Đang tải... (xem toàn văn)
Vieát phöông trình maët phaúng ( ) qua M vaø vuoâng goùc vôùi ( ).. Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB b.. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA CAÙC ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG.. [r]
(1)Đề CƯƠNG ÔN THI TốT NGHIệP Môn toán Năm học 2010 - 2011
Biên soạn: Ngô Kiều Lợng- giáo viên môn Toán - Trờng THPT BN NGÀ
CẤU TRÚC ĐỀ THI NGHIỆP THPT NĂM 2009 I PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 m)Ầ Ấ Ả ể
Câu Nội dung kiến thức Điểm
I
Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: Chiều biến thiên hàm số Cực trị Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước; tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng);
3,0
II
Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ lơgarit Giá trị lớn nhỏ hàm số
Tìm nguyên hàm, tính tích phân. Bài tốn tổng hợp
3,0
III
Hình học khơng gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu
1,0
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn:
Câu Nội dung kiến thức Điểm
IV.a
Phương pháp toạ độ trong không gian: Xác định toạ độ điểm, vectơ
Mặt cầu
Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu
2,0
V.a
Số phức: Môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai
số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức âm 1,0
(2)Ứng dụng tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay
2 Theo chương trình Nâng cao:
Câu Nội dung kiến thức Điểm
IV.b
Phương pháp toạ độ trong không gian: Xác định toạ độ điểm, vectơ
Mặt cầu
Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu
2,0
V.b
Số phức: Môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số phức Phương trình bậc hai với hệ số phức Dạng lượng giác số phức Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng
2
ax bx c
y
px q số yếu tố liên
quan.
Sự tiếp xúc hai đường cong Hệ phương trình mũ lơgarit
Ứng dụng tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trũn xoay
1,0
phần chung cho tất c¸c thÝ sinh
CHủ Đề khảo sát, vẽ đồ thị hàm số toán liên quan
i khảo sát vẽ đồ thị hàm s
1 Dạng 1: Hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a0)
(3)1.2 Ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = -x3 + 3x2 – 4
1.3 Híng dÉn
3
1 Tập xác định: D = R Sự biến thiên
* Ta cã y’ = 3ax2 + 2bx + c
- Xét dấu y’ từ suy đồng biến, nghịch biến hàm số
* Tìm cực trị
- Tỡm cc tr tc tìm điểm cực đại cực tiểu hàm số (nếu có) - Cách tìm:
+ Nếu x = x0 mà y’ đổi dấu từ (+) sang (-) hàm số đạt cực đại x = x0 giá trị
cực đại yCĐ = y(x0)
+ Nếu i x = x0 mà y’ đổi dấu từ (-) sang (+) hàm số đạt cực tiếu x = x0 giá trị
cùc tiĨu lµ yCT = y(x0)
L
u ý : Nếu qua x0 mà y’ đổi dấu hàm số đạt cực trị x0, ngợc lại x0 khơng cực trị
cđa hµm số * Tìm giới hạn:
3
2
3
2
lim ( ) lim (1 )
, ,
lim ( ) lim (1 )
, ,
x x
x x
b c d
ax bx cx d ax
ax ax ax
b c d
ax bx cx d ax
ax ax ax
* LËp b¶ng biÕn thiªn
nÕu a > nÕu a <
nÕu a < nÕu a >
3 Vẽ đồ thị:
Khi vẽ đồ thị hàm số ngồi ý đ trình bày SGK học sinh cần lã u ý thêm số điểm sau bớc sau:
- Biểu diễn điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ
(4)4
1 Tập xác định: D = R Sự biến thiên * Ta có y’ = -3x2 + 6x
y’ = x = 0, x = 2
XÐt dÊu y’ (bảng xét dấu học sinh làm giÊy nh¸p)
x - +
y + -Tõ b¶ng xÐt dÊu y’ ta cã
Hàm số nghịch biến khoảng (-; 0) (2; +) Hàm số đồng biến khoảng (0; 2)
* Cùc trÞ:
Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = y(0) = -4
Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = y(2) =
* Các giới hạn:
3
3 lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + )
x x
x x
3
3 lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + )
x x
x x
* Bảng biến thiên
x - +
y +
-y
+
4
-2 -4
-5
3 -1
O
3 Vẽ đồ thị:
- Giao điểm đồ thị với trục toạ độ Giao với Ox (-1; 0), (2; 0)
(5)1.4 Bài tập tự giải:
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau:
1 y = x3 + 3x2 - 4
2 y = -x3 +3x – 2
3 y = x3 + x2 + 9x
4 y = -2x3 + 5
5 y = x3 + 4x2 + 4x
6 y = x3 – 3x + 5
7 y = x3 – 3x2
8 y = –x3 + 3x2 – 2
9 y = x3 – 6x2 + 9
2 D¹ng 2: Hàm trùng phơng y = ax4 + bx2 + c (a0)
2.1 Các bớc khảo sát vẽ đồ thị.
2.2.Ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 + 2
2.3 Híng dÉn
5
1 Tập xác định: D = R Sự biến thiên
* Ta cã y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)
- Xét dấu y’ từ suy đồng biến, nghịch biến hàm s
* Tìm cực trị
Cỏch tỡm cc trị hàm bậc bốn đợc làm tơng tự nh hàm bậc ba * Tìm giới hạn:
4
2
,
lim ( ) lim (1 )
,
x x
b c
ax bx c ax
ax ax
* Lập bảng biến thiên
3 V đồ thị: Khi vẽ đồ thị hàm số bậc bốn học sinh củng cần lơu ý số điểm nh vẽ đồ thị hàm bậc ba
nÕu a<0 nÕu a>0
1 Tập xác định: D = R Sự biến thiên
* Ta cã y ‘ = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)
y’ = x = 0, x = 1, x = -1
B¶ng xÐt dÊu y’
x - -1 +
4x - - + +
x2 - 1 + - - +
y’ - + - +
Từ bảng xét dấu y’ ta có Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +) Hàm số nghịch biến khoảng (-; -1) (0; 1) * Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = Hàm đạt cực tiếu x = 1, yCT = y(1) = * Giới hạn: 4 2 lim ( 2) lim (1 ) x x x x x x x * Bảng biến thiên x - -1 +
y’ - + - +
y
+ +
3 Đồ thị
(6)2.4 Bài tËp tù gi¶i:
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau:
1 y = -x4 + 8x2 - 1
2 y = -x4 – 2x2 + 3
3 y = 2x x
4 y = x4 2x2 3
5 y =
4
2
2
x x
6 y = 3 2x x 2
7 y = x4 – 2x2
8 y = x4 + x2 +
9 y = 1 4x 2x
3 Dạng 3: Hàm phân thức hữu tỷ B1/B1 y ax b(ac 0) cx d
1
2
1
6
-2 -4
-5
(7)3.1 Các bớc khảo sát vẽ đồ thị.
3.2 VÝ dô
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2 x y x
3.3 Híng dÉn
7
1 Tập xác định: D = R\ d c
2 Sù biÕn thiªn
* Ta cã 2
( ) ad cb y cx d
- Nếu ad – cb > hàm số đồng biến khoảng ( ; d c
) vµ ( d; c )
- NÕu ad – cb < hàm số nghịch biến khoảng ( ; d c
) vµ ( d; c )
* Hµm sè cực trị
L
u ý : Loại hàm số cực trị * Tìm giới hạn:
lim , limd
x x
c
ax b a ax b cx d c cx d
, đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x =
d c lµm
tiệm cận đứng y = a
c lµm tiƯm cËn ngang , lim , , lim , d x c d x c ax b cx d ax b cx d
* Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị:
Khi vẽ đồ thị hàm số b1/b1, lu ý SGK học sinh cần lu thêm số điểm sau: - Vẽ đờng tiệm cận lên hệ trục toạ độ
- Tìm giao điểm đồ thị với trục toạ độ, điểm đặc biệt biểu diễn chúng lên hệ trục tạo độ
nÕu ad – cb >
nÕu ad – cb <
nÕu ad – cb >
nếu ad – cb < Tập xác định D = \
2 R
2 Sù biÕn thiªn
* Ta cã
2
5
0,
y x D
x
Do hàm số ln nghịch biến khoảng ( ; 1)
vµ ( 1; ) * Hàm số cực trị
* Giới hạn
1
2
2 2
lim ; lim ; lim
2 2
x
x x
x x x
x x x
Do đị thị hàm số nhận đờng thẳng x =
làm tiệm cận đứng đờng thẳng y =
2
lµm tiƯm cËn ngang * Bảng biến thiên
x - -1
2 + y
-y -1 Đồ thị
(8)3.4 Bài tập tự giải
Kho sỏt v v thị hàm số sau:
1 y =
1 x
x
2 y =
2 x
x
3 y = 1 x x y =
1 x
x
5 y = 2
x x y =
1 x
x
7 y =
x x y =
1 x x
9 y = 1
x x
Ii Một số dạng toán liên quan đến toán khảo sát hàm số
-+
6
-2 -4
-5
O -1
2 -1
2
(9)4 Dạng 4:Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình F(x;m) =0 (1).
4.1 C¸ch giải:
4.2 VÝ dơ: Cho hµm sè y = -x3 + 3x2 – 4
a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình: -x3 + 3x2 - - m = (1)
4.3 Híng dẫn:
4.4 Bài tập tự giải:
1 Cho hµm sè y = x3 + 4x2 + 4x
a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình x3 + 4x2 + 4x + – m =
0(1)
2 Cho hµm sè y = y = x3 – 3x + 5
a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình x3 – 3x + +
3 m
= 0(1)
3 Cho hµm sè y =
4
2
2
x x
9
Bài toán thờng kèm theo sau toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f(x) để sử dụng đợc đồ thị hàm số vừa vẽ trớc hết ta biến đổi phơng trình (1) tơng đơng: f(x) = g(m)
Khi số nghiệm phơng trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) đờng thẳng y = g(m)
Dựa đồ thị, ta suy kết biện luận số nghiệm phơng trình (1)
a/ Việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số đ đ ợc trỡnh by (xem bi 1.2).ó
b/ Ph ơng trình (1) t ơng đ ơng: -x3 + 3x2 - = m(2).
Số nghiệm ph ơng trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = -x3 + 3x2 - đ ờng thẳng y = m (luôn song song trùng với
trơc Ox)
Dựa vào đồ thị (hình 4.3) ta cú:
* Khi m<-4 m>0: Ph ơng trình (1) vô nghiệm * Khi m = m = -4: Ph ơng trình (1) có hai nghiệm * Khi -4<m<0: Ph ơng trình (1) có ba nghiệm ph©n biƯt
4
2
-2
-4
-6
-5
y = m
y = m y = m
(10)a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình
4
2 1
x x
+ m = 0(1)
4 Cho hµm sè y = 3 2x x 2
a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình 3
2x x 2+ m = 0(1) Cho hµm sè y = x3 – 3x2
a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b/ Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x3 – 3x2 – + m = 0(1)
5 Dạng 5: Bài tơng giao đờng thẳng y = px + q đồ thị hàm số y = f(x). 5.1 Cách giải:
5.2 VÝ dơ Cho hµm sè y = x x
(C) Chứng minh với giá trị m, đờng thẳng (d): y = 2x+m cắt (C) hai điểm phân biệt
5.3 Híng dÉn
Số giao điểm đờng thẳng y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x) số nghiệm ph-ơng trình hồnh độ giao điểm: f(x) = px + q(1)
Nh để xét tơng giao đờng thẳng đồ thị hàm số ta giảI biện luận phơng trình (1)
Dựa số nghiệm phơng trình (1) ta kết luận tơng giao đờng thẳng y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x)
Ta có phơng trình hồnh độ giao điểm: x x
= 2x+m (1)
Đờng thẳng (d) cắt (C) hai điểm phân biệt với m phơng trình (1) có hai nghiệm phâm biệt với m
ThËt vËy x x
= 2x+m
3 (2 )( 1)
x x m x
x
2
( ) ( 1) 0(2)
g x x m x m
x
Xét phơng trình (2), ta có:
2 6 25 0
( 1)
m m
m g
(11)5.4 Bài tập tự giải
1 Cho hµm sè y = 1 x x
(C) CMR đờng thẳng 2x-y+m=0 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt thuộc nhánh (C.)
2 Tìm m để đờng thẳng y = x +m cắt đồ thị (C): y = x x
t¹i hai diểm phân biệt Cho hàm số y =
1 x x
Tìm tất giá trị tham số m để đờng thẳng y = mx+2 cắt đồ thị hàm số đ cho hai điểm phân biệt.ã
6 Dạng 6: Viết phơng trình tiếp tuyến điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị y = f(x)
6.1 Cách giải
6.2 Vớ d Cho hm s y = x3 – 3x + Viết PTTT đồ thị điểm M(1; 3).
6.3 Híng dÉn:
6.4 Bài tập tự giải:
1 Cho hàm sè y = x4 2x2 3
Viết PTTT đồ thị điểm M(2, 3)
2 Cho hµm sè y =
4
2
2
x x
Viết PTTT đồ thị điểm M(1, 0)
3 Cho hµm sè y = 3
2x x 2 Viết PTTT đồ thị điểm M(1, -2)
4 Cho hàm số y = x3 – 3x2 Viết PTTT đồ thị giao điểm với trục Ox.
5 Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – Viết PTTT đồ thị điểm M(2, 2)
6 Cho hµm sè y = 2
x x
Viết PTTT đồ thị giao điểm với trục Ox Cho hàm số y =
1 x
x
Viết PTTT đồ thị giao điểm với trục Ox
11
* Phơng trình tiếp tuyến đồ thị điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị có dạng:
y-y0 = f’(x0)(x-x0) (1)
* T×m f’(x
0) thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến cần tìm
* Phơng trình tiếp tuyến đồ thị điểm M(1, 3) thuộc đồ thị có dạng: y-y0 = f’(x0)(x-x0) (1)
* Ta cã y’ = f’(x) = 3x-3
(12)7 Dạng 7:Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) đờng thẳng x = a, x = b, trc Ox
7.1 Cách giải:
7.2 VÝ dơ: Cho hµm sè y = x3 - 4x.
a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với đờng x = -1, x =
7.3 Híng dÉn.
a/ Bạn đọc tự giải, đồ thị (hình 7.3)
12
* Ta cã diÖn tÝch ( )
b a
Sf x dx
Để tính S ta phảI phá dấu trị tuyệt đối biểu thức dới dấu tích phân, muốn ta làm nh sau:
Cách 1: Lập bảng xét dấu f(x), từ ta phá dấu trị tuyệt đối
Cách 2: Nếu khoảng (a; b) đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trục hồnh f x( )f x( ) Ngợc lại, đồ thị nămg phía dới trục hồnh f x( ) f x( )
Sau phá dấu trị tuyệt đối ta tính tích phân bình thờng, kết diện tích cần tìm
b C¸ch 1
* Ta có diện tích cần tìm
2
1 S x x dx
* Phá dấu trị tuyệt đối: Đặt f(x) = x3 - 4x = x(x2 - 4)
Trªn kho¶ng (-1; 2), ta cã x3 - 4x = x = 0, x = 2.
