De thi HSG Tinh Vinh Phuc

[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

———————————— Câu (3,0 điểm).

1 Cho  

3

1 3

x f x

x x 

  Hãy tính giá trị biểu thức sau:

1 2010 2011

2012 2012 2012 2012

Af   f    f f  

       

2 Cho biểu thức 1 22

1

x x x x x

P

x x x x x x x x

   

  

   

Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên.

Câu (1,5 điểm).

Tìm tất cặp số nguyên dương x y;  thỏa mãn x y 3 x y  62

Câu (1,5 điểm).

Cho a b c d, , , số thực thỏa mãn điều kiện:

2012 abc bcd cda dab a b c d       

Chứng minh rằng: a2 1 b2 1 c2 1 d2 1 2012

    

Câu (3,0 điểm).

Cho ba đường tròn   O1 , O2  O (kí hiệu  X đường trịn có tâm điểm X) Giả sử   O1 , O2 tiếp xúc với điểm I   O1 , O2lần lượt tiếp xúc với  O

1,

M M Tiếp tuyến đường tròn  O1 điểm I cắt đường tròn  O điểm , '

A A Đường thẳng AM1 cắt lại đường tròn  O1 điểm N1, đường thẳng AM2 cắt lại đường

tròn O2 điểm N2

1 Chứng minh tứ giác M N N M1 2 nội tiếp đường thẳng OA vuông góc với đường

thẳng N N1

2 Kẻ đường kính PQ đường trịn  O cho PQ vng góc với AI (điểm P nằm trên

cung 

1

AM không chứa điểm M2) Chứng minh PM1, QM2 không song song

đường thẳng AI PM, QM2 đồng quy

Câu (1,0 điểm)

Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu

—Hết—

Cán coi thi khơng giải thích thêm.

Hướng dẫn câu BĐT

Ta có: 2012abc bcd cda dab a b c d       2

       

 ab c d cd a b 2

     

ab 12 a b2 cd 12 c d2

   

      

   

 2 2   2 2         

1 1 1

a b a b c d c d a b c d

           

Suy a2 1 b2 1 c2 1 d2 1 2012