(2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn. a.[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái hun Môn: Toán 7
Thi gian lm bi: 120 phỳt (không kể giao đề) Đề 1.1
A/ Phần đề chung
Câu (1,5điểm):
a (0,75đ) Tính tổng B = 1+5+52+53+… +52008+52009
b (0,75®) Thùc hiƯn phÐp tÝnh
25 25
1 : 625
1 Câu (2điểm):
a (1đ) Tìm x, y biết :
x y x y
x
6
2
1
2
b (1đ) Tìm x biÕt
14 13
1 12
1 11
1 10
1
x x x x
x Câu (1,5điểm):
V thị hàm số: y = - x
3 Câu (3điểm):
a (1,5đ) Hiện anh em tuổi Tuổi anh cách năm tuổi em sau năm tỉ lệ với Hỏi anh ti? Em bao nhiªu ti?
b (1,5đ) Cho ABC(góc A=900) Kẻ AHBC, kẻ HPAB kéo dài để có
PE = PH Kẻ HQ AC kéo dài để có QF = QH
a./ Chøng minh APE = APH vµ AQH = AQF
b./ Chøng minh điểm E, A, F thẳng hàng B/
Phn riờng
Câu A (2điểm): (Dành cho học sinh chuyên toán) a (1,5đ) Tính tổng
S = + + + 14 + …+
1 3n1
(víi n Z+)
b (0,5®) Cho ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5
Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nµo lµ nghiƯm cđa đa thức f(x) Câu B (2điểm): (Dành cho học sinh không chuyên toán)
a (1,5) Tỡm x Z để A có giá trị nguyên A =
2
x x
b (0,5®) Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55
§Ị thi häc sinh giái huyện
Môn: Toán 7
Thi gian lm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.2
A/ Phn chung
Câu (1,5điểm)
a (1®) TÝnh tỉng: M =
-n 4n
4 13
4
4
4
(2)a (1đ) Tìm x, y, z biết: 216 64 3 y z
x
vµ x2 + y2 + z2 = 14
b (0,5®) Cho x1 + x2 + x3 + …+ x50 + x51 = vµ x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = … = x49 + x50 = tính x50
Câu (2điểm)
a (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ, cho điểm M(-3;2) N(3;-2) Hãy giải thích gốc toạ độ O hai điểm M, N điểm thẳng hàng?
b (1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x
2 2
2 x x x x
x
a./ Tìm bậc đa thức Q(x) b./ Tính Q
c./ Chứng minh Q(x) nhận giá trị nguyên với số nguyên x Câu (3điểm)
a (1đ) Ba tổ công nhân A, B, C phải sản xuất số sản phẩm nh Thời gian tổ hoàn thành kế hoạch theo thứ tự 14 ngày, 15 ngày 21 ngày Tổ A nhiều tổ C 10 ngời Hỏi tổ có công nhân? (Năng suất lao động cơng nhân nh nhau) b (2đ) Cho hình vng ABCD Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ đờng thẳng AD vẽ
tia AM (M CD) cho góc MAD = 200 Cũng nửa mặt phẳng nµy vÏ tia AN (N BC) cho gãc NAD = 650 Tõ B kỴ BH
AN (H AN) tia đối tia HB lấy điểm P cho HB = HP chứng minh:
a./ Ba điểm N, P, M thẳng hàng b./ Tính c¸c gãc cđa AMN B/
Phần đề riêng
Câu A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
a (1®) Chøng minh r»ng: 222333 + 333222 chia hết cho 13 b (1đ) Tìm số d phép chia 109345 cho 7
Câu B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên a (1đ) Tìm số nguyên d¬ng n biÕt
5 5 5 5 5 5 5 5 2 6 6 6 3 4 4
= 2n
b (1đ) Chứng minh với số nguyên dơng n thì: 3n+3 + 2n+3 3n+2 + 2n+2 chia hÕt cho 6
