Các bài tập mẫu ôn luyện môn xác xuất thống kê

các bài tập mẫu ôn luyện môn xác xuất thống kê...

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TPHCM KHOA ĐẠI CƯƠNG BỘ MÔN TOÁN BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Người biên soạn: THS. DƯƠNG THỊ XUÂN AN THS. NGUYỄN THỊ THU THỦY LƯU HÀNH NỘI BỘ NĂM 2013 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm giúp sinh viên Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TP. HCM học tập môn XÁC SUẤT THỐNG KÊ đạt kết quả cao, chúng tôi tiến hành biên soạn quyển Bài Tập Xác Suất và Thống Kê Toán. Quyển bài tập này được biên soạn phù hợp với sinh viên bậc Cao đẳng và lưu hành nội bộ trong phạm vi Nhà trường. Tài liệu được biên soạn dựa trên đề cương môn học và được sử dùng kèm theo quyển Giáo Trình Xác Suất và Thống Kê Toán. Nội dung gồm hai phần: Phần Xác suất gồm 2 chương: Chương 1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Chương 2. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phần Thống kê gồm 3 chương: Chương 3. MẪU NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU Chương 4. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Chương 5. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Tài liệu giải quyết hầu hết các bài tập từ cơ bản đến phức tạp với lời giải rõ ràng, dễ hiểu. Các bài tập được phân loại theo từng dạng cụ thể từ đơn giản đến tổng hợp. Mở đầu mỗi dạng bài tập, tác giả tóm tắt nội dung lý thuyết trọng tâm để người đọc vận dụng thực hành. Phần cuối mỗi chương là bài tập tự giải để sinh viên có cơ hội tự rèn luyện. Với mục đích như trên, chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các em sinh viên trong quá trình học tập ở bậc Cao đẳng cũng như quá trình học liên thông sau này. Tài liệu sẽ được cập nhật thường xuyên trong quá trình giảng dạy và học tập. Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến góp ý, xây dựng từ quý Thầy Cô và các em sinh viên để tài liệu ngày càng hoàn thiện hơn. Trân trọng cảm ơn! TP. HCM, tháng 6 năm 2013 Các tác giả 2 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 2 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 5 1.1 Bổ túc về Giải tích Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Phép đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Biểu diễn mối liên hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Áp dụng các công thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes . . . 19 1.4.4 Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT 39 2.1 Luật phân phối xác suất của ĐLNN . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 2.1.1 Bảng phân phối xác suất (PPXS) . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.2 Hàm mật độ của ĐLNN liên tục . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Các đặc trưng bằng số của ĐLNN . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 Các quy luật phân phối xác suất đặc biệt . . . . . . . . . . . . 57 2.4.1 Quy luật phân phối siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4.2 Quy luật phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.3 Quy luật phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.4 Quy luật phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.5 Xấp xỉ các quy luật phân phối xác suất . . . . . . . . . 