Tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2021 môn toán theo chuyên đề

Thúc em đỗ đại học Cô NV em Uhm Ngọc Huyền LB LỜI NÓI ĐẦU C uốn sách 200 BÀI TOÁN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO quà tâm huyết năm học Đây q muốn tặng cho tất em học sinh theo dõi fan page “Học tốn Ngọc Huyền LB” Giao Thừa chuyển sang năm Tân Sửu Đặc biệt cô muốn gửi tới tất bạn học sinh “VỀ ĐÍCH + TỔNG ƠN VÀ LUYỆN 150 ĐỀ: “Giai đoạn Tết khốc liệt, em vừa phải gồng Luyện đề, vừa phải nghiền ngẫm lại VD-VDC kĩ thuật Casio tin khóa Vận Dụng – Vận Dụng Cao mà cô cho triển khai từ 1/3 tới giúp em qua giai đoạn cách ngoạn mục Ngoài việc sàng lọc câu VD – VDC từ 200 đề thi thử nhất, cịn bổ sung thêm câu TH-NB mà em hay nhẫm lẫn Tất quay video chi tiết làm file chi tiết Ngồi ra, bạn gia nhập VỀ ĐÍCH 9+ sau cần tập trung vào tinh hoa mà cô sàng lọc từ đề thi khóa VDVDC Khơng cần thiết phải xem lại đề dài lê thê” đề khơng giỏi, 10 đề chưa giỏi, 100 đề chưa thực giỏi, trải qua 150 đề tin chinh phục cánh cổng Đại Học! Cuối cùng, cô mong em kiên định mục tiêu định, ghì chặt xơng lên chinh phục cơ! Cô tin, làm được! "Nếu làm gì, tơi làm cách thật ngoạn mục tơi khơng làm cả" MỤC LỤC A Đề I Hàm số II Mũ – logarit 11 III Tích phân 13 IV Số phức 16 V Thể tích khối đa diện 18 VI Khối tròn xoay 23 VII Hình tọa độ Oxyz 27 VIII Tổ hợp – Xác suất, Giới hạn, Cấp số 34 B Hướng dẫn giải chi tiết 36 I Hàm số 36 II Mũ – logarit 74 III Tích phân 83 IV Số phức 95 V Thể tích khối đa diện 109 VI Khối tròn xoay 135 VII Hình tọa độ Oxyz 147 VIII Tổ hợp – Xác suất, Giới hạn, Cấp số 177 200 toán VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 A ĐỀ BÀI I HÀM SỐ Câu 1: Biết tồn số nguyên a, b cho hàm số y  ax  b x2  đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn số nguyên tập giá trị hàm số cho có số nguyên Giá trị a2  2b2 A 36 B 34 C 41 Câu 2: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau D 25 1 5 Bất phương trình f   4x   e 34 x  2m với x   ;  4 4 A m  f  2   e2 f 2 B m   e2 C m  f  2   2e D m  f    e  1 Câu 3: Cho hàm số y  x2   m   x  m  m   Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số m  1;1 y , y Số giá trị m để y1  y  A B C D Câu 4: Giá trị tham số thực k sau để đồ thị hàm số y  x  3kx  cắt trục hoành ba điểm phân biệt A 1  k  B k  D k  C k   xy2 x  y  z  Câu 5: Cho số thực x, y , z thỏa mãn điều kiện  Hỏi biểu thức P  nhận 2 z2  x  y  z  giá trị nguyên? A B Câu 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục x D \ 2; 2 có bảng biến thiên sau: –2 –∞ y’ y C – – +∞ +∞ +∞ + –∞ 2018 –∞ Số nghiệm phương trình f  2018x  2019   2020 A B C D Câu 7: Cho hàm số y  f  x   x   2m  1 x    m x  Tập tất giá trị m để đồ thị hàm số   có điểm cực trị  ba ; c  với a , b , c số nguyên ba y f x A a  b  c  11   B a  b  c  C a  b  c  10 phân số tối giản Tính a  b  c D a  b  c  Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Câu 8: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  xf   x     x 1  f  x  f   x  với x dương Biết f 1  f  1  tính f   A f    ln  Câu 9: Tìm C f    2ln2  B f    ln  tất giá trị  tham số D f    2ln  m thực để phương trình  2log  x    log  x    2log 2 x  x  m có hai nghiệm phân biệt 2 B m   20;    5;7  A m   20;  C m   5;    D m  20;    5;7  Câu 10: Cho hàm số y  x3  3x  C  Biết đường thẳng d : y  mx  cắt  C  ba điểm phân biệt A , B , C Tiếp tuyến ba điểm A , B , C đồ thị  C  cắt đồ thị  C  điểm A, B, C  (tương ứng khác A , B , C ) Biết A, B, C  thẳng hàng, tìm giá trị tham số m để đường thẳng qua ba điểm A, B, C  vng góc với đường thẳng  : x  2018 y  2019  A m  1009 Câu 11: Cho hàm số y  B m  1009 C m  2009 D m  2019 2x  có đồ thị  C  Tiếp tuyến M  x0 ; y0  x0   đồ thị  C  tạo với hai x1 đường tiệm cận đồ thị  C  tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn Giá trị biểu thức T  2018 x0  2019 y0 C T  2018 B T  2016 A T  2021 D T  2019 Câu 12: Cho hàm số y  x3  3x  1C  Biết tồn hai tiếp tuyến đồ thị  C  phân biệt có hệ số góc k , đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Gọi S tập giá trị k thỏa mãn điều kiện trên, tính tổng phần tử S A B Câu 13: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn e P  x  z  x y  z C 12 D C 268 D 106  e  x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  xz y A 108  B 106  Câu 14: Hàm số y  x  x  có điểm cực trị? A B C Câu 