§Ị thi häc sinh giái huyện Môn: Toán 7
Thi gian lm bi: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.3
A/ Phn chung
Câu (2,5điểm):
a (1,75đ) TÝnh tæng: M = 1 4761 417 762 139 762 417.762 139 b (0,75đ) Tính giá trị đa thức sau x = -1
x2 + x4 + x6 + x8 + + x100
Câu (1điểm):
a (0,5®) Cho tØ lƯ thøc 43 y x y x
tính giá trị xy
b (0,5®) Cho tØ lƯ thøc
d c b a
chøng minh r»ng
d c d c b a b a 3 3
Câu (2,5điểm):
a (1,5đ) Cho hàm số y = - x
3
(3)* Vẽ đồ thị hàm số y = -3
x
* Chứng tỏ M(3;-1) giao hai đồ thị hàm số * Tính độ dài OM (O gốc toạ độ)
b (1đ) Một ôtô tải ôtô khởi hành từ A B, vận tốc ôtô 40km/h, vận tốc ôtô tải 30km/h Khi ôtô tải đến B ơtơ đến B trớc 45 phút Tớnh di quóng ng AB
Câu (2điểm): Cho ABC có góc A = 900, vẽ phân giác BD CE (DAC ; E AB)
chúng cắt O
a (0,5đ) Tính số đo góc BOC
b (1đ) Trên BC lấy điểm M N cho BM = BA; CN = CA chøng minh EN// DM c (0,5đ) Gọi I giao BD AN chứng minh AIM cân
B/
Phn riờng
Câu A (2điểm): Dành cho học sinh chuyên
a (1đ) Chứng minh ®a thøc sau kh«ng cã nghiƯm: P(x) = 2x2 + 2x +
4
b (1®) Chøng minh r»ng: 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263
C©u B (2điểm): Dành cho học sinh không chuyên a (1đ) Tìm nghiệm đa thức 5x2 + 10x
b (1đ) Tìm x biết: 5(x-2)(x+3) = 1
Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 7
Thi gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.4
A/ Phn chung
Câu (1,5điểm):
a (0,75®) TÝnh tỉng M = )
23 ( 47
3 47
3 27 23
4
b (0,75đ) Cho số a1, a2, a3 an số nhận giá trị -1
Biết a1a2 + a2a3 + … + ana1 = Hỏi n 2002 đợc hay khơng?
Câu (2 điểm)
a (1đ) Tìm x biÕt
x y y
y
6 24
4 18
2
1
b (1đ) Tìm x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z x y + z = 32 Câu (1,5®iĨm)
Cho hình vẽ, đờng thẳng OA đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a0)
a TÝnh tØ sè
4
o o
x y
b Gi¶ sư x0 = tÝnh diƯn tÝch OBC
C©u (3®iĨm)
y0
X0
C B A
(4)a (1đ) Một ôtô tải ôtô khởi hành từ A B, vận tốc ôtô 40km/h, vận tốc ôtô tải 30km/h Khi ôtô tải đến B ơtơ đến B trớc 45 phút Tính độ dài quãng đờng AB
b (2đ) Cho ABC, gọi M N theo thứ tự trung điểm AC AB Trên tia đối
của tia MB lấy điểm D cho MD = MB, tia đối tia NC lấy điểm E cho NE = NC Chứng minh rằng:
Ba ®iĨm E, A, D thẳng hàng A trung điểm cđa ED B/
Phần đề riêng
C©u A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên a (1đ) So sánh 5+
b (1đ) Cho hai ®a thøc P(x) = x2 + 2mx + m2 Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2
Tìm m biết P(1) = Q(-1)
Câu B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên a (1đ) So sánh 2300 và 3200
b (1đ) Tính tổng A = + + 22 + … + 22010
Đề thi học sinh giỏi huyện Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề) Đề 1.5
A/ Phần đề chung
C©u (1,5 ®iĨm): (1®) TÝnh tỉng: A =
11
4 11
1
+
625 125
4 16 ,
4 625
3 125
3 25
3 ,
