Lời nói đầu Để có đợc lần xuất thø ba nμy víi néi dung vμ chÊt l−ỵng tèt hai lần xuất trớc (lần đầu l vo năm 2005), tác giả xin đợc gửi lời cám ơn nhận xét, góp ý bạn đọc, bạn sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh đà gửi tới cho tác giả Quyển sách ny đợc viết từ bi giảng nhiều năm tác giả Trờng Đại học Bách khoa H Nội Lý thuyết Điều khiển, gồm bốn phần chính: Điều khiển tối u, Nhận dạng đối tợng điều khiển, Điều khiển bền vững v Điều khiển thích nghi Mục đích tác giả viết sách ny đơn giản l mong muốn cung cấp cho bạn sinh viên theo học ngnh Điều khiển tự động, Đo lờng v Tin học công nghiệp, Tự động hóa, thêm ti liệu bổ trợ cho việc hiểu kỹ, hiểu sâu bi giảng nh hỗ trợ việc tự học sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh thuộc ngnh liên quan Quyển sách đà đợc viết với cảm thông, chịu đựng to lớn gia đình tác giả Nó đợc đợc hon thnh nhờ cổ vũ, khuyến khích v tạo điều kiện thuận lợi đồng nghiệp Bộ môn Điều khiển Tự động, Trờng Đại học Bách khoa, nơi tác giả công tác Tác giả xin đợc gửi tới gia đình v bạn lời cám ơn chân thnh Mặc dù đà nỗ lực, song thiếu sót Do tác giả mong nhận đợc góp ý sửa đổi, bổ sung thêm bạn đọc để hon thiện Th góp ý xin gửi về: Trờng Đại học Bách khoa H Nội Khoa Điện, Bộ môn Điều khiển Tự động phuocnd-ac@mail.hut.edu.vn H Nội, ngy 28 tháng năm 2007 Mơc lơc §iỊu khiĨn tèi −u tÜnh 1.1 Nhập môn 11 11 1.1.1 Thế toán điều khiển tối u tĩnh? 11 1.1.2 Phân loại to¸n tèi −u 15 Bài toán tối u tuyÕn tÝnh/phi tuyÕn 15 Bài toán cận tối u (suboptimal) 16 Bài toán tối u có ràng buộc/không ràng buéc 18 Nghiệm tối u địa phơng/toàn cục 18 1.1.3 C«ng toán học: Tập lồi hàm lồi 19 1.2 Những toán tối u điển hình 23 1.2.1 Bài toán tối −u låi 23 1.2.2 Bài toán tối u toàn phơng 25 1.2.3 Bài toán tối −u hyperbol 27 1.3 Tìm nghiệm phơng pháp lý thuyết 29 1.3.1 Mối quan hệ toán tối u toán điểm yên ngựa 29 1.3.2 Phơng pháp KuhnTucker 31 1.3.3 Phơng pháp Lagrange 34 1.4 Tìm nghiệm phơng pháp số 36 1.4.1 Bài toán tối u tuyến tính phơng pháp đơn hình (simplex) 36 1.4.2 Phơng pháp tuyến tính hóa đoạn 40 1.4.3 Phơng pháp NewtonRaphson 41 1.5 Tìm nghiệm phơng pháp hớng đến cực trị 44 1.5.1 Nguyên lý chung 44 1.5.2 Xác định bớc tìm tối u 46 Xác định phơng pháp giải tích 46 Xác định phơng pháp số 47 Thuật toán nhát cắt vàng 47 1.5.3 Phơng pháp GaussSeidel 49 1.5.4 Phơng pháp gradient 51 1.5.5 Kü thuật hàm phạt hàm chặn 53 Kü thuËt hàm phạt 53 Kỹ thuật hàm chặn 56 1.6 Mét sè vÝ dô øng dụng 57 1.6.1 Xác định tham số tối u cho bé ®iỊu khiĨn PID 57 1.6.2 Nhận dạng tham số mô hình đối tợng tiền định 60 Nhận dạng tham số mô