nhiều cho việc giải các dạng phương trình khác vì vậy cần chọn nhiều bài tập cho phần này nhằm rèn luyện kỹ năng “giải phương trình bậc hai bằng cách phân tích thành tích hai nhị thức [r]
(1)
Kính Thầy giáo, Cơ giáo giảng dạy mơn Tốn cấp THCS tồn huyện ! Nhằm giúp qúy Thầy giáo, giáo có tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh khiếu mơn tốn cấp Trung học sở phù hợp, phận chun mơn Phịng GD&ĐT Quế Sơn sở tham khảo ý kiến thầy giáo có nhiều kinh nghiệm giảng dạy môn, biên soạn tài liệu “ Tài
liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ mơn Tốn - Cấp THCS” “Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số “là tập tài liệu tài liệu nói
Tập tài liệu tập định hướng cho mục nội dung nêu chương trình Mỗi nội dung có số dạng tập khác nhau, dạng tập có nhiều tập đại diện cho dạng Giáo viên cần chọn kiến thức cụ thể (theo đề mục nêu chương trình) để cung cấp kiến thức cho em Đi nhanh kiến thức trình bày chương trình khóa, kiến thức nâng cao trình bày ngắn gọn Cho học sinh làm tập để trình bày phương pháp giải phương pháp nên dùng Các tập tài liệu giúp giáo viên chọn tập tương tự tạo thành lớp toán cho dạng cần giảng
Hầu hết kiến thức đại số, phương pháp giải tốn cấp THCS rơi vào chương trình Đại số 8, Vì vậy, nhìn chung chương trình tương đối nặng, cần có đầu tư thích đáng thời gian cho phân mơn So với chương trình trước đây, chương trình cắt bỏmột số kiến thức nâng cao (Định lý Bơdu , lược đồ Hoocnơ ) tính phức tạp ứng dụng khơng nhiều Tuy vậy, số dạng tốn thường gặp (bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tốn cực trị, giải phương trình ) trình bày kỹ Lượng tập cho dạng tính quan trọng dạng, số đề mục quan trọng cần chọn nhiều tập kiểu tập rõ trình bày đại diện
Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng cách đầy đủ yêu cầu quí thầy giáo, giáo Bộ phận chun mơn Phịng GD&ĐT Quế Sơn mong nhận ý kiến đóng góp chân thành để sửa chữa bổ sung cịn thiếu sót
Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn q thầy
Bộ phận chuyên môn THCS
PHẦN I : ĐỊNH HƯỚNG NỘI DUNG VÀ BÀI TẬP ĐẠI DIỆN I Phép nhân phép chia đa thức :
(2)
- Thực hành nhân hai đa thức với : (Giáo viên tự chọn tập )
Giáo viên cần chọn tập rèn luyện kỹ nhân hai đa thức để trình bày cho phần Trong thực hành giải tốn, việc nhân hai hai đa thức khơng xếp quan trọng Sắp xếp hạng tử theo thứ tự biến cần thiết cho việc nhận hạng tử đồng dạng
- Bài tập chứng minh sử dụng phép nhân đa thức : Bài toán 1 :
Cho ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c = abc Chứng minh : a(b2-1)(c2-1) + b(a2-1)(c2-1) + c(a2-1)(b2-1) = 4abc.
Đề thi HSG cấp tỉnh năn học 95-96 2 Các đẳng thức đáng nhớ :
Các đẳng thức trình bày chương trình khóa thật dạng đặc biệt bốn đẳng thức sau Các đẳng thức dạng an - bn ; a2k+1 + b2k+1 thường áp dụng dạng tổng quát để giải toán Các đẳng thức dạng ( a1 + a2 + + an )2 (a+b)n thường áp dụng với n không lớn để giải toán Giáo viên cần biết điều để chọn tập cho thích hợp
Hệ số lũy thừa nhị thức xác định công thức tổ hợp ( Cnk) khó học sinh nên xác định bày tam giác Pascal thích hợp
- Hằng đẳng thức an -bn : Bài toán 2 :
Chứng minh : (1+x)(1+x2) (1+x4) (1+x8) (1+x16) = 1+x+x2+ x31 Bài toán 3 :
Cho P = x5 - x4-x3-x2-x-2 Tính P x = 2. - Hằng đẳng thức a2k+1+b2k+1
Bài toán :
Cho P = 234 + Chứng minh P số nguyên tố.
- Hằng đẳng thức (a1+a2+ + an)2 Bài toán 5:
Rút gọn biểu thức P = (a+b-c)2 +(a-b+c)2 -2(b-c)2 Bài toán :
Chứng minh (a+b+c)2 +a2 +b2+c2 = (a+b)2 + (c+b)2+(c+a)2. - Tam giác Pascal đẳng thức (a +b)n
Bài toán 7 :
Tìm tổng hệ số đa thức có khai triễn (4a-3)4 3 Phân tích đa thức thành nhân tử :
(3)
Cần chọn tập có số hạng tử nhiều để rèn luyện kỹ nhận định việc nhóm số hạng
Bài tốn :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3
Q = a2c +a2b+ abc+ b2a +b2c+abc+c2a+c2b. - Phương pháp sử dụng đẳng thức đáng nhớ :
Bên cạnh việc chọn tập nâng cao theo hướng cần trọng việc chọn tập đẳng thức trình bày vận dụng nhiều
Bài tốn 9:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = (x+y)5 - x5-y5.
- Phương pháp tách - Thêm bớt hạng tử :
Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử giúp học sinh trình bày việc giải phương trình, bất phương trình tích dạng tam thức Hướng dẫn học sinh phân tích tam thức bậc hai “bằng phương pháp nhẩm nghiệm” việc cần làm Việc tách, phân tích tam thức bậc hai trình bày theo hướng sau : Tam thức bậc hai P = x2 +bx+c = x2 + (b1+b2)x + b1b2 (Như số b (hoặc -b) tách thành b1+b2 cho b1.b2 = c )
P = x2 + b1x + b2x + b1b2. = x(x+b1) + b2(x+b1) = (x+b1)(x+ b2)
Trường hợp a =/=1 thực đặt nhân tử chung a để dạng tam thức có a = Bài tốn 10 :
Phân tích đa thức thành nhân tử : a A = x2 + x + 1/4
b B = x2 + 7x + 12 c C = x2 + x - 12 Bài toán 11:
d P = x3 - 7x - 6 e Q = a3 + b3 +c3 -3abc
Các toán thêm bớt sau thường gặp : - Thêm bớt để tổng bình phương :
Bài tốn 12 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x4 + 4
Q = x4 + x2 + 1
(4)Q = a16 + a8b8 + b16
- Thêm bớt để đặt nhân tử chung a2 +a+ 1. Bài toán 13 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x8 + x7 + 1.