a (0,5đ) Tìm số a1, a2, a3, … a9 biÕt
1
7
2
1 2 3 9
1 a a a
a
vµ a1 + a2 + a3 + … + a9 = 90
C©u (2 điểm)
a (1đ) Tìm x, y biết
x y x
y y
4
5 12
3
1
b (1®) ChØ cặp (x;y) thoả mÃn 2 x y
x =
C©u (1,5®iĨm)
a (1đ) Cho hàm số y = f(x) = x + với x ≥ -1 -x – với x < -1 * Viết biểu thức xác định f
* T×m x f(x) = b (0,5đ) Cho hàm số y = x
5
* Vẽ đồ thị hàm số
* Tìm đồ thị điểm M có tung độ (-2), xác định hồnh độ M (gii bng tớnh toỏn)
Câu (3điểm)
a (1đ) Một ôtô dự định từ A đến B thời gian dự định với vận tốc 40km/h Sau đợc 1/2 qng đờng AB ơtơ tăng vận tốc lên 50km/h quãng đờng lại Do ơtơ đến B sớm dự định 18 phút Tính quãng đờng AB
b (2đ) Cho ABC vuông cân A, M trung điểm BC, điểm E nằm M C Kẻ BH, CK vng góc với AE (H K thuộc đờng thẳng AE) Chứng minh rằng:
* BH = AK
* MBH = MAK
* MHK tam giác vuông cân
B/
Phn riờng
(5)a (1đ) Tìm số x, y, z thoả mãn đẳng thức
2
)
(x + (y 2)2 + xyz = 0
b (1đ) Tìm x, y, z biÕt: x + y = x : y = 3(x y)
Câu B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên a (1đ) Tìm x biết: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120
b (1đ) Rút gọn biểu thức sau cách hợp lí: A =
343
2 64
) 7 (
1 49
1 49 1
2
Đáp án 1.5
I phn chung
Câu 1 (1,5đ: ý 0,75đ) a A =
b áp dụng tính chất dãy TSBN ta tính đợc a1 = a2 = … = a9 = 10
Câu 2 (2điểm: ý 1đ)
a - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) (3) đợc tỉ số (4) - Từ tỉ số (4) tỉ số (2) 12 + 4x = 2.5x x =
Từ tính đợc y = -15
1 b - V× 2
x
x vµ
y
x2 + 2x = y2 – = từ tìm cỏc cp (x;y)
Câu 3 (1,5đ)
a (1) - Biểu thức xác định f(x) = x1
- Khi f(x) = x1 = từ tìm x
b (0,5đ) - Vẽ đồ thị hàm số y = x
5
x O (0;0) y A (5;2)
- Biểu diễn O(0;0); A(5;2) mặt phẳng toạ độ OA đồ thị hàm số y = x
5 - M đồ thị y = x
5
-2 = x
5
x = -5 Câu 4 (3điểm)
a (1đ) 18 phút = ( )
10 60 18
h
- Gọi vận tốc thời gian dự định nửa quãng đờng trớc v1; t1, vận tốc thời
gian nửa quãng đờng sau v2; t2
- Cùng quãng đờng vận tốc thời gian đại lợng TLN đó: V1t1 = v2t2
3 100
1 2 1
t t
v v t v t v
2
t (giờ) thời gian dự định quãng đờng AB
- Quãng đờng AB dài 40 = 120 (km) b (2đ)
- HAB = KCA (CH – GN) BH = AK
- MHB = MKA (c.g.c)
MHK cân MH = MK (1)
M K H
B
A C
(6)Cã MHA = MKC (c.c.c)
góc AMH = góc CMK từ góc HMK = 900 (2)
Từ (1) (2) MHK vuông cân M II Phần đề riêng
Câu A (2đ)
a (1đ) Vì (x 2)2 víi x (y 2)2 víi y
z y
x với x, y, z
Đẳng thức xảy
0 ) (
0 ) (
2
x y x
y x
0 2
z y x
b (1®)Tõ x + y = 3(x-y) = x : y
2y(2y – x) = mà y 0 nên 2y – x = x = 2y Từ x =
3
; y = Câu B (2đ)
a (1đ) - Đặt 2x lµm TSC rót gän
- Biến đổi 120 dới dạng luỹ thừa số tìm x b (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rút gọn đợc A =
4
đáp án đề 1.4
I Phần đề chung
C©u (1,5®)
a (0,75đ) - Biến đổi M dới dạng tổng - Đặt a
23
; b
47
- Rút gọn thay giá trị a, b vào đợc A = 119 b (0,75đ) Xét giá trị tích a1a2, a2a3, ana1