15: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình  1 B m   2;  2   5 A m   1;   2 Câu 16: Cho hàm số  f f f f 4 D x 1 x 2  m có nghiệm phân biệt   D m    ;    C m  0; 3 f  x   x3  12x2  ax  b đồng biến , thỏa mãn    Tìm f 7  A 31 B 32 C 33    f f f    D 34 Câu 17: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d ( a  ) đạt cực trị điểm x1 , x thỏa mãn x1   1;0  ; x2  1;  Biết hàm số đồng biến khoảng  x1 ; x2  , đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ dương Khẳng định đúng? A a  0, b  0, c  0, d  | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn B a  0, b  0, c  0, d  200 toán VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 D a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  Câu 18: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm x  Gọi d1 , d2 tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x   x f  2x  1 điểm có hồnh độ x  Biết hai đường thẳng d1 d vng góc với Khẳng định đúng? A C f 1  2 B f 1  2  f 1  Câu 19: Cho hàm số bậc ba f  x  g  x    f  mx  n  m, n D  f 1  2  có đồ thị hình vẽ y f (x) g(x) O –1 x Biết hàm số g  x  nghịch biến khoảng có độ dài Giá trị biểu thức 3m  2n B  A –5 13 C Câu 20: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau x –∞ 16 –2 y' + D – +∞ + +∞ y –∞   Hàm số y  f x  có điểm cực trị? A B C D Câu 21: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  có đồ thị hình vẽ bên Khi tổng số nghiệm hai     phương trình f g  x   g f  x   y y = f (x) -3 -2 -1 O x -1 -2 -3 -4 y = g(x) A 25 B 22 C 21 D 26 Câu 22: Cho hàm số y  x3  11x có đồ thị C  Gọi M1 điểm  C  có hồnh độ x1  2 Tiếp tuyến  C  M1 cắt  C  điểm M khác M , tiếp tuyến  C  M cắt  C  điểm M Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | Ngọc Huyền LB The Best or Nothing khác M2 , , tiếp tuyến  C  điểm Mn1 cắt  C  điểm Mn khác Mn1 n , n   Gọi Mn  xn ; yn  Tìm n cho 11xn  yn  22019  A n  675 C n  674 B n  673 f   x   x4  Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm D n  672  x x  f 1  1 Khẳng định x2 sau đúng? A Phương trình f  x   có nghiệm  0;1 B Phương trình f  x   có nghiệm  0;   C Phương trình f  x   có nghiệm  1;  D Phương trình f  x   có nghiệm  2;  Câu 24: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y có đồ thị hình vẽ: O x –6 f x f x Đặt g  x        Tìm số nghiệm phương trình g  x   A B C  D  Câu 25: Cho phương trình sin x   cos x   2 cos x  m  cos x  m   cos x  m   2  Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm x  0;  ?   A B C D  4x  2x Câu 26: Các giá trị thực tham số m để bất phương trình   m  nghiệm với   x2  1 x  số thực x 2  A m   ; 4    ;   3  2  B m   ;   3   2 C m   4;  3  D m  ; 4  Câu 27: Gọi T tập hợp giá trị nguyên m cho nửa khoảng 1; 2019 , phương trình x2  x    m  có hai nghiệm phân biệt Khi số phần tử T A 2006 B 2009 C 2019 D 2018 A B C D Câu 28: Có giá trị nguyên a nhỏ để bất phương trình a  x     x với x  2;1 ? Câu 29: Giả sử đường thẳng y  x  m cắt đồ thị  C  hàm số y  x 1 hai điểm phân biệt E  2x F Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với  C  E F Tìm giá trị nhỏ minS biểu thức S  k14  k24  3k1k2 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 200 toán VD – VDC A minS  1 facebook.com/huyenvu2405 B S   C S  135 Câu 30: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm D S   25 81 có đồ thị đường cong hình vẽ bên Đặt g  x   f  f  x  Tìm số nghiệm phương trình g '  x   y O -1 -1 x -6 -7 A B C D Câu 31: Cho hàm số y  x3  6x2  9x  có đồ thị  C  Gọi T tập hợp tất điểm thuộc đường thẳng y  x  mà từ điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  C  Tìm tổng tung độ điểm thuộc T A 1 B C D Câu 32: Cho hàm số y  x3  3x2  72x  90 Tìm tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn  5; 5 A 328 B 470 C 314 D 400 Câu 33: Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài 12cm chiều rộng 6cm Thực thao tác gấp góc bên phải cho đỉnh gấp nằm cạnh chiều dài cịn lại (như hình vẽ) Hỏi chiều dài L tối thiểu nếp gấp bao nhiêu? A L  cm B L  cm Câu 34: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm C L  cm D L  cm có đồ thị hình vẽ y x O –6 f x f x Đặt g  x        Tìm số nghiệm phương trình g  x   A B Câu 35: Cho x , y  x  y  A x2  y  25 32 C D cho biểu thức P   đạt giá trị nhỏ Khi đó: x 4y B x2  y  17 16 C x2  y  25 16 D x2  y  13 16 x 1 có đồ thị C  , điểm M di động C  Gọi d tổng khoảng