Q = x8 + x + 1. M = x10 + x5 + 1.
Nhận xét : Các đa thức dạng x3n+2+ x3m + 1 + phân tích cách thêm bớt để đặt nhân tử chung x2+x+1.
Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau : x3n+1+ x3m+2+1 = x3n+1+ x3m+2+x2-x2+x-x+1
= x( (x3)n - 1) + x2( (x3)m - 1) + x2 + x + 1. = xP(x)(x3 -1)+ x2Q(x)(x3-1) +x2 +x+1.
= xP(x)(x-1)(x2+x+1) + x2Q(x)(x-1)(x2+x+1) + x2 +x+1 = (x2 +x+1)(xP(x)(x-1)+x2Q(x)(x-1) +1)
Bài toán14 :
Cho P(x) = x1994 + x1993+ Chứng minh P(x) chia hết cho x2+x+1. Đề thi HSG cấp tỉnh năm 93-94
- Phương pháp đặt ẩn phụ : Bài tốn 15 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15.
Q = (x8+8x+7)( x8+8x+15) + 15 M = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24
Một số phương pháp phân tích khác phương pháp hệ số bất định, phương pháp xét giá trị riêng tính phức tạp phương pháp việc áp dụng phương pháp giải toán trường THCS khơng nhiều nên khơng trình bày Giáo viên, có kiện trình bày mức độ đơn giản
4 Chia đa thức :
Các tập phần chủ yếu áp dụng định nghĩa phép chia có dư định nghĩa hai đa thức
- Thực hành phép chia hai đa thức :
Chia đa thức sử dụng nhiều giải toán Giáo viên cần chon nhiều tập rèn luyện khả chia cho học sinh Sau phần học sinh phải thực phép chia hai đa thức chia hai số thơng thường
- Tìm phần dư phép chia phân thức : Bài toán 16 :
(5)
- Tìm đa thức f(x) phần dư phép chia f(x) cho đa thức khác Bài toán 17 :
Khi chia đa thức f(x) cho x-2 dư 5; cho x-3 dư chia cho (x-2)(x-3) thương x2 -1 có dư Xác định f(x).
- Tìm giá trị tham số để đa thức chia hết cho đa thức : Bài tốn18:
Tìm a (b ) để x4 -9x3+21x2+x+a chia hết cho x2-x-2. 5 Bài tập tổng hợp biến đổi biểu thức đại số :
Làm quen với số dạng toán, nâng cao kỹ thực phép toán đa thức, đặc biệt kỹ phân tích đa thức thành nhân tử mục tiêu phần
- Bài tập chứng minh đẳng thức : Bài toán 19 :
Chứng minh a3 +b3 +c3 = 3abc : a+b+c = a=b=c
Bài toán 20:
Cho x+y = Chứng minh : x3 + y3 = - 3xy. Bài toán21:
Chứng minh a+b+c+d = : a3 +b3 +c3 +d3 = 3(ac-bd)(b+d)
- Bài toán cực trị :
Các tập cực trị phần chủ yếu áp dụng kiến thức A2k (k N ). Bài toán 22:
Tìm giá trị nhỏ biểu thức : f(x,y) = x2 + 2y2 - 2xy -4y + 5
Bài toán 23 :
Cho A = x2 - 4xy + 5y2+10x-22y+30 Tìm x,y để A đạt giá trị nhỏ Bài toán 24 :
Cho biểu thức P = a3 +b3+c3+ a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) a Phân tích P thành nhân tử
(6)Bài toán 25 :
Cho M = x2+y2 + 2z2 + t2 Tìm giá trị nhỏ M biết : x2 - y2 + t2 = 21
và x2 + 3y2 + 4z2 =101 Bài toán 26 :
Cho x,y,t ba số thực thỏa mãn điều kiện : x + 2y - t =
2x + y + t =11
Tiìm giá trị nhỏ P = x2 + y2 + t2
(Đề thi HSG tỉnh vòng năm 94-95) II. Phân thức đại số :
1 Tập xác định phân thức đại số :
Khi chọn tập cho phần giáo viên cần ý chọn tập để tập xác định toàn trục số; tập rỗng
2 Rút gọn phân thức :
- Bài tập thực hành rút gọn phân thức (Giáo viên tự chọn tập ) - Các toán cực trị liên quan đến phân thức
Bài tốn 27 :
Tìm giá trị lớn hàm số : y =
x2 + x + 1
Bài tốn 28 :
Tìm giá trị lớn tỷ số số nguyên dương có ba chữ số tổng chữ số
Đề đề nghị tạp chí THPT số 25
Bài toán 29 :
Cho M = x2 + z2 + y2 + z2 2x2 -z2 2y2 -z2
Trong x,y,z biến khác thỏa : 1/x2 + 1/y2 = 2/z2.
Hỏi biểu thức M lấy giá trị nhỏ ? (Đề thi cấp tỉnh vòng - Năm 96-97) Cộng trừ phân thức :
Bài toán 30 :
Rút gọn biểu thức sau (với a,b,c đôi khác ):
(7)(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)
b A = a + b + c
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) c B= b+c + c+a + a+b (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)
Ngoài tập cơng trừ phân thức bình thường cần ý số tập cộng trừ phân thức đặc biệt thực tính biểu thức chứa phân thức với điều kiện biến
- Thực tính biểu thức chứa phân thức với quan hệ biến Bài toán 31 :
Cho xyz=1 Thực tính :
P = + + 1+ x + xy + y + yz 1+ z + xz
Đề thi HSG tỉnh năm 1998-1999
- Dạng cộng trừ phân thức thực việc nhóm hợp lý phân thức : Bài tốn 32 :
Thực tính :
P = + + + + 1- x 1+x + x2 1+ x4 1+ x8 - Dạng sai phân :
Bài tốn 33 :
Thực tính :
P = + + + + x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4) (x+4)(x+5) - Bài tập tách tử thức để toán đơn giản
Bài toán 34 :
Thực tính tổng sau :
(8)(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b) 4 Nhân chia phân thức.