số tích có giá trị bằng số tích có giá trị -1 b»ng
n
v× 2002 2 n = 2002
Câu (2đ)
a (1đ) Tìm x biÕt
x y y
y
6 24
4 18
2
1 (1) (2) (3)
- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) (3) đợc tỉ số (4) - Xét mối quan hệ tỉ số (4) (2)
6x = 24 = 48 x = b (1đ) - Đa dạng badc ef
- ¸p dơng tÝnh chÊt d·y TSBN tÝnh x, y, z Câu (1,5đ)
a (0,75) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm số y = f(x) = ax
y0 = ax0
(7)Mµ A(2;1) a =
0
x y
4
2 0
0
x y x
y
b (0,75đ) - OBC vuông C
SOBC = OC.BC
1
= 0
y OC Víi x0 =
2 5
SOBC = 6,25 (®vdt)
Câu (3đ)
a (1đ) - Đổi 45 = h h
4 60 45
- Gọi vận tốc ôtô tải ôtô v1 v2 (km/h) tơng ứng với thêi gian lµ t1 vµ
t2 (h) Ta cã v1.t1 = v2.t2
- Vì vận tốc thời gian hai đại lợng TLN
1 2
t t v v
; t2 – t1 =
4 - Tính đợc t2 =
4
= (h) t1 = ( )
4
h
S = v2 t2 = 30 = 90km
b (2®)
- MAD = MCB (c.g.c)
gãc D = gãc B AD // BC (1) - NAE = NBC (c.g.c)
gãc E = gãc C AE // BC (2) Tõ (1) (2) E, A, D thẳng hàng
- Từ chứng minh A trung điểm ED
II Phần đề riêng
C©u A (2đ)
a (1đ) So sánh 51
ta cã < + < 5+ = + + < ( 5 1)2
8 5+
b (1đ) - Thay giá trị x vào ®a thøc
Cho đa thức ta tính đợc m = -4
C©u B (2®)
a (1®) Ta cã 2300 100
) (
3200 (32)100
3200 > 2300
b (1đ) - Nhân hai vế tổng với A với - Lấy 2A – A rút gọn đợc A =
2 22010
A
B N
M
C E
(8)đáp án 1.3 I Phần đề chung
C©u (2,5®)
a (2đ) - Biến đổi M dới dạng tổng đặt a =
417 ; b = 762
; c = 139
1 - Rút gọn thay giá trị a, b, c vào ta tính đợc M =
762 b (0,5®) (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + … + (-1)100 = + +1 + … + = 50
Câu (1đ)
a (0,5đ) áp dụng tính chất tỉ lệ thức
bc ad d c b a y x
b (0,5®) Tõ
d c d c b a b a d c b a d c b a d b c a d b c a d c b a 3 3 3 3 3 2
Câu (2,5đ) a (1,5®)
* Vẽ đồ thị hàm số y = -3
x
* Từ hàm số ta đợc phơng trình hồnh độ -3
x = x -4
Thay điểm M(3; 1) vào phơng trình hồnh độ ta đợc -3
= – = -1 M(3; -1) giao đồ thị hàm số
* Trên mặt phẳng toạ độ ta thy
OMP
vuông P 2 2
2 1 3
OM OP PM
OM 19 10 (đvđd) b (1đ)
- Đổi 45 = h h
4 60 45
- Gọi vận tốc ôtô tải ôtô v1 v2 (km/h) tơng ứng víi thêi gian lµ t1 vµ
t2 (h) Ta cã v1.t1 = v2.t2
- Vì vận tốc thời gian hai đại lợng TLN
1 2 t t v v
; t2 – t1 =
4 - Tính đợc t2 =
4
= (h)
T1 = ( )
4 h
S = v2 t2 = 30 = 90km
C©u (2®)
a (0,5®) Cã gãc B + gãc C = 900
gãc OBC + gãc BCO = 450
90
(9)b (1®)
ABD = MBD (c.g.c)
gãc A = gãc M = 900 DM
BC (1) ECN = ECA (c.g.c)
gãc A = gãc N = 900 EN
BC (2)
Tõ (1) vµ (2) EN // DM
c (0,5®)
IBA = IBM (c.g.c)
IA = IM thay IAM cân I II Phn riờng
Câu A (2đ)
a (1®) P(x) = (x+1)2 + x2 +
4
víi x vËy P(x) nghiệm
b (1đ) 2454 5424 210 = (23.3)54 (2.33)24 210 = 2196 3126
7263 = (23 32)63 = 2189 3126
Từ suy 2454 5424 210
7263
Câu B (2đ)
a (1®) Cho 5x2 + 10x = 0
5x(x + 10) =
0 10
0
x x
10
x x
NghiÖm đa thức x = x = -10
b (1®) 5(x-2)(x+3) = = 50 (x-2)(x+3) =
3
3
x x x
x
VËy x = hc x = -3
