Tính toán điều kiện để có sự gia tăng phonon âm (sóng âm) trong bán dẫn khi có mặt trường laser bằng phương pháp phương trình động lượng tử

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: TÍNH TỐN ĐIỀU KIỆN ĐỂ CĨ SỰ GIA TĂNG PHONON ÂM (SÓNG ÂM) TRONG BÁN DẪN KHI CÓ MẶT TRƯỜNG LASER BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ Người thực : NGUYỄN THỊ THUỲ VÂN Lớp : 11CVL Khoá : 2011 – 2015 Ngành : CỬ NHÂN VẬT LÝ Người hướng dẫn : T.S NGUYỄN VĂN HIẾU Đà Nẵng, tháng năm 2015 LỜI CẢM ƠN Trong trình làm đề tài, em xin chân thành cảm ơn dẫn nhiệt tình thầy giáo TS - Nguyễn Văn Hiếu giúp em hồn thành đề tài khố luận Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến tất thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng tận tình dạy dỗ em q trình học mơn đại cương chuyên ngành Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, động viên gia đình, bạn bè giúp đỡ em trình làm đề tài học tập Em cố gắng để hồn thành đề tài Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên q trình làm đề tài khơng tránh thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy tồn thể bạn để đề tài em thêm hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực Nguyễn Thị Thùy Vân Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH VẼ A - MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu .4 Mục đích nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu .4 Cấu trúc nội dung đề tài B - NỘI DUNG CHƯƠNG I: TỔNG QUAN Cấu trúc bán dẫn .6 1.1 Cấu trúc bán dẫn có dạng tinh thể 1.2 Bán dẫn khơng có cấu trúc dạng tinh thể 1.2.1 Bán dẫn vơ định hình lỏng .6 1.2.2 Bán dẫn dạng thủy tinh So sánh bán dẫn với kim loại, điện môi Phân loại chất bán dẫn 3.1 Bán dẫn đơn chất 3.2 Bán dẫn tinh khiết: 3.3 Bán dẫn pha tạp Hàm sóng electron bán dẫn Năng lượng electron bán dẫn, mật độ trạng thái .10 5.1 Năng lượng electron bán dẫn 10 5.2 Mật độ trạng thái 11 Một số hiệu ứng cổ điển bán dẫn .11 6.1 Các hiệu ứng nhiệt 11 6.2 Hiệu ứng Hall 13 GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CHO PHONON TRONG BÁN DẪN KHỐI CÓ MẶT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ NGOÀI 15 Toán tử Hamiltonian hệ electron-phonon bán dẫn có sóng điện từ ngồi 15 Thiết lập phương trình cho 𝑁𝑞⃗ (𝑡 ) = 〈𝑏𝑞+⃗ 𝑏𝑞⃗ 〉𝑡 có trường mạnh 15 Chương III: TÍNH TỐN HỆ SỐ VÀ ĐIỀU KIỆN ĐỂ CÓ SỰ GIA TĂNG PHONON ÂM TRONG BÁN DẪN KHI CĨ TRƯỜNG SĨNG ĐIỆN TỪ NGỒI .30 Tốc độ thay đổi phonon có trường sóng điện từ ngồi 30 Biểu thức giải tích 𝛾𝑞⃗ 34 2.1 Trường hợp khí electron suy biến 34 2.2 Trường hợp khí electron khơng suy biến 37 C- KẾT LUẬN 41 D- TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1: Vật liệu vơ định hình Hình 2: Vùng lượng điện môi Hình 3: Vùng lượng kim loại Hình 4: Vùng lượng bán dẫn Hình 5: Cấu trúc vùng lượng bán dẫn tinh khiết Hình 6: Vùng lượng bán dẫn loại n Hình 7: Vùng lượng bán dẫn loại p Hình 8: Năng lượng electron bán dẫn 10 Hình 9: Sơ đồ thực nghiệm hiệu ứng Hall 13 GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý A - MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày cơng nghệ bán dẫn khơng cịn xa lạ sống chúng ta, chất bán dẫn ứng dụng rộng rãi ngành công nghiệp sản xuất, xây dựng, dịch vụ, v.v… Người ta bắt đầu tìm hiểu bán dẫn từ nghiên cứu lý thuyết chất rắn đề tài bán dẫn hấp dẫn nhà khoa học Trong số tính chất vật lý bán dẫn, hiệu ứng âm - điện tử năm gần nhiều người quan tâm hơn, từ xuất nguồn xạ cao tần Hiệu ứng âm - điện tử hiệu ứng liên quan đến tượng gây tương tác điện tử dẫn với sóng âm (phonon âm) Hiệu ứng khác với tượng động khác (chẳng hạn độ dẫn điện, độ dẫn nhiệt,…) mà tương tác điện tử - phonon lấy trung bình theo vùng rộng vector sóng phonon Nghiên cứu hiệu ứng âm điện tử nhiều trường hợp cho nhiều thông tin phổ điện tử chế tán xạ điện tử so với nghiên cứu hiệu ứng động khác Một hiệu ứng quan trọng hiệu ứng âm - điện tử hiệu ứng gia tăng sóng âm với điều kiện gia tăng sóng âm (phonon âm) trường sóng điện từ (bức xạ laser) bán dẫn Đề tài giải tốn vật lý phương trình động lượng tử ví dụ cho việc áp dụng lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Hệ số gia tăng phonon âm (sóng âm) bán dẫn có mặt trường Laser - Phạm vi nghiên cứu: Các đặc điểm cấu trúc, phổ lượng, mật độ trạng thái bán dẫn, gia tăng phonon âm bán dẫn Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu cách thiết lập phương trình động lượng tử cho phonon bán dẫn, hệ số gia tăng phonon âm Từ xây dựng tài liệu tổng quan điều kiện để có gia tăng phonon âm bán dẫn có mặt trường laser Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phương trình động lượng tử dựa lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt Cấu trúc nội dung đề tài A - Mở đầu B - Nội dung Chương 1: Tổng quan bán dẫn GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý Chương 2: Phương trình động lượng tử cho phonon bán dẫn khối có mặt trường điện từ mạnh Chương 3: Tính tốn hệ số điều kiện để có gia tăng phonon âm bán dẫn có trường sóng điện từ ngồi C - Kết luận D - Tài liệu tham khảo GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý B - NỘI DUNG CHƯƠNG I: TỔNG QUAN Cấu trúc bán dẫn 1.1 Cấu trúc bán dẫn có dạng tinh thể Cấu trúc tinh thể cấu trúc có tính trật tự xa, có nghĩa tính chất xếp tuần hồn có mặt độ dài lớn so với số mạng tinh thể Tinh thể cấu tạo từ nguyên tử theo cách khác Dù cấu tạo đơn giản hay phức tạp, việc cấu tạo tinh thể chia làm cách ứng với loại liên kết: - Liên kết ion: nhiều tinh thể xem cấu tạo nên từ ion mang điện tích dương điện tích âm Các electron trạng thái s nguyên tử kim loại chuyển sang cho nguyên tử Halogen tạo nên liên kết mạnh; - Liên kết cộng hoá trị (CHT): tinh thể cấu tạo từ nguyên tử trung hòa đám mây electron bao quanh chúng xen phủ lên tạo thành “cầu” điện tử hay liên kết CHT nguyên tử lân cận; - Liên kết Van Der Walls: số tinh thể khí (tinh thể agon) xem cấu tạo từ nguyên tử trung hòa bị biến dạng đôi chút lực liên kết tinh thể gây ra; - Liên kết kim loại: tinh thể kim loại xem cấu tạo từ ion dương có kích thước khơng lớn nhúng “biển” tích điện âm electron dẫn 1.2 Bán dẫn khơng có cấu trúc dạng tinh thể 1.2.1 Bán dẫn vơ định hình lỏng: Các hợp kim bán dẫn thường hợp kim nguyên tố nhóm IV, V, VI Trong điều kiện chế tạo đặc biệt, có tốc độ nguội cao thu hợp kim với cấu trúc vơ định hình Chúng giống H ÌNH 1: V ẬT LIỆU VƠ ĐỊNH HÌNH bán dẫn riêng có độ linh động hạt dẫn thấp Cấu trúc vơ định hình khơng có trật tự tuần hồn, khơng có phản xạ Bragg Cấu trúc vơ định hình có nghĩa bất trật tự, mặt thực chất, mang tính trật tự, phạm vi hẹp, gọi trật tự gần Cấu trúc vơ định hình (trật tự gần) hình thành từ năm loại mạng chính, tỉ lệ nguyên tử chiếm 65% thể tích, cịn lại 35% lỗ trống, số lân cận gần 5% GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý Các bán dẫn vơ định hình nghiên cứu nhiều loại cấu trúc bốn mặt Si, Ge nhóm thuỷ tinh Chalcogen sulfur, selenium, tellurium 1.2.2 Bán dẫn dạng thủy tinh: cấu trúc lưới tình cờ, vơ trật tự So sánh bán dẫn với kim loại, điện môi Coi chất rắn gồm N ô nguyên tử, ô nguyên tử có S nguyên tử, nguyên tử có Z điện tử Khi đó, tổng số điện tử chất rắn là: N.S.Z điện tử Theo nguyên lý Pauli, trạng thái lượng tử khơng có q điện tử với spin trái dấu Ở 0K, điện tử chất rắn có xu hướng lấp đầy trạng thái lượng kể từ mức lượng thấp nhất, nên điện tử chất rắn mức lượng kể từ mức lượng thấp Do đó, theo quan điểm lý thuyết vùng lượng, xảy trường hợp: Trường hợp 1: Điện môi Trường hợp 2: Kim loại Trường hợp 3: Bán dẫn Vùng phép Vùng phép Vùng phép Vùng cấm Vùng cấm Vùng phép Vùng cấm 𝜀0 Vùng phép Vùng cấm Vùng cấm Vùng cấm Vùng phép Vùng phép Vùng phép Vùng phép H ÌNH 2: V ÙNG NĂNG LƯỢNG H ÌNH 3: V ÙNG NĂNG LƯỢNG H ÌNH 4: V ÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA ĐIỆN MÔI CỦA KIM LOẠI CỦA BÁN DẪN Mức lượng cao Mức lượng cao Có vùng phép lấp đầy bị điện tử chiếm giữ trùng với biên bị điện tử chiếm giữ trùng với biên vùng phép, có vùng vùng phép hồn tồn, liền sau vùng phép trống hoàn toàn Vùng lấp đầy hoàn toàn gọi vùng hố trị, phép khơng lấp đầy vùng trống hoàn gọi hoàn toàn (chỉ đến mức 𝜀0 ) vùng dẫn Khi có điện trường Khi có điện trường yếu (khơng phá vỡ cấu trúc yếu, điện tử gần mức 𝜀0 vùng lượng) điện kích