- Bài tập thực hành nhân chia phân thức Bài toán 35 :
Cho n số tự nhiên, n >1 Tính theo n biểu thức A = ( 1- 1/2)(1-1/3)(1-1/4) (1-1/(n+1))
- Bài tập chứng minh đẳng thức phép cộng , trừ, nhân , chia phân thức Bài toán 36:
Chứng minh : a+b+c = abc 1/a+1/b+1/c = : 1/a2 + 1/b2 + 1/c2 = 2
- Bài tập áp dụng dãy tỷ số : Bài toán 37 :
Chứng minh a/b = c/d : ((a-b)/(c-d))4 = (a4 + b4 )(c4 +d4 )
Đề thi HSG Miền Bắc 1969-1970 Bài toán 38 :
Chứng minh a/b=c/d : a2 +b2 = a
b2 + d2 d III. Phương trình :
1 Phương trình tương đương - Biến đổi tương đương phương trình
Giáo viên chọn giải số phương trình để học sinh thấy rõ đâu phương trình tương đương đâu phương trình hệ
2 Phương trình bậc ẩn- Phương trình bậc chứa tham số - Giải biện luận
Bài toán 39:
Giải biện luận phương trình sau :
a2x = a(x+b) - b (x ẩn; a,b tham số ) Bài tốn 40 :
Giải phương trình sau :
x-b-c + x-c-a + x-b-a = a b c
3 Phương trình tích
- Phương trình dạng tam thức :
(9)
nhiều cho việc giải dạng phương trình khác cần chọn nhiều tập cho phần nhằm rèn luyện kỹ “giải phương trình bậc hai cách phân tích thành tích hai nhị thức bậc nhất”.
Bài toán 41 :
a x2 + 7x + 12 = 0 b x2 + x - 12 = 0 c 2x2 + 2x + 1/2 = 0
- Phương trình tích dạng thơng thường :
Khi cho tập phần cần ý: Các phương trình dạng f(x) = f(x) phải phân tích thành tích nhị thức bậc với hệ số hữu tỷ ( thường hệ số nguyên) tam thức bậc hai có nghiệm hữu tỷ
Bài tốn 42 :
Giải phương trình sau : a xy + = x + y
b x3 - x2 -4x + = 0 c
Phương trình chứa ẩn mẫu Bài tốn 43 :
Giải phương trình sau :
a (x + 2)/(x2 -1) - /(2x+2) = 1/2
b + + + + = 5/6
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4) (x+4)(x+5) Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
- Dạng | f(x) | = A ( A số ) Bài tốn 44 :
Giải phương trình sau : a | 2x -3 | =
b | x2 - 5x + 9| = 0 - Dạng | f(x) | = g(x) Bài toán 45 :
Giải phương trình sau : a | x-3| = x +1
b |2x -3| = x2 -x -1 - Dạng | f(x) | = | g(x) | Bài tốn 46 :
Giải phương trình sau : a | 3x-2| = | 2x+1|
(10)- Dạng a|f(x) | + b|g(x)| + c|h(x)| + d =
Bài toán 47 :
Giải phương trình sau : a 2|x+2| - |x| =
b 2x - 3|x-1| + (x-3)/|x-3| = - Dạng áp dụng | A| + |B| |A+B| Bài tốn 48 :
Giải phương trình sau : a |x-3| + |x-7| =
b |x-1| + |x-2| +|2x-3| +|4x-13| =
7 Giải phương trình phương pháp ẩn phụ :
Phương pháp ẩn phụ phương phương pháp hay dùng giải phương trình Ngồi ý nghĩa gọn gàn trình bày, với số tốn phương pháp ẩn phụ xem cứu cánh Ngoài dạng thơng thường (sau đặt ẩn phụ phương trình đưa dạng phương trình biết với ẩn số ) , số phương trình, sau đặt ẩn phụ phương trình với nhiều ẩn(thường hai ) Sau số toán thuộc dạng thứ hai
Bài toán 49:
Giải phương trình sau : a ( 2x2 - 3x + 1)(2x2 + 5x + 1) = 9x2 b 2x + 13x = 2x2 - 5x +3 2x2 + x + 3
Đề thi cấp tỉnh - Vòng năm 94-95
8 Giải tốn cách lập phương trình
( Giáo viên tự chọn số toán nâng cao cho loại tốn ) IV.Bất phương trình
1 Bất phương trình bậc
( Giáo viên tự chọn giải số tập )
2 Bảng tích dấu giải số bất phương trình bậc cao đơn giản Bài tốn 50:
Tìm x biết :
- Tích với b nhỏ (lớn hơn) b b < ( b > 0) - x nhỏ (lớn ) bình phương
- x nhỏ (lớn ) nghịch đảo
(11)
V. Chuyên đề bất đẳng thức - Một số phương pháp chứng minh Định nghĩa - Tính chất
Chọn giải số tập luyện tập định nghĩa tính chất Một số tính chất hay áp dụng tính bắt cầu; nhân hai vế BĐT với số âm cần trọng Chứng minh bất đẳng thức nhờ sử dụng bất đẳng thức A2 0.
Bài toán 51 :
Chứng minh bất đẳng thức sau : a (1/2)(a2 + b2 +c2 ) - (ab + ac+bc ) 0 b 3( x2 + y2 + z 2 ) (x+y+z)2
c 3y2 + x2 + 2xy + 2x+ 6y + 0 d a2 + b2 +c2 + d 2 +1 a+b+c+d
3 Bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacôpski
Do bậc hai chưa trình bày nên hai bất đẳng thức khơng trình bày dạng chuẩn mà trình bày dạng tương tự để học sinh làm quen Ở chương trình đại số hai bất đẳng thức trình bày lần với việc thực giải toán bất đẳng thức chứa thức
- Bất đẳng thức Côsi :
Bất đẳng thức trình bày dạng : a12 + a22 + an2 n|a1a2 an |
Bài toán 52 :
Chứng minh bất đẳng thức sau : a a2 + b2 + ab + a + b.
