Phuong phap luong giac hoa

[r]

(1)

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

I/ Các dấu hiệu

Ta có dấu hiệu:

1/ Nếu có điều kiện biến x x a (a0), ta đặt: sin

x a t , với , 2 t   

  x a cost, với t





Trong trường hợp riêng:

 Nếu 0 x a, ta đặt: sin

x a t, với 0, t  

  hoặcx acost

 , với 0,

2 t  

 

 Nếu a x 0, ta đặt : sin

x a t, với ,0 t   

  hoặcx a cost, với t 2, 



 

  

 

2 /Nếu có điều kiện biến x x a (a0), ta đặt: sin

a x

t

 , với , \ 0

 

2 t   

  cos

a x

t

 , với





t

 

3 /Nếu biến x , ta đặt: tan

x t, với , 2 t   

  xcott, với t





Trong trường hợp riêng:

 Nếu x0, ta đặt: tan

x t, với 0, t 

  xcott, với t 0, 

 

  

 

 Nếu x0, ta đặt : tan

x t, với ,0 t   

  xcott,với t 2, 



 

 

 

4 /Nếu hai biến x y, thỏa mãn điều kiện a x2 b y2 c2

  , với a b c, , 0, ta đặt : sin

cos ax

t c

by

t c

    

 

 



sin

cos c t x

a c t y

b

        

Trong trường hợp cần sử dụng tới dấu x vày ta hạn chế góc t, ví dụ có x y, 0

2 t 

 

II/ Các biểu thức thường lượng giác hóa

Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức

2

a  x xasint với , 2 t   

(2)

cos

xa t với 0, t  

 

2

x  a sin

a x

t

 với , \ 0

 

2 t   

 

cos a x

t

 với





2 t  

2

a x

tan

xa t với , 2 t    

 

cot

xa t với t





a x a x





a x a x



 x a cos 2t



x a b x

 



x a



b a



t

a b ab

 

tan tan a b

    



 , với ,

, 2

     

 

III/ Các ví dụ

1 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1.1 Bài tốn 1: Giải hệ phương trình:

 





 





 

2

1

1 2

1

xy

z y y

x z z

 

 

 

 

 

 

Lời giải

Hệ tương đương với

2

1

2 xy

y z

y z x

z



 

 

 

  

 

 

Nếu y  1 vơ lí; z 1 vơ lí Đặt x tana; ytanb; ztanc Ta có

 

tana cotb ; tanccot 2b

 

a

c

 

Khi đó: c2b k ; a2c l   a4b2k l

Thay vào (4): tan(4b2k l) cot b

2 10

m

b  m b  

     

(3)





3

10 10

7

10 10

5 10

b n b n

b n loai

 

   

 

Nếu tan4 ; tan ; tan2

10 10 10 10

b n  x  y  z 

Nếu tan2 ; tan3 ; tan6

10 10 10 10

b  n  x  y   z  

10 10 10 10

b  n  x  y  z 

10 10 10 10

b  n  x  y  z  1.2 Bài tốn 2: Cho hệ phương trình

2 2

4 z

x y

z v xv y    

  

   

Tìm nghiệm hệ để zx max Lời giải

Đặt x2 cosa; y 2 sina; z 3cosb; v3sinb a b, 









z 6 cos sin sin cos

xv y   a b a b 









6sin a b sin a b

     

Mà sin



a b







sin a b

  

 

1

2 a b a b





  

 

   

vì a b, 





Khi đó: xz6 cos cosa b3 cos



a b





a b







3cos a b

 





max cos a b  1 a b

Kết hợp với (1)

4 a b 

    nghiệm là:

2;

2 x y z v

Kết hợp với (2)

a b 

    nghiệm là:

2;

2 x y z v

1.3 Bài tốn 3: Giải phương trình:

2

(4)

Lời giải

Ta có :cos2 x sin2 y sin



x y





x

y



     ( phần CM xin bạn) Do cos 32 x sin 22 x sin sinx x 1

  

Vậy phương trình cho tương đường với cos 5x1 5x k2

 

5 k

x 

 

1.4 Bài tốn 4: Giải phương trình





3sinx4 cosx 5 tanx Lời giải

Ta có

3sinx4 cosx5





5 tanx 5

Do phương trình cho tương đương với hệ:





3sin cos 1

tan

2

5 tan

x x x

x

 

 

 



  

 

1.5 Các tốn tự giải: 1.5.1 Giải phương trình



x



x

1.5.2

6

1

sin cos

4

sin cos

4

x y

y x



 

  

  

 