hình không liên tôc 60 Nhận dạng tham số mô hình liên tục 62 1.6.3 ứng dụng vào điều khiển bền vững không gian trạng thái 63 Phát biểu toán 63 Phơng pháp Roppenecker 65 Phơng pháp Konigorski 68 1.6.4 øng dông vào điều khiển thích nghi 73 Mơc ®Ých cđa ®iỊu khiÓn thÝch nghi 73 Vai trò điều khiển tối −u tÜnh ®iỊu khiĨn thÝch nghi 77 Câu hỏi ôn tập tập 78 81 Điều khiển tối u động 2.1 Nhập môn 81 2.1.1 Thế toán điều khiển tèi −u ®éng? 81 Bài toán tối u động liên tục 81 Bài toán điều khiển tối u không liªn tơc 83 2.1.2 Phân loại toán tối u động 84 2.2 Phơng pháp biến phân 86 2.2.1 Hàm Hamilton, phơng trình EulerLagrange điều kiện cần 86 2.2.2 Bàn thêm hàm Hamilton 92 2.2.3 Phơng trình vi phân Riccati điều khiển tối u không dừng cho đối tợng tuyến tính (trờng hợp thời gian hữu hạn) 94 Phát biểu toán tìm nghiệm nhờ phơng pháp biến phân 94 Tìm nghiệm tối u từ phơng trình vi phân Riccati 96 Thiết kế điều khiển tối u, phản hồi trạng thái, không dừng 99 2.2.4 Phơng trình đại số Riccati điều khiển tối u tĩnh, phản hồi trạng thái cho đối tợng tuyến tính (trờng hợp thời gian vô hạn) Bộ điều khiển LQR 100 Phát biểu toán 100 Lời giải toán Bộ điều khiển tối u LQR phản hồi dơng 101 Bé ®iỊu khiĨn tèi −u LQR phản hồi âm 103 2.3 Nguyên lý cực đại 104 2.3.1 Điều khiển đối tợng nửa tuyến tính, đà biết trớc điểm trạng thái đầu khoảng thời gian xảy trình tối u 105 2.3.2 Điều khiển tối u tác ®éng nhanh ®èi t−ỵng tun tÝnh 108 Nguyên lý cực đại 108 Xây dựng quỹ đạo trạng thái tối u 112 Định lý Feldbaum số lần chuyển đổi giá trị vµ ý nghÜa øng dơng 118 2.3.3 Nguyên lý cực đại dạng tổng quát: Điều kiện cần, điều kiện hoành 123 Điều kiện cÇn 123 Điều kiện hoành (điều kiÖn trùc giao) 126 Bài toán tối u có khoảng thời gian cố định cho trớc 131 Bài toán tối u có đối tợng không autonom 132 2.3.4 Về ý nghĩa vector biến đồng trạng th¸i 133 2.4 Phơng pháp quy hoạch động (Bellman) 137 2.4.1 Nội dung phơng pháp 139 Nguyªn lý tèi −u cña Bellman 139 Hai vßng tÝnh cđa phơng pháp: Vòng ngợc (kỹ thuật nhúng) vòng xuôi 140 2.4.2 Mở rộng cho trờng hợp hàm mục tiêu không dạng tổng 144 2.4.3 Mở rộng cho trờng hợp điểm cuối không cố định 147 2.4.4 Mở rộng cho hệ liên tục phơng trình HamiltonJacobiBellman 148 Câu hỏi ôn tập tập Điều khiển tối u ngẫu nhiên 3.1 Một số khái niệm nhập môn 155 159 159 3.