de DA HSG Yen Dinh

Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong.. Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC.[r]

(1)

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011

MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ( điểm) Tính giá trị biểu thức sau:

A =

11

4 11

1

 

+

625 125

4 16 ,

4 625

3 125

3 25

3 ,

  

B =

343

2 64

) 7 (

1 49

1 49 1

2

        

  

Câu 2: ( điểm) Tìm số a1, a2, a3, a9 biết

1

7

2

1 2 3 9

1 a  a   a 

a

a1 + a2 + a3 + + a9 = 90

Câu 3: ( điểm)

a) Tìm x, y thoả mãn: 2

 

 x y

x =

b) Tìm x, y, z thoả mãn: ( 2)2 

x + ( 2)2



y + xyz =

Câu (2 điểm) Cho a c

c b chứng minh rằng:

2 2

b a b a

a c a

 

 

Câu ( điểm)

x + với x ≥ -1

a Cho hàm số: y = f(x) =

-x – với x < -1 - Viết f(x) dạng biểu thức - Tìm x f(x) =

b Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2

Tìm m biết P(1) = Q(-1)

Câu (2 điểm)Tìm x, y để C = -18-2x  3y9 đạt giá trị lớn Câu (2 điểm)

Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, lúc xe máy

chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h Biết khoảng cách AB 540km M trung điểm AB Hỏi sau khởi hành tơ cách M khoảng

2

khoảng cách từ xe máy đến M

Câu (3 điểm) Cho ABC vuông cân A, M trung điểm BC, điểm E nằm

giữa M C Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh rằng:

a) BH = AK

b) MBH = MAK

c) MHK tam giác vuông cân

HẾT

(2)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010 - 2011

Đáp án điểm

Câu

A = B = 14

1đ 1đ Câu áp dụng tính chất dãy tỉ số ta tính

a1 = a2 = = a9 = 10

2đ Câu

a) Vì 2



 x

x

 

y  x2 + 2x = y2 – = từ tìm cặp (x;y) =





b) Vì (x )2  với x ; (y 2)2  với y ; xyz 

với x, y, z

Suy đẳng thức cho tương đương

      

  

 

 

0 ) (

2

x y x

y x



     

   

0 2

z y x

1đ 1đ 1đ 1đ Câu 4: Ta có

Từ a c

c b suy

2 .

c a b

2 2

a c a a b b c b a b

 



  =

( )

a a b a b a b b

  

2 2

b c b

a c a



 



Từ b22 c22 b b22 c22 b

a c a a c a

 

    

  hay

2 2

2

b c a c b a

a c a

   





b22 a22 b a

a c a

 

 

0,5đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Câu 5:

a Biểu thức xác định f(x) = x1

Khi f(x) =  x1 = từ tìm x = 1; x= -3

b) Thay giá trị tương ứng x vào đa thức , ta tìm biểu thức P(1) Q(-1) theo m

giải phương ẩn m tìm => m = -41

1,5 đ

1,5 đ C©u

Ta cã C = -18 - (2x 3y9 ) £ -18 V× 2x 0; 3y90

Suy C đạt giá trị lớn -18

3

x y

  



  

=> x = vµ y = -3

(3)

A M B

Quãng đờng AB dài 540km, nửa quãng đờng AB dài 270km Gọi t khoảng thời gian từ lúc khởi hành ô tô xe máy lần lợt cách M a 2a (km, a>0)

Khi tơ xe máy lần lợt đợc quãng đờng là: 270 – a 270 – 2a

=> t=270 270

65 40

a a

 



t=

270 90 t

Vậy sau khởi hành ô tô cách M khoảng

2

khoảng cách từ xe máy tới M

0,5 ® 0,5 ®

0,5 đ 0,5 đ

Câu

M K H

B

A C

E

a) Theo bµi cã: BAH + KAC = BAH+ HBA => KAC= HBA mµ AB = CA (gt)

=> HAB = KCA (ch – gn)  BH = AK

b) Cã MBH + HBA=450 = MAK + KAC mà KAC = HBA (c/m trên)

=> MBH = MAK

XÐt MBH vµ MAK cã:

MB=MA (t/c tam giác vuông) MBH = MAK (c/m trªn) BH = AK (c/m trªn)

=> MBH = MAK (đpcm)

c) Từ kết => MHA = MKC (c.c.c) MH = MK (1)

 KMC = HMA => KMC + CMH = HMA + CMH =900

 HMK = 900 (2)

Tõ (1) vµ (2)  MHK vuông cân M (đpcm)

0,5đ 0,5đ 0,25đ

0,75® 0,25® 0,25® 0,5® S2

S1

(4)

MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI

Bài 1(4 điểm) a/ Tính:

A=

3 3 1

4 11 13

5 5 5

7 11 13

   



   

b/ Cho số x,y,z số khác thỏa mãn điều kiện: z

z y x y

y x z x

x z

y  

     

Hãy tính giá trị biểu thức:

B = x y z

y z x

     

  

         

 

Bài (4điểm)

a/ Tìm x,y,z biết: 2 0

2

x  y  x xz 

b/ CMR: Với n nguyên dương 3n2 2n2 3n 2n

   chia hết cho 10

Bài (4 điểm) Một thảo sách dày 555 trang giao cho người đánh máy Để đánh máy trang người thứ cần phút, người thứ cần phút, người thứ cần phút Hỏi người đánh máy trang thảo, biết người làm từ đầu đến đánh máy xong

Bài (6 điểm): Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME=MA Chứng minh rằng:

a/ AC=EB AC // BE

b/ Gọi I điểm AC, K điểm EB cho : AI=EK Chứng minh: I, M, K thẳng hàng

c/ Từ E kẻ EHBC (H  BC) Biết góc HBE 500; góc MEB 250, tính

các góc HEM BME ?

Bài 5(2điểm): Tìm x, y  N biết: 36 y2 8



x



- Hết-

(5)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài ý Nội dung Điểm

1 điểm a 5 13 11 13 11          +                            2 13 11 13 11 = 13 11 129 511 13 135 x x x x x x

+52 =431113513x75x11x129x13

x x

x

+ 52 =17218952=

5 172 172 189 x x x 

=1289860

2

b

Ta cú: y z x x z x y y x y z z y z z x x y

x y z

  

     





2

x y z y z z x x y

x y z x y z

 

  

    

 

1 1

                   

 

x y z

B

y z x

x y y z z x

y z x

  



x y z x y z 2.2.2

z y x

      Vậy B=8 0,5 0,5 0,5 0,5 điểm a

2

0

2

x  y  x xz 

Áp dụng tính chất A 





x

y

x x z x xz                                 2 x y z x              

Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2

0,25

1,5

0,25 b Ta cú: 2

3n 2n 3n 2n

   =(3n23 ) (2n  n22 )n

3 3n





n





   

3 10 5n  n = 10.(3n – 2n-1)

Vỡ 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với n nguyờn dương

Suy điều phải chứng minh

0,75 0,5 0,5 0,25 4điểm

Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ đánh máy theo thứ tự x,y,z

Trong thời gian, số trang sách người đánh tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong trang; tức số trang người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4;

Do ta có: : : 1 1: : 12 :15 :10

x y z 

Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

(6)

555 15 12 15 10 12 15 10 37

x y z x y z 

    

  180; 225; 150

x y z

   

Vậy số trang sách người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh là: 180, 225, 150

0,75 0,75 0,25

4

6 điểm a

b

c

(2 điểm)

Xét AMC EMB có :

AM = EM (gt )

gócAMC góc EMB (đối

đỉnh )

BM = MC (gt )

Nên : AMC = EMB (c.g.c )  AC = EB

Vì AMC = EMB

=> Góc MAC góc MEB

(2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )

Suy AC // BE (2 điểm)

Xét AMI EMK có :

AM = EM (gt )



MAI = MEK ( AMCEMB ) AI = EK (gt )

Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK

Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )  EMK + IME = 180o

 Ba điểm I;M;K thẳng hàng

(1,5 điểm )

Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có 

HBE = 50o 

HBE

 = 90o - HBE = 90o - 50o =40o

(1.0đ)

