Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, thay tọa độ điểm thứ 3 vào, nếu thỏa mãn thì 3 điểm thẳng hàng, nếu không thỏa mãn thì 3 điểm không thẳng hàng. Viết phương trình đư[r]
(1)HÀM SỐ BẬC NHẤT
Dạng 1: Chứng tỏ đồ thị hàm số hàm số bậc 1, tìm điều kiện để hàm số hàm số bậc
Bài 1: Tìm điều kiện để hàm số sau hàm số bậc nhất:
a) y =(m-2)x+3m-1 b) y = 𝑚 + x+m-2 c) y=( m2+5m+6)x –m+3 HD:
Để hàm số hàm số bậc thì: a) m-2 ≠ m ≠
b) m+1 >0 m> -1
c) m2+5m+6 ≠ (m+2)(m+3) ≠ m ≠ -2; m ≠ -3
Bài 2: Chứng minh hàm số sau hàm số bậc với m: a) y =(m2+1)x+3m-1 b) y = (𝑚2 + 2𝑚 + 10) x+m-2 HD:
a) Vì a= m2+1 ≠ với m nên hàm số hàm số bậc Câu b tương tự b) m2+2m+10 =(m+1)2+9
Bài 3: Tìm a, b để hàm số hàm số bậc y = (a2 -4)x2 +(b-3a)(b+2a)x -2
HD:
Hàm số hàm số bậc khi: a2 − = 0
b − 3a b + 2a ≠
a = ±2
b − 3a b + 2a ≠ (1)
TH1: a =2 Thay vào (1) ta được: b − b + ≠ b ≠ 6; b ≠ -4 TH2: a= -2 Thay vào (1) ta được: b + b − ≠ b ≠ - 6; b ≠
Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến ( tạo với trục Ox góc nhọn đường thẳng có hướng lên) , nghịch biến(tạo với trục Ox góc tù đường thẳng có hướng xuống )
(2)BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm m để:
a) y =(m-1)x+3m đồng biến b) y =(m2-1)x+2m-1 có hướng xuống c) y =(m2+2m+5)x -3m-2 nghịch biến d) y = (m2-5m+6) có hướng lên e) y= (m+1)x +2+m tạo với trục Ox góc nhọn
f) y =( 1-4m)x+4m-2 tạo với trục Ox góc tù HD:
a) Hàm số đồng biến m -1 >0 m>1
b) Đường thẳng có hướng xuống m2-1 <0 (m-1)(m+1) < -1<m<1 c) Hàm số nghịch biến m2
+2m+5 < m2+2m+1+4 <0 (m+1)2+4 < : Vơ lí Vậy khơng tồn m để hàm số nghịch biến
d) Đường thẳng có hướng lên khi: m2-5m+6 > (m-2)(m-3) > m>3 m<2
e) Hàm số tạo với trục Ox góc α nhọn tanα = m+1 > m> -1 f) Hàm số tạo với trục Ox góc α tù tanα = 1-4m <0 m> 1/4
Dạng 3: Hệ số góc đường thẳng y = ax+b
Phương pháp: Nếu đường thẳng có dạng y =ax+b hệ số góc a ( a = tan𝛼 với 𝛼 là góc tạo đường thẳng với chiều dương trục Ox )
Bài 1: Cho đường thẳng y =(m-1)x +2m-3 Tìm m biết: a) Hệ số góc đường thẳng
b) Đường thẳng tạo với trục Ox góc 450
HD:
a) Vì hệ số góc đường thẳng nên m-1 =3 m= b) Vì đường thẳng tạo với trục Ox góc 450
nên hệ số góc đường thẳng là: m-1 = tan450 m-1 =1 m=
Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số y=ax+b
(3)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
chúng lại ( thường tìm giao với hai trục tọa độ)
Tìm giao điểm với Ox: Ta cho y =0 để tìm x suy giao điểm Tìm giao điểm với Oy: Ta cho x =0 để tìm y suy giao điểm BÀI TẬP:
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: y = x -3 Giải:
* y= x-3:
Giao điểm đồ thị với Ox: y=0, suy x-3=0 x=3 Vậy đồ thị cắt Ox A(3;0) Giao điểm đồ thị với Oy: x =0, suy y = 0-3=-3 Vậy đồ thị cắt Oy B(0;-3) Nối hai điểm A B ta đồ thị hàm số y =x-3