cách từ M x1 đến hai trục tọa độ Khi giá trị nhỏ d là: Câu 36: Cho hàm số y  Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | Ngọc Huyền LB The Best or Nothing 207 B  C 2  D 2  250 Câu 37: Cho hai chất điểm A B bắt đầu chuyển động trục Ox từ thời điểm t  Tại thời A điểm t , vị trí chất điểm A cho x  f  t   6  2t  t vị trí chất điểm B cho x  g t   4sin t Biết hai thời điểm t1 t2 ( t1  t ), hai chất điểm có vận tốc Tính theo t1 t2 độ dài quãng đường mà chất điểm A di chuyển từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 A   t1  t2   C  t2  t1      B   t1  t2   2 t t 2  D  t1  t2   2 t t 2   2 t t 2   2 t t 2 Câu 38: Cho hàm số f  x   x3  3ax2  3x  có đồ thị  C  g  x   x3  3bx2  9x  có đồ thị  H  , với a,b tham số thực Đồ thị C  ,  H  có chung điểm cực trị Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a 2 b A 21 B  D  D  1 x  1 x x    x Câu 39: Tìm tất giá trị m để hàm số f  x    liên tục x  m   x x   1 x  A m  B m  2 C m  1 Câu 40: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục , với f  x   0, x  D m  f    Biết f '  x   3x  x   f  x   0, x  Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f  x   m  có bốn nghiệm thực phân biệt A  m  e B e  m  1 C e  m  1 D  m  e Câu 41: Có giá trị nguyên m để phương trình sau vơ nghiệm: x6  3x5  x4  mx3  x2  3x   A Vô số B 26 C 27 Câu 42: Cho số thực dương x, y thỏa mãn: x  y  D 28 biểu thức S   đạt giá trị nhỏ x 4y x  a a.b có giá trị bao nhiêu?  y  b A a.b  B a.b  25 64 D a.b  C a.b  Câu 43: Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ y Đặt g  x   f  x   x3 Mệnh đề sau đúng? A g  2   g    g  1 B g    g  2   g  1 C g  1  g  2   g   D g  1  g    g  2  | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn -2 -1 O x Ngọc Huyền LB  a2  STUDY TIPS Phương trình mặt phẳng qua A  a;0;0  , B  0, b,0  , C  0; 0; c  với a.b.c  x y z    gọi phương a b c trình mặt phẳng dạng đoạn chắn The Best or Nothing 8x 8x x x x x 3   b    c    3  x   x  x (Cô – si) (*) a a b b c c  8x a  a a  x  3 x   b  x  b  x   a  12  b   c  x Dấu “=” xảy  x b  c   c      1 c  8 1 3 x x x     0 a b c x y z     x  y  z  12  12 6 Bạn x vào (*) để tìm   P : Đáp án A Câu 43: Trong không gian với hệ A  3; 1; 3 , B  3;0; 1 , C  1; 3;1 mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho  P : 2x  4y  3z  19  Tọa độ điểm M  a; b; c  thuộc  P  cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Khi a  b  c bằng: A B C D Lời giải    3    1  1 x    1  2.0   3  Gọi I  x; y; z  thỏa mãn IA  IB  5IC    y   2   3   1  5.1 0 z    I   1; 2;  Ta có MA  MB  MC  MI  IA  MI  IB  MI  IC  MI  IA  IB  IC  MI  MA  MB  MC  MI M  M hình chiếu I lên  P  Gọi  đường thẳng qua I  1; 2;  vng góc với  P  : 2x  y  3z  19  I P ∆  x  1  2t  có vectơ phương  2; 4; 3   :  y  2  4t  z  3t  Thế vào  P    1  2t    2  4t    3t   19   t  x     y   M  1; 2;   a  b  c  z   Đáp án C 172 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 200 tốn VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 Câu 44: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho    : 2x  2y  z  14  0, mặt cầu S : x2  y2  z2  2x  4y  6z  11  Mặt phẳng  P  //    cắt S theo thiết diện hình trịn có diện tích 16 Khi phương trình mặt phẳng  P  là: A 2x  y  z  14  B x  y  z   C 2x  y  z  16  D x  y  z   Lời giải I P H  P //    P : 2x  2y  z  c  c  14 S có tâm I 1; 2; 3 , bán kính R  Hình trịn thiết diện  C  có S  16  Bán kính r  Gọi H hình chiếu I lên  P   H tâm  C   IH  d  2.1  2.2   c  1 2 I ; P   R2  r   c  14 (l)   P  : 2x  y  z   3 c5 9  c  4 Đáp án D Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ cho Oxyz , điểm A 1; 2; 3 , B  1;1;  , C  0; 3; 5 Xác định điểm M mặt phẳng Oxy cho: MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Giá trị nhỏ là: A Lời giải B C D Gọi G trọng tâm ABC , ta có: G  0; 0; 2  MA  MB  MC  MG  MG nhỏ M hình chiếu G Oxy   M  0;0;0   MG   3MG  Đáp án D Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H  2; 1;  hình chiếu vng góc gốc tọa độ O xuống mặt phẳng  P  Số đo góc mặt phẳng  P mặt phẳng Q  có phương trình y  z  là: B 60 A 90 D 30 C 45 Lời giải nP  OH   2; 1;  , nQ   0; 1; 1  cos   nP nQ nP nQ  3     45 Đáp án C Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2; 1; 1 , B  0; 3; 1 mặt phẳng  P : x  y  z   Tìm tọa độ điểm M thuộc  P cho 2MA  MB có giá trị nhỏ A M  4; 1;  B M  1; 4;  C M  4; 1;  D