thích, tăng tốc tử khơng chuyển động có nhảy lên mức 𝜀0 cịn hướng thành dịng Do trống Lúc này, điện tử dịng điện không chuyển động tác dụng Khi độ rộng vùng cấm 𝜀𝑔 ~1eV, giả sử nhiệt độ phòng (300K), điện tử nhảy từ vùng hoá trị lên vùng dẫn, lúc vùng hoá trị xuất lỗ trống Khi điện trường tạo thành có điện trường yếu dịng điện khác khơng xuất chuyển dời có hướng điện tử vùng dẫn, lỗ trống vùng hố trị Do dịng điện khác khơng GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý Phân biệt bán dẫn với kim loại theo số tính chất: Bán dẫn Kim loại Độ dẫn điện Tăng nhiệt độ tăng Giảm nhiệt độ tăng pha tạp pha tạp Cách tạo hạt dẫn Cần lượng kích hoạt Khơng cần lượn kích hoạt Hạt dẫn Electron lỗ trống Electron Loại dẫn điện Dẫn điện riêng (thuần) dẫn Dẫn điện điện tạp chất Độ linh động Biến thiên lớn từ chất sang Hầu khơng biến thiên chất khác * Ngồi ra, ta bán dẫn với kim loại điện mơi theo điện trở suất 𝜌𝑘𝑙 (~10−8 ÷ 10−6 Ω𝑚) ≤ 𝜌𝑏𝑑 (~10−4 ÷ 1010 Ω𝑚) ≤ 𝜌đ𝑚 (~108 Ω𝑚) (Tuy nhiên, khơng có ranh giới rõ rệt theo giá trị điện trở suất ba loại vật liệu trên) Ở nhiệt độ t0C (TK), điện trở suất 𝜌 là: 𝜌𝑘𝑙 = 𝜌0 (1 + 𝛼𝑡 ) = 𝜌0 𝑇 𝑇0 với 𝜌0 điện trở suất 00C (273K), 𝐵 𝜌𝑏𝑑 = 𝜌1 𝑒 𝑇 với 𝜌1 B số Đối với điện môi, phụ thuộc điện trở suất vào nhiệt độ tương tự bán dẫn (nhưng 𝜌1 B lớn hơn) Phân loại chất bán dẫn 3.1 Bán dẫn đơn chất: Si, S, As, hay hợp chất thành phần CuCl, SnO, hợp chất thành phần CuAlS2, AgInSe2, số chất hữu cơ, chất vô định hình, vật liệu gốm 3.2 Bán dẫn tinh khiết: Ở T = 0K, cấu trúc vùng lượng bán dẫn tinh khiết gồm vùng hóa trị bị chiếm đầy vùng bán dẫn bỏ trống Hai vùng ngăn cách vùng cấm không lớn Khi T > 0K, electron vùng hoá trị bị kích thích nhận đủ lượng, vượt qua vùng cấm nhảy EC Eg EV H ÌNH 5: C ẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA BÁN DẪN TINH KHIẾT lên đáy vùng dẫn, trở thành điện tử dẫn (điện tử tự do) làm xuất lỗ trống vùng hóa trị Bán dẫn trở thành dẫn điện Nhiệt độ cao điện tử dẫn lỗ trống GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang Khóa luận tốt nghiệp = với: 𝛬 = 𝑒𝐸0 𝑒𝑥 𝑞 𝑚𝜔 Lớp 11CVL – Khoa Vật lý 𝑖𝛬 (𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 − 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡2 ) ℏ𝜔 = 𝑒𝐸0 𝑒𝑥 ℏ𝑄 𝑚𝜔 (2.19) (2.20) có thứ nguyên lượng (q chuẩn xung lượng nên q = ℏQ, Q vector sóng phonon Trường 𝐸⃗ hướng theo phương trục x có vector đơn vị 𝑒𝑥 Sử dụng công thức: +∞ 𝑒𝑥𝑝[±𝑖𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 ] = ∑ 𝐽𝑠 (𝑧)𝑒𝑥𝑝(±𝑖𝑠𝜔𝑡 ) (2.21) 𝑠=−∞ Ta có: 𝑡 𝑖𝑒𝑞 𝛬 ∫ 𝐴(𝑡1 )𝑑𝑡1 ) = 𝑒𝑥𝑝 (±𝑖 ( ) (𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 −𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡2 )) 𝑒𝑥𝑝 (± 𝑚𝑐ℏ ℏ𝜔 𝑡2 +∞ +∞ = ∑ ∑ 𝒯𝑠 ( 𝑠=−∞ 𝑙=−∞ +∞ = ∑ 𝒯𝑠 ( 𝑠,𝑙=−∞ 𝛬 𝛬 ) 𝐽𝑙 ( ) 𝑒𝑥𝑝[±𝑖𝑠𝜔𝑡 ]𝑒𝑥𝑝[∓𝑖𝑙𝜔𝑡2 ] ℏ𝜔 ℏ𝜔 𝛬 𝛬 ) 𝐽𝑙 ( ) 𝑒𝑥𝑝[∓𝑖(𝑙 − 𝑠)𝜔𝑡 ± 𝑖𝑙𝜔 (𝑡 − 𝑡2 )] ℏ𝜔 ℏ𝜔 (2.22) Đồng thời, để có dạng đối xứng hơn, ta biến đổi sau: 𝑓𝑝+𝑞⃗ 𝑓𝑝 + 𝑓𝑝 (t )𝑁𝑞⃗ (𝑡2 ) − 𝑓𝑝+𝑞⃗ (𝑡2 )[1 + 𝑁𝑞⃗ (𝑡2 )] = [𝑁𝑞⃗ (𝑡2 ) + 1]𝑓𝑝+𝑞⃗ [−1 + 𝑓𝑝 ] − 𝑁𝑞⃗ (𝑡2 )𝑓𝑝 [−1 + 𝑓𝑝+𝑞⃗ ] (2.23) 𝑓𝑝 𝑓𝑝−𝑞⃗ + 𝑓𝑝−𝑞⃗ (𝑡2 )𝑁𝑞⃗ (𝑡2 ) − 𝑓𝑝 (𝑡2 )[1 + 𝑁𝑞⃗ (𝑡2 )] = [𝑁𝑞⃗ (𝑡2 ) + 1]𝑓𝑝 [𝑓𝑝+𝑞⃗ − 1] − 𝑁𝑞⃗ (𝑡2 )𝑓𝑝−𝑞⃗ [𝑓𝑝 − 1] GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân (2.24) Trang 28 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý Thay vào (2.18), ta được: 𝑡 𝜕𝑁𝑞⃗ (𝑡) 𝑖 2 = ( ) ∑|𝐶𝑞⃗ | ∫ {([𝑁𝑞⃗ (𝑡2 ) + 1]𝑓𝑝+𝑞⃗ [−1 + 𝑓𝑝 ] 𝜕𝑡 ℏ −∞ 𝑝 − 𝑁𝑞⃗ (𝑡2 )𝑓𝑝 [−1 +∞ 𝛬 𝛬 𝑖 + 𝑓𝑝+𝑞⃗ ]) ∑ 𝒯𝑠 ( ) 𝒯𝑙 ( ) 𝑒𝑥𝑝 [ (𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ )(𝑡 − 𝑡2 ) ℏ𝜔 ℏ𝜔 ℏ 𝑠,𝑙=−∞ + 𝑖 (𝑙 − 𝑠)𝜔𝑡 − 𝑖𝑙𝜔(𝑡 − 𝑡2 )] + ([𝑁𝑞⃗ (𝑡2 ) + 1]𝑓𝑝 [𝑓𝑝+𝑞⃗ − 1] − 𝑁𝑞⃗ (𝑡2 )𝑓𝑝−𝑞⃗ [𝑓𝑝 +∞ 𝛬 𝛬 𝑖 − 1]) ∑ 𝒯𝑠 ( ) 𝒯𝑙 ( ) 𝑒𝑥𝑝 [− (𝜀𝑝 − 𝜀𝑝−𝑞⃗ − 𝜀𝑞⃗ )(𝑡 − 𝑡2 ) ℏ𝜔 ℏ𝜔 ℏ 𝑠,𝑙=−∞ − 𝑖 (𝑙 − 𝑠)𝜔𝑡 + 𝑖𝑙𝜔(𝑡 − 𝑡2 )]} 𝑑𝑡2 +∞ 𝜕𝑁𝑞⃗ (𝑡) 𝛬 𝛬 ⇔ = ( ) ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑠 ( ) 𝒯𝑙 ( ) 𝑒𝑥𝑝[𝑖 (𝑙 𝜕𝑡 ℏ ℏ𝜔 ℏ𝜔 𝑠,𝑙=−∞ 𝑝 𝑡 − 𝑠)𝜔𝑡 ] ∫ 𝑑𝑡 ′ {([𝑁𝑞⃗ (𝑡 ′ ) + 1]𝑓𝑝+𝑞⃗ [1 − 𝑓𝑝 ] −∞ 𝑖 − 𝑁𝑞⃗ (𝑡 ′ )𝑓𝑝 [1 − 𝑓𝑝+𝑞⃗ ])𝑒𝑥𝑝 [ (𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)(𝑡 − 𝑡 ′ )] ℏ ′ + ([𝑁𝑞⃗ (𝑡 ) + 1]𝑓𝑝 [1 − 𝑓𝑝−𝑞⃗ ] 𝑖 − 𝑁𝑞⃗ (𝑡 ′ )𝑓𝑝−𝑞⃗ [1 − 𝑓𝑝 ])𝑒𝑥𝑝 [− (𝜀𝑝 − 𝜀𝑝−𝑞⃗ − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)(𝑡 − 𝑡 ′ )]} (2.25) ℏ Phương trình (2.25) phương trình động lượng tử cho phonon bán dẫn khối có mặt trường laser mạnh Phương trình tổng quát (ta chưa làm gần trình thiết lập (2.25), ngoại trừ giả thiết hệ điện tử cân (điều ln đạt ta ý đến không cân phonon)) Lưu ý, điều khác với xét phương trình động cho electron (coi hệ electron khơng cân bằng) ta lại giả thiết hệ phonon cân Phương trình (2.25) cho hệ suy biến không suy biến, cho chế tán xạ electron-phonon khác Trường laser mạnh nên bao gồm q trình hấp thụ photon nhiều photon trường laser (trường laser cổ điển-khơng lượng tử hố) Việc giải (2.25) phức tạp Sau ta xét ứng dụng GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 29 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý Chương III: TÍNH TỐN HỆ SỐ VÀ ĐIỀU KIỆN ĐỂ CĨ SỰ GIA TĂNG PHONON ÂM TRONG BÁN DẪN KHI CÓ TRƯỜNG SĨNG ĐIỆN TỪ NGỒI Tốc độ thay đổi phonon có trường sóng điện từ ngồi Để tính tốn gia tăng phonon bán dẫn có mặt trường laser khố luận tiếp tục giải phương trình (2.25) với gần giả thiết sau: Chỉ tính đến gần bậc hai tương tác điện tử phonon (chỉ lấy 𝑙 = 𝑠) Nếu 𝑙 ≠ 𝑠, phương trình (2.25) tính đến số hạng có bậc cao |𝐶𝑞⃗ | Trường bán dẫn 𝑁𝑞⃗ ≫ Vì vậy, bỏ qua so với 𝑁𝑞⃗ (2.25) Khi đó, (2.25) trở thành: +∞ 𝜕𝑁𝑞⃗ (𝑡) 𝛬 𝛬 = ( ) ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑙 ( ) 𝐽𝑙 ( ) 𝑒𝑥𝑝[𝑖 (𝑙 𝜕𝑡 ℏ ℏ𝜔 ℏ𝜔 𝑠,𝑙=−∞ 𝑝 𝑡 − 𝑠)𝜔𝑡 ] ∫ 𝑑𝑡 ′ {(𝑁𝑞⃗ (𝑡 ′ )𝑓𝑝+𝑞⃗ [1 − 𝑓𝑝 ] −∞ 𝑖 − 𝑁𝑞⃗ (𝑡 ′ )𝑓𝑝 [1 − 𝑓𝑝+𝑞⃗ ])𝑒𝑥𝑝 [ (𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)(𝑡 − 𝑡 ′ )] ℏ ′ + (𝑁𝑞⃗ (𝑡 )𝑓𝑝 [1 − 𝑓𝑝−𝑞⃗ ] 𝑖 − 𝑁𝑞⃗ (𝑡 ′ )𝑓𝑝−𝑞⃗ [1 − 𝑓𝑝 ])𝑒𝑥𝑝 [− (𝜀𝑝 − 𝜀𝑝−𝑞⃗ − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)(𝑡 − 𝑡 ′ )]} ℏ +∞ 𝑡 𝜕𝑁𝑞⃗ (𝑡) 𝛬 ⇔ = ( ) ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑙 ( ) ∫ 𝑑𝑡 ′ 𝑁𝑞⃗ (𝑡 ′ ) {(𝑓𝑝+𝑞⃗ 𝜕𝑡 ℏ ℏ𝜔 𝑙=−∞ 𝑝 −∞ 𝑖 − 𝑓𝑝 )𝑒𝑥𝑝 [ (𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)(𝑡 − 𝑡 ′ )] ℏ 𝑖 + (𝑓𝑝 − 𝑓𝑝−𝑞⃗ )𝑒𝑥𝑝 [− (𝜀𝑝 − 𝜀𝑝−𝑞⃗ − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)(𝑡 − 𝑡 ′ )]} ℏ Thực khai triển Forrier 𝑁𝑞⃗ (𝑡) sau: +∞ 𝑁𝑞⃗ (𝜔′) = ∫ 𝑁𝑞⃗ (𝑡 )𝑒 𝑖𝜔′𝑡 𝑑𝑡 −∞ +∞ ∫ 𝑁𝑞⃗ (𝜔′)𝑒 𝑖𝜔′𝑡 𝑑𝜔′ 𝑁𝑞⃗ (𝑡) = 2𝜋 (3.1) −∞ GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 30 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý Ta có phương trình: +∞ −𝑖𝜔′ ∫ 𝑁𝑞⃗ (𝜔′)𝑒 𝑖𝜔′𝑡 𝑑𝜔′ 2𝜋 −∞ +∞ 𝑡 +∞ 𝛬 ′ ′ ∫ 𝑁𝑞⃗ (𝜔′ )𝑑𝜔′ 𝑒 𝑖𝜔 𝑡 {(𝑓𝑝+𝑞⃗ = ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑙 ( ) ∫ 𝑑t ′ ℏ ℏ𝜔 2𝜋 𝑝 𝑙=−∞ −∞ −∞ 𝑖 − 𝑓𝑝 )𝑒𝑥𝑝 [ (𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)(𝑡 − 𝑡 ′ )] ℏ 𝑖 + (𝑓𝑝 − 𝑓𝑝−𝑞⃗ )𝑒𝑥𝑝 [− (𝜀𝑝 − 𝜀𝑝−𝑞⃗ − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)(𝑡 − 𝑡 ′ )]} ℏ +∞ −𝑖𝜔′ ∫ 𝑁𝑞⃗ (𝜔′)𝑒 𝑖𝜔′𝑡 𝑑𝜔′ ⇔ 2𝜋 −∞ +∞ +∞ 𝑡 𝛬 ′ ′ ∫ 𝑁𝑞⃗ (𝜔′ )𝑑𝜔′ ∫ 𝑒 𝑖𝜔 𝑡 {(𝑓𝑝+𝑞⃗ = ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑙 ( ) ℏ ℏ𝜔 2𝜋 𝑝 𝑙=−∞ −∞ −∞ 𝑖 − 𝑓𝑝 )𝑒𝑥𝑝 [ (𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)(𝑡 − 𝑡 ′ )] ℏ 𝑖 (3.2) + (𝑓𝑝 − 𝑓𝑝−𝑞⃗ )𝑒𝑥𝑝 [− (𝜀𝑝 − 𝜀𝑝−𝑞⃗ − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)(𝑡 − 𝑡 ′ )]} 𝑑𝑡′ ℏ Đổi thứ tự lấy tích phân bên vế phải, lấy tích phân theo dt’ để đảm bảo giả thiết đoạn nhiệt, ta đưa vào thừa số 𝑒 𝛿𝑡′ (𝛿 → +0) 𝑒 𝛿𝑡′ → 𝑡′ → ∞ Tiến hành lấy tích phân theo dt’, ta được: +∞ −𝑖𝜔′ ∫ 𝑁𝑞⃗ (𝜔′)𝑒 𝑖𝜔′𝑡 𝑑𝜔′ 2𝜋 −∞ +∞ +∞ 𝛬 ′ ∫ 𝑁𝑞⃗ (𝜔′ )𝑑𝜔′ 𝑒 𝑖𝜔 𝑡 {(𝑓𝑝+𝑞⃗ = ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑙 ( ) ℏ ℏ𝜔 2𝜋 𝑝 𝑙=−∞ −∞ −1 𝑖 − 𝑓𝑝 ) [− (𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − lℏ𝜔) − 𝑖𝜔 + 𝛿] ℏ −1 𝑖 + (𝑓𝑝 − 𝑓𝑝−𝑞⃗ ) [ (𝜀𝑝 − 𝜀𝑝−𝑞⃗ − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔) − 𝑖𝜔 + 𝛿] } , ℏ GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 31 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý hay: +∞ 𝜕𝑁𝑞⃗ (𝑡) 𝛬 = ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑙 ( ) {(𝑓𝑝+𝑞⃗ 𝜕𝑡 ℏ ℏ𝜔 𝑙=−∞ 𝑝 −1 𝑖 − 𝑓𝑝 ) [− (𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔 + ℏ𝜔′) + 𝛿] ℏ −1 𝑖 + (𝑓𝑝 − 𝑓𝑝−𝑞⃗ ) [ (𝜀𝑝 − 𝜀𝑝−𝑞⃗ − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔 − ℏ𝜔′) + 𝛿] } 𝑁𝑞⃗ (𝑡 ) (3.3) ℏ (Thực làm điều có lập luận bỏ qua ℏ𝜔′ trước đó.) Nếu trình bày (3.3) dạng: 𝜕𝑁𝑞 ⃗ (𝑡) 𝜕𝑡 = 𝛾𝑞⃗ 𝑁𝑞⃗ (𝑡 ) 𝛾𝑞⃗ tốc độ gia tăng (suy