Dạng 5: Tìm giao điểm hai đồ thị y=f(x) y=g(x)
Phương pháp: Xét hoành độ giao điểm hai đồ thị thỏa mãn phương trình: f(x)=g(x) ta tìm x; y suy giao điểm
Chú ý:
Tìm giao điểm đồ thị với Ox: cho y=0 suy x Tìm giao điểm đồ thị với Oy: cho x=0 suy y
BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm giao điểm hai đường thẳng sau: y=3x-1 y=x+5 Giải:
Hoành độ giao điểm hai đồ thị thỏa mãn: 3x-1=x+5 x = suy y= ( cách thay x=3 vào y=3x-1 y=x+5) Vậy hai đồ thị giao A(3;8)
Bài 2: Tìm giao điểm đồ thị y=2x-4 với Ox Oy: Giải:
x O
y
3
3
(4)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Đồ thị giao Ox : y=0 suy 2x-4=0 x=2 Vậy đồ thị cắt Ox A(2;0) Đồ thị giao Oy : x=0 suy y= -4 Vậy đồ thị cắt Oy B(0; -4)
Bài 3: Tìm m biết đường thẳng y = (2m-1)x-2m+2 a) Cắt trục hồnh điểm có hồnh độ b) Cắt trục tung điểm có tung độ -1 Giải:
a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ nên đồ thị qua A(3; 0) Thay x =3; y=0 vào đồ thị ta được: 0=(2m-1).3-2m+2 6m-3-2m+2=0 m= 1/4 b) Tương tự Thay x =0; y =-1 vào đồ thị ta được:
-1 =(2m-1).0-2m+2 m =3/2
Bài 4: Tìm giao điểm hai đồ thị: y =2x2 y = x+1 Hoành độ giao điểm thỏa mãn phương trình:
2x2 = x+1 2x2 –x-1 =0 (x-1)(2x+1) =0 x =1 x = −1
2
Với x =1 suy y =2 Với x = −12 suy y =
2
Vậy hai đồ thị giao hai điểm A(1;2) B(−12;12 )
Dạng 6: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, vng góc, song song, trùng nhau: Phương pháp:
BÀI TẬP:
Bài Tìm m để hai đường thẳng y=(m-3)x+3 y= 2mx+2 song song, cắt nhau, vng góc
HD: Điều kiện: m ≠
Hai đường thẳng cắt khi: m-3 ≠ 2m m ≠ -3 Vậy … Hai đường thẳng song song : m-3 = 2m m = -3 Vậy…
Hai đường thẳng vng góc : (m-3).2m = -1 2m2-6m+1 =0 m = 6± 28
(5)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Dạng 7: Tìm m để hai đường thẳng cắt thỏa mãn điều kiện K Phương pháp chung:
- Tìm m để hai đường thẳng cắt (1)
- Tìm giao điểm hai đường thẳng x =f(m); y= g(m)
- Thay x, y vào điều kiện K để tìm m, đối chiếu với điều kiện (1) kết luận
a) Hai đường thẳng cắt thuộc góc phần tư thứ nhất, thứ hai: - Thuộc góc phần tư thứ I: 𝑥 > 0𝑦 > 0 𝑎1 ≠ 𝑎2
- Thuộc góc phần tư thứ II: 𝑥 < 0𝑦 > 0 𝑎1 ≠ 𝑎2 - Thuộc góc phần tư thứ III: 𝑥 < 0𝑦 < 0 𝑎1 ≠ 𝑎2 - Thuộc góc phần tư thứ IV: 𝑥 > 0𝑦 < 0 𝑎1 ≠ 𝑎2
Bài Tìm m để hai đường thẳng cắt điểm thuộc góc phần tư thứ nhất; góc phần tư thứ 2: mx+2y=5 (1) 2x+y=1 (2)
HD:
Hai đường thẳng cắt khi: 𝑚
2 ≠
1 m ≠
Từ (2) suy y=1-2x (3) thay vào (1) ta được: mx+2-4x=5 𝑥 =
𝑚 −4 Thay vào (3)
ta được: 𝑦 = 𝑚 −10
𝑚 −4
Hai đường thẳng cắt điểm thuộc góc phần tư thứ khi: 𝑥 >
𝑦 >
3
𝑚−4 > 𝑚−10
𝑚−4 >
𝑚 − >
𝑚 − 10 > m >10
Hai đường thẳng cắt điểm thuộc góc phần tư thứ khi: 𝑥 <
𝑦 >
3
𝑚−4 < 𝑚−10
𝑚−4 >
𝑚 − <