* LËp b¶ng xÐt dÊu f(x)
x -1
x - +
x2 -4 - -4 -
f(x) + -Tõ b¶ng xÐt dÊu, ta cã
2 2
3 3 3
1 1
0
3
1
4 4 ( ) ( )
( ) ( )
S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
Tính kết ta suy diện tích cần tìm
Cỏch 2: T thị hàm số (hình 7.3), ta có:
Trên khoảng (-1; 0) đồ thị nằm phía trục hồnh khoảng (0; 2) đồ thị nằm phía dới trục hồnh, nên ta có:
2 2
3 3 3
1 1
0
3
1
4 4 ( ) ( )
( ) ( )
S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
Tính kết ta suy diện tích cần tìm
6
-2 -4
-5 10
O -1
f x = x3-4x
(13)7.4 Bài tập tự giải
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1 y = x3 3x2 đờng thẳng x = -1, x = 2, trục Ox.
2 y = –x3 + 3x2 – đờng thẳng x = -1, x = 2, trục Ox
3 y = x3 – 6x2 + đờng thẳng x = -2, x = 1, trục Ox
4 y = x4 2x2 3
đờng thẳng x = 0, x = 1, trục Ox
5 y =
4
2
2
x x
đờng thẳng x = -1, x = 1, trục Ox
6 y = 3
2x x 2 đờng thẳng x = -2, x = 1, trục Ox
8 Dạng 8: Tìm Điều kiện tham số m để đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d
a/ Cã cùc trÞ
b/ Luôn đồng biến nghịc biến R
8.1 Cách giải:
13
a/ * Tỡm xác định D = R * Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c
Hàm số có cực trị (cực đại cực tiểu) phơng trình y’ = có hai nghiệm
ph©n biƯt
0 y m
cần tìm
b/ * Tỡm xỏc nh D = R * Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c
Hàm số đồng biến R 0,
y x R
0
y y
m a
cần tìm Hàm số nghịch biến R
0,
y x R
0
y y
m a
(14)CHỦ Đ Ề PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT
A PHƯƠNG TRÌNH MŨ Kiến thức bản
1 – Các tính chất luỹ thừa.
2– Các tính chất hàm số mũ.
14
1.1
0 n
n
1
a 1, a a, a a a
1.2
m
m n m n m n
n
a a a a , a
a
1.3 an m am n am.n 1.4
n n
n n n
n
a a a b a.b ,
b b
1.5 amn nam
Cho hàm số y a x 0 a 1
2.1 Tập xác định D = R 2.2 Tập giá trị : T = (0; +)
2.3 Hàm số y a x đồng biến a > nghịch biến < a <
2.4 ax at x t
2.5
x t x t
a a
x t ; x t
(15)3 – Phương pháp giải phương trình mũ. 3.1- Phương trình mũ đơn giản nhất.
* ax ab x b 0 a 1
* ax b x log b a 0 a 1, b 0 Ví dụ 3x = x = log35
3.2 Phương trình mũ thường gặp a Phương pháp đưa số.
f x g x
a a f x g x a
Ví dụ: 2x 8 2x 23 x 3
Baøi tập: Giải phương trình sau
1)
x
1 5
5 2) 5.5
x – 5x = 2x+1 + 2x+3 3)
x x x
5 500
4) 16-x = 82(1-x) 5) 52x = 625
b Phương pháp đặt ẩn số phụ
Đặt t a x (t > 0) {chọn số a thích hợp}
Ví dụ:Giải pt :4x 3.2x
Giải
Biến đổi pt 4x 3.2x
(2 )2 x 3.2x 2 (2 )x 2 3.2x 2 (1)
Đặt t=2x , đk t>0
Pt (1) t2 3t 2 tt12 Với t=1 2x 1 2x 20 x0
Với t=2 2x 2 2x 21 x1
Đáp số : Nghiệm phương trình x=0 , x=1
Bài tập: Giải phương trình
1) 8.3x3.2x 24 6 x 2) 4x 1 2x 4 2x 2 16
3)
4x 2x
3 4.3 27 4)
2
x x x x
2
5) 101 101 99
x x
c) Phương pháp lấy lơragit (cơ số thích hợp) hai vế.
(16)
f x g x
a b a 1,0 b
Lấy lôgarit số a ta được:
a
f x g x log b
Ví dụ:Giải pt 2x x
Giải
Lấy Lôgarit số hai vế , ta :
2 2
2
3 3
2
3 3
2
3
3
3 log (3 ) log log (3 )
log log log (1 log 2) 0
0
1
log log log log
log
x x x x x x
x x
PT
x x x x
x
x x
x
x x
Bài tập: Giải phương trình
1) 3.2 72 ) (
x x
x 2)2x2 3x1,
3)58 1 500
x x
x 4)logx+1(x2 + 3x - 1) = 5)
10 ln
1
x x
x
B PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Kiến thức bản
Cho a0,a1; x0, x1 0, x2 0
1) Định nghóa
log b
a x b x a
Chuù yù:
a
log x x a
1 x a x
2 x log a x R
2) Tính chất
1 2
1
1
2
1) log 1, log 2) log log log 3) log log log 4) log log ,
log
5) log
log
a a
a a a
a a a
a a
b a
b
a
x x x x
x
x x
x
x x R
x
x b
(17)Chuù yù: log ; log 1log ,
log
a a a
b
b x x
a 3) Phương pháp giải a) Đưa số
b a
a a
log f x b f x a
f x g x log f x log g x
f x g x
Áp dụng:
Giải pt : log2(x3)log12(2x1)0 Giải
ĐK: x > 21
0 ) ( log ) ( log
2
2 x x log ( 3) log (2 1) 0
2 x x
log2(x3)log2(2x1) x + = 2x +
x =
Chú ý: Khi không sử dụng công thức tương đương nhớ đặt điều kiện để hàm số lơgarit có nghĩa (cơ số phải lớn khác 1, biểu thức lấy lơgarit phải dương)
Bài tập Giải phương trình
3
1) log x 2x 1 2) log x log x 23 3 1
3) lg x 2x 3 lg x 3 2 2 1
1
4) log x log x
2
4 8 2
2
1
5) log x log x log 4x
2 4 2x
6) log log 4x 3 b) Đặt ẩn số phụ
Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đổi phương trình cho thành phương trình đại số
Áp dụng:
Giải pt : log3(2x1)2log2x131 Giải
ĐK:
2
x
1 log ) (
log3 x 2x1 log (2 1) log (22 1)
3
x x
(18)Đặt t = log3(2x - 1)
Ta 2 10
t
t t2 - t - = t = -1, t = Với t = -1 log3(2x - 1) = -1 2x + = 3-1 =
3
x =
t = log3(2x - 1) = 2x + 32 = x = Bài tập: Giải phương trình sau
1) log3 xlog 3x 2)
2
2
log x 3.log x2 0
3) Lg4(x - 1)2 + lg2(x - 1)3 = 25 4).log
3(2x + 1) = 2log2x+1 +
5) 2log4(3x - 2) + 2log3x-2 =
C Bất phơng trình mũ
1 sử dụng tính đơn điệu
1) 2x < 3x/2 + x<2(chia cho2x)
2) 2.2x + 3.3x > 6x -1 x <
(chuyÓn sang trái chia hai vế cho 6x)
3) 8x + 18x
2.27X x
2 Đa số 1) 2.14x + 3.49x – 4x
x log2/73 (chia hai vế cho 49x đặt t = (2/7)x)
2) 2x + 2x +
3x + 3x – x
3) 96] 12
3 3
1 1
x x
-1<x <
4)
1
3
x x x
x
x
5) 3x + 1 – 22x + 1 - 12x/2 <
x > 0(chia cho 3x đặt ẩn phụ t = ( 4/3
)x)
6)
2
2
2
x x
x x
0<x log3/23 (chia tử mẫu cho 2x)
7)
1
2
5
x
x
x
(19)Chủ đề Nguyờn hm - tớch phõn
A nguyên hàm
I Kiến thức
3, Bảng nguyên hàm:
Nguyên hàm hàm số sơ cấp thờng gặp Nguyên hàm hàm số hợp (u=u(x))
19
1, Định nghĩa nguyên hàm:
F(x) đợc gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a;b) nếu: F'(x)=f(x), x a b;
2, Tính chất nguyên hàm:
1 f x dx( ) 'f x( )
2 af x dx a f x dx a( ) ( ) ( 0)
3 f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )
(20)dx x C ( 1) x
x dx C
ln ( 0) dx
x C x
x
x x
e dx e C
(0 1) ln
x
x a
a dx C a
a
cosxdxsinx C
sinxdx cosx C
2 cos
dx
tgx C x
2 cot
sin dx
gx C
x
du u C
1
( 1)
u
u dx C
ln ( 0) du
u C x
u
u u
e du e C
(0 1) ln
u
u a
a du C a
a
cosudusinu C
sinudu cosu C
2 cos
du
tgu C u
2 cot
sin du
gu C
u
II Các dạng toán
1 Dng 1. ỏp dng công thức biến đổi
1.1 VÝ dô
a) 2x2 3x 5dx =2x2dx -3xdx +5dx
=2x2dx -3xdx +5dx = x x 5x C
2 3
2
b)
dx x x 2 cos sin
3 = dx
x dx x 2 cos sin
3 = –3cosx – 2tgx + C
c) dx
x x x x 3 =
x dx x dx x2dx
1
= x x x C
3 1 1
= x x x2 C
1 6
1.2 Bài tập tự giải
1 af x dx a f x dx a( ) ( ) ( 0)
(21)Tìm nguyên hàm hµm sè sau: a, f(x)=x3 cosx
x
b, f(x)=5 12
cos
x x
x
c, f(x)= 34 5sinx x x
d, f(x)=
4
2 3x 2x
x
(x0),
2 Dạng áp dụng nguyên hàm đổi biến số dạng 1
2.1 D¹ng : I = (ax b)ndx
a) Cách giảI tổng quát
Đặt u = ax b
b) VÝ dơ : T×m I =5x35dx
Ta cã (5 3) (5 3)
5 ) ( ) ( )
3
( 5
dx x x dx x d x
x
Đặt u = 5x + ta đợc:
5 3 3
5
5x 5dx x 5d x
= u du u C
6 5
1
5
= x C x C
30
3
1 6
c) Bµi tËp tù giải:
Tìm nguyên hàm sau
a, 3x24dx b, 4x 33dx
c, 6x 16dx d, 2 5x5dx
2.2 D¹ng : I = n axbdx
a) Cách giải:
Đặt u = ax+b
b) VÝ dơ :T×m I =3 2x3dx
Ta cã : 2x3dx = (2 3) (2 3)
2 )
3 ( ) (
1 31 13
x dx x d x
x Đặt: u = 2x + ta đợc:
3 2x3dx= x d x u du u C x C
4
1
1
) (
3 2
1 ) ( ) (
c) Bài tập tự giải:
Tìm nguyên hµm sau
a, 3 x 5dx b, 5 3x4dx
(22)2.3 D¹ng : I = eaxbdx
a) Cách giải :
Đặt u = ax + b
b) VÝ dơ : T×m :e2x5dx
Ta cã : e2x5dx = e2x5(2x5)dxe2x5d(2x5)
Đặt u = 2x + ta đợc e2x5dx
= e x d x eudu eu C e x C
12 (2 5) 21 21 21
c) Bài tập tự giải:
Tìm nguyên hàm sau a, e2x3dx
b, e3x7dx
c, e53xdx
c, e5x6dx
2.4 D¹ng : I =
b dx
ax )n
(
a) Cách giải
Đặt u = ax + b
b) Ví dơ : T×m I =
dx
x 2)5
3 (
1
Ta cã: (3 2)
) (
1 ) ( ) (
1 )
2 (
1
5
5
dx x x dx x d x
x
Đặt u = 3x + ta đợc :
C x
C u C
u du u x
d
x
4
4
5 12(3 2)
1 12
1
1
3 ) ( ) (
1
c)Bài tập tự giải:
Tìm nguyên hàm sau a,
dx
x 2)5
4 (
1
b,
dx
x 3)3
7 (
1
c,
dx
x 2)5
3 (
1
d,
dx
x 2)7
5 (
1
3 Dạng 3: áp dụng nguyên hàm phần
Công thức nguyên hàm phần udvuv vdu
3.1 Dạng 1: I = (axb)exdx
Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv = exdx
3.2 D¹ng 2: I = (axb)cosxdx
(23)3.3 D¹ng 3: I = (axb)sixdx
Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv = sinxdx
3.4 D¹ng 4: I = (axb)lnxdx
Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv = lnxdx
3.5 Dạng 5: I = xnlnxdx
Phơng pháp:Đặt u = xn, dv = lnxdx
3.6 Ví dụ Tìm: I = (2x1)exdx
Giải
Đặt
dv dx e
x u
x
1 2
x
e v
dx
du 2
I = (2x1)exdx= (2x + 1) - 2exdx=2x + 2ex+ C
3.7 Bài tập tự giải
Tìm nguyên hàm sau
a, 2 xsinxdx; b, (3 2x)cosxdx;
c, (3x5)lnxdx; d, (3 5x)exdx; e,
dx x x
3ln
B tích phân
I kiến thức
1 Công thức tính tích phân:
2 TÝnh chÊt cđa tÝch ph©n:
23
1 ( )
a a
f x dx
2 ( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx
3 ( ) ( )
b b
a a
af x dx a f x dx
;a R
4 ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
5 ( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx F x F b F a
(24)II Ph ơng pháp tích phân:
1 Phơng pháp đổi biến số
Qui t¾c:
1.1 VÝ dơ tÝnh tÝch ph©n sau: 1)
4
0 I tgxdx
1.2 Híng dÉn
Ta cã 4
0
0 cos
sin
dx x x tgxdx
I
Đặt t = cosx dt = - sinxdx sinxdx = - dt Cận đổi: x = t = 1; x =
4
t =
2
Khi I =
2 ln
12
2 ln
2
1
dt t
t
Đặt t=v(x), v(x) hàm số có đạo hàm liên tục Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx=g(t)dt Tìm nguyên hàm G(t) g(t)
4 TÝnh
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
v b v b
v a v a
g t dt G t
5 KÕt luËn
( )
( ) ( ) ( )
v b b
a v a
f x dx G t
(25)1.3.Bài tập tập tự giải
Tính tích phân sau
1)
2
0 3cos
sin
dx x x
I 2) dx
x x I e ln 3) cos sin xdx x I ; 4) sin cos xdx e
I x ; 5)
cos sin xdx x I
2 Tích phân phần
2.1 Công thức tích phân phần
b
b b
a a a
udv u v vdu
2.2 VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n
sin xdx x I Giải Đặt x v dv xdx dx du x u cos 3 sin
I
cos 06 cos xdx x
x 23 91sin3x06 97
2.3 Bµi tËp tự giải
Tính tích phân sau
1/ a, 2sin xdx x
I ; b, I xdx
e
1
ln ; c,
sin xdx e
I x ;
2/ a,
2 2 x x dx x b,
2
3
2
x x x
dx x c, dx x
d,
3 cos cos x dx x
3/ a,
6
2
0
1 x x dx
b, x dx x
c,
1
1
x
x e dx
d,
3 sin cos x dx x
e, 0x.sinxdx
f, x
x e dx
(26)g,
2
1
2x1 lnxdx
h,
0 cos x xdx
i, 3
sin cosx xdx
j,
2 0cos
tgx
e dx x
k,
2
.ln
e e
dx x x
l,
0
sin xdx
m,
1
1
3 x
x e dx
n,
0
.cos
e x
e xdx
p,
0 cos
x
e xdx
4/ a,
2
sin cos
x
I dx
x
b,
2
2
0
sin cos
J x x xdx
d,
1
3
3 x
M dx
x
Chủ đề Hình học khơng gian
1 Dạng : Thể tích khối đa diện
Công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trơ, khèi hép ch÷ nhËt
1.1 VÝ dơ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
1.2 Híng dÉn
1.3 Bài tập tự giải
1
; ; .