giảm) phonon Nếu 𝛾𝑞⃗ > nghĩa số phonon tăng theo thời gian (gia tăng phonon) Nếu 𝛾𝑞⃗ < nghĩa số phonon giảm theo thời gian (gọi phonon bị bẫy bắt) Ta có: +∞ −1 𝛬 ∆1 2 𝛾𝑞⃗ = ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑙 ( ) {(𝑓𝑝+𝑞⃗ − 𝑓𝑝 ) [−𝑖 ( + 𝑖𝛿)] ℏ ℏ𝜔 ℏ 𝑙=−∞ 𝑝 −1 ∆2 + (𝑓𝑝 − 𝑓𝑝−𝑞⃗ ) [−𝑖 ( − 𝑖𝛿)] } , ℏ (3.4) đó: ∆1 = 𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔 + ℏ𝜔′ (3.5) ∆2 = 𝜀𝑝 − 𝜀𝑝−𝑞⃗ − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔 − ℏ𝜔′ Trong số hạng thứ hai, đổi 𝑝 thành 𝑝 + 𝑞 , ta có: +∞ 𝛬 1 ), 𝛾𝑞⃗ = ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑙 ( ) (𝑓𝑝+𝑞⃗ − 𝑓𝑝 ) 𝑖 (∆1 − ∆′ ℏ ℏ𝜔 + 𝑖𝛿 − 𝑖𝛿 𝑙=−∞ 𝑝 với ∆′2 = ℏ (3.6) ℏ ′ 𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔 − ℏ𝜔 Các kết với thành phần Fourier 𝑁𝑞⃗ (𝜔′) thoả mãn điều kiện 𝜔′ tỷ lệ với 𝑚𝑎𝑥 (𝜏 −1 , 𝑒|𝐸⃗1 | 𝑝̅ ), 𝜏 thời gian trung bình phục hồi xung lượng 𝑝̅ giá trị trung bình xung lượng Vì trường laser có tần số cao nên hồn tồn thực điều kiện: 𝑒|𝐸⃗1 | 𝑐 ≫ 𝜔𝜏 ≫ ℏ𝜔, 𝜀̅𝑝 ≫ 𝑣̅ 𝑝̅ (3.7) Vì vậy, ∆1 ∆′2 ta bỏ qua ℏω′ so với ℏω′ ε̅p⃗ Sử dụng 𝑥+𝑖𝛿 𝑥−𝑖𝛿 − = 2𝜋𝑖𝛿𝑥, ta có kết quả: GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 32 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý +∞ 𝛬 𝛾𝑞⃗ = ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑙 ( ) (𝑓𝑝+𝑞⃗ − 𝑓𝑝 ) 𝑖[−2𝜋𝑖𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔)] ℏ ℏ𝜔 𝑙=−∞ 𝑝 +∞ 2𝜋 𝛬 ⇔ 𝛾𝑞⃗ = ∑|𝐶𝑞⃗ | ∑ 𝒯𝑙 ( ) (𝑓𝑝+𝑞⃗ − 𝑓𝑝 ) 𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝑙ℏ𝜔) ℏ ℏ𝜔 𝑝 (3.8) 𝑙=−∞ Công thức (3.8) trùng với kết A.L.Tronconi O.A.C.Nunes Phys.Rev.B33(1986)4125 thu sở xử lý trường điện từ khuôn khổ gần lưỡng cực không sử dụng lý thuyết nhiễu loạn liên kết tương tác electron trường laser Như nhận xét phần trước, không dùng điều kiện giới hạn trường laser, kết đảm bảo cho việc nghiên cứu hệ trường laser mạnh Cơ chế vật lý trình electron tự hấp thụ nhiều photon xạ laser ảnh hưởng đến bẫy bắt phonon bán dẫn Ở đây, electron dịch chuyển từ trạng thái đến trạng thái cuối nhờ va chạm với phonon kèm theo hấp thụ (l > 0) phát xạ (l < 0) |𝑙| photon từ trường laser Như trường laser xử lý theo lý thuyết cổ điển số photon |𝑙| có nghĩa số ℏω cho thoả mãn điều kiện: 𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − ℏ𝜔𝑞⃗ = ∆𝜀 = |𝑙|ℏ𝜔 (3.9) khuôn khổ lý thuyết hệ liên kết tác dụng trường laser Kết (3.8) cho trường hợp khí electron suy biến khơng suy biến, chế tán xạ electron – phonon khác Kết (3.8) cho phép xác định điều kiện hệ số gia tăng (hoặc hệ số suy giảm trường hợp ngược lại) Hệ số xét đến liên kết trường laser Ngoài tương tác với trường laser, cịn có hiệu ứng phi điều hồ ngăn chặn khác Vì vậy, để có gia tăng phonon thật bán dẫn số phonon tạo phải lớn số phonon bị nguyên nhân Số phonon bị có bậc (được ước lượng) vào cỡ 1010 ÷ 1011/ giây Vì vậy, để có gia tăng thật bán dẫn, ta phải có γq⃗ > 1010 ÷ 1011 (s-1) (3.10) Biểu thức (3.10) xem điều kiện để xem xét thực nghiệm Kết (2.25) chúng tơi tìm lần Trong trường hợp giới hạn cho kết trùng với kết tác giả khác (tìm nhờ phương pháp khác) Vì khẳng định tính đắn kết đạt Sau ta tiến hành tính tốn γ⃗q cho trường hợp cụ thể áp dụng cho vật liệu bán dẫn điển hình GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 33 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý Biểu thức giải tích 𝜸⃗𝒒 2.1 Trường hợp khí electron suy biến Trường laser có tần số ω vector cường độ điện trường ⃗E chứa λ (được xác định (2.20)) Khi λ ≫ (ℏω), tức trường mạnh, ta có gần đúng: +∞ 𝛬 ∑ 𝒯𝑙 ( ) 𝛿 (𝜀 − 𝑙ℏ𝜔) ≃ [𝛿 (𝜀 − 𝛬) + 𝛿 (𝜀 + 𝛬)] ℏ𝜔 (3.11) 𝑙=−∞ với: ε = εp⃗+q⃗ − εp⃗ − ℏωq⃗ Hàm Delta-Dirac δ thứ xác định tương ứng với hấp thụ, hàm δ thứ hai xác định tương ứng với phát xạ Λ/(ℏω) photon Như vậy, trường hợp có q trình hấp thụ nhiều photon có ý nghĩa tương tác electron-phonon kèm theo hấp thụ hay phát xạ Λ/(ℏω) ≫ photon Thay (3.11) vào (3.8) ta có: 𝜋 𝛾𝑞⃗ = ∑|𝐶𝑞⃗ | (𝑓𝑝+𝑞⃗ − 𝑓𝑝 ){𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑄⃗ − 𝛬) + 𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑄⃗ + 𝛬)} (3.12) ℏ 𝑝 Giả sử khí electron suy biến hoàn toàn nhiệt độ thấp, với hàm phân bố Fermi có