(6)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
b) Hai đường thẳng 𝒚 = 𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 = 𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐 cắt điểm nằm trên trục hoành Ox
- Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt : 𝑎1 ≠ 𝑎2 - Tìm giao điểm đường thẳng thứ với Ox: 𝑦 = 0; 𝑥 = − 𝑏1
𝑎1 suy A(−
𝑏1
𝑎1 ; )
- Tìm giao điểm đường thẳng thứ với Ox: 𝑦 = 0; 𝑥 = − 𝑏2
𝑎2 suy B(−
𝑏2
𝑎2 ; 0)
- Để hai đường thẳng cắt điểm thuộc Ox A ≡ B nên : 𝑎𝑏11 ≠ 𝑎2
𝑎1 =
𝑏2
𝑎2 Bài Tìm m để y= x+ m-3 y= 2x+3m-1 Cắt điểm thuộc Ox HD:
Vì a1= 1; a2 = nên hai đường thẳng cắt điểm
b) Giao điểm y= x+ m-3 với Ox : y=0 ; x = 3-m suy giao điểm C(3-m;0)
Giao điểm y= 2x+3m-1 với Ox là: y=0; x = 1−3m2 suy giao điểm D(1−3m2 ; 0) Để hai đường thẳng cắt điểm nằm Ox C ≡ D Suy 1−3m2 = − m
m= -5 Vậy m= -5 hai đường thẳng cắt điểm thuộc Ox
c) Hai đường thẳng cắt điểm thuộc trục tung Oy - Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt : 𝑎1 ≠ 𝑎2
- Tìm giao điểm đường thẳng thứ với Oy: x= 0; 𝑦 = 𝑏1 suy A(0; 𝑏1 ) - Tìm giao điểm đường thẳng thứ với Oy: 𝑥 = 0; 𝑦 = 𝑏2 suy B(0; 𝑏2 ) - Để hai đường thẳng cắt điểm thuộc Oy A ≡ B nên : 𝑎𝑏1 ≠ 𝑎2
1 = 𝑏2
Bài Tìm m để y= x+ m-3 y= 2x+3m-1 Cắt điểm thuộc Oy HD:
Vì a1= 1; a2 = nên hai đường thẳng cắt điểm Giao điểm y= x+ m-3 với Oy : A(0; m-3)
Giao điểm y= 2x+3m-1 với Oy B(0; 3m-1)
Để hai đường thẳng cắt điểm nằm Oy A ≡ B Suy m-3 = 3m-1
(7)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
d) Hai đường thẳng cắt điểm có hồnh độ m: Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: 𝑎1 ≠ 𝑎2 Bước 2: Thay x =m vào đường thẳng thứ để tìm y
Bước 3: Thay x= m y tìm bước vào đường thẳng thứ để tìm m Bước 4: Kết hợp điều kiện để kết luận
Bài Tìm m để y =x+3m-1 y=(m-1)x +m cắt điểm có hồnh độ x =1 HD:
Hai đường thẳng cắt : m-1 ≠ m ≠ Thay x=1 vào y =x+3m-1 ta được: y=3m
Thay x =1 ; y=3m vào y=(m-1)x +m ta 3m =(m-1).1+m m= -1 Vậy m = -1 hai đường thẳng cắt điểm có hồnh độ
e) Hai đường thẳng cắt điểm có tung độ y=m Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: 𝑎1 ≠ 𝑎2 Bước 2: Thay y =m vào đường thẳng thứ để tìm x
Bước 3: Thay y= m x tìm bước vào đường thẳng thứ để tìm m Bước 4: Kết hợp điều kiện để kết luận
Bài Tìm m để y= x+2m+1 y= (m-1)x +3 cắt điểm có tung độ HD:
Hai đường thẳng cắt : m-1 ≠ m ≠
Thay y =3 vào y= x+2m+1 ta = x+2m+1 x= 2-2m
Thay y=3; x= 2- 2m vào y= (m-1)x +3 ta được: 3= (m-1)(2-2m)+3 (m-1)(2-2m) =0
m=1
Vậy m=1 hai đường thẳng cắt điểm có tung độ
f) Tìm m để hai đường thẳng cắt điểm có tọa độ nguyên: Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau:
Bước 2: Dùng phương pháp cộng để tìm x, y theo m
(8)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