3
ˆ
; ` .
KC KLT KHCN
day
V Bh V Bh V a b c
B S h Chie u cao
B
D
C A
S
3
a
a Theo gi¶ thuyÕt ta cã :SA chiều cao hình chóp
2
3a2 a2 a
SA
Diện tích đáy ABCD S a.a a2
VËy thĨ tÝch cđa khèi chãp lµ :
3
2
a a
a
(27)1 Cho hình chóp tứ diện S.ABCD có AB = a SA = b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b
2 Cho hình chóp tứ diện S.ABCD có AB = a góc SAC 450 Tính thể tích khối
chãp S.ABCD theo a b
3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
4 Cho hình chóp tứ diện S.ABCD có AB = a góc mặt bên mặt đáy 600
.TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp S.ABCD theo a
5 Cho khèi hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’ cã thĨ tÝch V TÝnh thĨ tÝch cđa khãi tø diƯn C’ABC theo V
6 Trên cạnh CD tứ diện ABCD lÊy ®iĨm M cho CD = 3CM.TÝnh tØ sè thĨ tÝch cđa hai tø diƯn ABMD vµ ABMC
2 D¹ng 2: DiƯn tÝch xung quanh, thĨ tÝch cđa khèi cÇu, khèi nãn, khèi trơ
3 Phơng pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chúp
4 Phơng pháp tìm bán kính tâm mặt cầu :
Da vo cỏc tam giỏc vuụng đồng dạng tam giác vuông,
5 Ví dụ: Cho hình chóp tứ diện S.ABCD có AB = a góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a
27
KiỊn thức bản
1 Cho cu S(I,R)
3 ,
4 R V R
S víi S diện tích mặt cầu, V thể tích
khèi cÇu
2 Cho hình trụ (T) có chiều cao h, bán kính đáy R : Sxq RhV R h
2
,
2
víi S lµ
diƯn tÝch xung quanh hình trụ, V thể tích khối trụ
3 Cho hình nón (N) có đờng cao h, đờng sinh l, bán kính đáy R
h R V
Rh
Sxq
3
,
với S diện tích xung quanh hình nón, V lµ thĨ tÝch cđa khèi nãn
Bớc : Tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp đa giác đáy
Bớc : Dựng đờng thẳng qua tâm vng góc với mặt phẳng đáy( đờng thẳng gọi trục đờng trịn)
Bíc : Dùng mặt phẳng trung trực cạnh bên
(28)5.1 Híng dÉn
Dề thấy giao điểm O AC Db tâm đáy ABCD, Vì hình chóp S.ABCD nên SO vng góc với đáy
Gọi (Q) mặt phẳng trung trực SA, (Q) cắt SA P, SO I I tâm mặt cầu ngoại tip chúp
Bán kính mặt càu IS.TÝnh IS
Theo gi¶ thuyÕt ta cã gãc SMN b»ng 600 nªn SO = MO tan 600
hay
2
a
MO
2
a
SA ( Tam giác SAO vuông O)
Dễ thấy SAO~ SIP nên ta có :
12
2
4
5
a
a a a SO
SP SA SI SP SO SI SA
VËy
3
2
2
12
4 , 12 25 12
3
4
R a a V R a
S
5.2 Bµi tËp tù gi¶i:
Một mặt cầu qua tám đỉnh hình lập phơng cạnh a a Tính bán kính mặt cầu theo a
b Tính diện tích thể tích hình cầu
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a
4 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = a góc cạnh bên mặt đáy 600
a/ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp h×nh chãp S.ABC theo a b/ TÝnh diƯn tÝch cđa khãi cÇu
5/ Cho hình trụ có bán kính đáy R diện tích xung quanh S 4 R2
xq TÝnh thĨ tÝch cđa
khèi trơ
6/ Cho hình trụ có bán kính đáy R thể tích V 3 R3
TÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa khèi trơ
7/ Cho hình trụ có thiết diện qua trục tam giác vuông cạnh 4a Tính diện tích xung quanh, thĨ tÝch cđa khèi trơ
a B
D
C A
S
N M
O P
(29)8/ Cho h×nh trơ cã chiỊu cao h = 2a vµ diƯn tÝch xung quanh S 4 a2
xq TÝnh thĨ tÝch cđa khèi
trơ, diƯn tÝch toµn phÇn cđa khèi trơ
9/ Tính thể tích diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy R, gọi A B hai điểm thuộc hai đáy cho AB = 3R góc AB OO’ 300 ( O, O’ lần lợt tâm các
đáy)
HD : Bài tập từ 6-10 thuộc loại hình trụ, khối trụ
10/ Cho hình nón có chiều cao h , bán kính đáy R Tính diện tích xung quanh, thể tích khối nón
11/ Cho hình nón có chiều cao h, đờng sinh l Tính diện tích xung quanh, thể tích khối nón 12/ Cho hình nón có chiều cao h, góc đỉnh 1200 Tính diện tích xung quanh, thể tích của
khèi nãn
13/ Cho hình nón có chiều cao h, góc hợp đờng sinh đáy 300 Tính diện tích xung
quanh, thĨ tÝch cđa khèi nãn
14/ Cho hình nón có chiều cao h, góc hợp đờng sinh đờng cao 300 Tính diện tích xung
quanh, thĨ tÝch cđa khèi nãn
15/ Cho h×nh nãn cã thĨ tÝch b»ng V vµ chiỊu cao h TÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa khèi nãn theo V vµ h
Chú ý : Khi tính thể tích diện tích xung quanh khối nón, hình nón Ta cần xác định đợc R, h, l
*NÕu biÕt h, l th× tìm R công thức R l2 h2
*Nếu biết h, R tìm l công thøc l R2 h2
*NÕu biÕt R, l tìm h công thức h l2 R2
* Nếu biết R, góc đỉnh 2 : h = Rcot , l =
sin
R
* Nếu biết l, góc đỉnh 2 : h = l.cos, R = l.sin
* Nếu biết h, góc đỉnh 2 : l =
cos
h
, R = coh.tan
* Nếu biết góc tạo đờng sinh đáy ba yếu tố R, h, l làm tơng tự nh
(30)PhÇn riêng Theo chơng trình chuẩn
CH
Ủ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM 1.Tọa độ vectơ
Định nghóa: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ
u tùy ý ,do i ,j ,k không đồng phẳng nên tồn ba số thực (x ; y ; z)
u= xi + yj + zk Bộ ba số (x ; y ; z) gọi tọa độ vectơ
u, kí hiệu:u = ( x ; y ; z )
Vaäy
u = ( x ; y ; z ) u = xi + yj + zk Các tính chất:
u = ( x ; y ; z ) , v = ( x’ ; y’ ; z’ ) u+v = ( x + x’ ; y + y’; z + z’ )
u-v = ( x – x’ ; y – y’; z – z’ )
k u = ( kx ; ky ; kz )
' ' '
z z
y y
x x v u
2 Tọa độ điểm :
Định nghĩa: Trong kg(Oxyz ) cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM gọi tọa điểm M
Vậy
(31)Ta vieát : M ( x ; y ; z )
M ( x ; y ; z ) OM = xi + yj+ zk
Các tính chất : A ( xA ; yA ; zA ) , B ( xB ; yB ; zB ) ta coù ;
AB = ( xB – xA ; yB – yA ; zB – zA )
AB = (xB xA)2(yB yA)2(zB zA)2
k kz z z k ky y y k kx x x k MB k MA B A M B A M B A M 1 1 1 )1 (,
M trung điểm đoạn AB
2 2 2 B A M B A M B A M z z z y y y x x x
G(xG;yG; zG) trọng tâm tứ diện ABCD
) ( 4 1 ) ( 4 1 ) ( 4 1 D C B A G D C B A G D C B A G z z z z z y y y y y x x x x x
3 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vectơ :
Cho hai vectô
a = ( x1; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ta coù :
*
a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2
*
a b x1x2 + y1y2 + z1z2 =
* |
a | = 12
2
1 y z
x
* cos = 2
2 2 2 2 2 2
x y z z y x z z y y x x *
a b phương với x1: y1: z1= x2 : y2: z2
4 Tích có hướng hai vectơ:
(32)a Định nghóa : Cho hai vectô
a = ( x1; y1 ; z1 ) ,
b = ( x2 ; y2 ; z2 ) Tích có hướng
của hai vectơ
a b vectơ kí hiệu [a,b ]
[
a,b] =
22 11
22 11
22 11
;;
yx yx xz xz zy zy
Ví du 1ï: Cho ba vectơ
a= ( 2;1 ; ),b= ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 ) Tìm tọa độ
của vectơ :
u = 4a- 2b+ 3c
Giaûi:
Ta coù: 4a(4.2; 4.1; 4.0) = (8; 4; 0)
2b(2.1; 2.(-1); 2.2) = (2; -2; 4)
Tương tự : 3c (6; 6; -3)
u = 4a- 2b+ 3c = (8 – + 6; + + 6; – - 3) = (12; 12; -7 )
Bài tập
1 Viết tọa độ vectơ sau :
i j k
a , b2j i , c 3k , d k 2i Cho ba vectô
a = ( 2;-5 ; ),b= ( 0; -2; 1) , c = (-1 ; 6; ).Tìm tọa độ vectơ
u = 2a - b
a b c
v
2
3 Cho ba vectô
a = ( 0;-2 ; ),b= ( 1; 3; -1) , c = (2 ; 0; ).Tìm tọa độ :
a) Vectơ d a b3c
3
4
b) Vectơ
x biết x2aa
c) Vectơ
(33)d) Tìm
a.b .c , e)
b.c .a , g )
a,b .c
4 Cho điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 )
a Xác định điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành b Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo
5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3),C(-3;5;4) a Tìm độ dài cạnh tm giác ABC
b Tính cosin góc A,B,C
6 Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2 ; -3) , B(3 ; ; 0) , C ( -4; ; 5) a) Chứng minh A , B ,C ba đỉnh tam giác
b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
7 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; -1;-3) ,B(2 ;1 ; -2) , C(-5 ; ; -6)
a) Chứng minh A, B , C ba đỉnh tam giác
b) Tính độ dài phân giác ngồi góc A tam giác ABC c) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC
II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG A Lí thuyết cần nhớ :
Định nghóa :
Vectơ n 0 gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) nằm đường thẳng vng góc với ( )
Kí hiệu :
n ( )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai vectơ a,b 0, không phương đường thẳng chứa chúng song song nằm ( ) gọi cặp vectơ phương mặt phẳng ( )
Chú ý :
Nếu ( ) có cặp vectơ phương a,b ( ) có vectơ pháp tuyếnn= [a,b ]
2.Phương trình mặt phẳng:
M ặt phẳng ( ) qua M0( x0 ;y0 ; z0 ) coù vtpt n= ( A; B; C ) có phương trình :
A ( x – x0 ) + B (y – y0) + C ( z – z0 ) =
Phương pháp chung lập phương trình mặt phẳng :
(34)Để lập phương trình mặt phẳng ta cần tìm điểm thuộc mặt phẳng vtpt hay tìm cặp vtcp
Bài tập
1.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng ( ) trườnghợp sau: a.(α) qua M(2 ; -1 ; -3) vng góc với trụcc Ox
b.() mặt trung trực đoạn AB với A(1; 3; ), B(-1 ; 1; )
c () qua I(-1; 2;4 ) song song với mặt phẳng 2x – 3y + 5z – = 2.Viết phương trình mặt phẳng () trường hợp sau:
a () qua hai điểm M( 1; -1; ) , vng góc với trục Oz
b () qua ba điểm A(1; 6; ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; ) 3.Vieát phương trình mặt phẳng :
a Đi qua A( ; ; 2) song song với mặt phẳng xOy b Đi qua M(2 ;-1 ; -3) vng góc với trục Ox