 HEM

 = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o 

BME góc ngồi đỉnh M HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc tam giác )

0,75 0,25 0,5

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

Ta cú: 36 y2 8



x



    y28



x



H

E M

B

A

(7)

2 điểm

Vỡ

y  8





x x

  £   £

Vỡ 0 (x 2010)2

£  x N ,



x



(x 2010)

   (x 2010)2 1 (x 2010)2 0

+ Với ( 2010)2 4 2010 2 2012

2008

x

x x

x  

      

 

2 4

2( )

y y

y loai 

    

 

+ Với (x 2010)2 1 y2 36 28

      (loại)

+ Với (x 2010)2 0 x 2010

    36

6 ( )

y y

y loai 

   

 

Vậy ( , ) (2012; 2); (2008;2); (2010;6).x y 

0,25 0,5

0,25 0,25 0,25 0,25

(8)

MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: ( 2,0 điểm)

a Tìm x, y biết: xy

 

7

=

7

x + y = 22 b Cho

4

y x



z y

 Tính M =

z y x

5

4

 

Bài 2: ( 2,0 điểm)

Thực tính:

a S = 22010 22009 22008   



b P = (1 16)

16 ) ( ) ( ) (

1              

Bài 3: ( 2,0 điểm)

Tìm x biết:

a 2x

64 31 62 30 12

5 10

4



b 2x

2

6 6 6 3

4 4

5

5 5 5 5 5

5 5

 

     

   

Bài 4: ( 4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có B < 900 B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia

BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D a Chứng minh BEH = ACB

b Chứng minh DH = DC = DA

c Lấy B’ cho H trung điểm BB’ Chứng minh tam giác AB’C cân d Chứng minh AE = HC

(9)

PHÒNG GD&ĐT KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2008-2009 Mơn: Tốn - Lớp

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM

B i 1: (2,0 i m)à đ ể

287x=284y 0,25

 7    y x y

x 0,25  11 22

4   

y x

x 8;y 14 0,25

20 15 y x y x    ; 24 20 z y z y    24 20 15 z y x  

 (1) 0,25

(1) 302 603 964 230 603 964

      

 x y z x y z 0,25

(1) 120 80 45 120 80 45       

 x y z x y z 0,25

 96 60 30     y z

x : 120 80 45     y z

x =

30 2x :

45 3x

0,25

 1863 3 2454 5 32 34 45 186245            z y x z y x M z y x z y x 0,25

Bài 2: ( 2,0 điểm)

Thực tính:

2S = 22011 22010  22009  22  0,25

2S-S = 22011 22010 22010. 2200922009  22 22  221 0,25

S =22011 2.22010 1 0,25

S 22011 22011 1

    0,25 P = 17 16 16 4 3

1     0,25

17 2       0,25

1 17 1

2       0,25 76 18 17          0,25

B i 3: ( 2,0 i m)à đ ể

x 2 31 31 30 2

(10)

x

2 31 30

31 30

6

30  0,25

x

2

1

36  0,25

36  

x 0,25

x

2

6

4

5 5

 0,25

x

2

6 6

 0,25

x

2

6 6

           

 0,25

12

212  x  x 0,25

Bài 4: ( 4,0 điểm)

Câu a: 0,75 điểm Hình vẽ:

BEH cân B nên E = H1 0,25

ABC = E + H1 = E 0,25

ABC = C  BEH = ACB 0,25

Câu b: 1,25 điểm

Chứng tỏ DHC cân D nên

DC = DH 0,50

DAH có:

DAH = 900 - C 0,25

DHA = 900 - H

2 =900 - C 0,25

DAH cân D nên DA = DH 0,25

Câu c: 1,0 điểm

ABB’ cân A nên B’ = B = 2C 0,25

B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,50  C = A1AB’C cân B’ 0,25

Câu d: 1,0 điểm

AB = AB’ = CB’ 0,25 BE = BH = B’H 0,25 Có: AE = AB + BE

HC = CB’ + B’H

 AE = HC

0,50

A

B

C H

E

D

B’

1