M 1; 4;  Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 173 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Lời giải Gọi I  a; b; c  điểm thỏa mãn IA  IB  0, suy I  4; 1; 3  Ta có MA  MB  MI  IA  MI  IB  MI  MA  MB  MI  MI Do 2MA  MB nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu I  P  Đường thẳng qua I vng góc với  P  d : x4 y 1 z   1 1 x  y 1 z     Tọa độ hình chiếu M I  P  thỏa mãn:  1 1  M  1; 4;  x  y  z    Đáp án D Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho d : x  y 1 z    1 1 x   t   d  :  y   t  , t   Viết phương trình tắc đường vng góc chung z   d d  x 1 y  z    1 1 x 1 y  z  C   1 2 A Lời giải STUDY TIP Cách viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng d Bước 1: Lấy hai điểm A B thuộc hai đường cho (tọa độ theo tham số) Bước 2: Giải điều kiện tìm t x 1 y 2 z 1   1 2 x 1 y  z  D   1 B Hai đường thẳng d d  có vectơ phương u  1; 1; 1 u  1; 1;  Lấy A   t;1  t;  t   d B   t ;  t ; 5  d  AB  1  t  t; t  t  1; t  3 AB đoạn vuông góc chung hai đường thẳng d d    t  t    t  t  1   t     3t   t  1  AB  u      2t   t  1    AB  u   t  t    t  t  1   t    Khi AB  1; 1;  A 1; 2;   AB : x 1 y 2 z    1 Đáp án D Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;0;2  , B  0; 1;2  mặt phẳng  P  : x  2y  2z  12  Tìm tọa độ điểm M thuộc  P  cho MA  MB nhỏ nhất? A M  2; 2;9   18 23  B M   ;  ;   11 11 11   7 31  C M  ; ;  6   11 18  D M   ;  ;   5 5 Lời giải   Ta có 1  2.0  2.2  12    1  2.2  12  54  174 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 200 toán VD – VDC Suy hai điểm A, B nằm phía so với mặt phẳng  P  STUDY TIP Phương pháp xét vị trí tương đối điểm A, B so với mặt phẳng Nếu A, B khác phía so với nhỏ AB Hai điểm A, B nằm phía so với mặt phẳng ta lấy đối xứng điểm A qua ta điểm Khi B khác phía so với Dấu facebook.com/huyenvu2405 Áp dụng phương pháp tổng quát STUDY TIP ta thấy để MA  MB nhỏ M giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng  P  , A’ điểm đối xứng A qua  P  Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng  P  x   t  , t  Gọi I giao điểm d mặt phẳng  P  , suy Suy d :  y  2t  z   2t  I 1  t; 2t;  2t   d I trung điểm AA Mặt khác I   P    t  2.2t  2.  2t   12   t  1 Suy I  0; 2;   A  1; 4;6  xảy Đường thẳng AB qua A  1; 4;6  B  0; 1;  có phương trình x  t  AB :  y  1  3t  ,  t    z   4t   CASIO   M  t; 1  3t;  4t  AB Mặt khác M   P   AB  t   1  3t     4t   12   t  Thế điểm M vào 2  2 11 18  Vậy M  ;  ;  5  loại B Nhập máy Đáp án D Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng Sử dụng lệnh CALC với đáp án A, C, D → Chọn đáp án có kết nhỏ  x  1  2t  x   t   d : y  t , d :  y  1  2t mặt phẳng  P  : x  y  z   Đường thẳng  z  1  3t  z  2t   vuông góc với mặt phẳng  P  , cắt d d  có phương trình STUDY TIP Tổng qt: Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng cắt hai đường thẳng d trước cho Gọi tọa độ điểm A theo t, tọa độ điểm B theo Đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng x 1 y 1 z 1   1 4 x 1 y 1 z  D   2 x  y 1 z    1 x  y 1 z 1 C   1 A nên phương suy t Tìm tọa độ A B suy phương trình đường thẳng ∆ B Lời giải Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n  1;1;1 Gọi  đường thẳng cần tìm A    d , có A  d nên A  1  2t; t;   3t  ; gọi B    d , có B  d nên B   t;   2t;  2t Ta có AB   t  2t  3; 2t  t  1;  2t  3t  1 Do    P  nên AB, n phương  3t  t   4 t  1   A  1; 1; 4     B 3;1;    2t  4t   t     t  2t  2t  t  2t  3t    1 Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 175 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Đường thẳng  qua điểm B có vectơ phương n  1;1;1 nên có phương x  y 1 z    1 trình Đáp án A Câu 51: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x  y  z   điểm A  3; 2;  , B  5; 3;7  Mặt cầu S thay đổi qua A, B cắt mặt phẳng  P  theo giao tuyến đường tròn  C  có bán kính r  2 Biết tâm đường trịn  C  ln nằm đường trịn cố định C1  Bán kính C1  A r1  14 C r1  14 B r1  12 Lời giải B Ta có AB   2;1; 3 nên phương trình đường thẳng AB A  x   2t   y   t t   z   3t  I I1 C P D r1  D M  Gọi M  AB   P  tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình  x M   2t   yM   t   z M   3t x  y  z   M M  M STUDY TIP Công thức “ ” khiến ta nhớ đến kiến thức phương tích điểm M nằm bên ngồi đường trịn : “Nếu đường    2t     t     3t     6t    t  1  M 1;1;1 Có MA    1         2  14   