mx+2y=5 (1) 2x+y=1 (2) Hai đường thẳng cắt khi: 𝑚
2 ≠
1 m ≠
Từ (2) suy y=1-2x thay vào (1) ta được: mx+2-4x=5 x =
𝑚 −4 Để x nguyên ⋮
(m-4) hay m-4={-3; -1; 1; 3}
m-4 -3 -1
m
Vậy m = { 1;3;5;7}
g) Tìm quỹ tích giao điểm hai đường thẳng cắt ( Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng nằm đường cố định)
Phương pháp:
- Tìm m để hai đường thẳng cắt
- Dùng phương pháp cộng để tìm tọa độ giao điểm x, y theo m - Khử m biểu thức tọa độ x, y để tìm quỹ tích
Bài 1: Tìm m để hai đường thẳng cắt tìm quỹ tích giao điểm hai đường thẳng
d1: mx+2y=m+1 d2: 2x+my= 2m-1
Hai đường thẳng cắt khi:
𝑚 ≠
2
𝑚 m ≠ ±
Thay y= 𝑚 +1−𝑚𝑥
2 từ d1 vào d2 ta tìm x =
𝑚−1
𝑚+2 suy y= 2𝑚+1
𝑚+2
Vậy giao điểm hai đường thẳng A( 𝑚−1
𝑚+2; 2𝑚 +1
𝑚 +2 )
Ta thấy: x = 𝑚−1
𝑚+2 = −
𝑚+2; y= 2𝑚 +1
𝑚 +2 = −
𝑚+2 suy x-y=-1 Vậy quỹ tích giao
điểm hai đường thẳng nằm đường thẳng x-y= -1
Dạng 8: Các dạng lập phương trình đường thẳng
a) Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(𝒙𝟏, 𝒚𝟏); B(𝒙𝟐, 𝒚𝟐) Phương pháp:
Cách 1: (nâng cao) Phương trình đường thẳng là: 𝑥−𝒙𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏 =
𝑦−𝒚𝟏
(9)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Cách 2: giả sử phương trình đường thẳng y=a.x+b (1)
- Thay tọa độ A(𝑥1, 𝑦1); B(𝑥2, 𝑦2) vào (1) ta hệ phương trình: 𝑦1 = 𝑎 𝑥1 + 𝑏
𝑦2 = 𝑎 𝑥2 + 𝑏 từ hệ phương trình tìm a,b thay vào (1) ta phương trình đường thẳng
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1; -1) B(2;1) HD:
Cách 1:
Phương trình đường thẳng AB có dạng: 𝑥−𝑥𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴 =
𝑦−𝑦𝐴
𝑦𝐵−𝑦𝐴 hay
𝑥−1 2−1 =
𝑦+
1+1 2(x-1)
=1(y+1) hay y=2x-3 Cách 2:
Gọi phương trình đường thẳng AB y=ax+b Thay tọa độ A(1; -1) B(2;1) vào đường thẳng ta được:
−1 = 𝑎 + 𝑏1 = 𝑎 + 𝑏 Suy : a=2; b=-3 Vậy đường thẳng AB là: y=2x-3
Bài 2: Tìm đường thẳng y=ax+b biết đường thẳng cắt trục tung cắt trục hoành -2
HD:
Vì đường thẳng cắt trục tung nên điểm A(0;4) thuộc đồ thị thay x=0; y=4 vào đồ thị ta được: 4= a.0+b nên b=4
Vì đường thẳng cắt trục hồnh -2 nên đường thẳng qua B(-2; 0) Thay x=-2; y=0 vào đường thẳng ta được: 0= -2a+4 suy a=2 Vậy đường thẳng cần tìm y=2x+4
Bài 3: Tìm m n biết y =(m-1)x+2n qua điểm A(1;3) B(-3; -1) HD:
Thay tọa độ A(1;3) B(-3;-1) vào đường thẳng y =(m-1)x+2n ta được: = m − + 2n
−1 = m − −3 + 2n m + 2n = 4−3m + 2n = −4 m = 2n =
(10)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
- Cách 1: Phương trình đường thẳng là: y=k(x-𝑥1) + 𝑦1 ( nâng cao)
- Cách 2: Gọi đường thẳng y=ax+b Vì hệ số góc k nên a=k Vì đường thẳng qua A(𝑥1, 𝑦1) nên thay tọa độ A vào đường thẳng để tìm b
BÀI TẬP:
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua A(2; 1) có hệ số góc Cách 1: Phương trình đường thẳng là: y=3(x-2)+1=3x-5
Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng y=ax+b Vì hệ số góc nên a=3
Điểm A(2;1) thuộc đường thẳng nên thay x=2; y=1 vào đường thẳng ta được: 1=2.a+b mà a=3 suy b=-5 Vậy đường thẳng cần tìm là: y=3x-5
Bài 2: Cho đường thẳng y =(m-1)x +2n-3 Lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc qua A( 2;1)
HD:
Vì hệ số góc nên m-1 =3 m=4
Vì đường thẳng qua A(2;1) thay x=2; y=1 vào đường thẳng ta được: = (m-1).2 +2n-3 2m+2n = Mà m =4 nên n= -1
c) Lập phương trình đường thẳng qua A(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) tạo với trục Ox góc 𝜶 Phương pháp:
Gọi phương trình đường thẳng là: y= ax+b
Vì đường thẳng tạo với trục Ox góc 𝛼 nên a = tan𝛼
Thay tọa độ điểm A(𝑥1, 𝑦1) vào đường thẳng để tìm b Từ suy đường thẳng BÀI TẬP:
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua A(2;1) tạo với trục Ox góc 300 Gọi đường thẳng cần tìm y= ax+b
Vì đường thẳng tạo với trục Ox góc 300
nên a =tan300 = 33
(11)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Vậy đường thẳng cần tìm là: 𝑦 = 33 𝑥 + 3−2 33
d) Lập phương trình đường thẳng qua A(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) song song với y=a.x+b Phương pháp:
- Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: y=k.x+c (d) Vì (d)// y=ax+b nên k=a Thay tọa độ điểm A(𝑥1, 𝑦1) vào đường thẳng ta : 𝑦1 = 𝑘 𝑥1 + 𝑐, từ tính c
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(1;3) song song với đường thẳng y=-4x+3
Gọi đường thẳng cần tìm y=ax+b (d) Vì (d)//y= - 4x+3 nên a= -
(d) qua M(1;3) nên thay x=1; y=3 vào đường thẳng ta được: 3=a.1+b mà a= -4 nên b=7 Vậy đường thẳng cần tìm y= -4x+7
Bài 2: Cho đường thẳng y =(m+1)x +2n -3 Tìm m , n biết đường thẳng song song y =x+1 qua A(2;2)
Vì đường thẳng song song y =x+1 nên m+1 =1 m=0
Vì đường thẳng qua A(2;2) nên thay x =2; y=2 vào đường thẳng ta được: =(m+1).2 +2n-3 2m+2n = n =1,5 ( m=0)
e) Lập phương trình đường thẳng qua A(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) vng góc với y=a.x+b Phương pháp:
- Phương trình đường thẳng có dạng: y=k.x+c (d) Vì (d) vng góc y=ax+b nên = −1𝑎 Thay tọa độ điểm A(𝑥1, 𝑦1) vào đường thẳng ta : 𝑦1 = −1𝑎 𝑥1 + 𝑐, từ tính c
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua N(2; -1) vng góc với y= 4x+5 Gọi đường thẳng cần tìm y=ax+b (d) Vì (d) vng góc y= 4x+5 nên a= −1
4 = - 0,25 (
hai đường thẳng vng góc a1.a2 = -1)
(d) qua N(2;-1) nên thay x=2; y= -1 vào đường thẳng ta được: -1=a.2+b mà a= -0,25 nên b= -0,5
(12)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Bài 2: Cho đường thẳng y =(m-1)x +n -3 Tìm m , n biết đường thẳng vng góc y = x+1 qua A(1;2)
Vì đường thẳng vng góc y = x+1 nên m-1 = -1 m=0
