Đang tải... (xem toàn văn)
Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC tới đường tròn sao cho góc BAC nhỏ hơn 90 0.. Tia phân giác của góc BAC.[r]
(1)PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MƠN THI : TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) I THIẾT LẬP MA TRẬN:
Mức độ Chủ đề
Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Tổng
Số học C3(2)
2
C3(1)
2 1
4 Đại số C1(1)
2 C4
2
C2; C1(2)
4 4
10
Hình học C5(1,2)
3
C5(3,4)
3 4
6
Tổng 2
4 2
5 5
11 9
(2)PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MƠN THI : TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ( điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
A = 3940 3638 3633 32
x x x x
x x x x
2) Cho A = 21 1 1 4( 1)
x x x x
x
x x
a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A
Câu 2 (4 điểm) Giải hệ phương trình 11
x y z x y z
x y z
Câu 3 (4 điểm)
1) Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x Z có hệ số nguyên
Chứng minh p(x) chia hết cho với trị nguyên x hệ số a, b, c, d chia hết cho
2) Tìm số b nguyên tố cho b + 6, b + 14, b + 12 b + số nguyên tố Câu 4 (2 điểm) Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 + 32 = 10ab Tính giá trị biểu thức:
P = a b
a b
Câu 5 (6 điểm) Từ điểm S nằm ngồi đường trịn tâm O, kẻ tiếp tuyến SA cát tuyến SBC tới đường tròn cho góc BAC nhỏ 900 Tia phân giác góc BAC
dây BC D cắt đường tròn tâm O E Các tiếp tuyến của đường tròn O C E cắt điểm N Gọi Q P theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng AB CE, AE CN
1) Chứng minh: SA = SD
2) Chứng minh EN BC song song với 3) So sánh tam giác QCB tam giác PCE 4) Chứng minh hệ thức 1
CN CD CP
(3)PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MƠN THI : TỐN
Câu ( điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
A = 3940 3638 3633 32
x x x x
x x x x
ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM
Với tử số Đặt a = x3, ta nhận
TS = a13 a12 a11 a 1
13 12 11
( 1)( 1)
( 1)
a a a a a
a
0,5
= 14 1 a a = 42 1 x x 0,25
Với mẫu số Đặt b = x2, ta nhận được:
MS = b20 b19 b18 b 1
=
20 19 18
( 1)( 1)
( 1)
b b b b b
b 0,5 = 21 1 ( 1) b b = 42 1 x x 0,25
Suy ra: A = 423 1 x x : 42 1 x x = 42 1 x x 42 1 x x
= 2
( 1)( 1)
( 1)( 1)
x x x
x x x x x
0,5
2) Cho A = 21 1 1 4( 1)
x x x x
x x x
a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A
ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM
a) A có nghĩa 1xx22
0,5
b) A = 12 1 4
x x x x
x x 1 x x
1 x 12 1 x 12
(4)A = 1 1
x x
x
0,5
Nếu < x < A =
1 x
Nếu x > A =
1
x
0,5
Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình 11(1) (2)
3
x y z x y z
x y z
ĐÁP ÁN 4 ĐIỂM
Đặt x y z 1 = u 0 0,5
Phương trình (1) trở thành u2 + u -12 = (u - 3)(u + 4) = 1
4
u u
; (u = - không thỏa mãn điều kiện u 0) 0,5 Do đó: x y z 1 = x y z 8 0,5
Từ (2), ta có:
3 7 16
x y z x y z
0,5
Vậy:
1
.3
2
1
1
.7
2
x y z
1
Câu 3 (4 điểm)
1) Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x Z có hệ số nguyên Chứng minh
rằng p(x) chia hết cho với trị nguyên x hệ số a, b, c, d chia hết cho
ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM
Xem đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x Z có hệ a, b, c, d nguyên
Theo đề bài, ta có
P(x) 5, x Z
(5)Suy ra:
(0) (1) ( 1) (2)
p p p p
5
5
8
d
a b c d a b c d
a b c d
0,5
5
4
a b c a b c
a b c
1
Từ (1) (2) 2b 5, (2, 5) = b 5
0,5
Do ta có: 4a ca c 55
4
Từ (4) (5) 3a 5, (3, 5) = a 5 c 5 Vậy: Nếu P(x) 5 x Z thì: a, b, c, d 5
0,5
2) Tìm số b nguyên tố cho b + 6, b + 14, b + 12 b + số nguyên tố
ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM
Bất kì số tự nhiên b có dạng : 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4, với k N
0,5
Nếu b = 5k + b + 14 = 5k + + 14 = 5k + 15 5, không nguyên tố
Nếu b = 5k + b + = 5k + + = 5k + 10 5, không nguyên tố
Nếu b = 5k + b + 12 = 5k + 15 5, khơng nguyên tố
Nếu b = 5k + b + = 5k + 10 5, khơng nguyên tố Do b = 5k mà b nguyên tố nên b =
1
Ta suy ra: b + = 11 b + = 13 b + 12 = 17
b + 14 = 19, số nguyên tố
0,5
Câu 4 (2 điểm) Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 + 32 = 10ab Tính giá trị biểu thức:
P = a b
a b
(6)ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM Xét: P2 = 2
2 2
( )
( )
a b a ab b
a b a ab b
= 22 22
3
a b ab
a b ab
0,5 0,5
= 1010 66 164 41
ab ab ab
ab ab
ab 0,5
Mà: P > P =
(Vì a > b > 0) 0,5
Câu (6 điểm)
G T
S (O); tiếp tuyến SA, cát tuyến SBC, (B, C (O)); BAC< 900; AD
BC = D AD(O) =
E
BAE CAE ; tiếp tuyến C E cắt N; AB CE = Q ; AE CN = P
S
A
O
C
P D B
N Q
0,5
K L
a) SA = SB b) EN // BC
c) So sánh QCB và PCE
d) CN1 CD1 CP1
Chứng minh:
ĐÁP ÁN 5,5
ĐIỂM a) Tia AE phân giác góc BAC, nên BE EC
2
SAD sđ (AB BE );
ADS sđ (EC AB ), mà BAE CAE (gt), nên
BE EC
SAD = ADS ASDcân S SA = SD
0,5 0,5 0,5 b) NECcân N có NC = NE Do đó, NECNCE
Nhưng NCE = ECB ECB = NEC Vậy EN // BC
0,5 0,5 c) Ta có: AQC sđ (AC BE ) : 2; APC sđ (AC EC ):
Vì AE phân giác góc A APC AQC QCBPCE (g.g)
(7)e) Do EN // BC, nên theo định lí Ta-let tam giác PCD Ta có: CDEN PCPN PCPC NC 1 PCNC
Vì EN = NC,
PC NC CD
NC
1
Chia hai vế cho NC, ta được:
CP CD CN PC
NC CD
1 1
1
0,5 0,5 1