1    1    1  14 tâm đường tròn  C  MI cắt đường tròn  C  điểm C D MB  2 thẳng d qua M (nằm ngồi đường trịn) cắt đường Gọi I1 trịn Ta có MC.MD  MA.MB  14.2 14  28 hai điểm A, B tích số khơng đổi (r bán kính đường trịn)”   MI1  r  MI1  r   28    MI12  r  28  MI1  28  2  Do M 1;1;1 nên điểm M cố định Khi tâm I1 đường trịn  C  ln nằm đường trịn cố định có tâm M, bán kính r1  MI  Đáp án D 176 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 200 toán VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 VIII TỔ HỢP – XÁC SUẤT, GIỚI HẠN, CẤP SỐ Câu 1: Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm nam nữ, ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Xác suất để học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ A B 20 C D 10 Lời giải Xếp ngẫu nhiên bạn học sinh vào ghế, suy số phần tử của không gian mẫu n    6! A B C I Giả sử có hai dãy ghế I II đối diện Mỗi dãy gồm ghế A, B, C Gọi A biến cố “Xếp học sinh vào ghế cho học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ” Để xét số kết quả thuận lợi cho biến cố A n  A  ta có hai cách II Cách 1: Xếp bạn nam thứ có cách, xếp bạn nam thứ hai có cách (bạn nam thứ hai không được ngồi ở vị trí đối diện với bạn nam thứ nhất), xếp bạn nam thứ ba có cách (bạn nam thứ ba không được ngồi ở vị trí đối diện với hai bạn DISCOVERY nam vừa xếp) Xếp bạn nữ vào ba ghế cịn lại có 3! cách Ta lập ḷn tương tự để giải toán đây: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn Tính xác suất để học sinh ngồi đối diện khác trường với A B C D Đáp án: C Suy n  A  6.4.2.3! Vậy xác suất cần tìm P  A   n A n  6.4.2.3!  6! a6O4O2O3quR6qu= Cách 2: Xếp bạn nam vào ba loại ghế A, B, C có 3! cách Xếp bạn nữ vào ba loại ghế A, B, C có 3! cách Mỗi loại ghế xếp chỗ ngồi cho cặp nam nữ có 2! cách Suy số cách xếp học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ 3!.3!  2! cách Khi n  A   3!.3!  2! 3 Vậy xác suất cần tìm P  A   n A n 3!.3!  2!  6!  a3quO3quO(2qu)qdR6qu= Đáp án A Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên điểm mà tọa độ số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ Nếu điểm có xác suất được chọn xác suất để chọn được điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ A 13 81 B 15 81 C 13 32 D 11 16 Lời giải Gọi điểm M  x; y  thỏa mãn x, y  ; x  4; y  Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 177 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing   x  4; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3; 4 Suy  y   4;  3;  2;  1; 0;1; 2; 3;     Khi số phần tử của không gian mẫu n    9.9  81 Gọi A biến cố “Chọn được điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ 2” Gọi điểm N  a; b  điểm thỏa mãn a, b  ; ON  STUDY TIP Suy Do Mà nên Từ ta a , b   a  b   a  b  Từ ta có a 0; 1; 2  2 b   a 2 2 + Nếu a  (có cách chọn) Suy b0; 1; 2 có cách chọn b Có 1.5  cách chọn điểm N thỏa mãn trường hợp suy + Nếu a  1 (có cách chọn a) Suy b2  hay b0; 1 , có cách chọn b Từ có 2.3  cách chọn điểm N thỏa mãn trường hợp + Nếu a  2 (có cách chọn a) Suy b2   b  0, có cách chọn b Từ có 2.1  cách chọn điểm N thỏa mãn trường hợp Vậy số phần tử thuận lợi cho biến cố A n  A     13 Vậy xác suất cần tính P  A   n A n  13 81 Đáp án A Câu 3: Có người ngồi xung quanh bàn tròn Mỗi người cầm đồng xu cân đối, đồng chất Cả người đồng thời tung đồng xu Ai tung được mặt ngửa phải đứng dậy, tung được mặt sấp ngồi yên tại chỗ Tính xác suất cho hai người ngồi cạnh phải đứng dậy? A 47 256 B 67 256 C 55 256 D 23 128 Lời giải Đặt  khơng gian mẫu Ta có n    28  256 Gọi A biến cố “Không có hai người ngồi cạnh phải đứng dậy” - TH1: Khơng có tung được mặt ngửa Trường hợp có khả xảy - TH2: Chỉ có người tung được mặt ngửa Trường hợp có khả xảy - TH3: Có người tung được mặt ngửa không ngồi cạnh nhau: Có 8.5  20 khả xảy (do người vịng trịn có người khơng ngồi cạnh) - TH4: Có người tung được mặt ngửa khơng có người người ngồi cạnh Trường hợp có C83   8.4  16 khả xảy Thật vậy: + Có C83 cách chọn người số người + Có khả cả ba người ngồi cạnh 178 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 200 toán VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 + Nếu có người ngồi cạnh nhau: Có cách chọn người, với cách chọn người có cách chọn hai người ngồi cạnh không ngồi cạnh người đầu tiên (độc giả vẽ hình để rõ hơn) Vậy có 8.4 khả - TH5: Có người tung được