Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP THAM KHẢO:. 1.[r]
(1)HỆ PHƯƠNG TRÌNH
+ Khai thác cách giải hệ PP ví dụ đơn giản sau: Giải hệ phương trình :
a) 2 21 x y
x y
b)
2 2 2 2
2
x y x
x y
c)
2 49
3 84
x y x y
d) 3
9 x y x y
Giải hệ phương trình :
2
2 (2)
( 1)( 1) (1)
1
x y x y x x
xy x x
HD: Dễ thấy x = nghiệm (2) nên từ (2)
2 1
1 x y
x
Thay vào (1) ta : x2.x2x 1x x2x 1 3x2 4x
(x21).(2x21) ( x1).(3x1) Giải tiếp ta có kết
+ Khai thác cách giải hệ PP đặt ẩn phụ thông qua số hệ đối xứng ( Loại I )
Chẳng hạn: Giải hệ phương trình: a) 2 2
3 16
x y xy
x y x y
b) 2
x y x y x y
c) 3 3
7
x y x y x y
d) 2
( 1) ( 1)
x y x y x x y y y
1, Giải hệ: x y 3x 2y x y x y
HD: Đặt u x y; v 3x 2y (u 0, v 0)
2
2
2
x y u
x y 2v 5u 3x 2y v
Ta có hệ: u v 2 2 u 2v 5u v
2) Giải hệ phương trình : a)
3
2 x y x y x y x y
(Khối B-2002) HD: Dùng hai ẩn phụ u = x – y 0; v = x + y 0 ĐS: (1;1) 1;
2
b) Giải hệ phương trình:
3 3
2
(1) (2)
8 27 18
4
x y y
x y x y
Từ (1) y
Hệ
3
3
3
2
27 3
8 18 (2 ) 18
4 1 3 3
2
x x
y y
x x
x x
y y y y
Đặt a = 2x; b = 3y Ta có hệ:
3 18 3
( )
a b a b
(2)ĐS: Hệ cho có nghiệm 4 ;3 5 , 4 ;3 5
c)
2
2
3
3
x y x y
x y x y
HD:
2
2
3 1
3
3
x x y y u v
u v
x x y y
ĐS:
4 ;
13 ; ;
13 ; ;
13 ; ;
13
d) 2( 2)(2 )
4
x x x y x x y
HD: đặt a = 2x + y, b = 2x - y u x x ( 2) ; v2x y
e)
2
4
5 x y x y xy xy
4
x y xy(1 2x) (A 08)
HD: Hệ
2
2
5 x y xy xy(x y)
4
(x y) xy
Đặt u x2y; v = xy
2 Giải hệ phương trình a) (Dự bị ĐH Khối A 2006)
2
( )
( 1)( 2)
x y x y y
x x y y
HD: Hệ phương trình 2
( 1) ( 2)
( 1)( 2)
x y x y y
x x y y
Dễ thấy y = không thoả mãn Với y 0, chia vế cho y đặt:
2 1
,
x a x y b
y
ĐS: (1;2), (2;5)
b) (B-2009) xy x 7y2 2 2 x y xy 13y
HD : y 0 Hệ phương trình
2
1 x
x
y y x
x 13
y y
2
1 x
x
y y
1 x
(x ) 13
y y
Đặt u = x+1
y ; v = x y
c) (D-09) 2
2
x(x+y+1)-3=0
(x+y)
x
(3)HD : x0 Hệ pt
2
3 x+y+1- =0
x
(x+y)
x
Đặt u = x+y ; v = x
d)
3 3
2
1 x y 19x
y xy 6x
3 Giải hệ phương trình
2 2
(2 ) 5(4 ) 6(2 )
1
2
2
x y x y x y
x y
x y
HD: Đặt a = 2x y, b = 2x y (Để ý 4x2 y2 = (2x y)(2x y)) ĐS: Hệ cho có nghiệm: 3 18 4; , 14 2;
+ Khai thác cách giải hệ PP cộng:
1
1
x
y x y
x y
(*)
Yêu cầu học sinh nhận xét đặc điểm hệ đề xuất PP giải ? hệ đối xứng loại II
Trừ vế theo vế ta được: 2x y 41 1x y x yxy 2
Dùng PP cộng để giải : - Điều kiện: x0;y0, hệ (*) tương đương với
1
2
1
x y
x y y
x y
( )
1
2
I
II
x y y
x y xy
y
x y
Tiếp tục giải PP ta có: nghiệm hệ: x y; 1;1 , 1; , 2; , 2, 2 Giải hệ phương trình sau :
a)
3
3 8 x x y y y x
b)
2
(4 2) 15
(4 2) 15
x y
y x
c)
2
3 x x y
3 y y x
d) 2 2 2 1
3 32
x y x y
x y
a)
2 2 3 0
2 x xy y x x y y
b)
2
(5 4)(4 ) (1)
5 16 16 0(2)
y x x
y x xy x y
(4)c) (1)
2 2 (2)
xy x y x y x y y x x y
HD b) : Xem phương trình (2) phương trình ẩn y phân tích phương trình (2) ĐS: Hệ cho có nghiệm (0;4), (4;0), 4;0
5
HD c) : (1) x2 (y1)x 2y2 y0 = (3y 1)2. phân tích phương trình (1) ĐS: Hệ cho có nghiệm (5;2)
Giải hệ phương trình :
a)
2
2
2 1 (1)
(2) xy
x y
x y x y x y
HD: Với đ/k : x y 0 ; Đặt x y u xy v
(1) trở thành : u2 2v 2v u3 2uv 2v u (u 1)(u2 u ) 0v u
2 2 21 ( )
2 0 ( )
x y a
u
u u v x y x y b
(b) vô nghiệm : x y 0
Từ (a) y 1 x thay vào (2) ta giải kết
b)
3
2
8
3
x x y y
x y
HD: Cách 1:
2
2
3
2 2 2
2
3
8
8
3 3 2
3
x x x y y
x x y y y
x
x y x y
x y
đến dùng phép đặt : x2 = t
Cách 2: Hệ
3
2
)
3( 6(4 )
3
x y x y
x y
3 2
2
) )
3( ( (4 )
3
x y x y x y
x y
3 2
2 2
2
) ) )
3( ( (4 ) ( 12
3 6
x y x y x y x x xy y
x y x y
(2 )(2 )
3
x x y x y x y
Đến ta biết cách giải c)
4 2
2
2 (1)
2 6 (2)
x x y x y x x xy x
HD: PT (1) x x2( 22 )xy x y2 2x9 (*)
Do x = nghiệm phương trình (2) (2)
2
6
x x
y
x
(3)
Thế (2) (3) vào (*) ta có : 2(6 6) 2.6 2
2 x
x x
x x x
x
(5) x x( 312 48x2 x64) 0 x4 ( Vì x = loại ) y174
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2
2
x y
y x
HD : Dễ thấy hệ (1)
(2)
2
2
x x y y
y x
Xét hàm số f t( ) t 2 t [0 ; ] có '( ) 1 [0;2
2 2 ]
f t t
t t
hàm số đồng biến [0;2] mà (1) f(x)=f(y) x = y vào (2) ta giải x y
Ở lưu ý Hàm số xét có TXĐ khoảng hay đoạn Chẳng hạn lời giải sau khơng xác:
Giải hệ phương trình:
3
1
2
x y
x y
y x
HD: xy0 Xét hàm số f(t) = t t t
có f ’(t) > nên f(t) hàm số đồng biến PT đầu xảy x = y Thay y = x vào PT sau để giải tìm x, từ tìm y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :
3
8 (1)
1
( 1) (2)
x y x
x y
HD: Đ/k : x1;y0 Từ (2) y(x1)2
thay vào (1) x 1 x3 x22x 0 (*) Xét: f x( ) x 1 x3 x22x [1;+ )
'( ) 2 3( 13)2 53
2
f x x x x
x x
nên f(x) hàm số đồng biến mà f(2) 0 (*) có nghiệm x = y =
Ví dụ 3:(KA-2010) Giải hệ phương trình:
2
2
4
4 4
x x y y
x y x
HD: ĐK : 3;
4
x y Đặt u = 2x, v = 2 y
2
5 ;
2
u v
x y
thay vào pt thứ hệ, ta được:
2
3 3
( 1) ( 1)
0
2
u u v v
u v u v u u v v u v
Do 2x = 2 y
2
5 0;
2 x
x y
, thay vào pt thứ hai hệ rút gọn, ta được: 4 6 2 4 3(*).
4
(6)2 g
2
( ) (4 3) 0, 0;
4
g x x x x
x
, mặt khác, hàm số g x( ) liên tục 0;3
4
nên hàm số ( )
g x nghịch biến đoạn 0;3
Vậy pt (*) có nghiệm
2
x y =
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình :
3
2 2
3 (1)
1 (2)
x y y x
x x y y
HD : Đặt t = x + t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2 (*) Xét : f a( )a3 3a2 [0;2] có : f a'( ) 3( a 2)a0 a [0;2]
Mà (*) f(t)=f(y) y = x + (2) x2 2 1 x2 0 ……
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình :
3
2
x y y 28
x y 2xy y 18
HD:
3
2
y(x y ) 28(1) y(x y) 18 2(2)
x>y>0
(2) x =
4
3 y
y thay vào (1): y
4
3
3
( y) y
y
= 28
Đặt t = y> có pt t9 (3 t )4 328t 0
Xét hàm số f (t)t9 (3 t )4 3 28t 0
(0;+)
8
f (t) 9t 9t (3 t ) 28 t 0
f(t) = có nghiệm thuộc (0;+) Hệ phương trình có nghiệm
Nếu chọn x = 2y từ pt(1) ta có y4 = 4 y x 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (2 2; 2)
D BÀI TẬP THAM KHẢO:
1 Giải hệ phương trình : a)
2
3
2
2
x y
x y y x
b)
3
6
3 (1)
1 (2)
x x y y x y
c)
0 1
3
0 3
1 2
3
2
2
2
y x
x
y x
x y x
x
d)
2
3
2 15
8 35
x y xy x y
e)
2
2
2
2
x y x y
x y x y
f)
2
1 ( )
( 1)( 2)
x y x y y
x x y y
(7)g)
2
2
1
2
2
x x y y y x y
h)
0 22
0
2
2
y x
y x
y y
x x
2 Cho hệ phương trình
2
( 1) ( 1)
y m x
x m y
Tìm m để hệ có nghiệm Tìm m để hệ có nghiệm
2
12 26 xy y
x xy m
4 Tìm m để hệ phương trình 2x y mx xy 10
có nghiệm
5.(HSG 12-2000) Giải hệ phương trình :
2
2
2xy
x y
x y
x y x y
6 (KA-2006) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2
3
(x y)xy x y xy
1
m
x y
7 ( 1)( 1)
( 1) ( 1) 17
x y
x x y y xy
8
2
2
1
2
2
x x
y
y y x y
9
2 2
2
1
x y x y xy
x x y xy xy y
;
10
2
2
x y x y y
x x y y