b a4 + b4 + 4ab
c (a2 + b2 )c + (b2 +c2)a + (c2 +a2 )b 6abc d a2 + b2 + c2
≤ 3/2 1+ a4 1+ b4 1+ c4
- Bất đẳng thức Bunhiacôpski :
Bất đẳng thức trình bày dạng :
(a12 + a22 + an2 )(b12 +b22 + +bn2) (a1b1 + a2b2 + +anbn)2 Bài toán 53 :
a Cho ba số a,b,c Chứng minh (a2 +b2 +c2 )( 1/a2 + 1/b2 +1/c2) 9 b Cho a + 4b = Chứng minh a2 + 4b2 0.2
c Chứng minh 38c bất đẳng thức Bunhiacơpski - Bài tốn cực trị dựa vào hai bất đẳng thức : Bài toán 54:
Cho f(x) = x6 + x2 + 2 x2
(12)Bài toán 55 :
Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = xy+zt : x2 + y2 < y2 + t2 < 8
4 Một vài bất đẳng thức “không thuộc dạng thông thường” - Phương pháp làm trội :
Bài tốn 56 : Cho bốn số x,y,z,t khơng âm Chứng minh :
3/4 < x + y + z + t < 5/2
x+ y + z y + z +t x + z+ t t+ x+ y - Cùng với quan hệ đặc biệt biến :
Bài toán 57 :
Cho ba số x1; x2; x3 không âm có tổng khơng q 0.5 Chứng minh : (1-x1)(1-x2)(1-x3) 0.5
Bài toán 58:
Cho ba số thực a,b,c thỏa : a+b+c abc Chứng minh : a2 + b2 + c2 abc
Vận dụng bất đẳng thức để giải phương trình
Một số phương trình thực giải cách sử dụng bất đẳng thức ( trường hợp xảy dấu “=”), vận dụng bất đẳng thức để giải toán nêu hai dạng phương trình giải cách
- Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối để giải phương trình
Để giải tập dạng này, kiến thức thức thường sử dụng : |a| ; | a | = | -a | ; | a | + | b | |a +b | ; | a | - | b | ≤ | a - b | Giáo viên cần chọn dạng tập có sử dụng kiến thức
Bài toán 59:
Giải phương trình sau : a | x2 +1| + |x2 -9| = 10.
b | x-1| + |x-7| = 2-x2 +4x
c 6x-x2 -2 = |x-1| + |x-2|+ | 2x-3| + |4x-13|
- Sử dụng bất đẳng thức khác để giải phương trình Bài tốn 60:
Giải phương trình sau : a x2 + y2 + z2 + t2 = x(y+z+t)
(13)
PHẦN II : SƠ LƯỢC LỜI GIẢI BÀI TẬP Bài tốn :
Có : a(b2 -1)(c2-1) = (ab2 - a)(c2-1) = ab2c2 - ab2-ac2+a = abcbc- ab2-ac2+a = (a+b+c)bc - ab2-ac2+a
= abc +b2c+bc2- ab2-ac2+a (1) Tương tự có :
b(a2 -1)(c2-1) =abc +a2c+ac2- ba2-bc2+b (2) c(b2 -1)(a2-1) = abc +b2a+ba2- cb2-ca2+c (3) Cộng (1) ,(2),(3) vế theo vế thay a+b+c = abc ta đpcm
(*) Trong phép nhân để (2) dựa vào kết (1) thay vai trò a b cho Tương tự để (3) chung ta cần thay vai trò a c cho
Bài toán 2:
- Với x = ta thấy VT(vế trái) = VP(vế phải) = 32
- Với x =/=1, nhân hai vế đẳng thức với (1-x) ta được: (Vì 1-x =/= 0) VT = (1-x)(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16)
= (1-x2) (1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16) = (1-x4) (1+x4)(1+x8)(1+x16) = (1-x8) (1+x8)(1+x16) = (1-x16)(1+x16) = 1-x32
VP = (1-x)(1+x+x2+ +x31) = 1-x32
Vậy VT=VP với giá trị x , suy đpcm
Bài toán 3:
P = x5 -x4-x3-x2-x-2 = x5-1-(x4+x3+x2+x+1)
= (x-1) (x4+x3+x2+x+1)- (x4+x3+x2+x+1) =(x4+x3+x2+x+1)(x-2)
Tại x =2 x- = nên P = Bài toán :
P = 234+1 = 417+1
= (4+1)(416-415+414- + 1)
= (4+1)(415(4-1)+413(4-1) + 4(4-1) + 1) = 3(415 + 413 + 411 + + 4+1)
(14)Bài toán :
P = (a+b-c)2 + (a-b+c)2 -2(b-c)2 (a+b-c)2= a2 + b2+c2 +2ab-2ac-2bc (a+b-c)2= a2 + b2+c2 -2ab+2ac-2bc 2(b-c)2 = 2b2 + 2c2 - 4bc
P = 2a2. Bài toán :
(a+b+c)2 + a2 + b2 + c2 = a2 + b2+c2 +2ab+2ac+2bc + a2 + b2+c2 = a2 + 2ab+ b2 + c2 + 2bc + b2 + a2+2ac+c2 = (a+b)2+(c+b)2 + (c+a)2 .
Bài toán :
- Cho học sinh khai triễn theo tam giác Pascal sau tính tổng hệ số (*) Có thể nhận xét tổng hệ số đa thức giá trị đa thức a =1 nên tổng hệ số (4-3)4 = 1
Bài toán :
Phân tích đa thức thành nhân tử : P = (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3
= x3 -y3 + 3xy2 - 3x2y + y3 -z3 + 3yz2 - 3y2z + z3 -x3 + 3zx2 - 3xz2
= 3( xy2 - y2z + yz2 -x2y + zx2 - xz2) = 3( -y2(x-z) -y(x2-z2) - xz(x-z)) = 3(x-z)(-y2 -xy-yz -xz)
= 3((x-z)( y(x-y)-z(x-y) ) = 3(x-z)(x-y)(y-z)
Q = a2c+a2b+abc+b2a+b2c+abc+c2a+c2b = a2c+a2b+abc+b2a+b2c+c2b + abc+c2a = a2(b+c) + ab(b+c) + bc(b+c)+ ca(b+c) = (b+c)(a2 + ab+bc+ca)
=(b+c)(a(a+b)+c(a+b)) = (b+c)(a+b)(a+c) Bài toán :
P = (x+y)5 - x5 - y5
= x5 + 5x4y+ 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5- x5- y5 = 5xy (x3 + 2x2y+2xy2 +y3) (1)
=5xy( (x+y)(x2-xy+y2)+ 2xy(x+y) ) =5xy( (x+y)(x2+xy+y2 )
(15)
x3 + 2x2y+2xy2 +y3 = (x+y)3 - x2y-xy2 = (x+y)3 -xy(x+y) = (x+y)( )
Bài tốn 10 :
Phân tích đa thức thành nhân tử : a x2+x+1/4 = x2 + 1/2x+1/2x +(1/2)(1/2)
=x(x+1/2) 1/2(x+1/2)
= (x + 1/2)(x+1/2) =(x+1/2)2 (*) Tất nhiên sử dụng HĐT tốt b x2 + 7x + 12 = x2 + 4x + 3x + 4.3
= x(x+4) + 3(x+4) = (x+4)(x+3)