c Đi qua I( -1 ; ; 4) song song với mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – = d (α ) mặt trung tực đoạn AB với A(1 ; ; 3) , B(-1 ; ; 0)
e (β ) ñi qua ba điểm A(-1 ; ; 3) ,B(2 ; -4 ; 3) , C(4 ; ; 6)
4.Viết phương trình mặt phẳng :
Ví dụ
() mặt phẳng trung trực đoạn AB Viết phương trình tổng quát mặt phẳng ( ) trường hợp sau:
() qua M (3; 2; -5 ) vng góc với trục Oz với A( 3; -5; ), B( ; 3; -2 ) Giải:
+ Mặt phẳng() qua M (3; 2; -5 ) vng góc với trục Oz nhận k(0;0;1)làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt là:
0(x - 3) + 0(y -2) + 1(z + 5) = z + = + Gọi I trung điểm AB ta có I(2;-1;1)
Ta có AB(2;8;6) Mặt phẳng trung trực đoản AB qua I nhận )
6 ; ; (
AB làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát laø:
(35)a Đi qua hai điểm A(1 ;1 ;0) ,B(-1 ; ; 7) vuông góc với mặt phẳng (α) :2x–
3y+z–7 =
b Đi qua M(0 ;2; -1) , song song với trục Ox vng góc với mặt phẳng (β) x – y
+z =
c Đi qua N(-3;0;1) vng góc với hai mặt phẳng (P):2x–3y+z –2 = ;(Q):x +
5y– 2z =
5.Cho tứ diện ABCD có A(5 ; ; 3) ,B(1 ; ; 2) , C(5 ; ; 4) ,D(4 ; ;6) a Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
b Viết phương trình mặt phẳng qua AB song song với CD
c Gọi G trọng tâm tam giác BCD Viết phương trình mặt phẳng qua G song song với mặt phẳng (ABC )
III ĐƯỜNG THẲNG A Lí thuyết cần nhớ
B.Phương pháp chung để lập phương trình đường thẳng:
Để lập phương trình đường thẳng ta sử dụng hai cách sau: Tìm vectơ phương đường thẳng điểm thuộc đường thẳng Chú ý :+ Hai đường thẳng song song có vectơ phương
+Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng nhận vtpt mặt phẳng làm vtcp
Cách giải:
Viết phương trình mặt phẳng () qua M vng góc với () Viết phương trình mặt phẳng () qua M ()
35
Vectô
u 0 nằm đường thẳng song song trùng với đưỡng thẳng (d) gọi vectơ phương đường thẳng (d)
Đường thẳng (d) qua điểm M0( x0; y0 ; z0 ) có vectơ phương
u= ( a; b; c)
có phương trình tham số :
ct z z
bt y y
at x x
0 0
t R
(36)Chú ý : Nếu () mp() () nhận VTPT () làm VTCP
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số tắc đường thẳng (): a Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3)
b Qua A(1; -1; 3) song song với BC B(1; 2; ),C(-1; 1; 2) c Qua D(3; 1; -2) vng góc với mặt phẳng 3x + 4y – 2z +5 =
Giaûi:
a Đường thẳng () qua điểm M( 2; -3; 5) nhận vectơ MN(1;1;2)làm vectơ
chỉ phương có phương trình : + Phương trình tham số:
t z
t y
t x
2 5
3 2
, tR
+ Phương trình tắc: 12 13 25
y z
x
b Đường thẳng () qua điểm A( 1; -1; 3) song song với BC nhận vectơ )
2 ; ; (
BC laøm vectơ phương có phương trình :
+ Phương trình tham số:
t z
t y
t x
2 3
1 2 1
, tR
+ Phương trình tắc: 21 11 2
y z
x
c Đường thẳng () qua điểm D( 3; 1; -2) vng góc với mặt phẳng
3x + 4y – 2z +5 = nhận vectơ pháp tuyến mặt phẳng n(3;4;2) làm vectơ phương có phương trình:
+ Phương trình tham số:
t z
t y
t x
2 2
4 1
3 3
, tR
+ Phương trình tắc: x3 3y41z22
C Bài tập :
1 Cho A(4; -3; 2), B(-2; 1; -4)
a Viết PT mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB b Viết PT mặt phẳng A, B song song với Ox
2 Cho đường thẳng d:
1 1
x t
y t
z t
(37)3 Viết phương trình tham số , phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm
A(-1 ; ; 3) ,B(2 ; ; 1)
Viết phương trình tắc đường thẳng :
a) Đi qua điểm M( ; - ; 3) song song với đường thẳng :
t z t y t x 4 3 3 1
b) Đi qua điểm N( ; ; - 4) vương góc với mặt phẳng x -2y + z – =
IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. A LÍ THUYẾT :
1/ Vị trí tương đối hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng : (d) :
c z z b y y a x
x 0 0 0
,( d’ ):
' ' ' ' ' ' c z z b y y a x x (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0) ,coù VTCP u= ( a; b; c)
(d’) qua M’0(x’0 ;y’0 ;z’0) ,có VTCP u'= ( a’; b’; c’) a (d) (d’) đồng phẳng
[ , ] '
0 ' M M u u
b (d) vaø (d’) caét [ , ] '
0 ' M M u
u vaø a:b:c a’:b’:c’ c (d)//(d’) a:b:c = a’:b’:c’ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
d (d) (d’) a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
e (d) (d’) chéo [ , ] '
0 ' M M u u
Ví dụ: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a d: x3 1y12 1z d’
0 1 0 2 x z y x
b d:
0 1 2 0 1 y x z y x
vaø d’:
0 3 3 0 1 2 z y x y x Giaûi
a Đường thẳng (d) qua điểm M(1; -2; 0) có vectơ phương u(3;1;1) Đường thẳng (d’) qua điểm M’(-1; 0; 1) có vectơ phương ,(0; 1; 1)
u
Tacoù: + [u,u]=(0; 3; -3), MM(-4; -1; 0)
(38)+ [u,u].MM=0(-4) +3(-1) +(-3)0 = -3 0 d d’ chéo b Đường thẳng (d) qua điểm M(0; -1; 0) có vectơ phương u(1;2;3) Đường
thẳng (d’) qua điểm M’(0; 1; -4) có vectơ phương u,(1;2;5).
Tacoù: + [u,u]=(4; 8; -4), MM(0; 2; -4)
+ [u,u].MM=4.0 + 8.2 -4.(-4) = (1)
+ -1:2:3 1:2:5 (2)
Từ (1) (2) d d’ cắt
Bài tập : Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) d: x9 1y6 z3 d’:
2
6
7
y z
x
b) d: x91y6 z3 vaø d’:
2
6
7
y z
x
c) x21 y 22 1z
vaø d’ :
4 3 5 2
z
t y
t x
2/ Vị trí tương đối hai mặt phẳng :
Chú ý: Điều kiện vng góc mp:
AA BB CC' ' ' 0
B BÀI TẬP
Bài1 Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau a ( ): x + 2y – z + = ( ): 2x + 3y -7z – =
b ( ) : x – 2y + z + = vaø ( ): 2x -y + 4z – =
c ( ): x + y + z - = vaø ( ): 2x + 2y -2z + =
d ( ): 3x - 2y –3 z + = vaø ( ): 9x - 6y -9z – =
e.( ): x - y + 2z -4 = vaø ( ): 10x - 6y + 20z – 40 = Cho hai mp , lần lượt có phương trình: :Ax+By+Cz+D=0
():A’x+B’y+C’z+D=0
a) ( ) cắt ()
: : ' : ': '
A B C A B C
b)
D D C
C B
B A
A
) //( ) (
c)
' ' ' '
A B C D
A B C D
(39)Bài Xác định giá trị l m để mặt phẳng sau song song với a 2x + ly + 2z + = mx+ 2y - 4z + =
b 2x + y + mz - = vaø x + ly + 2z + =
Bài Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau : a) 2x – 3y + 4z – = 3x – y +z – = b) – x +y – z + = 2x – 2y + 2z – = c) x + y + z – = 2x – y + z – = d) 3x + 3y – 3z – 12 = x + 4y – 4z – 16 =
Bài : Cho hai mặt phẳng có phương trình :(m2–5)x – 2y + mz + m – = vaø x + 2y – 3nz +3 =
Tìm m , n để hai mặt phẳng : a) Song song với b) Trùng
c) Song song với d) Trùng
e) Caét
Bài : Cho hai mặt phẳng : 3x – (m – 3)y +2z – = (m + 2)x – 2y + mz – 10 = Tìm m để
a) Hai mặt phẳng song song với b) Hai mặt phẳng trùng
c) Hai mặt phẳng cắt
V KHOẢNG CÁCH, GÓC
A LÍ THUYẾT :
1 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D =
Kí hieäu: d(M0;()) = 2 0
C B A
D Cz By Ax
2 Khoảng cách từ điểm tới mộtđường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( ) qua điểm M0 có vectơ
phương u xác định theo công thức:
(40)d(M, ) = u
u M M
,
3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo
Cho hai đường thẳng d1 qua điểm M1 có vecytơ phương u1
đường thẳng d2 qua điểm M2 có vecytơ phương u2
Gọi h khoảng cách d1 d2
ta coù: 2
2
, ,
u u
M M u u
h
B BÀI TẬÂP:
1 Tính khoảng cách từ điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt
phaúng
() : 2x –2y + z – =
Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng :x12 y2 1z31 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo :
(1):
0 1 2
0 5 y x
z y x
vaø (2): 1
3
2
1
y z
x
4 Tìm Oz điểm M cách điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz cho điểm M(1 ; -2 ; 3) Tính khoảng cách từ M đến :
a) Mặt phẳng Oyz
b) Mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + =
VI MẶT CẦU A.Lí thuyết cần nhớ: Phương trình Mặt cầu:
a Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình là: ( x- a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2
b Phương trình : x2+y2+z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = ,a2+b2+c2- d >
phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R = a2b2c2 d B.Các dạng tập thường gặp:
(41)b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – = 0
c)3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 9y + 12z – =
2 Viết phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau : a) (S) có tâm I ( 1; -2 ; ) qua điểm M( ; ; ) b) (S) có đường kính AB với A(1; ; 5), B ( 3; -2; )
c) (S) có tâm I( ; 4; ) tiếp xúc với mặt phẳng () : 2x + y – 2z + =
d) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; ), B( 3; -1; ),C( 0; -7; ),D(-2;1; -1) Lập phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A( 1; 2; - ) , B( 1; - 3; )
C( 2; 2; ) có tâm I nằm mặt phẳng Oxy
Chủ đề ứng dụng tích phân
Néi dung trọng tâm
* Tính diện tích hình phẳng * TÝnh thĨ tÝch khèi trßn xoay
I/ Tãm tắt lý thuyết:
1 Công thức tính diện tích hình phẳng:
* Cho D gii hn bi đờng: ; (a<b)
Ox; ( ) x a x b D
y f x
Khi diện tích miền D là: b ( )
a
S f x dx * Cho miền D' giới hạn đờng:
1
; (a<b) '
( ); ( ) x a x b
D
y f x y f x
Khi diện tích miền D' là: ' b 1( ) 2( )
a
S f x f x dx
2 C«ng thøc tÝnh thĨ tÝch khèi trßn xoay:
* Cho miền D giới hạn đờng:
(42); (a<b) Ox; ( ) x a x b D
y f x
Khi cho miÒn D quay quanh trơc
Ox tạo thành khối trịn xoay; thể tích khối trịn xoay đợc tính theo cơng thức: b 2( )
a
V f x dx
II/ Mét sè vÝ dơ minh häa: 1 TÝnh diƯn tÝch hình phẳng.