mặt ngửa khơng có người người ngồi cạnh Trường hợp có khả xảy Suy n A    20  16   47  P  A   47 256 Đáp án A Câu 4: Trong hình tứ diện ta tô màu đỉnh, trung điểm cạnh, trọng tâm mặt trọng tâm tứ diện Chọn ngẫu nhiên điểm số điểm tơ màu Tính xác suất để điểm được chọn đỉnh của hình tứ diện A 188 273 B 1009 1365 C 245 273 D 136 195 Lời giải Có tất cả 15 điểm được tơ màu gồm đỉnh của tứ diện, trung điểm của cạnh, trọng tâm của mặt bên trọng tâm của tứ diện Không gian mẫu “Chọn ngẫu nhiên số 15 điểm tô màu” Số phần tử của không gian mẫu n    C15 Gọi A biến cố “4 điểm được chọn đồng phẳng” Suy A biến cố “4 điểm được chọn đỉnh của hình tứ diện” Để xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A ta xét trường hợp sau: a điểm thuộc “một mặt bên của tứ diện” Một mặt bên có điểm được tô màu nên số cách chọn điểm (đồng phẳng) mặt bên C74 (cách) Có tất cả mặt bên nên số cách chọn thỏa mãn trường hợp a 4.C74 (cách) b điểm thuộc mặt phẳng “chứa cạnh của tứ diện trung điểm của cạnh đối diện” Mặt phẳng có điểm được tơ màu nên số cách chọn điểm (đồng phẳng) mặt C74 (cách) Hình tứ diện có cạnh nên có tất cả mặt Số cách chọn điểm thỏa mãn trường hợp b 6C74 (cách) c điểm thuộc mặt phẳng “chứa đỉnh đường trung bình của tam giác đối diện đỉnh đó” Mặt phẳng có điểm được tơ màu nên số cách chọn điểm (đồng phẳng) mặt C54 (cách) Do mặt bên tam giác có đường trung bình, nên đỉnh có tương ứng mặt phẳng (chứa đỉnh đường trung bình) Mà tứ diện có đỉnh nên có tất cả 3.4  12 mặt phẳng ở trường hợp c Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp c 12C54 (cách) d điểm thuộc mặt phẳng “chứa đường nối trung điểm của cạnh đối diện” Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 179 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Có đường nối trung điểm của cạnh đối diện Số mặt phẳng được tạo thành từ đường C32 (mặt phẳng) Mỗi mặt phẳng có điểm được tơ màu nên số cách chọn điểm (đồng phẳng) C54 (cách) Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp d C32 C54 (cách) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A n  A  4C74  6C74  12C54  C32 C54  425   Vậy xác suất cần tính P A   P  A    n  A n   1 425 188  273 C15 Đáp án A Câu 5: Trong khai triển 1  2x   a0  a1x   an xn , n  * Tìm số lớn n hệ số a0 , a1 , , an , biết a0  A 126720 a a1   nn  4096 2 B 213013 C 130272 D 130127 Lời giải Theo đề ta có 1  x   a0  a1 x   an xn n Thay x  a a a n ta có   1  a0   22   nn  4096 2 2  2n  4096  n  12 Hệ số của số hạng tổng quát khai triển nhị thức 1  2x  12 n an  C12 2n n1 n1 an1  C12 n1 n1 n Xét bất phương trình với ẩn số n ta có C12  C12 2n  12! 12!.2 26    n  n  1!.13  n! n!.12  n! 13  n n Do bất đẳng thức với n0;1; 2; 3; 4; 5;6;7;8 dấu đẳng thức không xảy Ta được a0  a1  a2   a8 a8  a9  a10  a11  a12 Vậy giá trị lớn của hệ số khai triển nhị thức C12 28  126720 Đáp án A Câu 6: Lớp 12B có 25 học sinh được chia thành hai nhóm I II cho nhóm có học sinh nam nữ, nhóm I gồm học sinh nam Chọn ngẫu nhiên nhóm học sinh, xác suất để chọn được học sinh nam 0,54 Xác suất để chọn được hai học sinh nữ A 0,42 B 0,04 C 0,23 D 0,46 Lời giải Gọi x,y lần lượt số học sinh nữ ở nhóm I nhóm II Khi số học sinh nam ở nhóm II 25    x   y  16  x  y Điều kiện để nhóm có học sinh nam nữ x  1, y  1,16  x  y  1; x, y  Xác suất để chọn được hai học sinh nam 180 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn C91C16  x y C91xC16 x  0,54 200 toán VD – VDC  16  x  y    x 16  x  facebook.com/huyenvu2405  0,54  144  x  y 184 71  0,54  y   x  x2 25 50 50 144  x  x x    184  71 x  x   25 50 50 Ta có hệ điều kiện sau    184 71 16  x    x  x2    50   25 50  x  x  x      x  53 71 159  x  x  0 1  x   50  x  50 25      x   x  21 x  191   21  201 21  201  50  50 25 x x   6  x   Ta có bảng giá trị của x,y: x y (thỏa) 119 25 (loại) 91 25 (loại) 66 25 (loại) 44 25 (loại) (loại) Vậy ta tìm được hai cặp nghiệm nguyên  x; y  thỏa mãn điều kiện 1;6   6;1 Xác suất để chọ hai học sinh nữ   Cx1C y1 9 x 16 x C C xy   x 16  x   Nếu  x; y   1;  ,  6;1 xác suất  0,04 25 Đáp án B Câu 7: Cho ba toa tàu đánh số từ đến 12 hành khách Mỗi toa chứa được tối đa 12 hành khách Gọi n số cách xếp hành khách vào toa tàu thỏa mãn điều kiện “mọi toa có khách” Tìm số chữ số của n A B C D Lời giải * Xếp 12 khách vào toa tàu (có thể có toa khơng có khách): Có 312 cách * Trừ trường hợp có KHƠNG Q toa có khách: C32 212 (Chọn hai toa tàu có C32 cách Sau xếp tùy ý 12 khách vào toa chọn này, tức có hai toa khơng có khách) Nhưng vậy ta trừ trường hợp có toa có khách đến hai lần nên phải cộng lại số này: C31 112 * Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán 312  C32 212  C31.112  519156 cách Do chọn đáp án B Bài tốn tổng qt: Có cách xếp q hành khách vào n toa tàu khác cho toa tàu có khách? (hay chính tốn chia q: Có cách chia q quà khác cho n bạn cho bạn có quà?) Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 181 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Ở tốn trên, ta có: 312  C32 212  C31 112  C30     C31   1  C32     C33    12 12 12 12 Lập luận tương tự tốn ta có số cách xếp (cách chia) là: n Cn0  n    Cn1  n  1  Cn2  n    Cn3  n       1 Cnk  n  k  q q q q k q k 0 Bài tốn khác với tốn chia kẹo Euler: Có cách chia q kẹo giống cho n em bé cho em có kẹo? Đáp án B Câu 8: Cho đa giác lồi  H  có 22 cạnh Gọi X tập hợp tam giác có đỉnh ba đỉnh của  H  Chọn ngẫu nhiên hai tam giác X Tính xác suất để chọn được tam giác có cạnh cạnh của đa giác  H  tam giác khơng có cạnh cạnh của đa giác  H  (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) A 0,374 B 0,375 C 0,376 D 0,377 Lời giải * Đa giác lồi  H  có 22 cạnh nên có 22 đỉnh Số tam giác có đỉnh đỉnh của đa giác  H  C22  1540 (tam giác) Suy số phần tử của không gian mẫu  n    C1540 * Số tam giác có cạnh cạnh của đa giác  H  22.18  396 (tam giác) Số tam giác có hai cạnh cạnh của đa giác  H  22 (tam giác) Số tam giác khơng có cạnh cạnh của đa giác  H  1540  396  22  1122 (tam giác) Gọi A biến cố “Hai tam giác được chọn có có cạnh cạnh của đa giác  H  tam giác khơng có cạnh cạnh của đa giác  H  ” 1 Số phần tử của A n  A  C396 C1122 * Vậy xác suất cần tìm P  A   n  A n   1 C396 C1122 1540 C  748  0, 375 1995 Đáp án B Câu 9: Cho tập hợp số nguyên liên tiếp sau: 1 ,2; 3 ,4; 5;6 ,7;8;9;10 , , tập hợp chứa nhiều tập hợp trước phần tử, phần tử đầu tiên của tập hợp lớn phần tử cuối của tập hợp trước đơn vị Gọi Sn tổng của phần tử tập hợp thứ n Tính S999 A 498501999 B 498501998 C 498501997 D 498501995 Lời giải Ta thấy tập hợp thứ n có n số nguyên liên tiếp, phần tử cuối của tập     n  n  n  1 182 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 200 tốn VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 Khi Sn tổng của n số hạng cấp số cộng có số hạng đầu STUDY TIPS Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d là: Sn  n 2u1   n  1 d u1  n  n  1 , công sai d  1 (coi số hạng cuối tập hợp thứ n số hạng đầu tiên của cấp số cộng này), ta có: n 2u1   n  1 d  n Sn    n  n  1   n  1  n n2  2     Vậy S999  999 9992   498501999 Đáp án A Câu 10: Chiếc kim của bánh xe trị chơi “Chiếc nón kì diệu” dừng lại ở mười vị trí với khả Xác suất để ba lần quay, kim của bánh xe lần lượt dừng lại ở ba vị trị khác A 0,001 B 0,72 C 0,072 D 0,9 Lời giải Số phần tử của không gian mẫu  n    103 Gọi A biến cố “chiếc kim của bánh xe lần lượt dừng lại ở ba vị trị khác nhau”, suy n  A  10.9.8  720 Vậy xác suất cần tính P  A   n  A n   720  0,72 10 Đáp án B Câu 11: Để thi học kỳ hình thức vấn đáp, thầy giáo chuẩn bị 50 câu hỏi cho ngân hàng đề thi Bạn A học làm được 20 câu Để hồn thành thi bạn A phải rút trả lời câu ngân hàng đề Tính xác suất để bạn rút được câu mà có ít câu học A C20 C50 B  C30 C50 C C30 C50 D  C20 C50 Lời giải + Rút câu  Có C50 cách + Rút câu mà khơng có câu học thuộc  Có C30 cách  Xác suất đề bạn rút được câu có ít câu học  C30 C50 Đáp án B 2018 Câu 12: Tổng P  C2018 là: 22018  C2018 22017  C2018 22016   C2018 A P  B P  C P  2017 D P  2018 Lời giải Xét khai triển  a  b  2018 2018 2018  C2018 a2018  C2018 a2017 b  C2018 a2016 b2   C2018 b Thay a  2, b  1 ta có: 2018  C2018 22018  C2018 22017  C2018 22016   C2018 P Đáp án A Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 183 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing 23 Câu 13: Cho dãy số C23 , C23 , C23 , , C23 Có gồm số hạng liên tiếp dãy số lập thành cấp số cộng? A B C D Lời giải n n1 n 1 n n n Ba số C23 theo thứ tự lập thành cấp số cộng  2C23  C23  C23 , C23 , C23    n 1 n n 1 n 1 n  4C23  C23  C23  C23  C23 STUDY TIPS a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số cộng  a  c  2b  n1 n1 n n1 n  4C23  C24  C24  4C23  C25  n  4.23! 25!    n   23  n  150    n  1! 22  n!  n  ! 