đáp án 1.2
I Phn chung
Câu (1,5đ)
a (1đ)- Đa dấu dÊu ngc
- Tách phân số thành hiệu phân số rút gọn đợc A =
n
b (0,5đ) Biến đổi rút gọn ta đợc x = -4 Câu (1,5đ)
a (1đ)- Biến đổi mẫu dới dạng lập phơng đa dạng badc ef O
I E
A D C
M N
(10)- ¸p dơng tÝnh chÊt d·y TSBN råi tìm x, y, z b (0,5đ) Kết x50 = 26
Câu (2đ) a (1đ)
Gi ng thẳng (d) qua O M(-3;2) đồ thị hàm số dạng y = ax (a0) từ tính a để xác định hàm số OM đồ thị hàm số
- Kiểm tra điểm N(3;-2) có thuộc đồ thị hàm số không? kết luận: O, M, N thẳng hàng
b (1®) - Thu gän Q(x) =
2 x
x
bậc Q(x) (0,25đ)
- Q(-2
) =
2 ) ( )
(
=
16
4
1
(0,25®)
- Q(x) =
) ( x
x số chẵn
Q(x) Z (0,5đ) Câu 4(3đ)
a (1®) Gäi sè ngêi tỉ A, tỉ B, tỉ C lần lợt x, y,z tỉ lệ nghịch với 14, 15, 21 x, y, z TLT víi
21 ; 15
1 ; 14
1
Từ tính đợc x = 30; y = 28; z = 20 b (2đ)
* - BNA = PNA (c.c.c) gãc NPA = 900 (1)
- DAM = PAM (c.g.c)
gãc APM = 900 (2)
Tõ (1) vµ (2) gãc NPM = 1800 KÕt luËn
* Góc NAM = 450 ; góc ANP = 650; góc AMN = 700 II phần đề riêng
Câu A (2đ)
a (1đ) 222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222
= 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111)
V× 888111 + 9111 = (888 + 9)(888110 – 888109.9 + … - 888.9109 + 9110)
= 13.69 (888110 – 888109.9 + …- 888109 + 9110)13 KL
b (1®) Ta cã 109345 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + v× 109345 – 4345 7
4345 – 7 109345 chia hÕt cho d 1
Câu B (2đ) Đáp án 2
a (1®)
VT: - Đa tổng luỹ thừa dới dạng tích biến đổi đợc 212 n = 12
b (1®)
- Nhóm số hạng thứ với số hạng thứ đặt TSC Số hạng thứ với số hàng thứ đặt TSC
- §a vỊ tổng có số hạng cho mµ UCLN(2;3) =
tỉng 6
đáp án 1.1
I Phần đề chung
C©u (1,5đ)
a (0,75đ) - Nhân vế tổng B víi
- Lấy 5B - B rút gọn tính đợc B =
(11)- Thực phép chia đợc kết -1 29
2 Câu (2đ)
a (1) - áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) (2) đợc tỉ số (4) - Từ tỉ số (3) tỉ số (4) ta có 6x + 12 x = tù tính đợc y = b (1đ) - Chuyển số hạng vế phải sang vế trái
- Đặt thừa số chung đa tích - Tính đợc x = -1
Câu (1,5đ) (Mỗi đồ thị cho 0,75đ) y = - x
3
= -3
x víi x
3
x víi x < C©u (3®)
a (1,5®) - Gäi ti anh hiƯn lµ x (x > 0), ti em hiƯn lµ y (y>0) tuổi anh cách năm x –
Ti cđa em sau năm y + Theo có TLT:
4
5 y
x
x - y = Từ tính đợc: x = 20; y = 12
- VËy ti anh hiƯn lµ 20 ti em 12 b (1,5đ)
- APE = APH (CH - CG)
- AQH = AQF (CH - CG)
- góc EAF = 1800 E, A, F thẳng hàng II Phần đề riờng
Câu 5A (2đ)
a (1,5) - Bin đổi S = n
2
+ ( )
2 3
30 1
n
- Đa dạng 3S – S = 2S - Biến đổi ta đợc S =
4
2n n (n
Z ) b (0,5đ)
- Nghiệm lại giá trị 1, -1, 5, -5 vào đa thức
- Giá trị làm cho đa thức giá trị nghiệm
C©u B (2®)
a (1,5®) A = +
x
A nguyªn
2
x nguyªn x – (8)
LËp b¶ng
x -2 -8 -4 -2 -1
x -6 -2 10
V× x Z x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} A Z b (0,5đ) 76 + 75 – 74 = 74 (72 + – 1)
(12)