c x2 + x -12 = x2 +4x - 3x + 4.(-3) = x(x+4) - 3(x+4) = (x+4)(x-3) Bài toán 11:
a x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6 = x (x2-1) - 6(x+1) = x(x-1)(x+1) - 6(x+1) = (x+1)(x2 - x -6)
= (x+1)(x2 - 3x+2x + 2.(-3)) = (x+1)(x(x+2) -3(x+2)) = (x+1)(x+2)(x-3)
b a3+b3+c3 -3abc = a3+b3+c3 -3abc +3a2b + 3ab2-3a2b - 3ab2 = (a+b)3 + c3 -3ab(a+b+c)
= (a+b+c)( (a+b)2 - (a+b)c + c2 ) ) - 3ab (a+b+c) = (a+b+c)( (a+b)2 - (a+b)c + c2-3ab)
= (a+b+c)( a2+b2+c2 -ab-ac-bc)
= 1/2 (a+b+c)(a2 -2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2) = 1/2(a+b+c)((a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2)
Bài tốn 12 :
Phân tích đa thức thành nhân tử : P = x4 + 4
= x4 - 4x2 + - 4x2 = (x2 -2)2 - (2x)2 = (x2-2x-2)(x2+2x -2) Q1 = x4 + x2 +1
= x4 +2x2 +1 -x2 = (x2 +1)2 -x2
(16)Q2 = a16 +a8b8+ b16
= (a8+b8)2 - a8b8
= (a8+b8-a4b4)(a8+b8+a4b4) = (a8+b8-a4b4) ((a4+b4)2 - a4b4 )
= (a8+b8-a4b4)(a4+b4 -a2b2)(a4+b4-a2b2)
=(a8+b8-a4b4) (a4+b4 -a2b2)(a2+b2+ab)(a2+b2-ab) Bài toán 13 :
Phân tích đa thức thành nhân tử : a P = x8+x7+1
= x8+x7+1+x6-x6+ x5-x5 +x4-x4 +x3-x3 +x2-x2 +x-x
= x6(x2+x+1) -x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) -x(x2+x+1)+ (x2+x+1) = (x2+x+1)(x6-x4+x3-x+1)
b Q = x8+x+1
= x8 -x2+x2+x+1 =x2(x6-1)+ x2+x+1
= x2(x3-1)(x3+1) +x2+x+1
= x2(x-1) (x2+x+1)(x3+1) +x2+x+1 =(x2+x+1)( (x3+1)x2(x-1) +1)
(*) Tất nhiên câu a giải theo cách câu b ngược lại c Chọn hai cách để giải
Bài toán 14 :
Chứng minh x1994+x1993+1 chia hết cho x2+x+1.
- Bài toán tổng qt trình bày thấy 1994 = 3n+2 1993 = 3.m+1 suy điều cần chứng minh
- Có thể trình bày lại :
P(x)= x1994+x1993+1 = x1994 - x2 + x1993-x +x2+x+1 = x2(x1992-1) + x(x1992 -1)+ x2+x+1 = (x1992-1)(x2-x) + x2+x+1
= (x3.664-1)(x2-x)+ x2+x+1
= (x3-1)(x663+ +1)(x2-x)+ x2+x+1 = (x2+x+1)( (x663+ +1)(x2-x)(x-1) +1) Vậy P(x) chia hết cho x2+x+1.
Bài tốn 15 :
Phân tích đa thức thành nhân tử : a P = (x2+x)2 - 2(x2+x) -15
Đặt x2+x = y ta : P = y2 -2y -15
(17)= (y-1)2 - 42
= (y-5)(y+3)
Thay y = x2+ x ta P = (x2 + x -5)(x2+x+3) b Q = (x2+8x+7)(x2+8x+15) + 15
Đặt y = x2 + 8x+11 ta : Q = ( y +4)(y-4) + 15
= y2 -16 + 15 = (y-1)(y+1)
Thay y= x2 + 8x+11ta Q = (x2 + 8x+10)( x2 + 8x+12)
(*) Âøn phụ y đặt trung bình cộng (x2+8x+7) (x2+8x+15) để áp dụng đẳng thức a2- b2 sau này.
c M = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24 = (x2 +7x +10)(x2+7x +12) -24 Đặt y = (x2 +7x +11) ta :
M = (y-1)(y+1) -24 = y2 -25
= (y-5)(y+5)
Thay y =(x2 +7x +11) ta : M = (x2 +7x +6) (x2 +7x +15).
(*) Định hướng việc nhân nhị thức điều cần lưu ý học sinh Bài tốn 16 :
Tìm dư thức phép chia 1+x+x2+ +x1999 cho 1-x2
Đa thức chia 1-x2 (bậc hai) nên dư thức có dạng ax+b (bậc nhất) ta có thể viết : 1+x+x2+ x1999 = q(x)(1-x2) + ax+b
= q(x) (1-x)(1+x) + ax+b
Lấy x = ta + + 12 + +11999 = a+b hay a+b = 2000. Lấy x = -1 ta - + 12 + -11999 = a+b hay -a+b = 0. Tính a=b=1000 (tìm hai số biết tổng ,hiệu ) Vậy dư thức 1000x+ 1000
Bài toán 17 :
f(x) = q(x)(x-2) + (1) f(x) = h(x)(x-3) + (2) f(x) = (x2 -1)(x-2)(x-3) + r(x) (3)
r(x) có dạng ax +b (bậc ) đa thức chia (x2 -1) bậc hai hay Lấy x = theo (1) (3) ta : 2a + b = (4)
Lấy x = theo (2) (3) ta : 3a + b = (5) So sánh (5) với (4) dễ suy a=2, b =
Thay a,b vào (3) để suy f(x) Bài toán 18:
(18)x4 -9x3 +21x2+x +a = (x2 -x-2)(x2-8x+15) + a+30.
Đểx4 -9x3 +21x2+x +a chia hết cho (x2 -x-2) dư thức lúc a = -30
Bài tốn 19 :
Có : a3 +b3+c3 =3abc => a3 +b3+c3 -3abc = 0
=> (a+b+c)((a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2) = (theo 11b) => Hoặc : a+b+c =
Hoặc : (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 = 0
Tổng bình phương số nên số Suy a=b=c Bài toán 20 :
Từ x+y =1 Lập phương hai vế ta : x3 + y3 + 3xy(x+y) = 1 Lại thay x+ y = ta x3 +y3 + 3xy = hay x3 +y3 = 1-3xy ( đpcm). Bài toán 21:
Từ a+b+c+d = => a+c = -(b+d) Lập phương hai vế ta a3 + b3 + 3ac(a+c) = -b3-d3-3bd(b+d)
=> a3 +b3+c3+d3 = - 3ac(a+c) -3bd(b+d) Thay a+c = -(b+d) :
a3 +b3+c3+d3 = 3ac(b+d) -3bd(b+d)
=> a3 +b3+c3+d3 = 3(b+d)(ac-bd) (đpcm ) Bài toán 22:
Tìm giá trị nhỏ biểu thức : f(x,y) = x2+2y2 -2xy -4y +5
= x2 +y2 -2xy + y2-4y+4 +1 = (x+y)2 + (y-2)2 + 1
Do (x+y)2 (y-2)2 nên f(x) 1. Dấu ‘= ‘ xảy lúc y = 2, x = -y =-2 Bài toán 23:
A = x2-4xy +5y2 +10x-22y +30
= x2 - 2.x.2y +(2y)2 + y2+ 2.x.5 -2.2y.5 -2y + 25+1+4 = x2 + (2y)2 + 52 -2.x.2y + 2.x.5 - 2.2y.5 + y2 - 2y +1 + 4 = (x - 2y + 5)2 +(y-1)2 + 4.