1.5.3 Giải hệ phương trình sin sin

2 0, ,

2

x y x y

x y x y



 

  

  

 

  

 



1.5.4 Giải hệ phương trình

10 10

1 sin cos

16

sin cos

16

x y

y x



 

  

  

 

1.5.5 Giải hệ phương trình

2

4 sin cot cos tan

x y

y x

  



  

2 Bất đẳng thức

2.1 Bài toán 1: Cho bốn số u v x y, , , thoã mãn điều kiện u2 v2 x2 y2 1

   

Chứng minh









(5)

Đặt

sin cos sin cos u v x y

         

    

Au x



y



v x



y



Ta có









sin sin cos cos sin cos

A         









sin   cos  

   

2 sin

4



 

 

     

 

Vậy u x



y



v x



y



2.2 Bài toán 2:









2

1 1 x  1x  1 x  2 2 2 x

 

 

Lời giải Điều kiện có nghĩa x 1 Đặt xcos với 





Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng









1 sin   cos   cos   2 2 sin

 

 





3

2 cos sin cos sin 2 sin

2 2

   



   

        

   









2 cos sin 2 sin

   



 



   

2.3 Các toán tự giải

2.3.1 Bài toán 1: Cho a 1,b 1 Chứng minh

2 1 1

a   b  ab

2.3.2 Bài toán 2: Cho số x y z, , thoả mãn , ,

z x

x y z xy y z

 

 

  



Chứng minh

2 2

3

1 1

x y z

x  y  z 

  

2.3.3 Bài toán 3: Cho liên a b c d, , , hệ a c 1 d b d2, 1 c2

   

Chứng minh a  b 1 3 Chứng minh đẳng thức

3.1 Bài toán 1: Cho x0,y0,z0 thoả mãn điều kiện sau xyyzzx 1 (1) Chứng minh



 





 





 



2 2

1 1 1

2

1 1

y z z x x y

x y z

     

  

  

(6)

Đặt x tan , y tan, ztan với , , 0;



   

  Khi (1) có dạng

tan tan  tan tan tan tan  1





tan tan tan tan tan 

   





1 tan tan

tan cot

tan tan

 

  

 



   



2 k



   

    

Do 0;3

2



     

  nên

3

2 k

 



   hay 1

2 k

   Vì k  nên k 0 Vậy

2



  

Ta có



 





 



2

1 1 tan tan

tan

1 tan

y z

x

 



   



 

cos sin

tan

cos cos cos cos

 



   

 





cos cos cos sin sin

cos cos cos cos

     

   

 

 

1 tan tan  yz

   

Tương tự



 



2

1

1 z

1

z x

y x

y

 

  



 



2

1

x y

z xy

z

 

  

Suy



 





 





 







2 2 2

2 2

1 1 1

3 z x

1 1

y z z x x y

x y z xy y z

x y z

     

      

  

3.2 Bài toán 2: Cho x0,y0,z0 thoả mãn xy z xyz

Chứng minh



 





 





 



2 2

1 1

z

1 1

x

1 1

0

y z y z

y

z x z x

z

x y x y

xy

     



     

 

(7)

Đặt x tan , y tan, ztan với , , 0;

     

  Do xy z xyznên

tan tan tan tan tan tan  





tan tan tan tan tan 

   

tan tan

tan tan tan

 



 



 



k

   

   





, k k

   

     

Do 0;3 3

2 k k

 

           

  mà k nên k 1

Vậy     Ta có



 



z

y z y z

y

     



 



tan tan

   

 

     



1 1

cos cos cos cos sin sin

cos cos

   

 

 







1 cos cos

sin sin

 

 



Tương tự ta có



 







x sin sin

z x z x

z

 

       





 







sin sin

x y x y

xy

 

       



Khi vế trái đẳng thức cần chứng minh













1 cos cos cos cos cos cos

sin sin sin sin sin sin

     

     

 













sin sin sin sin sin sin

0 sin sin sin

        

  

       

 

Suy điều phải chứng minh 3.3 Các toán tự giải

3.3.1 Bài toán 1:Cho xy1, zy 1, xz 1 Chứng minh rằng:

1 z x 1 z x

x y y z z x x y y z z x

xy y z xy y z

     

  

     

3.3.2 Bài toán 2: Cho , ,

3 3

x  y z thoả điều kiện xy z xyz

(8)

3 3 3

2 2 2

3 3 3

1 3 3 3

x x y y z z x x y y z z

x y z x y z

     

  

     

3.3.3 Bài toán 3: Cho 0a b c, , 1và a2 b2 c2 2abc 1

   

Chứng minh



 





 





 



1 1 1 1