Vì đường thẳng qua A(1;2) nên thay x =1; y=2 vào đường thẳng ta được: =(m-1).1 +n-3 m+n = n =6 ( m=0)
Dạng 9: Các tốn góc tạo đường thẳng với trục Ox, với đường thẳng khác
Phương pháp:
Góc tạo đường thẳng y=ax+b với trục Ox α cho: tanα =a
Nếu a >0 Đường thẳng tạo với trục Ox góc nhọn, a< đường thẳng tạo với trục Ox góc tù
Góc tạo đường thẳng y=a1x +b1 với đường thẳng y=a2x +b2 góc α cho:
tanα = | 𝑎1−𝑎2
1+𝑎1𝑎2| Chú ý:
- Khi tính góc tạo hai đường thẳng, tính góc tù, em phải lấy góc kề bù với góc tù đó, góc hai đường thẳng ln góc nhọn
- Để tính góc tạo điểm hệ trục Oxy, em đưa tam giác vuông rồi dùng tỉ số lượng giác góc nhọn
Bài 1: Cho y=(m-1)x+ 2m-3 Với giá trị m đường thẳng tạo với trục Ox góc nhọn, góc tù
Gọi góc tạo đường thẳng với trục Ox α Suy tanα = m-1 góc α góc nhọn tanα >0 hay m-1>0 suy m >1
góc α góc tù tanα <0 hay m-1< suy m <
Bài 2: Cho đường thẳng y= (m+1)x-2m Tìm m để đường thẳng tạo với trục Ox góc 450
Góc tạo đường thẳng với trục Ox 450
nên ta có: tan450 = m+1 1= m+1 m=0 Vậy m=0 đường thẳng tạo với Ox góc 450
(13)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Bài 3: Tìm m để góc tạo hai đường thẳng sau 600
: d1: y= (m-1) x+2 d2: y=2x-1
Ta có: 𝑡𝑎𝑛600 = 𝑚−1−2
1+(𝑚−2).2 𝑚−3
2𝑚−3 =
* Với 𝑚 −3
2𝑚 −3 = m= 3−3 1−2
* Với 𝑚−3
2𝑚 −3 = − m= 3+3 1+2
Dạng 10: Khoảng cách từ điểm O(0;0) đến đường thẳng Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đên đường thẳng A, lớn nhỏ
Phương pháp:
Cách 1: (Nâng cao)- Khoảng cách từ điểm A(𝑥1, 𝑦1) đến đường thẳng ax+by+c=0 là:
d = │𝒂.𝑥1+𝑏𝑦1+𝒄│
𝑎2+𝑏2
- Khoảng cách điểm A(𝑥1, 𝑦1) B(𝑥2, 𝑦2) là: AB= (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦
2 − 𝑦1)2
- Tọa độ trung điểm AB I( 𝑥2+𝑥1
2 ; 𝑦2+𝑦1
2 )
Cách 2: Để tính khoảng cách từ điểm O(0;0) đến đường thẳng, ta tìm giao điểm của đường thẳng với hai trục Ox Oy A B Từ O kẻ OH vng góc AB tính OH dựa vào tam giác vng OAB
Sau tính khoảng cách, ta tìm Min, Max khoảng cách
Bài 1: Cho đường thẳng d : y= 3x-1 Điểm A(2;3) B(1;2) Tìm trung điểm I đoạn AB, tính độ dài AB, tính khoảng cách từ điểm O(0;0) tới đường thẳng d
Tọa độ trung điểm I đoạn AB là: I(2+12 ;3+22 ) hay I(1,5; 2,5) Độ dài AB= (1 − 2)2 + (2 − 3)2 =
Khoảng cách:
Cách 1: Đường thẳng d: 3x-y-1=0 Khoảng cách từ O(0;0) tới d là: h= |3.0−0−1|
32+(−1)2 =
1 10 =
10 10
(14)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Giao điểm đường thẳng với Oy C(0; -1)
Từ hình vẽ, kẻ OH vng góc CD Suy khoảng cách từ O tới d OH Áp dụng định lí Pytago cho tam giác OCD: CD2
= OD2+OC2 =
9+ = 10
9 nên CD = 10
3
Trong tam giác vuông OCD: CD.OH= OC.OD OH =OC OD
CD = 10
10
Dạng 11: Tìm điểm cố định y=f(x,m) (chứng minh đồ thị qua điểm cố định tìm điểm mà đồ thị ln qua với m ):
Phương pháp:
Bước 1: Chuyển y=f(x,m) dạng: f(x,m)-y=0