A đạt giá trị nhỏ lúc y - = x -2y + = Hay y =1; x = 2y-5 = -3 A đạt giá trị nhỏ
Bài toán 24:
a.Phân tích P thành nhân tử :
(19)= a2(a+b+c) + b2(a+b+c) + c2(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2)
b Với a+b+c =1 P = a2+b2+c2 ,nên P đạt giá trị nhỏ (lúc a=b=c) Bài tốn 25:
Có : x2 - y2 + t2 = 21 (1) x2 + 3y2 + 4z2 =101 (2) Cộng (1) (2) vế theo vế ta
2x2+2y2 + 4z2 + t2 = 122 hay 2(x2+y2 + 2z2 + t2) - t2 =122 2M = 122 + t2 2M nhỏ 122 M nhỏ 61. Bài tốn 26:
Có : x+ 2y-t = (1)
2x + y+t = 11 (2)
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta : x+ y =5 (3) Lấy (1) trừ (2) : y-t = -1 => y = t-1
Lấy (2) trừ (3) x + t = => x = 6-t
P = (t-1)2 + (6-t)2 + t2 = 3t2 -14t + 37 Đưa tổng bình phương chưa t để tìm giá trị nhỏ
Bài tốn 27:
Tìm giá trị lớn hàm số : y = x2 + x + 1 = =
x2 + 2.(1/2)x + 1/4 + 3/4 (x + 1/2)2 + 3/4
y đạt giá trị lớn lúc (x + 1/2)2 + 3/4 nhỏ Lúc (x + 1/2)2 + 3/4 3/4 Hay y đạt giá trị lớn 4/3
Bài tốn 28:
Gọi số có ba chữ số xyz với điều kiện < x,y,z < Ta phải tìm x,y,z để A = xyz lớn
x+ y + z
A = 100x + 10y + z = x+y+z + 99x + 9y = + 99x + 9y x+y+z x+y+z x+y+z
A < + 99x + 9y <z < x+y
Có 99x + 9y = + 90x < + 90 (vì <z < )
x+y x+y
Vậy A < + + 90 = 100
Giá trị lớn A 100 (lúc x=y=0; x = 1,2 9) Bài toán 29 :
(20)M = (x2 + z2 )(2y2 -z2 ) + (y2 + x2 )(2x2 -z2 )
(2x2 - z2 )(2y2 -z2 )
= 4x2y2 + 2z2(x2 + y2 ) - z2(x2 +y2 +2z2 ) 4x2y2 -2x2z2 -2y2z2 + z4 Thay (1) vào ta :
M= 2z2(x2 + y2 ) + 2z2(x2 + y2 ) - z2(x2 + y2 ) - 2z4 z4
= 3(x2+y2 ) - 2 z2
Lại thay (1) vào ta :
M = 3(x2 +y2 )(x2 + y2 ) - = ( x2 /y2 + y2/x2 + 1) - 2
2x2 y2 2
Có x2 /y2 + y2/x2 nên M đạt giá trị nhỏ -2 = 4. Lúc x/y = y/x => x = + y
Bài toán 30 :
Rút gọn biểu thức sau (với a,b,c đôi khác ):
a A = + +
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) MTC = (a-b)(a-c)(b-c)
A = b-c + c-a + a-b = (a-b)(a-c)(b-c)
b A = a + b + c
(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) MTC = (a-b)(a-c)(b-c)
A = a(b-c) - b(a-c) + c(a-b) (a-b)(a-c)(b-c)
= ab -ac -ab +bc + ac -bc = (a-b)(a-c)(b-c)
c B= b+c + c+a + a+b (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b) MTC = (a-b)(a-c)(b-c)
B = (b+c)( b-c) - (c+a)(a-c) + (a+b)(a-b) (a-b)(a-c)(b-c)
= b2 -c2 -a2 +c2 +a2 -b2 = 0 (a-b)(a-c)(b-c)
(21)Cho xyz=1 Thực tính :
P = + + 1+ x + xy + y + yz 1+ z + xz
Có = x = x + y + yz x + xy + xyz 1+x+xy
= xy = xy 1+ z + xz xy + xyz + x2yz2 +x+ xy P = 1+x+xy =
1+x+xy Bài toán 32 :
Thực tính :
P = + + + + 1- x 1+x + x2 1+ x4 1+ x8
P = + + + 1-x2 + x2 1+ x4 1+ x8 = + -x4 1+ x4 1+ x8 = 8 +
1- x8 1+ x8 = 16
1- x16 Bài toán 33 :
Thực tính :
P = + + + + x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4) (x+4)(x+5)
P = - + + - x x+1 x+4 x +5 = - =
x x+5 x(x+5)
Bài toán 34 :
Thực tính tổng sau :
a S = a + x + a+y + a+z (x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y) = a + a + a
(22)(x-y)(x-z) (y-z)(y-x) (z-x)(z-y) Aïp dụng toán 30 a,b tính S =0
b P = 4a2 -1 + 4b2 -1 + 4c2 -1 (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b) Giải tương tự
Bài toán 35:
Cho n số tự nhiên, n >1 Tính theo n biểu thức A = ( 1- 1/2)(1-1/3)(1-1/4) (1-1/(n+1))
= (1/2 ) (2/3) (3/4) ( n/(n+1) ) = 1/(n+1) Bài toán 36:
1/a + 1/b +1/c = (1/a + 1/b 1/c)2 = 4
1/a2 + 1/b2 +1/c2 + 2(1/ab + 1/ac+1/bc ) = 4 1/a2 + 1/b2 +1/c2 = - 2(c/abc + a/abc+a/abc)
1/a2 + 1/b2 +1/c2 = - = 2 Bài toán 37:
Aïp dụng dãy tỷ số có : a/c = b/d = (a-b)/(c-d)
=> a4/c4 = b4/d4 = (a-b)4/(c-d)4 (1)
Lại áp dụng tính chất dãy tỷ số có a4/c4 = b4/d4 = (a4 + b4 )/(c4 + d4) (2) Từ (1) (2) :