Vớ d 1: Tớnh din tớch hỡnh phẳng giới hạn đờng:
2
0; 1; ;
x x y x x truc Ox Giải:
Diện tích S hình phẳng lµ:
1
1 2 2 2
0
0
2 ( ) ( )
3
x
S x x dx x x dx x
Chú ý: Khi giả thiết toán cha có cận tích phân, phải tìm cận tích phân cách giải phơng trình f x1( )f x2( ) Nghiệm tìm đợc cận tích phân
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: y x2 2x
y x
Giải:
Tỡm hồnh độ giao điểm hai đờng ta có: x2 2x x x 0;x 3
Vậy diện tích S hình phẳng là:
3
3
3 2 2 2
0 0
0
3
( ) ( ) ( )
3 2
x x
S x x x dxx x dx x x dx
Chú ý: Khi hình phẳng giới hạn nhiều đờng, ta sử dụng cách chia khoảng (a;b) thành khoảng nhỏ sử dụng công thức:
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a f x dx a f x dx c f x dx a c b
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: ylnx y1
Gi¶i:
XÐt phơng trình: lnx lnx x e x; e
Khi diện tích S hình phẳng là:
1
1 1
1
ln ln ln ln ln
e e e
e e e
S x dx x dx x dx x dx x dx
1 1
1
1 1
1
(ln 1) e(ln 1) ( ln ) ( ln )e
e e
S x dx x dx x x x x x x x x
O a b x
(43)(Sư dơng kÕt qu¶ lnxdx x lnx x C ; VD9 SGK Gi¶i tÝch 12 ChuÈn trang 100)
1
1
1
ln ( ln )e 1ln1 ln ln 2
e
S x x x x x e e e
e e
, S e
e
2 TÝnh thĨ tÝch khèi trßn xoay.
Ví dụ 4: Tính thể tích khối trịn xoay đợc tạo phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đờng y = x; y = 0; x = 1; x =
Gi¶i:
Ta cã:
2 2
1
1
8 ( )
3 3
x
V x dx
Ví dụ 5: Cho hình phẳng giới hạn đờng y x2 4x 4;y 0;x 0;x 3
quay quanh
trôc Ox Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành
Giải:
Ta cã:
3
3 2 2 4
0
0 ( 2) 33
( 4) ( 2)
5
x
V x x dx x dx
Ví dụ 6: Tính thể tích khối tròn xoay đợc tạo phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đờng y 4 x y2; 0
Gi¶i:
Xét phơng trình: 4 x2 0 x 2
VËy 2 2
2(4 ) 2(16 )
V x dx x x dx
2
3
2
4 384
(16 )
3 5
x x
V x
III Bài tập tự giải
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng sau: y 2x x x y2; 2
2 x y 1;x y 1;x y 1;x y 1
3 2;
1
y y
x
4 y x3 1
tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x3 1
điểm (-1;-2)
5 10
3
y x x vµ neu neu
x x
y
x x
6 y x lnx;y x 1;x e
x
7 y 1 1 x y x2;
(44)8 y x y3; 2 x x2; 0
Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng xác định bởi:
9 y 2 x y2; 1
quay quanh trôc Ox 10 y 2x x y x2;
quay quanh trôc Ox
11 y x2 1;x 0
tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x2 1
điểm (1;2), quay quanh trục Ox
12 y x x2; y2
quay quanh trôc Ox
13 y x 1;y 1;x
x x
quay quanh trôc Ox
14 y 1;y 0;x 1;x e x
quay quanh trôc Ox
15 yx2 ;x y0;x3 quay quanh trôc Ox 16 y x ;y1 quay quanh trôc Ox
Chủ đề S phc
Nội dung trọng tâm
* Môđun số phức
* Các phép toán số phức * Căn bậc hai số thực âm * PT bËc hai hÖ sè thùc cã <
I/ Tóm tắt lý thuyết: 1 Kiến thức bản:
* Số i: số i nghiệm phơng trình: x2 1 0
Vậy: i2 1
* Kh¸i niƯm sè phøc:
Số phức z biểu thức có dạng: z = a + bi đó: a b, ; i2 1
a phần thực; b phần ¶o * Hai sè phøc b»ng nhau:
; a bi c di a c b d
* Biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ:
44
O
M
x y
b
(45)Điểm M(a ; b) hệ tọa độ Oxy đợc gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi
* Môđun số phức:
Cho s phc z = a + bi, độ dài vectơ OM đợc gọi môđun số phức z ký hiệu z
2
z ai b OM a b
* Số phức liên hợp:
Số phức liên hợp số phức z a bi lµ z a bi
Chó ý: z z z z * Các phép toán số phøc:
PhÐp céng, trõ: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i a bi c di a c b d i
PhÐp nh©n: (a bi c di )( ) ( ac bd ) ( ad bc i )
Chó ý: cho z = a + bi th×: 22 2 2
z z a z z a b z
PhÐp chia: c di (c di a bi2)( 2 ) ac bd2 2 ad bc2 2 i
a bi a b a b a b
2
(a b 0) * Căn bậc hai số thực âm:
Các bậc hai số thực a âm là: i a Ví dụ: số có hai bậc hai i
số có hai bậc hai i 3
* Nghiệm phơng trình bậc hai với hệ só thực Xét phơng trình ax2 bx c 0
víi a b c, , ; a0
2
4
b ac
- Nếu > phơng trình cã nghiÖm thùc: 1,2
2 b x
a
- NÕu = phơng trình có nghiệm kép thực: x b a
- Nếu < phơng tr×nh cã nghiƯm phøc:
1,2
2 b i x
a
II/ Mét sè vÝ dơ minh häa:
D¹ng 1: Tìm môđun số phức
(46)VÝ dơ 1: Cho z 2 i 3, t×m z
Gi¶i:
Ta cã z ( 2)2 ( 3)2 7
VÝ dô 2: Cho z3i, tìm z
Giải:
Ta cã z 02 32 3
VÝ dơ 3: Cho z 5, t×m z
Gi¶i:
Ta cã z ( 5)2 02 5
Dạng 2: Các phép toán số phức Ví dụ 4: Tính (3 - 5i) + (2 + 4i)
Gi¶i:
(3 - 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = - i
VÝ dơ 5: T×m x biÕt: 3x + (2 + 3i)(1 – 2i) = + 4i
Gi¶i:
Ta cã: 3x + (2 + 3i)(1 – 2i) = + 4i
3x + (2 + 6) + (3 – 4)i = + 4i
3x + – i = + 4i
3x = - + 5i
3 x i
VÝ dơ 6: Thùc hiƯn phÐp chia sau: 2 i i
Gi¶i:
2
3 (3 )(2 ) 12 12
2 3 13 12 13
i i i i
i i
VÝ dô 7: Giải phơng trình: ( i 3)x i 2 i
Gi¶i:
Ta cã: ( 2 i 3)x i 2 i
( 2 i 3)x 3i
2 i x
i
(47) ( 2)( 22 2 3)
( 2) ( 3)
i i
x
x i
Dạng 3: Nghiệm phơng trình bậc hai víi hƯ sè thùc cã < 0 VÝ dơ 8: Giải phơng trình x2 x 7 0
Gi¶i:
Ta cã 1 4.727
Vậy phơng trình có nghiệm phức lµ:
1
1 27 3
2 2
i
x i ; 2 27 3
2 2
i
x i
Ví dụ 9: Giải phơng trình x2 2x 4 0
Gi¶i:
Ta cã ' 4 3
Vậy phơng trình có nghiệm phức là: x1 i ; x2 1 i
PhÇn riêng Theo chơng nâng cao
CH
Ủ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I.TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM A Lí thuyết cần nhớ:
1.Tọa độ vectơ
Định nghóa: Trong kg(Oxyz ) cho vectơ
u tùy ý ,do i ,j ,k không đồng phẳng nên tồn ba số thực (x ; y ; z)
u = xi + yj + zk Bộ ba số (x ; y ; z) gọi tọa độ vectơ
u, kí hieäu:u = ( x ; y ; z )
Vaäy
u = ( x ; y ; z ) u= xi + yj + zk Các tính chất:
u = ( x ; y ; z ) , v = ( x’ ; y’ ; z’ ) u+v = ( x + x’ ; y + y’; z + z’ )
u-v = ( x – x’ ; y – y’; z – z’ ) k u = ( kx ; ky ; kz )
(48) ' ' ' z z y y x x v u
2 Tọa độ điểm :
Định nghĩa : Trong kg(Oxyz ) cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM gọi tọa điểm M
Vậy
OM = (x ; y ; z) ba số (x ; y ; z) tọa độ điểm M ,
Ta vieát : M ( x ; y ; z )
M ( x ; y ; z ) OM = xi + yj+ zk
Các tính chất : A ( xA ; yA ; zA ) , B ( xB ; yB ; zB ) ta coù ;
* AB = ( xB – xA ; yB – yA ; zB – zA )
* AB = ( )2 ( )2 ( )2
A B A
B A
B x y y z z
x
* k kz z z k ky y y k kx x x k MB k MA B A M B A M B A M 1 1 1 )1 (,
* M trung điểm đoạn AB 2 2 2 B A M B A M B A M z z z y y y x x x
* G(xG;yG; zG) trọng tâm tứ diện ABCD
(49)3 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vectơ :
Cho hai vectô
a = ( x1; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ta coù :
a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2
a b x1x2 + y1y2 + z1z2 =
|
a | = 12
2
1 y z
x
cos =
2 2 2 2
2 2
x y z z
y x
z z y y x x
a b phương với x1: y1: z1= x2 : y2: z2
4 Tích có hướng hai vectơ: a Định nghĩa : Cho hai vectơ
a = ( x1; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) Tích có hướng
của hai vectơ
a b vectơ kí hiệu [a,b ]
[
a,b] =
22 11
22 11
22 11
;;
yx yx xz xz zy zy
b Các tính chất :
a phương với b [a,b] =0 [a,b] a , [a,b] b
|[a,b]| = |a |.|b|sin
c.Diện tích tam giác :
Diện tích tam giác ABC tính công thức:
(50)SABC =
2
|[AB, AC ]|
d.Thể tích :
Thể tích V hình hộp ABCD A’B’C’D’ tính cơng thức:
V = |[AB, AD ].AA’|
Thể tích V tứ diện ABCD tính cơng thức : V = 61 |[AB , AC ]AD |
e Điều kiện đồng phẳng ba vectơ : Ba vectơ a ,b,c đồng phẳng [a,b].c =
Ba vectơ a ,b,c không đồng phẳng [a,b].c
Bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng AB AC AD, , đồng phẳng Bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng AB AC AD, ,
không đồng phẳng
Bài Tập
Bài 1: Viết tọa độ vectơ sau :
i j k
a , b2j i , c 3k ,
k i
d
Bài2 : Cho ba vectơ
a= ( 2;-5 ; ),b= ( 0; -2; 1) , c = (-1 ; 6; )
a) Tìm tọa độ vectơ :
u= 2a- b
a b c
v
2
50
Ví dụ: Cho ba vectơ
a = ( 2;1 ; ),b= ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 )
a) Tìm tọa độ vectơ :
u= 4a- 2b+ 3c
b) Chứng minh vectơ
a,b,c khơng đồng phẳng
Giải:
a) Ta coù: 4a(4.2; 4.1; 4.0) = (8; 4; 0)
2b(2.1; 2.(-1); 2.2) = (2; -2; 4)
Tương tự : 3c (6; 6; -3)
u= 4a- 2b+ 3c = (8 – + 6; + + 6; – - 3) =
(12; 12; -7 )
b) Ta coù:
1 2 2 0 1- 1
2 0 ; 1 1 ; 1 2
(51)b) Chứng minh vectơ
a,b,c không đồng phẳng
Bài : Cho điểm M( - 1; ; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M Trên trục Ox
Trên mặt phẳng Oyz
Bài : Cho hai điểm A(1 ; ; 1) ,B(-2 ; ; 2)
a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua Oy b) Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua xOy c) Tìm điểm M chia đoạn A’B’ theo tỉ số - Bài 5: Cho ba vectơ
a= ( 0;-2 ; ),b= ( 1; 3; -1) , c = (2 ; 0; ).Tìm tọa độ :
a) Vectô d a b3c
3
4 .
b) Vectô
x biết x2a a
c) Vectơ
u biết 2au5b
d) Tìm
a.b .c , e)
b.c .a , g )
a,b .c
Bài Cho vectơ a= (1; m; 2),b= (m+1; 2;1 ) ,c = (0 ; m-2 ; ) Xác định m để
Vectơ đồng phẳng
Bài Cho điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 )
c Xác định điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành d Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo
c Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đường cao tam giác ABC vẽ từ A
d Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
Bài Cho điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; ) , C( 0; 0; ), D ( 2; ;6 )
a Chứng minh điểm A, B , C , D khơng đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD
c Tính diện tích tam giác ABC , từ suy chiều cao tứ diện vẽ từ D d Tìm tọa độ chân đường cao tứ diện vẽ từ D
Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) ,
B(2;0;3),C(-3;5;4)
a Tìm độ dài cạnh tm giác ABC b Tính cosin góc A,B,C
(52)c Tính diện tích tam giác ABC
II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG A Lí thuyết cần nhớ :
Định nghóa :
Chú ý : Nếu ( ) có cặp vectơ phương a,b ( ) có vectơ pháp tuyếnn = [
a,b]
2.Phương trình mặt phẳng: M ặt phẳng ( ) qua M0( x0 ;y0 ; z0 ) coù vtpt n= ( A;
B; C ) có phương trình :
A ( x – x0 ) + B (y – y0) + C ( z – z0 ) =
Vectơ n 0 gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) nằm đường thẳng vng góc với ( )
Kí hiệu :
n ( )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai vectơ a,b 0,không phương đường thẳng chứa chúng song song nằm ( ) gọi cặp vectơ phương mặt phẳng ( )
Ví dụ: Viết phương trình tổng qt mặt phẳng ( ) trườnghợp sau: () qua M (3; 2; -5 ) vuông góc với trục Oz
() mặt phẳng trung trực đoản AB với A( 3; -5; ), B( ; 3; -2 )
Giaûi:
+ Mặt phẳng() qua M (3; 2; -5 ) vng góc với trục Oz nhận k(0;0;1)làm
vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:
0(x - 3) + 0(y -2) + 1(z + 5) = z + =
+ Gọi I trung điểm AB ta có I(2;-1;1)
Ta có AB(2;8;6) Mặt phẳng trung trực đoản AB qua I nhận
) ; ; (
AB làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:
(53)B.