23  n! n  13 10 Ta được số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng dãy số C23 , C23 , C23 13 14 15 C23 , C23 , C23 Đáp án C Câu 14: Một bình chứa viên bi đủ bốn màu: đỏ, trắng, xanh lam Lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn viên bi từ bình xác suất xảy biến cố sau nhau: (1) Cả bốn viên bi màu đỏ (2) Có viên bi màu trắng ba viên bi màu đỏ (3) Có viên bi màu trắng, viên bi màu xanh hai viên bi màu đỏ (4) Bốn viên bi có đủ cả bốn màu Hỏi số viên bi nhỏ bình thỏa mãn điều kiện trên? A 19 B 69 C 46 D 21 Lời giải Gọi r , w , g , b lần lượt số viên bi màu đỏ, trắng, xanh lam STUDY TIP Gọi r, w, g, b số bi đen, trắng, xanh, lam Ta có: Điều kiện r , w, g, b  * ;r  Suy tổng số bi n  r  w  g  b Do đó, số cách lấy bốn viên bi từ bình Cn4 Số cách lấy được bốn viên bi màu đỏ Cr4 Số cách lấy được viên bi màu trắng ba viên bi màu đỏ Cw1 Cr3 Số cách lấy được viên bi máu trắng, viên màu xanh hai viên màu đỏ Cw1 Cg1Cr2 Có Số cách lấy được bốn viên bi có đủ cả bốn màu Cw1 Cg1Cr1Cb1 (Thỏa mãn w, g, b thuộc ) Theo giả thiết, ta có Cr4 Cn4  Cw1 Cr3 Cn4  Cw1 C g1Cr2 Cn4  Cw1 C g1Cr1Cb1 Cn4 r    w  1 r   w   Giải hệ ta được r   g  r    g  1 Ta tìm số nguyên dương r nhỏ r   b     r    b  1 cho w , g , b số nguyên dương Xét r  bội chung nhỏ của 4,3 , tức r   12  r  11 184 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn 200 toán VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 Thử lại thấy w  2, g  3, b  số nguyên dương Vậy số bi nhỏ cần tìm n  21 Đáp án D  x2  3x   Câu 15: Cho hai số thực a b thỏa mãn lim   ax  b   Khi x   2x   a  2b A 4 B 5 D 3 C Lời giải STUDY TIP Với đa thức Bậc Bậc  a  x   a  2b   x  b   x2  3x     ax  b   lim 0 Cách 1: lim   x x  2x   2x   a  4  a      a  b  3 a  b    b       x  3x   Cách 2: Ta có lim   ax  b   lim  x    ax  b   x  x   2  x  1  2x        x  3x   Mà lim   ax  b    ax  b    lim  x    x    x   2  x  1  2x     2  a  a        b  b     Khi a  2b  3 Đáp án D Câu 16: Cho dãy số u  n  u  thỏa mãn  n  , n   Tìm giá trị nhỏ  un  3un1  của n để log un  100 A 102 Bài toán tổng quát: Cho dãy biết Tìm Xét cho C 202   1 1 Ta có un  3un1    un     un1   2 2     Xét dãy số  v1  với  un  Khi   :  2  v  3v n 1  n   Suy cấp số nhân với số hạng đầu tiên v1  Từ tìm được Suy D 201 Lời giải FOR REVIEW số B 101 công bội q  3 3n 3n   3n1   un   2 2 Do log9 un  100  un  9100  3n   2.3200    3n  2.3200   n  log 2.3200  Vậy số tự nhiên n nhỏ thỏa mãn điều kiện n0  201 Đáp án D Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 185 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing Sp Câu 17: Cho cấp số cộng  un  Gọi Sn  u1  u2   un Biết  p  q; p, q  A 4031 4035 B 4031 4033 p2 với q2 u2017 u2018 C 4033 4035 D 4034 4035 Lời giải FOR REVIEW Cho cấp số cộng hạng đầu Tính giá trị của biểu thức Sq  có số Gọi d cơng sai của cấp số cộng  un  cơng sai d Ta có * Số hạng thứ n Sp Sq * Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng Suy      u1  up p p2 u1  up p p2     u1  uq q q u1  uq q q u1   u1  2016d  2017 u1  u2017 2017 2u  2016d 2017      u1  u2018 2018 2u1  2017 d 2018 u1   u1  2017 d  2018  2017  2u1  2017d   2018  2u1  2016d   2u1  2017 2.d  2018.2016d    2u1  2017 2.d   2017  1 2017  1 d  2017 d  2017  d  2u1  d Vậy u2017 u1  2016d u1  2016.2u1 4033    u2018 u1  2017d u1  2017.2u1 4035 Đáp án C  e 43 x  e x   Câu 18: Cho hàm số f  x    Giá trị của a để f  x  liên tục x  3ae x   STUDY TIP Để giải được toán này, em cần nhớ: * liên tục tại với K khoảng xác định của hàm số * tại x0  A 5 C 5e B D 1 Lời giải e 43 x  e e 3 x   3e lim  3e x 0 x 0 x 0 x 3x Để hàm số f  x  liên tục tại x0   lim f  x   f    a  1  Ta có f    3ae ; lim f  x   lim  x 0 Đáp án D 186 | Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn ... vào tinh hoa mà cô sàng lọc từ đề thi khóa VDVDC Không cần thi? ??t phải xem lại đề dài lê thê” đề khơng giỏi, 10 đề chưa giỏi, 100 đề chưa thực giỏi, trải qua 150 đề tin chinh phục cánh cổng Đại... tất em học sinh theo dõi cô fan page “Học tốn Ngọc Huyền LB” Giao Thừa chuyển sang năm Tân Sửu Đặc biệt cô muốn gửi tới tất bạn học sinh “VỀ ĐÍCH + TỔNG ÔN VÀ LUYỆN 150 ĐỀ: “Giai đoạn Tết khốc... phẳng  P theo giao Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng Q : 2x  y  z   Gọi Hệ thống giáo dục trực tuyến ngochuyenlb.edu.vn | 29 Ngọc Huyền LB The Best or Nothing