(a-b)4/(c-d)4 = (a4 + b4 )/(c4 + d4) đpcm. Bài toán 38:
a/b = b/d = k => k2 = a2/b2 = b2/d2 = (a2 + b2)/ (b2 +d2) Lại có k2 = a/b b/d =a/d nên => đpcm
Bài toán 39 :
a2x = a(x+b) - b a2x-ax -ab -b = 0 x(a(a-1)) -b(a-1) =
a =/=0 a =/=1 phương trình có nghiệm x = b/a a = phương trình có vơ số nghiệm
(23)Bài toán 40:
ĐK : a,b,c =/=0 ;
x( 1/a + 1/b +1/c) = + b/a+c/a+c/b+a/b+b/c+a/c
x(1/a + 1/b +1/c) = a/a + b/a+c/a+b/b+c/b+a/b+c/c+b/c+a/c x(1/a + a/b +1/c) = (a+b+c)( 1/a+1/b+1/c)
Nếu ( 1/a+1/b+1/c) = : phương trình có vơ số nghiệm
( 1/a+1/b+1/c) =/= phương trình có nghiệm x = a+b+c Bài toán 41 :
Thực giải phương trình phương pháp phân tích tam thức bậc hai thành tích hai nhị thức bậc để giải
Bài toán 42 :
a xy +1-x-y = y(x-1) -(x-1) = (x-1)(y-1) =
Kết luận : x = , y tùy ý y = , x tùy ý b x3 -x2 -4x +4 = 0
x2(x-1) -4(x-1) = 0 (x-1)(x2-4) = 0 (x-1)(x-2)(x+2) =
Phương trình có nghiệm x =1; x=2; x=-2
Bài toán 43 :
a (x + 2)/(x2 -1) - /(2x+2) = 1/2 ĐK : x = +
2(x+2) - (x-1) = x2 - 1 x2 -x - = 0
(x - 3)(x+2) =
Đối chiếu với ĐK , phương trình có nghiệm x = 3; x = -2
b + + + + = 5/6
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4) (x+4)(x+5) ĐK : x =/= 0,-1,-2,-3,-4,-5,
1/x -1/(x+1) + 1/(x+1) -1/(x+2) + 1/(x+4) - 1/(x+5) = 5/6 1/x - 1/(x+5) = 5/6
5/(x(x+5)) = 5/6 x2 + 5x -6 = 0
(24)
Đối chiếu với ĐK , phương trình có nghiệm x = 1; x = -6 Bài toán 44 :
|f(x)| = A (A số )
A < : phương trình vơ nghiệm A > : f(x) = A
f(x) = - A
Aïp dụng giải tập nêu Bài toán 45 :
|f(x)| = g(x) C1 : g(x) > f(x) = + g(x) C2 : g(x) >0
f(x)2 = g(x)2 C3: f(x) > f(x) = g(x) Hoặc f(x) < f(x) = -g(x)
Aïp dụng giải tập nêu Bài toán 46 :
|f(x) | = |g(x)| f(x) = + g(x)
Aïp dụng giải tập nêu Bài toán 47 :
- Xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối
- Giải tìm nghiệm , đối chiếu với khoảng tương ứng biến để chọn nghiệm
Aïp dụng giải tập nêu Bài toán 48 :
a | x-3| + |x-7| = |x-3| + |7-x| =
Có |x-3| + |7-x| > |x-3 + 7-x| =
Dấu “=“ xảy (x-3) (7-x) dấu Xét dấu âm hay dấu dương để kết luận nghiệm
(25)
(*) Các phương trình loại trình bày kỹ phần áp dụng BĐT để giải phương trình Lúc BĐT dạng tích trình bày nên việc tìm nghiệm dễ dàng Ởí tập đơn giản nêu tập khởi đầu Bài toán 49:
Giải phương trình sau : a ( 2x2 - 3x + 1)(2x2 + 5x + 1) = 9x2 Đặt y = 2x2 + x+1 phương trình trở thành : ( y -4x )(y +4x ) = 9x2
y2 - 16x2 = 9x2 y2 - 25 x2 = 0
( y-5x ) (y + 5x ) = y = 5x
y = -5x
Lần lược thay y vào (1) giải tìm x
b 2x + 13x = 2x2 - 5x +3 2x2 + x + 3
Đặt A = 2x2 - 2x + Giải tương tự câu a
Bài tốn 50 :
Lập bất phương trình tương ứng giải bảng xét dấu : Ví dụ :
- x nhỏ bình phương x < x2 <=> x2-x < 0
x(x-1) <
Lập bảng xét dấu
x - + + x - - - + x(x-1) + - +
Kết luận : Vậy giá trị thỏa < x <
Bài toán 51:
Chứng minh bất đẳng thức sau : a (1/2)(a2 +b2 +c2 ) + (ab+ac+bc) > 0
a2 + b2 +c2 +2ab +2ac +2bc > 0 (a+b+c)2 > 0
(26)b 3( x2 + y2 + z 2 ) (x+y+z)2
3x2 + 3y2 + 3z 2 > x2 + y2 + z 2 + 2xy +2xz+2yz 2x2 + 2y2 + 2z 2 -2xy-2xz-2yz > 0
(x -y)2 + (x-z)2+ (y-z)2 > 0
BĐT cuối , suy bất đẳng thức cần chứng minh c 3y2 + x2 +2xy +2x+6y +3 > 0
(x + y + 1)2 + 2y2 + 4y + + > 0 (x + y + 1)2 + 2(y+1)2 +1 > 0 BĐT cuối nên => đpcm d a2 + b2 +c2 + d 2 +1 a+b+c+d
a2 - a + 1/4 + b2 -b +1/4 +c2 -c +1/4 + d 2 -d+1/4 0 (a - 1/2)2 +(b - 1/2)2 +(c - 1/2)2 +(d - 1/2)2 0
BĐT cuối , suy bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 52 :
Chứng minh bất đẳng thức sau : a a2 + b2 + ab + a + b.