Phương pháp chung lập phương trình mặt phẳng :
Để lập phương trình mặt phẳng ta cần tìm điểm thuộc mặt phẳng vtpt hay tìm cặp vtcp
Bài tập
1 Viết phương trình mặt phẳng () trường hợp sau:
a () qua hai điểm M( 1; -1; ) , N( 3; 1; ) song song với trục Oz b () qua ba điểm A(1; 6; ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; )
() qua hai điểm D( 1; 0; ) ,E( 0; 1; -1 ) vng góc với mặt phẳng : (P): x + y – z =
() qua điểm I( 3; -1; -5 ) vơng góc với hai mặt phẳng : ( 1): 3x –2y + 2z +5 = , (2 ): 5x – 4y + 3z +1 =
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng :
(1): 2x + 3y – = , (2) : 2y – 3z – = , (3) : 2x + y – 3z –2 =
a Viết phương trình mặt phẳng ( ) quiểm M( 1;3; -4 ) giao tuyến của(1) ,
(2)
b Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua giao tuyến (1) ,(2) đồng thời
vng góc với (3)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : d1::
0 1 2
0 5 4 2
z y x
z y x
, (d2) :
t z
t y
t x
2 3 2 1
Viết phương trình mặt phẳng () qua (d1) song song với (d2)
Viết phương trình mặt phẳng (1) qua M (1 ;–3; ) song song với hai
đường thẳng (d1), (d2)
4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho điểm M( 2;-1 ; 1) đường thẳng d:
0 3 2 2
0 8 3 2
z y x
z y x
Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng d
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:1x y21z22 vng gócvới mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + =
(54)III ĐƯỜNG THẲNG A Lí thuyết cần nhớ
Vectô
u 0 nằm đường thẳng song song trùng với đưỡng thẳng (d) gọi vectơ phương đường thẳng (d)
Đường thẳng (d) qua điểm M0( x0; y0 ; z0 ) có vectơ phương u = ( a; b; c)
có phương trình tham số laø :
ct z z
bt y y
at x x
0 0
t R
Phương trình tắc :
c z z b
y y a
x
x 0 0 0
Phương trình tổng quát đường thẳng :
0 ' ' ' '
0
D z C y B x A
D Cz By Ax
(1) A2+B2+C2
0, A’2+B’2+C’2 , A:B:C A’:B’:C’
Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) có vectơ phương
u = (
'' ; '' ; '' BA
BA AC AC CB CB
)
B Phương pháp chung để lập phương trình đường thẳng:
(55)Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng nhận vtpt mặt phẳng làm vtcp
C M ột số cách viết phương trình đường thẳng thường gặp:
1/ Bài tốn 1:Viết phương trình hình chiếu vơng góc đường thẳng (d) mặt phẳng ( )
Cách giải :
Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua đường thẳng (d ) vuông góc với ( ) ( Mặt phẳng ( ) nhận vtcp của(d) vtpt ( ) làm cặp vtcp )
Hình chiếu vng góc (d’) (d) ( ) giao tuyến ( ) ( ) 2/ Bài tốn 2: Viết phương trính đường thẳng (d) qua điểm M cắt hai
đường thẳng (d1) , (d2) cho trước ( M (d1),(d2))
Cách giải :
Viết phương trình mặt phẳng ( M,(d1))
Viết phương trình mặt phẳng (M,(d2))
(d) = (M,(d1)) (M,(d2))
3/ Bài tốn 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M cắt đường thẳng (d1)
vng góc với (d2)
Cách giải :
Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M (d1)
Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M vaø ( ) (d2)
(d) = () ()
4/ Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d ) qua điểm M cắt đường thẳng ( ) vng góc với ()
Cách giải:
Viết phương trình mặt phẳng () qua M vng góc với () Viết phương trình mặt phẳng () qua M ()
(d) = () ()
Ghi chú :Ta giải tốn sau
Viết phương trình mặt phẳng () qua M vng góc với () Tìm giao điểm N () và( )
Viết phương trình đường thẳng MN đường thẳng (d) cần tìm
(56)5/ Bài toán 5: Cho đường thẳng () mặt phẳng ( ) cắt điểm M Viết phương tình đường thẳng (d) qua M nằm ( ) (d) ()
Cách giải :
Viết phương trình mặt phẳng () qua M ()Vng góc với (d) (d) = () ()
6/ Bài toán : Viết phương trình đường thẳng () có vtcp u cắt hai đường thẳng (d1) (d2) cho trước
Cách giải :
Viết phương trình mặt phẳng () qua (d1) nhận u làm vtcp
Viết phương trình mặt phẳng () qua (d2) nhận u làm vtcp
(c) = () ()
Ví dụ: Viết phương trình tham số tắc đường thẳng (): d Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3)
e Qua A(1; -1; 3) song song với BC B(1; 2; ),C(-1; 1; 2) f.Qua D(3; 1; -2) vng góc với mặt phẳng 3x + 4y – 2z +5 =
Giaûi:
a Đường thẳng () qua điểm M( 2; -3; 5) nhận vectơ MN(1;1;2)
làm vectơ phương có phương trình : + Phương trình tham số:
t z
t y
t x
2 5
3 2
, tR
+ Phương trình tắc: 12 13 25
y z
x
b Đường thẳng () qua điểm A( 1; -1; 3) song song với BC nhận vectơ BC(2;1;2)làm vectơ phương có phương trình :
+ Phương trình tham soá:
t z
t y
t x
2 3
1 2 1
, tR
+ Phương trình tắc: 21 11 2
y z
x
(57)3x + 4y – 2z +5 = nhận vectơ pháp tuyến mặt phẳng n(3;4;2) làm vectơ phương có phương trình:
+ Phương trình tham số:
t z t y t x 2 2 4 1 3 3
, tR
+ Phương trình tắc: x3 3y41z22
D Bài tập :
1 Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát
0 2 4 2 0 10 2 3 z y x z y x Hãy viết phương trình tham số phương trình tắc (d) Cho đường thẳng (d) :
0 3 2 3 0 2 z y x z x
mặt phẳng (): x –2y + z +5 = Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d) ()
3 Cho hai đường thẳng: (d1) x31y2z , (d2):
0 1 0 2 x z y x
a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vng góc với (d1) cắt (d2)
b Viết phương trình đường thẳng ( )Qua điểm M(1; 0; -2 )và vng góc với hai đường thẳng (d1), (d2)
4 Viết phương trình đường thẳng qua A( 3; -2; - 4),song song với mặtt phẳng : 3x – 2y – 3z – = đồng thời cắt đường thẳng (d): 32 24 21
y z
x
5 Lập phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng Oxy cắt hai đường thẳng : (d1):
t z t y t x 3
4 , (d2):
t z t y t x 5 4 3 2 1
IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. A LÍ THUYẾT :
1/ Vị trí tương đối hai đường thẳng:
(58)Cho hai đường thẳng : (d) : c z z b y y a x
x 0
,( d’ ):
' ' ' ' ' ' c z z b y y a x x (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0) ,coù VTCP u= ( a; b; c)
(d’) qua M’0(x’0 ;y’0 ;z’0) ,có VTCP u'= ( a’; b’; c’) a (d) (d’) đồng phẳng
[ , ] '
0 ' M M u u
b (d) (d’) cắt [ , ] '
0 ' M M u
u vaø a:b:c a’:b’:c’ c (d)//(d’) a:b:c = a’:b’:c’ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
d (d) (d’) a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
e (d) (d’) chéo [ , ] '
0 ' M M u u
Ví dụ: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau d: x31y12 1z d’
0 1 0 2 x z y x
Giải: a Đường thẳng (d) qua điểm M(1; -2; 0) có vectơ phương u(3;1;1) Đường thẳng (d’) qua điểm M’(-1; 0; 1) có vectơ phương ,(0; 1; 1)
u
Tacoù: + [u,u]=(0; 3; -3), MM(-4; -1; 0)
+ [u,u].MM=0(-4) +3(-1) +(-3)0 = -3 0 d d’ chéo Bài tập
Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a/ d:
0 1 2 0 1 3 2 z y x z y x
vaø d’: 72 5 13
y z
x
b/ d:x91y6 2z3 vaø d’:
2 6
y z
x
Bài 2: Xét vị trí tương đối đường thẳng sau :
a) d:
0 1 2 0 1 y x z y x
vaø d’:
0 3 3 0 1 2 z y x y x
b) d:
0 14 2 0 25 2 3 z x y x
vaø d’: 42 6 81
y z
(59)c) d:x91y6 z3 vaø d’:
2
6
7
y z
x
d) x21 y 22 1z
vaø d’ :
4 3 5 2
z
t y
t x
2/ Vị trí tương đối hai mặt phẳng :
Cho hai mp , lần lượt có phương trình: :Ax+By+Cz+D=0
( ):A’x+B’y+C’z+D=0
a) ( ) cắt ()
: : ' : ': '
A B C A B C
b)
D D C
C B
B A
A
) //( ) (
c)
' ' ' '
A B C D
A B C D
Chú ý: Điều kiện vuông góc mp:
AA BB CC' ' ' 0
BAØI TẬP
Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau a ( ): x + 2y – z + = ( ): 2x + 3y -7z – =
b ( ) : x – 2y + z + = vaø ( ): 2x -y + 4z – =
c ( ): x + y + z - = vaø ( ): 2x + 2y -2z + =
d ( ): 3x - 2y –3 z + = vaø ( ): 9x - 6y -9z – =
e.( ): x - y + 2z -4 = vaø ( ): 10x - 6y + 20z – 40 =
Bài 2: Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau : a) 2x – 3y + 4z – = 3x – y +z – = b) – x +y – z + = 2x – 2y + 2z – = c) x + y + z – = 2x – y + z – = d) 3x + 3y – 3z – 12 = x + 4y – 4z – 16 =
Bài : Cho hai mặt phẳng có phương trình :(m2–5)x – 2y + mz + m – = vaø x + 2y
– 3nz +3 =
Tìm m , n để hai mặt phẳng :
(60)a) Song song với b) Trùng
c) Caét
Bài : Cho hai mặt phẳng : 3x – (m – 3)y +2z – = (m + 2)x – 2y + mz – 10 = Tìm m để
d) Hai mặt phẳng song song với e) Hai mặt phẳng trùng
f) Hai mặt phẳng cắt
V KHOẢNG CÁCH, GĨC A LÍ THUYẾT :
1 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D =
Kí hiệu: d(M0;()) = 2 0
C B A
D Cz By Ax
2 Khoảng cách từ điểm tới mộtđường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( ) qua điểm M0 có vectơ
phương u xác định theo công thức:
d(M, ) = u
u M M
,
3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo
Cho hai đường thẳng d1 qua điểm M1 có vecytơ phương u1
đường thẳng d2 qua điểm M2 có vecytơ phương u2
Gọi h khoảng cách d1 d2
ta coù: 2
2
, ,
u u
M M u u
h
B.BÀI TÂP:
1/ Tính khoảng cách từ điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt
phaúng () : 2x –2y + z – =
2/ Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng :x12 y2 1z31 3/ Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo :
(1):
0 1 2
0 5 y x
z y x
vaø (2): 11 12 13
y z
(61)4/ Cho đường thẳng d: 21 1 11
y z
x
mặt phẳng ():x+ y + 2z – = Tính góc d ()
5/ Tìm Oz điểm M cách điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 6/ Cho đường thẳng (d):
t z
t y
t x
3 2
2 1
và mặt phẳng () : 2x – y – 2z +1 = Tìm điểm M (d) cho khoảng cách từ M đến () 7/ Cho hai đường thẳng (d1): 5
4
3
2
y z
x
vaø (d2): 1
4
4
1
y z
x
Tìm hai điểm M,N (d1) (d2) cho độ dài đoạn MN nỏ
VI MẶT CẦU
A.Lí thuyết cần nhớ: 1/ Phương trình Mặt cầu:
a Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R có phương trình là: ( x- a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2
b Phương trình : x2+y2+z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = ,a2+b2+c2- d >
phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R = a2b2c2 d 2/ Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng :
Cho mp() :Ax + By + Cz + D = mặt cầu (S) có phương trình: (x – a)2+ (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Goïi H hình chiếu vuông góc tâm I(a;b;c) (S) () Vậy ( , ) A2 B2 C2
D Cc Bb Aa I
d IH
a Nếu IH < R () cắt (S) theo giao tuyến đường trịn ( C)có tâm H ,có bán r = R2 IH2
Phương trình đường trịn (C) :
0 ) ( ) ( )
( 2 2
D Cz By Ax
R c z b y a x
b Nếu IH = R () tiếp xúc với (S) H () gọi mặt tiếp diện mc(S) c Nếu IH > R () (S) khơng có điểm chung
B Các dạng tập thường gặp:
(62)1/ Tìm tâm bán kính mặt cầu sau : a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y +1 =
b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – = 0
c) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 9y + 12z – =
2/ Viết phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau : a) (S) có tâm I ( 1; -2 ; ) qua điểm M( ; ; ) b) (S) có đường kính AB với A(1; ; 5), B ( 3; -2; )
c) (S) có tâm I( ; 4; ) tiếp xúc với mặt phẳng () : 2x + y – 2z + = d) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; ), B( 3; -1; ),C( 0; -7; ),D(-2;1;
-1)
3/ Lập phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A( 1; 2; - ) , B( 1; - 3; ) C( 2; 2; ) có tâm I nằm mặt phẳng Oxy
4/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 = 4và mặt
phaúng (): x + z =
Chứng minh mp() cắt mặt cầu (S)
Xác định tâm tính bán kính đường tròn (C) giao tuyến () với (S) 5/ Cho (d) :
t z
t y
t x
2 2
1 mặt phẳng () :2x - y – 2z –2 = Viết phương trình mặt cầu có tâm
I (d) cách () đoạn cắt mặt phẳng () theo giao tuyến đườngtrịn có bán kính
6/ Cho đường thẳng (d): 2x y1 1z21 hai mặt phẳng(): x+ y -2z +5 = , () : 2x – y + z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm (d) tiếp xúc với
hai mặt phẳng () , () 7/ Cho dường tròn ( C ) :
0 1 2 2
0 17 6 6 4
2 2
z y x
z y x z y x
a) Tìm tâm bán kinh ( C )
b) Lập phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn ( C ) có tâm mặt phẳng
(63)8/ Lập phương trình mặt tiếp diện mặt cầu (S):x2+y2+z2 – 6x– 2y+4z+5 =0.