68 2.5 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.6 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3 MẪU NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU 101 4 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 107 4.1 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể . . . . . . . . . . . . 110 4.2 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.3 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 124 5.1 So sánh trung bình tổng thể với một số . . . . . . . . . . . . . 127 5.2 So sánh tỷ lệ tổng thể với một số . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.3 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO 149 PHỤ LỤC: BẢNG TRA THỐNG KÊ 155 TÀI LIỆU THAM KHẢO 161 4 Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 1.1 Bổ túc về Giải tích Tổ hợp 1.1.1 Phép đếm ⋄ Giai thừa: n! = 1.2.3 . . . n. Quy ước: 0! = 1. ⋄ Quy tắc cộng: Giả sử có một công việc được thực hiện theo 1 trong k trường hợp khác nhau. Trường hợp thứ 1 có n 1 cách thực hiện Trường hợp thứ 2 có n 2 cách thực hiện . . . . . . . . . Trường hợp thứ k có n k cách thực hiện        =⇒ Công việc này có n = n 1 + n 2 + . . . + n k cách thực hiện ⋄ Quy tắc nhân: Giả sử có một công việc được thực hiện thông qua k giai đoạn liên tiếp. Giai đoạn 1 có n 1 cách thực hiện Giai đoạn 2 có n 2 cách thực hiện . . . . . . . . . Giai đoạn k có n k cách thực hiện        =⇒ Có n = n 1 .n 2 . . . n k cách hoàn thành công việc 5 1.1.2 Hoán vị ⋄ Hoán vị trên đường thẳng: Số cách sắp xếp n phần tử khác nhau vào n vị trí đã cho là P n = n! ⋄ Hoán vị trên đường tròn: Số cách sắp xếp n phần tử khác nhau vào n vị trí đã cho trên một đường tròn là P n−1 = (n − 1)! 1.1.3 Chỉnh hợp ⋄ Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ k phần tử khác nhau (k ≤ n) rút từ tập A, có phân biệt thứ tự được gọi là một chỉnh hợp (không lặp) chập k của n phần tử. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là A k n = n! (n − k)! · ⋄ Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ k phần tử rút từ tập A, có phân biệt thứ tự trong đó mỗi phần tử có thể có mặt đến k lần, được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là B k n = n k . Chú ý. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử có thể tính được bằng cách áp dụng quy tắc nhân, trong đó có k giai đoạn, mỗi giai đoạn có n cách. 1.1.4 Tổ hợp Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ k phần tử khác nhau (k ≤ n) rút từ tập A, không phân biệt thứ tự được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số tổ hợp chập k của n phần tử là C k n = n! k!.(n − k)! · Bài 1. Vui đi dự đám cưới của hai bạn Bình và Yên. Trước khi ra về, Vui và 4 người bạn nữa cùng chụp hình lưu niệm với cô dâu chú rể. Hãy tính số cách xếp các bạn thành 1 hàng để chụp hình sao cho: a) Cô dâu đứng cạnh chú rể. b) Cô dâu không đứng cạnh chú rể. c) Vui đứng cạnh bên phải cô dâu. BÀI GIẢI a) Ta xem cô dâu và chú rể là một "bó" thì có P 6 = 6! = 720 cách xếp 5 người bạn cùng cô dâu chú rể thành một hàng. Ứng với mỗi cách xếp này, có P 2 = 2! = 2 cách hoán vị trong nội bộ "bó" cô dâu và chú rể. Vậy có 6!.2! = 1440 cách xếp theo yêu cầu. 6 b) Xếp ngẫu nhiên 7 người bạn thành một hàng thì có P 7 = 7! = 5040 cách. Theo câu a), có 1440 cách xếp 7 người bạn này thành một hàng sao cho cô dâu và chú rể đứng cạnh nhau. Vậy có 5040 − 1440 = 3600 cách xếp sao cho cô dâu không đứng cạnh chú rể. c) Tương tự câu a) nhưng trong nội bộ giữa Vui và cô dâu chỉ có 1 cách xếp. Do đó, có 1.6! = 720 cách xếp sao cho Vui đứng cạnh bên phải cô dâu. Bài 2. Lớp học có 45 sinh viên, trong đó có 43 bạn là đoàn viên. Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 5 đoàn viên để bầu vào Ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó đời sống, 1 bí thư và 1 phó bí thư. BÀI GIẢI Vì việc chọn 5 thành viên có phân biệt vị trí nên số cách chọn 5 đoàn viên để bầu vào Ban cán sự lớp là số chỉnh hợp (không lặp) 43 chập 5: A 5 43 = 43! 38! = 115511760 (cách) Bài 3. Xếp ngẫu nhiên 12 hành khách lên 5 toa tàu. Có bao nhiêu cách: a) Xếp ngẫu nhiên 12 hành khách lên 5 toa tàu một cách tùy ý. b) Xếp ngẫu nhiên 12 hành khách lên 5 toa tàu sao cho toa thứ nhất có 3 hành khách. BÀI GIẢI a) Số cách xếp ngẫu nhiên 12 hành khách lên 5 toa tàu một cách tùy ý là số chỉnh hợp lặp 12 chập 5: B 12 5 = 5 12 = 244140625 (cách). b) Ta xem bài toán gồm 2 giai đoạn: - Giai đoạn 1: Xếp ngẫu nhiên 3 hành khách (từ 12 hành khách) vào toa thứ nhất, có C 3 12 = 220 (cách). - Giai đoạn 2: Xếp ngẫu nhiên 9 hành khách vào 4 toa tàu còn lại một cách tùy ý, có B 9 4 = 4 9 = 262144 (cách). Vậy có C 3 12 .B 9 4 = 57671680 cách xếp ngẫu nhiên 12 khách lên 5 toa tàu sao cho toa thứ nhất có 3 hành khách. Bài 4. Một thùng có 50 quyển sách, trong đó có 20 quyển sách Tiếng Việt và 30 quyển sách Toán. Có bao nhiêu cách: a) Lấy ngẫu nhiên ra 10 quyển sách. b) Lấy ngẫu nhiên ra 9 quyển sách trong đó có 5 quyển sách Toán. c) Lấy ra 8 quyển sách Toán để trao cho 8 em học sinh. 7 BÀI GIẢI a) Số cách lấy ngẫu nhiên ra 10 quyển sách từ 50 quyển sách là số tổ hợp 50 chập 10: C 10 50 = 10272278170 (cách). b) Có C 4 20 cách lấy ra 4 quyển sách Tiếng Việt. Có C 5 50 cách lấy ra 5 quyển sách Toán. Vậy có C 4 20 .C 5 30 = 690441570 cách lấy ngẫu nhiên ra 9 quyển sách trong đó có 5 quyển sách Toán. c) Có C 8 30 cách lấy ra 8 quyển sách Toán từ 30 quyển sách Toán. Ứng với mỗi cách này, ta có 8! cách trao 8 quyển sách cho 8 em học sinh. Vậy có C 8 30 .8! = 235989936000 cách thỏa yêu cầu. Bài 5. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Có bao nhiêu cách: a) Lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm. b) Lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm tốt. c) Lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có ít nhất 1 phế phẩm. BÀI GIẢI a) Số cách lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ 10 sản phẩm là số tổ hợp 10 chập 4: C 4 10 = 210 (cách). b) Ta có thể xem bài toán gồm 2 giai đoạn: - Giai đoạn 1: Lấy 3 sản phẩm tốt từ 8 sản phẩm tốt, có C 3 8 = 56 (cách). - Giai đoạn 2: Lấy 1 phế phẩm từ 2 phế phẩm, có C 1 2 = 2 (cách). Vậy có C 3 8 .C 1 2 = 112 cách lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm tốt. c) Vì lô hàng chỉ có 2 phế phẩm nên bài toán gồm 2 trường hợp: - Trường hợp 1: Lấy được 1 phế phẩm (và 3 sản phẩm tốt) Có: C 1 2 .C 3 8 = 112 (cách). - Trường hợp 2: Lấy được 2 phế phẩm (và 2 sản phẩm tốt) Có: C 2 2 .C 2 8 = 28 (cách). Vậy có C 1 2 .C 3 8 + C 2 2 .C 2 8 = 140 cách lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có ít nhất 1 phế phẩm. 1.2 Biểu diễn mối liên hệ giữa các biến cố Cho hai biến cố A và B. ⋄ Tổng