Bước 2: nhóm số chứa m lại với nhau: m.f(x)+g(x,y)=0 Bước 3: Gọi I(x,y) điểm cố định, suy 𝑓 𝑥 =
𝑔 𝑥, 𝑦 = => 𝑥 =?𝑦 =? suy điểm cố định I
BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm điểm cố định đường thẳng sau: y=(m-2)x+2m-3 Ta có: mx-2x+2m-3-y=0 m(x+2) -2x-3-y=0 (1)
Gọi I(x;y) điểm cố định phương trình (1) với m Suy : 𝑥 + =
−2𝑥 − − 𝑦 = suy x= -2; y=1 Vậy đường thẳng qua điểm cố định I(-2; 1)
Dạng 12: Chứng minh điểm tọa độ không thẳng hàng (thẳng hàng) Tìm m
x y
0
-1
C
D H
(15)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
để điểm thẳng hàng: Phương pháp:
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm, thay tọa độ điểm thứ vào, thỏa mãn điểm thẳng hàng, khơng thỏa mãn điểm khơng thẳng hàng Cách 2: Tính hệ số góc đường thẳng AB AC Nếu KAB=KAC điểm thẳng
hàng ngược lại BÀI TẬP:
Bài 1:
a) Chứng minh điểm A(1;2); B(-2;-1) ; C(0;1) thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, B, C
b) Tìm m để điểm A(1;2); B(-2;-1) D(m; 3m-1) thẳng hàng
a) Cách 1: Đường thẳng qua hai điểm A B y=x+1 ( xem lại cách làm dạng 9a) Thay tọa độ C(0;1) vào đường thẳng AB ta được: 1=1.0+1 nên C nằm đường thẳng AB hay A, B, C thẳng hàng Đường thẳng qua điểm là: y =x+1
Cách 2: Hệ số góc đường thẳng AB KAB =
𝑦𝑏−𝑦𝑎
𝑥𝑏−𝑥𝑎 =
−1−2 −2−1 =
Hệ số góc đường thẳng AC KAC =
𝑦𝑐−𝑦𝑎
𝑥𝑐−𝑥𝑎 =
1−2
0−1 = Vì KAB= KAC nên điểm A, B, C thẳng hàng
Đường thẳng qua điểm là: y = 1(x-1)+2= x+1
b) Để A,B,D thẳng hàng D( m; 3m-1) phải nằm đường thẳng AB: y=x+1 Thay x=m; y=3m-1 vào đường thẳng AB ta được: 3m-1=m+1 m=1 Vậy với m=1 A,B,D thẳng hàng
Dạng 13: Tìm m để đường thẳng đồng quy ( qua điểm):
Phương pháp: Tìm giao điểm đường thẳng ( đường thẳng không chứa m) để đường thẳng đồng quy giao điểm thay vào đường thẳng số phải thỏa mãn, từ đó tìm m;
BÀI TẬP:
(16)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Xét hoành độ giao điểm đường thẳng (d1) (d2) thỏa mãn: 2x-1=x+1 suy x=2; y=3 Vậy (d1) giao (d2) A(2;3)
Để đường thẳng đồng quy A(2;3) thuộc (d3) suy ra: 3=(m+2).2 – m+3 m= -4 Vậy m= -4 đường thẳng đồng quy
Dạng 14: Tìm a để khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d lớn nhất, nhỏ nhất:
Phương pháp: Dùng cơng thức tính khoảng cách ( dùng tính chất tam giác vng để tính khoảng cách) từ điểm M tới d
Sau tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức khoảng cách BÀI TẬP:
Bài 1: Cho đường thẳng (d): 2kx+(k-1)y =2 Tìm m để khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng (d) lớn
Cách 1: Sử dụng cơng thức tính khoảng cách: Khoảng cách từ O(0;0) tới đường thẳng (d) là:
H= −2
2𝑘 2+ 𝑘−1 2 Để Hmin (2k)2
+(k-1)2 nhỏ Hay 5k2-2k+1 nhỏ
Ta có: 5k2-2k+1 = 5(k −1
5) + 4
5 ≥
5 Vậy Hmin =
2 4 5
= k = 1 5
Cách 2: Sử dụng công thức tam giác vuông: Đường thẳng giao Ox (1