Tại điểm M(4; 3; )
9/ Lập phương trình mặt () tiếp xúc với mặt cầu x2+y2+z2 –26x– 2y-2z –22= biết () song song với ( ): 3x – 2y + 6z +14 =
10/ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d):
t z
t y
t x
1 3 1
4 4
và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y2+ z2 – 2x + 6y+ 2z + = 0
BÀI TẬP
Bài : Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2 ; -3) , B(3 ; ; 0) , C ( -4; ; 5) c) Chứng minh A , B ,C ba đỉnh tam giác
d) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành e) Tìm a , b để điểm M(a+2 ;2b – ; 1) thuộc đường thẳng AC
Bài 2: Cho bốn điểm A(-3 ; ;15) , B(0 ;0 ;7) , C (- ; ; 5) , D(4 ;-3 ; 0) Chứng minh hai đường thẳng AB CD cắt
Bài : Cho tam giác ABC có A(1 ; ; 3) ,B( ; ;4) , C( ;3 ; -2)
Chứng minh tam giác ABC vng A, từ tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Tính góc C tam giác
Bài4: Cho ba điểm A(2 ; ; 0) ,B(0 ; ; 1) ,C(1 ; ; ) Tính diện tích tam giác ABC, từ suy độ dài đường cao vẻ từ A tam giác
Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1 ; ; 0) , B(3 ; -1 ; 1) ,C(5 ; ; 3).Tính độ dài đường phân giác góc A
Bài 6: Cho bố điểm A(0 ; -1 ; 0) , B(0 ; ; 2) ,C( ; ; 0) , D(-1 ; ; -2) a) Chứng minh A, B, C , D đỉnh tứ diện
b) Chứng minh AC vng góc với BD c) Tính góc tạo bới hai đường thẳng AB CD
d) Tính thể tích tứ dịen độ dài đường cao tứ diện hạ từ A
Bài : Cho ba điểm A(2 ; ; 0) , B(0 ; ;0) , C( ; ; 2) ,D(a ; a ; a) với a số a ≠ Chứng minh OD vng góc với mặt phẳng (ABC) với a
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0 ; ; 0) ,B(1 ; ; 0) ,C (0 ; ;0) , A’( ; ; 3)
(64)a) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp
b) Goi M,N,P,Q trung điểm A’B’, BC , CD, DD’ Chứng minh M,N,P,Q đồng phẳng
c) Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNPQ)
Bài : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M,N trung điểm A’D’ B’B
a) Chứng minh MN vng góc với AC’
b) Chứng minh AC’ vng góc với mặt phẳng (A’BD) c) Tính góc MN CC’
Bài 10 : Viết phương trình tổng quát mặt phẳng ( ) trườnghợp sau: a) () qua A (1; 0; ) vng góc với mặt phẳng Oxy
b) (α) qua M(2 ; -1 ; -3) vng góc với trụcc Ox
c) () mặt trung trực đoạn AB với A(1; 3; ), B(-1 ; 1; ) d) () qua I(-1; 2;4 ) song song với mặt phẳng 2x – 3y + 5z – = Bài 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; -1;-3) ,B(2 ;1 ; -2) , C(-5 ; ; -6)
d) Chứng minh A, B , C ba đỉnh tam giác
e) Tính độ dài phân giác ngồi góc A tam giác ABC f) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC
Baøi 12:Cho mặt phẳng (P) : 2x + 5y – 7x +1 = a) Hãy xác định vectơ pháp tuyến cuûa (P)
b) Xác định m để điểm A(2m – ; m +2 ; m – 1) nằm (P) c) Tìm tọa độ giao điểm (P) với trục tọa độ
d) Tính thể tích phần khơng gian giới hạn (P) mặt phẳng tọa độ Bài 13 : Viết phương trình mặt phẳng :
a) Đi qua A( ; ; 2) song song với mặt phẳng xOy b) Đi qua M(2 ;-1 ; -3) vuông góc với trục Ox
c) Đi qua I( -1 ; ; 4) song song với mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – = d) (α ) mặt trung tực đoạn AB với A(1 ; ; 3) , B(-1 ; ; 0)
e) (β ) ñi qua ba điểm A(-1 ; ; 3) ,B(2 ; -4 ; 3) , C(4 ; ; 6)
(65)a) Viết phương trình mặt phẳng (α ) cắt ba trục tọa độ A, B, C cho
M trọng tâm tam giác ABC
b) Viết phương trình mặt phẳng (β ) cắt ba trục tọa độ N, P , Q cho
M trực tâm tam giác ABC
c) Viết phương trình mặt phẳng qua M cắt ba trục tọa độ ba điểm cách gốc tọa độ
Baøi 15 :Viết phương trình mặt phẳng :
a) Đi qua hai điểm A(1 ;1 ;0), B(-1 ; ; 7) vng góc với mặt phẳng (α)
2x–3y+z–7 =
b) Đi qua M(0 ;2; -1), song song với trục Ox vng góc với mặt phẳng (β)
x – y +z =
c) Đi qua N(-3;0;1) vng góc với hai mặt phẳng (P):2x–3y+z –2 = ; (Q):x + 5y–2z =
Bài 16: Cho tứ diện ABCD có A(5 ; ; 3) ,B(1 ; ; 2) , C(5 ; ; 4) ,D(4 ; ;6) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
b) Viết phương trình mặt phẳng qua AB song song với CD
c) Gọi G trọng tâm tam giác BCD Viết phương trình mặt phẳng qua G song song với mặt phẳng (ABC )
Bài 17 : Viết phương trình mặt phẳng : Đi qua A(1 ; ; ) chứa trục Oy
Đi qua giao tuyến hai măt phẳng : x – 3z +1 = , 2y +3z – = vng góc với mặt phẳng 2x – y – =
Đi qua giao tuyến hai măt phẳng 3x – y + 3z +8 = , -2x – y +z +2 = song song với mặt phẳng x – y – =
Bài 18 : Viết phưo8ng trình tham số, ptct đường thẳng qua hai điểm A(-1 ; ; 3) , B(2 ; ; 1)
Bài 19 : Viết phương trình tổng quát đường thẳng giao tuyến mặt phẳng qua
M(2 ; ; -3) chứa đường thẳng 31 34 23
y z
x
mặt phẳng Oxy Bài 20 : Viết phương trình tắc đường thẳng :
a) Có phương trình tổng quát :
0 1 2
0 5 y x
z y x
(66)
b) Đi qua điểm M( ; - ; 3) song song với đường thẳng : t z t y t x 4 3 3 1
c) Đi qua điểm N( ; ; - 4) vương góc với mặt phẳng x -2y + z – = d) Đi qua điểm A( - ; ; ) song với đường thẳng
0 5 2 0 1 2 3 z y x z y x
e) Đường thẳng cần tìm giao tuyến (P): x -2y + 3z – = với mặt phẳng yOz
Bài 21 :Chứng minh đường thẳng d:
0 1 2 0 5 2 3 5 z y x z y x
naèm mặt phẳng (P):4x – 3y +7z =
Bài 22 :Viết phương trình mặt phẳng (P) trường hợp sau : a) (P) chứa đường thẳng d song song với d’ biết :d:
t z t y t x 2 2 3 3 1 vaø d’: 0 5 2 0 3 2 z y x z y x
b) (P) chứa đường thẳng d (P) vng góc với mặt phẳng (Q) biết : d: 21 32 22
y z
x
vaø (Q) : 3x +2y – z – =
Bài 23 :Viết phương trình đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) : 3x + 12y – 3z – = ;
(Q) : 3x – 4y +9z +7 = cắt hai hai đường thẳng :d1: 25 43 31
y z
x
,d2:
4 3
y z
x
(67)với : d: t z t y t x 1 3 3 4 12
vaø (P) :3x + 5y – z – =
Bài 25: Viết phương trình đường thẳng d’ qua giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) biết : d : x211y z32 (P) 2x +y + z – =
Bài 26 Chứng minh hai đường thẳng sau song vớ viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng
d: x32 y 211z
vaø d’:
0 8 0 z y x z y x
Bài 27 : Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo sau :
a) d1:
t z t y t x 2 3 2 1
, d2 :
t z t y t x 2 3 1 2
b) d1 :
t z t y t x 3 2 1
, d2:
0 8 0 z y x z y x
Bài 28: Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz cho điểm M(1 ; -2 ; 3) Tính khoảng cách từ M đến :
a) Mặt phẳng Oyz
b) Mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + = c) Đường thẳng d :
0 2 0 3 z y x z y x
Bài 29 : Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz cho hai đường thẳng : d1: x31y12 z42, d2 : 21 3 13
y z
x
a) Chứng minh hai đường thẳng d1 d2 chéo
b) Chứng minh d1 song song với mặt phẳng (P) : 6x – 14y – z – 40 =
0 Tính khoảng cách d1 (P)
c) Tìm điểm N đối xứng với điểm M( ; -1 ;0) qua đường thẳng d1
Bài 30 : Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ Biết tọa độ điểm A(0 ;0 ; 0) ,B(1 ; ; ) , D( ; ; 0) A’( ; ; 1)
(68)a) Hãy xác định điểm lại hình lập phương
b) Gọi M,N trung điểm AB B’C’ Tính khoảng cách MN AD
Bài 31 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( ; ;1), B( ; ; -1), C(2 ; ; 0) , D(0 ; 2)
a Chứng minh A,B,C,D đỉnh tứ diện
b Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD c Viết phương trình đường thẳng AB
d Viết phương trình mặt cầu có tâm đường thẳng AB qua hai điểm C D Bài32: Tính góc :
a) d1 :
t z y
t x
4 1
3 2
, d2 :
0 4
0 3
z y x
z y x
b) d: x31y12z42 vaø (P): 3x + y – z +13 =
Bài 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1 ;2 ;-3) mặt phẳng (P):4x–y + 4z -15 =
a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc M (P) b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P)
Baøi 34 :Tìm tâm bán kính mặt cầu sau : a) x2 + y2 + z2 – 6x +2y – 4z – = 0.