hai biến cố: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố C nếu C xảy ra ⇐⇒ A xảy ra hoặc B xảy ra (ít nhất một trong hai biến cố xảy ra). Kí hiệu: C = A + B. 8 ⋄ Tích hai biến cố: Tích của hai biến cố A và B là một biến cố C nếu C xảy ra ⇐⇒ A xảy ra và B xảy ra (đồng thời (cả hai) biến cố xảy ra). Kí hiệu: C = A.B. ⋄ Biến cố đối lập: Biến cố B được gọi là biến cố đối lập của biến cố A nếu B xảy ra ⇐⇒ A không xảy ra. Kí hiệu: B = A. Bài 1. Ba sinh viên dự thi môn Toán cao cấp. Đặt các biến cố: A i là "Sinh viên thứ i thi đạt"; B i là "Có i sinh viên thi đạt", i = 0, 3. Nêu ý nghĩa của các biến cố sau: a) A 1 .A 2 .A 3 b) A 1 . A 3 c) A 1 + A 2 + A 3 d) B 0 e) A 2 .B 1 f) A 3 B 2 BÀI GIẢI a) A 1 .A 2 .A 3 : biến cố cả ba sinh viên thi đạt. b) A 1 . A 3 : biến cố sinh viên thứ nhất thi đạt và sinh viên thứ ba thi hỏng. c) A 1 + A 2 + A 3 : biến cố có ít nhất một sinh viên thi đạt. d) B 0 : biến cố không có sinh viên nào không đạt ≡ cả ba sinh viên đều đạt. e) A 2 .B 1 : biến cố sinh viên thứ hai thi đạt và có một sinh viên thi đạt ≡ chỉ có sinh viên thứ hai thi đạt. f) A 3 B 2 : biến cố sinh viên thứ ba thi hỏng và có hai sinh viên thi đạt ≡ chỉ có sinh viên thứ ba thi hỏng. Bài 2. Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên. Gọi A i là biến cố "xạ thủ thứ i bắn trúng bia", i = 1, 2. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua biến cố A 1 , A 2 : a) A: biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia và xạ thủ thứ hai bắn trượt. b) B: biến cố bia bị trúng đạn. c) C: biến cố bia không bị trúng đạn. BÀI GIẢI a) A = A 1 . A 2 b) B = A 1 + A 2 c) C = A 1 .A 2 ≡ A 1 + A 2 Bài 3. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi A k là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bày cách biểu diễn qua A k các biến cố sau: a) A: biến cố tất cả đều xấu. b) B: biến cố có ít nhất một sản phẩm tốt. 9 c) C: biến cố có ít nhất một sản phẩm xấu. d) D: biến cố không phải tất cả sản phẩm đều tốt. e) E: biến cố có đúng một sản phẩm xấu. f) F: biến cố có ít nhất hai sản phẩm tốt. BÀI GIẢI a) A = A 1 .A 2 .A 3 b) B = A 1 + A 2 + A 3 c) C = A 1 + A 2 + A 3 d) D = A 1 .A 2 .A 3 ≡ A 1 + A 2 + A 3 e) E = A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 f) F = A 1 .A 2 . A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 Bài 4. Ba sinh viên thi môn xác suất thống kê. Gọi A i là biến cố sinh viên thứ i thi đạt, i = 1, 3. Hãy biểu diễn qua A i các biến cố sau: a) A: biến cố cả ba sinh viên đều thi đạt. b) B: biến cố có không quá hai sinh viên thi đạt. c) C: biến cố có ít nhất một sinh viên thi đạt. d) D: biến cố có một sinh viên thi đạt. e) E: biến cố sinh viên thứ nhất và sinh viên thứ hai thi đạt. f) F: biến cố chỉ có sinh viên thứ hai thi đạt. g) G: biến cố có ít nhất một sinh viên thi hỏng. BÀI GIẢI a) A = A 1 .A 2 .A 3 b) B = A 1 .A 2 .A 3 +A 1 .A 2 .A 3 +A 1 .A 2 .A 3 +A 1 .A 2 .A 3 +A 1 .A 2 .A 3 +A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 c) C = A 1 + A 2 + A 3 ≡ A 1 . A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 ≡ Ω \ A 1 .A 2 .A 3 d) D = A 1 . A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 e) E = A 1 .A 2 f) F = A 1 .A 2 .A 3 g) G = A 1 + A 2 + A 3 ≡ A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 + A 1 .A 2 .A 3 ≡ A 1 .A 2 .A 3 10