k; 0) ; giao Oy B(0; k−1)
(17)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
1 OH2 =
1 OA2+
1 OB2
1
OH2 = k2 +
(k−1)2 =
5k2−2k+1
Để OH nhỏ 5k2
-2k+1 lớn
Ta có: 5k2-2k+1 = 5(k −1
5) + 4
5 ≥
5 Vậy Hmin =
2 4 5
= k = 1 5
Cách 3: Dựa vào điểm cố định:
Bước 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua A Bước 2: Tìm giao điểm đồ thị với Ox Oy B C
Bước 3: Để khoảng cách từ O đến đường thẳng lớn OA vng góc BC Từ tìm m
Dạng 15: Tìm a để đồ thị cắt hai trục tọa độ A B cho diện tích tam giác OAB=S, tam giác ABC vng, cân
Phương pháp: Tìm giao điểm đồ thị với Ox Oy ta tọa độ điểm A B Nếu cho diện tích OAB: Dùng cơng thức tính diện tích : 𝑆𝑂𝐴𝐵 =𝑂𝐴.𝑂𝐵
2 để tìm a Nếu cho tam giác OAB cân, vuông, đều: Ta dùng công thức tính khoảng cách AB; OB; OA sử dụng tính chất tam giác cân, vng , để tìm a
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho đường thẳng y= (m-1)x +m+3 Tìm m để đường thẳng cắt Ox, Oy A B cho diện tích tam giác OAB = 1đvdt
x O
Y
A( ;0) H
B(0; )
1 k
(18)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Giao điểm đường thẳng với Ox : y=0 => x= 𝑚+3
1−𝑚 Suy A(
𝑚+3 1−𝑚;0 ) Giao điểm đường thẳng với Oy: x=0 => y=m+3 Suy B( 0; m+3) 𝑆𝑂𝐴𝐵 =𝑂𝐴.𝑂𝐵2 =1
2
𝑚+3
1−𝑚 𝑚 +3 = 1đ𝑣𝑑𝑡 ∗ 𝑚+3
1−𝑚 𝑚 + = 2 m=-1 m=-7
∗ 𝑚+3
1−𝑚 𝑚 + = −2 ( vô nghiệm)
Vậy m= -1 m= -7
Bài 2: Cho y=ax +b Tìm a b biết đường thẳng song song với đường thẳng y=x+2 tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích
Vì đường thẳng song song với y= x+ nên a=1 Suy y= x+b ( b ≠ 2) Giao đồ thị với Ox A(-b; 0)
Đồ thị giao Oy B(0; b) Vì 𝑆𝐴𝑂𝐵 =2 nên |-b.b|=4 hay b=-2 ( b ≠ 2) Vậy đường thẳng cần tìm là: y= x -2
Dạng 16: Cho tọa độ đỉnh tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC vng, cân, tính diện tích tam giác
Phương pháp: Tìm tọa độ đỉnh ABC, dùng Pitago để tính độ dài cạnh tam giác vng, cân,
Để tính diện tích tam giác ABC:
Cách 1: Tính trực tiếp biết đáy đường cao tam giác Cách 2: Tính gián tiếp thơng qua hình
Cách 3: Dùng cơng thức tính khoảng cách BÀI TẬP:
(19)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Dùng định lí Pytago để tính cạnh, suy diện tích chu vi
Bài Cho đường thẳng y =2x+5 Giao điểm đường thẳng với Ox Oy E, F
a) Tính diện tích tam giác OEF
b) Tìm tọa độ điểm M cho MEFC hình bình hành, biết C(3;3) HD:
a) Cho x =0 suy y =5 Đồ thị giao Oy F(0;5) Cho y =0 suy x = -2,5 Đồ thị giao Ox E(-2,5; 0)
x O
Y
3
3 -3
1
2 -1
-1
A
(20)HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Diện tích OEF là: 𝑆𝑂𝐸𝐹 =𝑂𝐸.𝑂𝐹2 = 5.2,52 = 6,25 (đvdt)
b) Gọi I trung điểm EC suy I( −2,5+3
2 ; 0+3
2 ) hay I( 2;
3 )
Vì I trung điểm FM mà 𝑦𝑥𝐹 + 𝑥𝑀 = 2𝑥𝐼
𝐹 + 𝑦𝑀 = 2𝑦𝐼
0 + 𝑥𝑀 = 2.12 + 𝑦𝑀 = 2.32
𝑥𝑀 = 𝑦𝑀 = −2 x
O F
E y= 2x
+5
-2,5
C
M I
1
-2