bước nhảy: 𝑓 (𝑝) = 𝛩(𝜀𝐹 − 𝜀𝑝 ) = { , 𝜀𝑝 > 𝜀𝐹 ℎ𝑎𝑦 𝜀𝐹 < 𝜀𝑝 , 𝜀𝑝 < 𝜀𝐹 ℎ𝑎𝑦 𝜀𝐹 > 𝜀𝑝 (3.13) Ở đây, εF lượng Fermi Chuyển tổng thành tích phân sau: ∑|𝐶𝑞⃗ | (𝑓𝑝+𝑞⃗ − 𝑓𝑝 ){𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑄 − 𝑙ℏ𝜔 − 𝛬) 𝑝 + 𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑄⃗ − 𝑙ℏ𝜔 + 𝛬)} +∞ 𝛺 ∫ |𝐶𝑞⃗ | (𝑓𝑝+𝑞⃗ − 𝑓𝑝 ){𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑄 − 𝑙ℏ𝜔 − 𝛬) → 3 (2𝜋) ℏ + 𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑄⃗ − 𝑙ℏ𝜔 + 𝛬)}𝑑𝑝3 (Ω thể tích chuẩn hố) (có ℏ3 khơng gian xung lượng p ⃗) ⃗⃗ phonon phương ⃗P θ, ta có: Và chọn hệ toạ độ cầu, góc vector sóng Q +∞ +∞ 𝜋 +∞ ∫ 𝑑𝑝3 = 2𝜋 ∫ 𝑝2 𝑑𝑝 ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃 = 2𝜋 ∫ 𝑝2 𝑑𝑝 ∫ 𝑑𝜇 0 0 (3.14) −1 μ cosin θ: μ = cos θ Thay (3.14) (3.8) vào (3.12), ta có: GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 34 Khóa luận tốt nghiệp +∞ Lớp 11CVL – Khoa Vật lý 𝛺|𝐶𝑞⃗ | ∫ 𝑝2 𝑑𝑝 ∫ 𝑑𝜇 [𝛩(𝜀𝐹 − 𝜀𝑝+𝑞⃗ ) − 𝛩(𝜀𝐹 − 𝜀𝑝 )] {𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ − 𝛬) 𝛾𝑞⃗ = 4𝜋ℏ −1 + 𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ + 𝛬)} (3.15) Viết lại: 𝛾𝑞⃗ = 𝛾𝑞⃗ (+) + 𝛾𝑞⃗ (−) (3.16) Trong đó: +∞ 𝛾𝑞⃗ (±) 𝛺|𝐶𝑞⃗ | ∫ 𝑝2 𝑑𝑝 ∫ 𝑑𝜇 [𝛩(𝜀𝐹 − 𝜀𝑝+𝑞⃗ ) − 𝛩(𝜀𝐹 − 𝜀𝑝 )] 𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑞⃗ ± 𝛬)(3.17) = 4𝜋ℏ4 −1 γq⃗ (+) , (γq⃗ (−) ) tương ứng với hấp thụ (phát xạ) nhiều photon trường laser Ta có: (𝑝 + 𝑞 )2 𝑝2 𝑝𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑞2 𝑝2 𝑞𝜇 𝑞2 𝜀𝑝+𝑞⃗ = = + + = +𝑝 + 2𝑚 2𝑚 𝑚 2𝑚 2𝑚 𝑚 2𝑚 𝑞𝜇 𝑞 = 𝜀𝑝 + 𝑝 + (3.18) 𝑚 2𝑚 Tích phân (3.17) khác không đối số hàm Delta Dirac 0, nên ta phải có: 𝜀𝑝+𝑞⃗ = 𝜀𝑝 + 𝜀𝑞⃗ ∓ 𝛬 (3.19) Thay (3.18) (3.19) vào (3.17), ta có: +∞ 𝛾𝑞⃗ (±) + 𝛺|𝐶𝑞⃗ | 𝑞𝜇 𝑞 2 = ∫ 𝑝 𝑑𝑝 ∫ 𝑑𝜇 [𝛩(𝜀 − 𝜀 ± 𝛬 − 𝜀 ) − 𝛩(𝜀 − 𝜀 )] 𝛿 + − 𝜀𝑞⃗ ± 𝛬) (𝑝 𝐹 𝑞⃗ 𝑝 𝐹 𝑝 4𝜋ℏ4 𝑚 2𝑚 Đặt 𝜀𝐹′ −1 = 𝜀𝐹 − 𝜀𝑞⃗ ± 𝛬, +∞ 𝛾𝑞⃗ (±) 𝛺|𝐶𝑞⃗ | 𝑚 𝑚 𝑞2 ′ = ∫ 𝑝 𝑑𝑝 ∫ 𝑑𝜇 [𝛩(𝜀 − 𝜀 ) − 𝛩(𝜀 − 𝜀 )] 𝛿 (𝑝 − (𝜀 ∓ 𝛬 − )) 𝑝 𝐹 𝑝 𝐹 4𝜋ℏ4 𝑞𝜇 𝑞𝜇 𝑞⃗ 2𝑚 −1 Đặt 𝐻𝑆 = 𝛺|𝐶𝑞 ⃗ | 4𝜋ℏ4 𝑞2 𝑀 = 𝜀𝑞⃗ ∓ 𝛬 − , 2𝑚 ⇒ 𝛾𝑞⃗ (±) = 𝐻𝑆(𝐼𝐴± − 𝐼𝐵± ) ± (3.20) với: +∞ 𝑚𝑑𝜇 𝑚 ± ∫ 𝑝2 𝑑𝑝 𝛩(𝜀𝐹′ − 𝜀𝑝 )𝛿 (𝑝 − 𝐼𝐴± = ∫ 𝑀 ) 𝑞𝜇 𝑞𝜇 −1 +1 𝑚 𝑑𝜇 𝑚 ± 𝑚𝑀 ± ′ ∫ ( 𝑀 ) 𝛩 (𝜀𝐹 − ( ) ) = 𝑞 𝜇 𝑞𝜇 𝑞𝜇 2𝑚 −1 GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 35 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý 𝑚3 (𝑀± )2 𝑑𝜇 𝑚 (𝑀 ± )2 ′ ∫ 𝛩 (𝜀𝐹 − ) = 𝑞3 𝜇 2𝑞2 𝜇2 (3.21) −1 Theo định nghĩa hàm bậc thang 𝛩 (3.13), tích phân khác khơng đối số hàm thoả mãn điều kiện: 𝜀𝐹′ > 𝑚(𝑀± ) 2𝑞2 𝜇2 hay 𝜇 > ± | 𝑀± 𝑞 𝑚 √2𝜀′ | = ±𝜇0 ( 𝜇0 = | 𝐹 𝑀± 𝑞 𝑚 √2𝜀′ |) (3.22) 𝐹 Và đó: 𝛩 (𝜀𝐹′ − 𝑚(𝑀± ) 2𝑞2 𝜇2 )=1 Hàm dấu tích phân lẻ, cận tích phân đối xứng Ta xét lại cận tích phân Do μ thoả mãn (3.22) nên có khả xảy ra: Trường hợp 1: μ > μ0 , tích phân với −1 < 𝜇 < nên μ0 < 1, suy phải nằm hình vẽ 𝑑𝜇 Do đó: ∫−1 𝜇3 𝑑𝜇 → ∫𝜇 𝜇3 = ( 𝜇02 − 1) (3.23) Và điều kiện μ0 < (3.24) Trường hợp 2: μ > −μ0 , mà −1 < 𝜇 < nên −μ0 < → μ0 > −1.Vậy nằm -1 hình vẽ 𝑑𝜇 Do đó: ∫−1 𝜇3 → ∫−𝜇 𝑑𝜇 𝜇3 𝜇 = ∫−𝜇0 𝑑𝜇 𝜇3 𝑑𝜇 + ∫𝜇 𝜇3 𝑑𝜇 = + ∫𝜇 𝜇3 = ( 𝜇02 − 1) (3.23) Như vậy, gộp trường hợp ta có kết (3.23) điều kiện (3.24) Thay kết vào (3.23), ta có: 𝑚 (𝑀 ± )2 𝑚2 𝜀𝐹′ (𝑀 ± )2 𝑚3 ± (3.25) ( − 1) = 𝐼𝐴 = − 2𝑞3 𝑞 2𝑞3 𝜇0 Tương tự cho IB± khác ε′F εF , ta có: 𝐼𝐵± 𝑚2 𝜀𝐹 (𝑀± )2 𝑚3 = − 𝑞 2𝑞3 Thay (3.25) (3.26) vào nhận được: 𝛾𝑞⃗ (±) (3.26) 𝛺|𝐶𝑞⃗ | 𝑚2 ′ 𝛺|𝐶𝑞⃗ | 𝑚2 (𝜀𝐹 − 𝜀𝐹 ) = (±𝛬 − 𝜀𝑞⃗ ) = 4𝜋ℏ4 𝑞 4𝜋ℏ4 𝑞 (3.27) Đối với trình hấp thụ photon (dấu trên), có gia tăng phonon Λ > εq⃗ Đối với phát xạ photon (dấu dưới) γq⃗ (−) luôn âm nên không đạt GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 36 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý gia tăng Điều kiện 𝛬 > 𝜀𝑞⃗ nghĩa e𝐸⃗0 ⃗0 = (với 𝑉 mω 𝑒𝐸⃗0 𝑞⃗ 𝑚𝜔 = ⃗ 𝑒𝐸⃗0 ℏ𝑄 𝑚𝜔 > ℏωQ hay ⃗ 𝑒𝐸⃗0 𝑄 𝑚𝜔 ⃗ > 𝜔𝑄 (3.28) ⃗ 0𝑄 =𝑉 vận tốc kéo theo) Đây điều kiện Cerenkow bất ổn định hệ phonon Điều kiện trùng với Phys.Rev.B33(1986)4125 Ngồi ta thấy cịn phải thoả mãn điều kiện ⃗⃗ phonon (3.24) nghĩa hiệu ứng xảy điều kiện mà vector sóng Q phải thoả mãn Điều kiện không đề cập tác giả khác: Điều kiện là: 𝑚 𝑚 ± )2 ( (𝑀± )2 < 𝜀𝐹 𝑀 < 𝜀 − 𝜀 + 𝛬 𝑣à ⃗ 𝐹 𝑞 2 2𝑞 2𝑞 Gộp hai điều kiện là: 𝑚 2𝑞2 (𝑀± )2 < 𝜀𝐹 (vì 𝛬 > 𝜀𝑞 ), tức là: ⃗ ℏ2 𝑄 𝑚 𝑞2 𝑚 𝑒𝐸⃗0 ℏ𝑄 ) = 2 (ℏ𝜔𝑄 − ) 𝜀𝐹 > (𝜀𝑞⃗ − 𝛬 − − 2𝑞 2𝑚 2ℏ 𝑄 𝑚𝜔 2𝑚 ⃗ ℏ𝑄2 𝑚 𝑒𝐸⃗0 𝑄 (𝜔 ) ⇔ 𝜀𝐹 > − − 𝑄 2𝑄2 𝑚𝜔 2𝑚 2 (3.29) ⃗⃗ xảy gia Rõ ràng từ (3.29) có khoảng vector sóng Q tăng phonon Khoảng phụ thuộc vào cường độ tần số sóng laser, điện tử (e m), lượng Fermi εF ,và tần số ωQ phonon Kết (3.27) chung cho chế tán xạ điện tử - phonon khác nhau, tán xạ điện tử phonon quang, ta có: |𝐶𝑞⃗ | = 2𝜋ℏ𝜔𝑄 𝑒 𝛺𝑄2 ( 𝜒∞ − 𝜒0 ) (3.30) (χ∞ χ0 độ thẩm điện môi cao tần tĩnh, số) (±) Nên 𝛾𝑄 = 𝑚 𝑒 𝜔𝑄 2ℏ3 𝑄3 ( 𝜒∞ − 𝜒0 )( ⃗ 𝑒𝐸⃗0 𝑄 𝑚𝜔 − 𝜔𝑄 ) (3.31) Kết (3.31) trùng với công thức (16) Phys.Rev.B33(1986)4125 2.2 Trường hợp khí electron khơng suy biến Lập luận khí suy biến để có (3.11) (3.12) Chỉ khác hàm phân bố electron khí điện tử khơng suy biến, hàm phân bố Fermi - Dirac trở thành hàm phân bố Boltzoman: 𝑒 𝑝(𝜀𝑝 ⃗⃗ −𝜀𝐹 ) +1 → 𝑒 𝛽(𝜀𝐹 −𝜀𝑝⃗⃗) (do 𝑒 𝛽(𝜀𝐹 −𝜀𝑝⃗⃗) ≫ 1); 𝛽 = 𝑘𝐵 𝑇 với k B số Boltzman Vậy: 𝑓(𝑝) = 𝑒 𝛽(𝜀𝐹 −𝜀𝑝⃗⃗) 𝑓 (𝑝 + 𝑞) = 𝑒 𝛽(𝜀𝐹−𝜀⃗𝑝⃗ +𝑞⃗) (3.32) (3.33) với: GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 37 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý (𝑝 + 𝑞 )2 (𝑝2 + 2𝑝𝑞 + 𝑞 ) 𝜀 (𝑝 + 𝑞 ) = = 2𝑚 2𝑚 {(𝑝⊥2 + 𝑝∥2 ) + 2(⃗⃗⃗⃗ = 𝑝⊥ ⃗⃗⃗⃗ 𝑞⊥ + ⃗⃗⃗ 𝑝∥ ⃗⃗⃗ 𝑞∥ ) + 𝑞2 } 2𝑚 ⃗: Ở đây, ta chọn hệ toạ độ trụ có trục song song trùng với E (3.34) Công thức (3.34) tổng quát, toán ta sau giả thiết phương cụ thể chuẩn xung lượng q ⃗ phonon Để đơn giản kí hiệu viết (hoặc đánh máy) ta dùng: q1 = a, q2 = b, p1 = x, p1 = y Đổi tổng thành tích phân khơng gian xung lượng, ta có: ∑|𝐶𝑞⃗ | (𝑓𝑝+𝑞⃗ − 𝑓𝑝 ){𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑄 − 𝑙ℏ𝜔 − 𝛬) 𝑝 + 𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑄⃗ − 𝑙ℏ𝜔 + 𝛬)} +∞ +∞ 𝛺 ∫ 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 |𝐶𝑞⃗ | (𝑓𝑝+𝑞⃗ → 3 (2𝜋) ℏ −∞ − 𝑓𝑝 ) {𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑄 − 𝑙ℏ𝜔 − 𝛬) + 𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − 𝜀𝑄⃗ − 𝑙ℏ𝜔 + 𝛬)} (3.35) Dùng (3.32), (3.33), (3.34) ,ta có: 𝑓 (𝑝 + 𝑞 ) − 𝑓 (𝑝 ) 𝛽 ((𝑥 + 𝑦 ) + 2(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) + 𝑞2 )] = 𝑒 𝛽𝜀𝐹 {𝑒𝑥𝑝 [− 2𝑚 𝛽 (𝑥 + 𝑦 )]} − 𝑒𝑥𝑝 [− 2𝑚 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑞2 𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − ℏ𝜔𝑄⃗ ± 𝛬) = 𝛿 ( + − ℏ𝜔𝑄⃗ ± 𝛬) 𝑚 2𝑚 𝑏 𝑚 𝑞2 𝑎𝑥 = 𝛿 { [𝑦 − (ℏ𝜔𝑄⃗ ∓ 𝛬 − − )]} 𝑚 𝑏 2𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑎𝑥 = 𝛿 (𝑦 − [𝑀± − ]) 𝑏 𝑏 𝑚 (+) (−) Thay tất kết vào (3.12), ta có: γq⃗ = γq⃗ − γq⃗ 𝜋 (±) 𝛾𝑞⃗ = ∑|𝐶𝑞⃗ | (𝑓𝑝+𝑞⃗ − 𝑓𝑝 )𝛿(𝜀𝑝+𝑞⃗ − 𝜀𝑝 − ℏ𝜔𝑞⃗ ± 𝛬) ℏ (3.36) (3.37) 𝑝 GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 38 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý +∞ +∞ 𝛺|𝐶𝑞⃗ | 𝑚2 𝛽𝜀 𝑚 𝛽 𝐹 ∫ ∫ {𝑒𝑥𝑝 [− ((𝑥 + 𝑦 ) + 2(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) = 𝑒 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 4𝜋ℏ 𝑞 𝑏 2𝑚 −∞ + 𝑞2 )] − 𝑒𝑥𝑝 [− 𝛽 𝑚 𝑎𝑥 (𝑥 + 𝑦 )]} 𝛿 (𝑦 − [𝑀± − ]) 2𝑚 𝑏 𝑚 = 𝐻𝑆(𝐴± − 𝐵± ) (3.38) với: +∞ +∞ 𝐴± = ∫ 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 𝑒𝑥𝑝 [− +∞ −∞ +∞ 𝐵 ± = ∫ 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 𝑒𝑥𝑝 [− −∞ 𝛽 𝑚 𝑎𝑥 ((𝑥 + 𝑦 ) + 2(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) + 𝑞 )] 𝛿 (𝑦 − [𝑀± − ])(3.39) 2𝑚 𝑏 𝑚 𝛽 𝑚 𝑎𝑥 (𝑥 + 𝑦 )] 𝛿 (𝑦 − [𝑀± − ]) 2𝑚 𝑏 𝑚 (3.40) Sử dụng tính chất hàm Delta-Dirac để tích phân theo dy, ta được: +∞ 𝛽 𝑚2 𝑎𝑥 𝑚 𝑎𝑥 [𝑥 + (𝑀± − ) + 2𝑎𝑥 + 2𝑏 (𝑀± − ) + 𝑞2 ]} 𝐴 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥𝑝 {− 2𝑚 𝑏 𝑚 𝑏 𝑚 ± +∞ 𝛽 𝑎2 2𝑎𝑀± 𝑚 (𝑀 ± )2 [(1 + ) 𝑥 − = ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑝 {− 𝑥+( + 2𝑚𝑀± ) + 𝑞2 ]} 𝑑𝑥 2 2𝑚 𝑏 𝑏 𝑏 Chọn vector chuẩn xung lượng phonon q ⃗ theo phương ⃗E, vậy: q1 = 0, q2 =q Do đó: +∞ 𝛽 𝑚 (𝑀 ± )2 𝑚𝑥 ± ± [ ) 𝑑𝑥 𝐴 = 𝑒𝑥𝑝 {− + 2𝑚𝑀 + 𝑞 ]} ∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑚 𝑏2 2𝛽 𝛽 𝛽𝑚 𝑞2 ) − 𝛽(ℏ𝜔𝑄⃗ ∓ 𝛬)} = 𝑒𝑥𝑝 {− (ℏ𝜔𝑄⃗ ∓ 𝛬 − 𝑚 2𝑞 2𝑚 (3.41) Tương tự: +∞ +∞ 𝛽 𝑚2 𝛽𝑚(𝑀± )2 𝑚𝑥 𝐵 ± = ∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑝 {− [𝑥 + (𝑀± )2 ]} 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 { } ∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑝 (− ) 𝑑𝑥 2𝑚 𝑏 2𝑞 2𝛽 0 𝛽 𝛽𝑚 𝑞2 ) } = 𝑒𝑥𝑝 { (ℏ𝜔𝑄⃗ ∓ 𝛬 − 𝑚 2𝑞 2𝑚 (3.42) Thay (3.41) (3.42) vào (3.38), ta có: (±) 𝛾𝑞⃗ 𝛽 𝛽𝑚 𝑞2 ) } {𝑒𝑥𝑝[−𝛽(ℏ𝜔𝑄⃗ ∓ 𝛬)] − 1} = 𝐻𝑆 𝑒𝑥𝑝 { (ℏ𝜔𝑄⃗ ∓ 𝛬 − 𝑚 2𝑞 2𝑚 ⇔ (±) 𝛾𝑄⃗ 𝛺|𝐶𝑄 | 𝛽𝑒 𝛽𝜀𝐹 𝛽𝑚 ℏ2 𝑄 −𝛽(ℏ𝜔⃗𝑄 ⃗ ∓𝛬) { (ℏ𝜔 ) } {𝑒 = 𝑒𝑥𝑝 ∓ 𝛬 − − 1} ⃗ 𝑄 4𝜋ℏ ℏ𝑄 2𝑞 2𝑚 GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân (3.43) Trang 39 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý Điều kiện để có gia tăng phonon exp[β(∓Λ − ℏω⃗Q⃗ )] > Đối với trình hấp thụ photon (dấu trên) ta thấy exp[β(Λ − ℏω⃗Q⃗ )] > thoả mãn Λ > ℏω⃗Q⃗ (3.44) Điều kiện trùng với điều kiện tìm từ (3.29) cho khí điện tử suy biến, (3.44) điều kiện Corenkow bất ổn định hệ phonon Đối với trình phát xạ photon (dấu dưới), điều kiện exp[β(−Λ − ℏωQ ⃗⃗ )] > không thực hiện, nghĩa khơng thể có gia tăng phonon phát xạ photon Kết giống với trường hợp khí điện tử suy biến Khác với trường hợp khí điện tử, trường hợp khơng cần có điều kiện (3.29), dễ dàng có gia tăng phonon khoảng rộng vector ⃗ phonon sóng ⃗Q Kết (3.43) cho nhiều chế tán xạ electron-phonon khác Trong trường hợp chế tán xạ điện tử - phonon quang trội, ta có:|𝐶𝑞⃗ | = 𝜒0 2𝜋ℏ𝜔𝑄 𝑒 𝛺𝑄2 ( 𝜒∞ − ) Vì vậy, hệ số gia tăng phonon có dạng: (+) 𝛾𝑄⃗ (+) 𝛾𝑄⃗ 𝑒 𝛽𝜔𝑄⃗ 1 𝛽𝑚 ℏ2 𝑄 𝛽(𝛬−ℏ𝜔𝑄 ⃗⃗ ) ( − ) 𝑒𝑥𝑝 [𝛽𝜀𝐹 − (ℏ𝜔𝑄⃗ − 𝛬 − ) ] [𝑒 = − 1] 2ℏ 𝑄 𝜒∞ 𝜒0 2(ℏ𝑄) 2𝑚 𝑒 𝛽𝜔𝑄⃗ 1 𝛽𝑚 𝑒𝐸0 𝑄 ℏ𝑄2 𝛽(𝛬−ℏ𝜔⃗𝑄 ⃗ ) ( ) [𝛽𝜀 (𝜔 ) ] [𝑒 = − 𝑒𝑥𝑝 − − − − 1] ⃗ 𝐹 𝑄 2ℏ4 𝑄3 𝜒∞ 𝜒0 2𝑄2 𝑚𝜔 2𝑚 Ngoài phụ thuộc điều kiện gia tăng hệ số gia tăng phonon vào cường độ tần số trường, vào điện tử (e m), lượng Fermi, tần số bước sóng phonon trường hợp khí điện tử suy biến, ta thấy cịn có phụ thuộc vào nhiệt độ (𝛽 = 𝑘𝐵 𝑇 , T nhiệt độ) GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 40 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý C- KẾT LUẬN Khóa luận với đề tài : “Tính tốn điều kiện để có gia tăng phonon âm (sóng âm) bán dẫn có mặt trường Laser phương pháp phương trình động lượng tử.” nghiên cứu dựa sở phương trình động cho hệ electron - phonon bán dẫn thu số kết sau: Thiết lập phương trình động lượng tử cho phonon bán dẫn khối có mặt trường laser mạnh Đây phương trình tổng quát, cho hệ suy biến không suy biến, cho chế tán xạ electron - phonon khác Dựa vào phương trình động lượng tử, chúng tơi tính hệ số gia tăng 𝛾𝑞⃗ cho hai trường hợp khí suy biến khí khơng suy biến Ở hai trường hợp, hệ số gia tăng phonon phụ thuộc vào cường độ tần số trường, vào điện tử (e m), lượng Fermi, tần số bước sóng phonon Ngồi ra, ta thấy với trường hợp khí khơng suy biến, hệ số cịn có phụ thuộc vào nhiệt độ (𝛽 = 𝑘𝐵 𝑇 , T nhiệt độ) Kết chúng tơi tính phù hợp với công thức (16) A.L.Tronconi O.A.C.Nunes Phys.Rev.B33(1986)4125 Kết đề tài cịn áp dụng cho hệ thấp chiều, hố lượng tử, v.v… GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 41 Khóa luận tốt nghiệp Lớp 11CVL – Khoa Vật lý D- TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phùng Hồ - Phan Quốc Phổ (2001), Giáo trình vật lý bán dẫn, Nhà xuất khoa học kỹ thuật [2] Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn (2004), Lý thuyết bán dẫn, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Quang Báu (2011), Lý thuyết bán dẫn đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2010), Vật lý bán dẫn thấp chiều, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Văn Hiệu (1997), Cơ sở lý thuyết lượng tử chất rắn, Thông tin khoa học công nghệ Quốc Gia, Hà Nội [6] A.L.Tronconi, O.A.C.Nunes (1986), Theory of the excication and amplification of longitudinal – optical phonons in degenerate semiconductors under an intense laser field, Phys.Rev.B33, 4125 GVHD: TS Nguyễn Văn Hiếu SVTH: Nguyễn Thị Thuỳ Vân Trang 42 ... ? ?Tính tốn điều kiện để có gia tăng phonon âm (sóng âm) bán dẫn có mặt trường Laser phương pháp phương trình động lượng tử.? ?? nghiên cứu dựa sở phương trình động cho hệ electron - phonon bán dẫn. .. phương trình động lượng tử cho phonon bán dẫn, hệ số gia tăng phonon âm Từ xây dựng tài liệu tổng quan điều kiện để có gia tăng phonon âm bán dẫn có mặt trường laser Phương pháp nghiên cứu Phương. .. III: TÍNH TỐN HỆ SỐ VÀ ĐIỀU KIỆN ĐỂ CĨ SỰ GIA TĂNG PHONON ÂM TRONG BÁN DẪN KHI CÓ TRƯỜNG SĨNG ĐIỆN TỪ NGỒI Tốc độ thay đổi phonon có trường sóng điện từ ngồi Để tính tốn gia tăng phonon bán dẫn có