Theo BĐT Cơsi có : a2 + 2a b2 + 2b a2 +b2 2ab
Cộng bất đẳng thức chiều chia hai vế cho ta BĐT cần chứng minh
b a4 + b4 + 4ab
Theo BĐT Cơsi có : a4 + 2a2
b4 + 2b2 Cộng hai BĐT ta :
a4 + b4 +2 2(a2 + b2 ) Lại theo Cơsi có a2 +b2 2ab nên : a4 + b4 +2 2.2ab Hay : a4 + b4 +2 4ab
c (a2 + b2 )c + (b2 +c2)a + (c2 +a2 )b 6abc Có : (a2 + b2 )c 2abc
Tương tự (b2 + c2 )c 2abc (c2 + a2 )c 2abc
Cộng BĐT ta BĐT cần chứng minh d a2 + b2 + c2 < 3/2 1+ a4 1+ b4 1+ c4
(27)1+ b4
c2 <1/2 1+ c4
Cộng BĐT ta BĐT cần chứng minh
Bài toán 52 :
a Cho ba số a,b,c Chứng minh (a2 +b2 +c2 )( 1/a2 + 1/b2 +1/c2) 9 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :
(a2 +b2 +c2 )( 1/a2 + 1/b2 +1/c2) ( a 1/a + b 1/b + c 1/c )2 32 = 9
(*) Tất nhiên hồn tồn chứng minh cách khai triễn b Cho a + 4b = Chứng minh a2 + 4b2 0.2
Theo Bunhiacơpski ta có :
(a2 + (2b)2)(12 + 22 ) (a.1 + 2b.2 )2 (a + 4b )2 = 12 Hay a2 + 4b2 1/5 = 0.2
c Chứng minh 50c bất đẳng thức Bunhiacơpski Theo Bunhiacơpski ta có :
(12 +12 +12 )(x2 + y2 + z2 ) (1.x+1.y+1.z)2 Hay : 3(x2 + y2 + z2 ) (x+y+z)2
Bài toán 54 :
f(x) = x4 + + 2/x2 = x4 + + 1/x2 + 1/x2
Aïp dụng BĐT Côsi cho ba số x4 ; 1/x2 ; 1/x2 có : x4 + 1/x2 + 1/x2 > 3x2.1/x.1/x = 3
Dấu “=“ xảy x2 = 1/x x = +1 f(x) > => giá trị nhỏ f(x)
(*) Chỉ kết luận tồn x để dấu “=“ xảy Bài toán 55 :
p BĐT Bunhiacơpski có (xy +zt)2 < (x2 +y2)(y2+z2) nên (xy +zt)2 < 8.2
Hay : -4 < xy+zt < Dấu “ =“ xảy x/y = z/t (*) Nếu giải theo Côsi : 2xy < x2 +y2 < => xy < 1 2zt < z2 +t2 < => zt < 4 => xy +zt <
(28)Bài toán 56:
3/4 < x + y + z + t < 5/2
x+ y + z y + z +t x + z+ t t+ x+ y Với x,y,z,t khơng âm ta có :
x > x
x+ y + z x+ y + z + t y > y
y + z+t x+ y + z + t z > z
x+ z +t x+ y + z + t t > t
x+ y + t x+ y + z + t
x + y + z + t > x+y+z+t = (1) x+ y + z y + z +t x + z+ t t+ x+ y x+y+z+t
Ta lại có :
x < x x+ y + z x + z y < y y + z+t y + t z < z x+ z +t x + z t < t x+ y + t y + t Cộng BĐT vế theo vế ta :
x + y + z + t < x+z + y + t =2(2) x+ y + z y + z +t x + z+ t t+ x+ y x+z y+t
Từ (1) (2) suy đpcm Bài toán 57 :
(1-x1)(1-x2)(1-x3) = (1-x1-x2+x1x2)(1-x3)
=1-x1-x2+x1x2 - x3+x1x3+x2x3 -x1x2x3
= - (x1 + x2 + x3) +x1x2(1 - x3) + x2x3+x1x3 1-x3 > (Do x3 < x1+x2+x3 < 0.5 )
(1-x1)(1-x2)(1-x3) > 1-(x1 + x2 + x3)
Do (x1 + x2 + x3) < 0.5 nên (1-x1)(1-x2)(1-x3) > 0.5 Bài toán 58 :
- Nếu ba số giá trị tuyệt đối lớn thì: a2 + b2 + c2 a+b+c ( a2 a; b2 b c2 c)
nên a2 + b2 + c2 abc ( theo gt a+b+c abc)
(29)a2 +b2+c2 a2 +b2 2|ab| |abc| abc.
Vậy a2 + b2 + c2 abc Bài toán 59:
Giải phương trình sau : a | x2 + 1|+|x2 - 9| =10
| x2 + 1|+|-x2 + 9| =10
| x2 + 1|+|x2 - 9| | x2 + -x2 + 9| =10
Dấu “ =“ xảy x2 + vàx2 - dấu Do x2 + > nên -x2 + => -3 < x <
Vậy phương trình có vơ số nghiệm thuộc đoạn [-3,3] b |x-1|+ |x-7| = 2-x2 +4x
|x-1|+|-x+7| = 6- (x2 -4x + 4) Có |x-1|+|-x+7|
6- (x2 -4x + 4) = - (x -2)2 < 6
Dấu “=“ xảy : x = (x-1)(-x+7) (1) Vậy phương trình có nghiệm x = ( < < ) (*) Có thể kết luận x = nghiệm x =2 thỏa (1)
c 6x -x2-2 = |x-1|+|x-2|+|2x+3|+|4x-13|
- (x2 - 6x + 9) = |-x+1|+|-x+2|+|-2x+3|+|4x-13| Có - (x2 - 6x + 9) < 7
|-x+1|+|-x+2|+|-2x+3|+|4x-13| > |-x+1+-x+2+-2x+3+4x-13| =
Dấu “=“ xảy (x2 - 6x + 9) = -x+1 ,-x+2, -2x+3,4x-13 dấu (x2 - 6x + 9) = => x = 3và thấy x = làm cho -x+1 ,-x+2, -2x+3,4x-13 dấu âm nên x = nghiệm
Bài toán 60 :
a x2 + y2 + z2 + t2 = x(y+z+t)
<=> 4x2 + 4y2 + 4z2 + 4t2 -4 xy-4xz+4xt = 0
<=> x2 + 4y2 - 4xy + x2 +4z2 -4xz + x2 +4t2-4xt + x2 = 0 <=> (x-2y)2 +(x-2z)2 +(x-2t)2 + x2 = 0
Có :(x-2y)2 +(x-2z)2 +(x-2t)2 + x2 Dấu “=“ xảy x = 0, y = x/2=0; z= x/2 =0; t=x/2=0
Vậy phương trình có nghiệm x=y=z=t=0 b (x2 +1)(y2+4)(z2+9) = 48xyz
Với x,y,z khơng âm ta có : Có: x2 + 2x > 0
(30)
(x2 +1)(y2+4)(z2+9) 48xyz Dấu “=“ xảy lúc x = 1; y = 2; z =