AB
b) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung SA CM M trung điểm AB
bài3: Trong mp() cho hình chữ nhật ABCD Gọi (C) đường trịn đường kính BD mặt phẳng qua BD vng góc với (); M điểm di động (C)
a) Chøng minh: AM MC
b) Có vị trí M (C) để (MAB) (MCD) không?
c) Gọi () mặt phẳng qua CD vuông góc với () đường thẳng AM cắt () M
Gọi H’ hình chiếu vng góc M’ lên CD Chứng minh rằng: DH’ = k2M’H2 với k số không phụ thuộc vào M Từ suy quỹ tích M’ M
chuyn ng trờn (C)
bài4: Cho hình vuông ABCD nằm mp(P) Qua A dựng nửa đường thẳng Ax (P) M điểm Ax đường thẳng qua M vuông góc với mp(MCB) cắt (P) R Đường thẳng qua M vuông góc với mp(MCD) cắt (P) ë S
a) Chøng minh: A, B, R th¼ng hàng A, D, S thẳng hàng
b) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn RS M di chuyển Ax
c) Gọi H chân ®êng cao kỴ tõ A MAI Chøng minh AH đường cao tứ diện ARMS H trùc t©m cđa MRS
bài5: Cho hình chóp SABCD có đặc điểm sau: Đáy hình thang cân ABCD ngoại tiếp đường trịn tâm O bán kính a, AB // CD CD = 4AB SO = 2a đường cao
a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp
b) Chứng minh O cách bốn mặt bên hình chóp Xác định tâm bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp
bµi6: Cho tø diƯn ABCD víi AB = a; CD = b
a) Xác định hình dạng thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P) song song với AB CD
b) Xác định vị trí mặt phẳng (P) cho diện tích thiết diện lớn c) Xác định vị trí mặt phẳng (P) cho thiết diện hình thoi
bài7: Cho hình chóp PQRS đáy tam giác QRS cạnh m, PQ = m
của hình chóp kẻ từ P qua trung điểm RS Người ta cắt hình chóp mặt phẳng song song với PQ RS cách đỉnh Q đoạn d
a) Nêu cách dựng thiết diện Xác định hình dáng thiết diện b) Tính diện tích thiết diện
bài8: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh SA = x, tất cạnh khác độ dài a) Chứng minh SA SC
b) Tính thể tích hình chóp Xác định x để tốn có nghĩa Xác định x để thể tích lớn
bài9: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành ABCD Một mặt phẳng (P) cắt ; đường cao
SC SB SD
SA, SB, SC, SD theo thø tù t¹i A’, B’, C’, D’ Chøng minh hÖ thøc: SA SA' SC' SB' SD'
(20)chóp Cạnh bên l hình chóp thứ tạo với đường cao góc Cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc Tính thể tích phần chung hai hình chóp
bi11: Trong mặt phẳng () cho OAB điểm di động M đoạn AB Từ M ta dựng hai đường thẳng song song với OB OA, Lần lượt cắt OA, OB P Q; Gọi I giao điê,r AQ BP Trên đường thẳng vuông góc với mp() M ta lấy điểm S M Đặt OA = a, OB = b
OP OQ
a) Chứng minh: 1 Từ suy thể tích hai hình chóp SOPIQ SIAB
a b
nhau
b) Cho gãc AOB = 600, a = 2b vµ SM = b
nhị diện tạo bới (SOA) (SOB) với mp() Chứng minh rằng: M động
3 Gọi 1, 2 góc phẳng ca hai
đoạn AB ta có hệ thøc: 1 tg 1 tg 2
bài12: Đáy hình chóp tam giác vng có diện tích Q góc nhọn Mặt bên qua cạnh vng góc với mặt đáy; hai cạnh bên cịn lại hợp với mặt đáy góc
a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp theo , , Q
b) Với giá trị tiếp tuyến lớn (Q, khơnh đổi)
bài13: Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD ngoại tiếp đường trịn tâm O bán kính R, cạnh đáy AB CD thoả mãn điều kiện AB/CD = ẳ Trên đường thẳng d vng góc vơíu (P) O lấy điểm S cho OS = 2R
a) Tính diện tích toàn phần thĨ tÝch cđa h×nh chãp SABCD
b) Chứng minh O cách bốn mặt hình chóp SABCD từ tìm tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp
bài14:Chứng minh hình chóp có mặt bên làm với mặt đáy góc hình chóp có mặt cầu nội tiếp Điều ngược lại có khơng?
bài15:Cho hình chóp tam giác SABC có chân đường cao SH = h Gọi I, J, K trực tâm mặt bên hình chóp
a) Chøng minh mặt cầu ngoại tiếp SIJK có tâm SH
b) Gọi r bán kính mặt cầu TÝnh thĨ tÝch cđa SABC theo r vµ h
bài16:Cho hình chóp tam giác SABC với cạnh đáy AB = a đường cao SH = h a) Tính theo a h bán kính r, R mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp b) Giả sử a cố định, h thay đổi Xác định để r/R lớn
bài17: Cho hình chóp tam giác có diện tích mặt cầu ngoại tiếp S diện tích mặt cầu nội tiếp s
a) Chøng minh: S 9s