b) x2 + y2 + z2 – 4x +8y +2z – = 0
Bài 35 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường trịn (C) có phương trình :
0 18 5 4
0 32 4 6 4
2 2
z y x
z y x z y x
Tìm tâm bán kính (C)
Bài 36 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm
A(1 ; ; 0), B(-1 ; ; 2) , C( ; -1 ; 2) vaø có tâm nằm mặt phẳng (P): x + y + z – =
(69)Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 38 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A( ; ; 1) ,B(2 ; ; 1) , C(1 ; ; 0)
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 39 : Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( ; 2; ), B( ; -1 ; ),
C( 0; -7 ; ),D(-2 ;1 ; -1)
Bài 40 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho dường thẳng d:
2
2
1
y z
x
hai điểm A( ;1;-1) , B(2; -1 3).Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm d (S) qua hai ñieåm A,B
Bài 41: Cho đường thẳng (d): 2x y1 1z21 hai mặt phẳng(): x+ y -2z +5 = , () :2x – y + z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm (d) tiếp xúc với
hai mặt phẳng (),()
Chủ đề Số phức Các dạng tốn thờng gặp
1, D¹ng :Thùc hiƯn phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) số phức
1.1 Cách giải tổng quát :
69
Cho hai số phức zabi, z'a'b'i Khi
1, Céng hai sè phøc : zz'aa' bb'i
2, Trõ hai sè phøc : z z'a a' b b'i
3, Nh©n hai sè phøc : z.z'aa'bb''ab'ba'i
4, Số phức liên hợp, mô đun :
-Số phức liên hợp số phứczabi z a bi - Mô đun số phức zabi z a2 b2
5, Chia hai sè phøc : Chia hai sè phøc z’ cho z khác ta làm nh sau : ' z'.z1 z
z
víi
z z z 12
, tøc lµ : aa bb ab a bi
b a b a
bi a i b a z z
' ' '
'
' ' '
2 2
2
(70)1.2 VÝ dô. TÝnh:
a/ + 2i – 3(-7+ 6i) ; b/
2
1 15 tan
2 3 ; / ; / ; /
2 tan
i i
i i c i d e
i i
1.3 Híng dÉn
Lu ý : Khi nh©n hai sè phøc víi ta nhân nh nhân đa thức với đa thức với ý
i2 =-1, i4=1
1.4 Bµi tËp tù luyÖn
TÝnh :
1/ a, 1 2ii3 2i, b/3 2i2, c/1 2i3 2i, d/1i i 3 2i, e/ i i , f/ i i
1 , g/1 3i
2
, h/ i
i 2 , k/ i i
2/ Cho z i
2
TÝnh ,1,z2, z 3,1 z z2,z2 z
z
z
2 Dạng 2.Tính môđun 2.1 Cách giải tổng quát
Mô đun số phức zabi z a2 b2
2.2 Ví dụ :
Môđun z i
2
lµ
2
1 2 z
2.3 Bài tập tự luyện
Tìm Môđun c¸c sè phøc sau
a, 1 2i, b/3 2i2, c/1 2i3 2i, d/3 2i, e/
i i , f/ i i
3 Dạng 3: Căn bậc hai số phức` 3.1 Cách giải tổng quát
a/ + 2i – 3(-7+ 6i)=26-16i
b/ i i i i
2 3 3
2
c/ 1 2i2 2.1 2i 2i2 2i
d/ i i i i
i i 49 24 13 15 2 15 13 3 15 2 15 2
2
Sè phøc wabi có bậc hai số phức zxyinếu
(71)3.2 Ví dụ : Tìm bậc hai cđa sè phøc : 3+4i
Chó ý : Khi tìm bậc hai số phức ta phải giải hệ phơng trình
b xy a y x 2 2
, x, y số
thực
3.3 Bài tập tự luyện
Tìm bậc hai số phức sau :
a/ 14 3i, b/ 46 5i, c/ 12 6i, d/ 3 4i, e/ i, f/ -4
4 Dạng 4: Phơng trình bËc hai Az2 +Bz + C =0, A, B, C số phức
4.1 Cách giải tổng quát
4.2 Ví dụ: Giải phơng trình
a/
z
z b/
i z i
z
a/ 1 0
z
z b/
i z i
z
4.3 Híng dÉn
a/ 12 4.1.1
, nên PT có hai nghiệm phân biệt lµ :
2 1 i
b/ 2 4.1. 2 2 2
i i i i , nªn PT ® cho cã hai nghƯm ph©n biƯt·
i i i z i i
z
2 2 , 2 2
Chó ý : Nếu PT bậc hai có hệ số số thực nghiệm hai số liên hợp nhau
4.4 Bài tập tự luyện
Giải phơng trình sau
1 a/ z2 z 10 , b/ z22z50, c/ 1 3 21 0
i z i
z , 2 1
i z iz
z
71
Ta cã B2 4AC
* Nếu phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt
A B z A B z , 2
với bậc hai cđa
* NÕu =0 th×
A B z z 2
Gọi bậc hai số phức 3+4i x+yi ta có
(72)2 a/ 1 1
z
z , b/ 1
z
z , c/ i
z z1 Tìm b, c cho phơng trình : 0
bz c
z cã nghiệm : 1+i
5 Dạng : Dạng lợng giác số phức
5.1 Ví dụ
a/ số có dạng lợng giác 2(cos0+isin0)
b/ Số 1+i có môđun cã mét acgumen b»ng
nªn dạng lợng giác là:
sin cos
2 i
z
c/ Sè 1 3i cã môđun có acgumen thoả m n ·
2 sin ,
cos nªn chän
3
dạng lợng giác của1 3i
sin cos
2 i
z
d/ Số : cosisin có dạng lợng giác cosisin
e/ Số : cos isin có dạng lợng giác cos isin
Chú ý : dạng lợng giác số phức yêu cầu r>0 5.2 Bài tập tự luyện :
Viết số phức sau dới dạng lợng giác a/ 3i, b/ 1 i, c/ 1 i1 3i, c/
i i
, e/ 1 i2i, f/
i
2
1
, g/ icossin
6 D¹ng : ứng dụng công thức Moa-vrơ Công thức Moa-vrơ
6.1 ứng dụng tìm bậc hai số phức dới dạng lợng giác zrcosisin
6.2 Cách giải tổng quát
r cosisin n rncosnisinn Dạng lợng giác số phức zabi zrcosisin
víi r a2 b2 r b r a
,sin
cos
TÝnh 2
b a
r , xác định acgumen thoả m nã :
r b r a
,sin cos
Số phức đ cho à có hai bậc hai dạng lợng giác :
sin
cos i
r vµ
sin
cos i
(73)6.3 VÝ dô
Tìm bậc hai số phức 1-i
6.4 Híng dÉn
Ta cã 1-i =
4 sin
cos
2 i nên bậc hai số phức 1-i lµ :
8 sin
cos
4
i vµ
8 sin
cos
4
i
6.5 Bµi tËp tù lun
1/ TÝnh a/ 3 i6
, b/
6
1
i
2/ Tìm bậc hai số phức sau : 3-4i, 4+3i, 1+i, 3, 4i,
1
i
Chủ đề ứng dụng ca tớch phõn
I Diện tích hình phẳng
1 Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f(x) đờng thẳng x =a, x = b, trục hồnh
1.1 C¸ch giảI tổng quát:
1.2 Ví dụ:
a/ Tớnh diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x3 - đờng thẳng x = 2, trục
hoµnh
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x3 - đờng thẳng
x = , trơc tung vµ trơc hoµnh
73
Diện tích hình phẳng đợc xác định cơng thức: S = f x dx
b
a
(1)
Để tính đợc tích phân (1) ta phảI thực bớc sau:
Bớc1: Giải PT: f(x) = tìm thêm nghiệm thuộc đoạn [a;b]( có) Bớc 2: Xét dấu f(x) đoạn[a;b] để khử dấu giá trị tuyệt đối
Bíc 3: TÝnh S = f x dx
b
a
(74)1.3 Híng dÉn
Chó ý:
* Nếu tốn cho có cận phải giải: PT f(x) = để tìm cận thứ hai xét dấu tích phân f x dx
b
a
* Nếu tốn cha cho cận phải giải: PT f(x) = để tìm cận xét dấu tích phân x dx
f
b
a
1.4 Bµi tËp tù gi¶i:
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= sinx+1 , trục hoành đ ờng thẳng x= 0,
6 7
x
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= 4-x2 , trục hoành đờng thẳng x=
0, x =
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= cos2x , trục hoành đờng thẳng
x= 0, x
4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= 1-x2 , trục hoành đờng thẳng x=
0, x =
5/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= 4+x2 , trục hoành đờng thẳng x=
0, x =
2/ Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f(x), y= g(x) hai đờng thẳng x =a, x = b
2.1 C¸ch giảI tổng quát
74
Din tớch hỡnh phng đợc xác định công thức: S = f x dx
b
a
(1)
a/ XÐt pt: x3-1=0 x1 VËy
4 11
1
2
1
1
1
x dx x dx x x
S
b/ DÔ thÊy
x trªn [0;1],
x [1;2] Do diện tích hình phẳng cần tìm
2 11 4
4
1
2
1
0
1
0
0
x dx x dx x dx x x x x
S
Diện tích hình phẳng đợc xác định công thức: S = f x g x dx
b
a
(1)
Để tính đợc tích phân (1) ta phảI thực bớc sau:
Bớc1: Tìm nghiệm phơng trình f(x)= g(x) đoạn [a;b] (nếu có) Bớc 2: Xét dấu f(x) – g(x) đoạn[a;b] để khử dấu giá trị tuyệt đối
Bíc 3: TÝnh f x g x dx
b
a
(75)2.2 VÝ dô
a/Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x3 - 4x, trục hoành, đờng thẳng x = -2
và đờng thẳng x =
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= 2-x2 đờng thẳng y = -x
75
Diện tích hình phẳng đợc xác định công thức: S = f x g x dx
b a XÐt PT: 2 0 x x x x x
Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x3 - 4x, trục hoành, đờng thẳng
x = -2 đờng thẳng x =
3
3 4xdx x 4xdx 4x x dx x 4x dx
x
S
4 32 40
4 2 4 2 4 2 x x x x x x (§VDT)
b/ Diện tích hình phẳng đợc xác định công thức: S = f x g x dx
b
a
XÐt ph¬ng tr×nh
2 1 2 x x x x
Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= 2-x2 đờng thẳng y = -x
(76)2.3 Híng dÉn
2.4 Bµi tËp tù lun:
1/ TÝnh diƯn tÝch hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hai hàm sè y x,y x
b/ Đồ thị hai hàm số y 2x2,y x4 2x2
miỊn x0
c/ §å thị hai hàm số y x2 4,y x2 2x
đờng thẳng thẳng x = -3 x = -2
d/ §å thị hai hàm số y x2 4,y x2 2x
Chú ý: *Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f(x), y= g(x) đờng thẳng x =a, x = b ta cần giải PT f = g để tìm nghiệm thuộc đoạn [a;b]
*Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f(x), y=g(x) ta cần giải PT: f=g để lấy cận cho tích phân
II ThĨ tÝch cđa vËt thĨ
1 Thể tích vật thể sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f(x), trục hoành hai đờng thẳng x =a, x = b quay quanh trục hồnh
1.1 C¸ch giảI tổng quát
1.2 Ví dụ:
Cho hình phẳng A giới hạn đờng y= x2, y=0, x= 0, x= Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành quay hình A quanh Ox
1.3 Híng dÉn
5 32
2
0
0
x dx x
V
1.4 Bµi tËp tù lun:
1/ Cho hình phẳng A giới hạn đờng y= xex/2, y=0, x= 0, x= Tính thể tích khối trũn
xoay tạo thành quay hình A quanh Ox
2/ Cho hình phẳng A giới hạn đờng y= cosx, y=0, x= 0, x/4 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình A quanh Ox
3/ Cho hình phẳng A giới hạn đờng y= x3, y=0, x= 0, x= Tính thể tích khối trịn xoay
tạo thành quay hình A quanh Ox
4/ Cho hình phẳng A giới hạn đờng y=x1/2ex/2, y=0, x= 0, x= Tính thể tích khối trũn
xoay tạo thành quay hình A quanh Ox
Thể tích vật thể đợc tính công thức:
b
a
dx x f
V
(77)Chủ đề Hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất
C¸c dạng toán thờng gặp
1 Dng 1: Kho sỏt biến thiên vẽ đồ thị hàm số , 0
' ' a b x a c bx ax y
1.2 Quy trình toán KSHS
Tuân theo bớc khảo sát hàm số bậc bậc
1.3 Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
1 2 x x x y
1.4 Híng dÉn
1.Tập xác định: R\{1} 2.Khảo sát biến thiờn
a, Giới hạn vô cực, giới hạn v« cùc, tiƯm cËn
lim lim 1 x x x y x x , lim lim 1 x x x y x x
Vậy đờng thẳng x = tiệm cận đứng đò thị hàm số
x vµ
x lim lim x x x y x x , lim lim x x x y x x
TiÖm cËn xiªn: Ta cã
1 2 x x x x x
1 lim lim
y x x x
x ,
9 lim lim
y x x x
x
Vậy dờng thẳng y = x +3 tiệm cận xiên đồ thị hàm số x x
b, ChiỊu biÕn thiªn * Ta cã
12
(78) 1 1 2,
9
0
2
x x x
x y
* Bảng biến thiên
x -2 y’ + - - + y -2
10 Hàm số đồng biến khoảng ( ; -2) (4; )
Hàm số nghịch biến khoảng (-2;1) (1;4) Hàm số đạt cực đại x = -2, GT cực đại y = -2 Hàm số đạt cực tiểu x = 4, GT cực tiểu y = 10 3. th
Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm (0;-6) Đồ thị hàm số không cắt trục hoµnh
Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;4) làm tõm i xng
1.5 Bài tập tự giải:
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a,
1
2
x x x
y ; b,
1 2
2
x x x
y ; c,
2
2
x x x
y ; d,
2 2
x x x
y ;
15
10
5
5
10
20 10 10 20
g x = x+3 f x = x2+2
(79)e, 2 x x
y ; f,
2 2 x x
y ; g,
2 1 x x
y ; h,
x x
y 4
C¸c dạng toán liên quan tơng tự nh hàm số bậc nhÊt trªn bËc nhÊt
Chú ý: hàm số bậc hai bậc ln có tiện cận đứng tim cn xiờn
2 Dạng 2: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất. 2.1 Phơng pháp chung
2.2 Ví dụ:
a/ Tìm GTLN, GTNN cđa hµm sè
2 ) ( x x x x
f đoạn [3;7]
b/ Tìm GTNN hàm sè
2 2 x x
y koảng (-3/2;7)
2.3 Hớng dÉn
a/ Ta cã: 2
2
2 ( 2)
4 ) ( ) ( ' x x x x x f ]7; 3[ 4 ]7; 3[ 0 0 )2 ( 4 0 )(' 2 x x x x x x f
Ta cã f(3) = 7, f(7) = 39/5, f(4) =
Vậy GTLN hàm số là: 39/5, GTNN cảu hàm số
b/ Ta cã: 2
2
2 ( 2)
3 ) ( 2 ) ( ' x x x x x f 79
Phơng pháp 1: lập bảng biến thiên toán tìm GTLN,GTNN khoảng(a;b) Phơng pháp 2: Nếu toán tìm GTLN, GTNN đoạn [a;b] làm theo bớc
Bớc 1: TÝnh f’(x)
Bíc 2: T×m nghiƯm x1, x PT f(x) = đoạn [a;b]
Bớc3: So s¸nh f(a), f(x1), f(x2), f(b)
(80)
7; 2 3 3
7; 2
3 1 0 )2 (
3 4 0 )(
' 2
2
x x x
x x x f
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta suy GTNN hàm số b»ng -1 x= -1
2.4 Bµi tËp tù giải:
1.Tìm GTLN, GTNN hàm số.
a,
1
2
x x x
y trªn ®o¹n [0;7] b,
1 2
2
x x x
y đoạn [3/2;6]
c,
2
2
x x x
y đoạn [-3;1] d,
2
2
x x x
y đoạn [-5;-5/2]
2.Tìm GTNN hàm số
a,
2 2
x x
y khoảng (2;6) b,
2 1
x x
y khoảng (2;6)
c,
x x
y khoảng (0;6)
x -3/2 -1
f’(x) - +
f(x)
(81)Chủ đề Hệ phơng trình mũ
vµ hệ phơng trình logarit
1 Phơng pháp chung
1.1 Ví dụ: Giải hệ phơng trình
5
1
10 51 5
xy
y x x
81
Bíc 1: t×m ĐKXĐ cho hệ phơng trình
Bớc 2: Đa hệ phơng trình dạng không mũ lôgarit Bớc 3: Tiến hành giải
(82)1.2 Hớng dẫn
1.3 Bài tập tự giải
Giải hệ phơng trình sau
1 0 x 8 1 10 7 y x
xy y
0 x 2 1 16 2 y x
xx y
1 1 2 2 x x y y x 2 log 1152 2. 3
5 x y
y x
23 3
log 2 log 1 y y x x 12 3 3 1 log y x x y 4) 2 log 1152 2. 3
5 x y
y x
2
l g 1 l g8
l g l g l g3
o x y o
o x y o x y o
2 log 972 2. 3
3 x y
y x 2 1 log log 2 2 2 2 v u v u v u 10 0 4 5 0 log log 5, 0 2 2 2 2 y x y x 9) 2 2 2 1 y x y x 11 689 2 5 200 2. 5 2 23 y x y x 12 4 2 5 2 2 y x y x
(1) tơng đơng với TH1Và TH2
TH1:
5 y xy TH2:
5 51 10 x x xy