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 159 Định nghĩa mô tả chung 159 Quá trình ngÉu nhiªn dõng 161 Quá trình ngẫu nhiên egodic 161 Hàm mật độ phổ ảnh Laplace trình ngẫu nhiên egodic 162 3.1.2 Hệ ngẫu nhiên mô hình toán học miÒn phøc 163 PhÐp biÕn ®ỉi Fourier 163 Xác định mô hình hàm truyền đạt 164 3.1.3 Bài toán điều khiĨn tèi −u ngÉu nhiªn 165 3.2 §iỊu khiĨn tèi u ngẫu nhiên tĩnh 167 3.2.1 Nhận dạng trực tuyến tham số mô hình không liên tục 167 3.2.2 NhËn d¹ng trùc tuyÕn (on-line) mô hình tuyến tính liên tục 169 Nhận dạng trực tuyến mô hình không tham sè 169 Nhận dạng trực tuyến tham số mô hình đối tợng thành phần vi phân 172 Nhận dạng trực tuyến tham số mô hình đối tợng thành phần tích phân 173 3.2.3 Nhận dạng chủ động (off-line) mô hình tuyến tính không liên tục 174 Nhận dạng chủ động tham số mô hình AR (Autoregressive) 174 Sư dơng thuật toán Levinson để tìm nghiệm phơng trình Yule-Walker 176 Nhận dạng off-line tham số mô hình MA vµ ARMA 183 3.3 Điều khiển tối u ngẫu nhiên động 186 3.3.1 Bộ läc Wiener 186 Mơc ®Ých cđa bé läc 186 C¸c b−íc thiÕt kÕ 188 3.3.2 Bộ quan sát trạng thái Kalman (läc Kalman) 191 Mục đích quan sát 191 Thiết kế quan sát trạng thái cho đối tợng tuyÕn tÝnh 192 3.3.3 Bé ®iỊu khiĨn LQG (Linear Quadratic Gaussian) 195 Néi dung bé ®iỊu khiĨn LQG 195 Nguyên lý tách (separation principle) 199 C©u hỏi ôn tập tập Điều khiển tối u RH (Điều khiển bền vững) 4.1 Không gian chuẩn Hardy 200 203 203 4.1.1 Không gian chuẩn L2 H2 (RH2) 203 Kh«ng gian L2 203 Không gian H2 RH2 204 Më réng cho ma trËn hµm phøc (hƯ MIMO) 206 C¸ch tÝnh chuÈn bËc hai 206 4.1.2 Kh«ng gian chuÈn H∞ vµ RH∞ 208 Khái niệm không gian H vµ RH∞ 208 TÝnh chuÈn v« cïng 209 4.2 Tham sè hãa bé ®iỊu khiĨn 212 4.2.1 HƯ có khâu SISO 212 Trờng hợp đối tợng ổn định 212 Trờng hợp đối tợng không ổn định 214 Thuật toán tìm nghiệm phơng trình Bezout 216 Tæng kÕt: Thuật toán xác định tập điều khiển ổn định 222 4.2.2 Hệ có kh©u MIMO 225 Kh¸i niƯm hai ma trËn nguyªn tè cïng 225 Phân tích ma trận truyền đạt thành cặp ma trận nguyên tố 227 Xác định tập điều khiển làm ổn ®Þnh hƯ thèng 230 Thuật toán tìm nghiệm hệ phơng trình Bezout 232 Tæng kÕt: ThuËt toán tham số hóa điều khiển ổn định 236 4.2.3 øng dơng ®iỊu khiển ổn định nội 238 Khái niệm ổn định nội 238 Tính ổn định nội đợc (internal stabilizable) 240 Bộ điều khiển ổn định nội 243 4.3 Điều khiển tối u RH 244 4.3.1 Những toán ®iỊu khiĨn RH∞ ®iĨn h×nh 244 Bài toán cân mô hình 244 Bài toán cực tiểu độ nhạy với sai lệch mô hình 245 Bài toán tối u RH mẫu (standard) 246 Bµi toán ổn định bền vững với sai lệch mô hình 249 4.3.2 Trình tự thực toán tối u RH 251 B−íc 1: Chuyển thành toán cân mô hình 251 B−íc 2: T×m nghiƯm toán cân mô hình 252 4.3.3 Khả tồn nghiệm toán cân mô hình 252 4.3.4 Phơng pháp 1: Tìm nghiệm toán cân mô hình nhờ toán tử Hankel ®Þnh lý Nehari 255 Ph©n tÝch hµm vµ hµm ngoµi 255 To¸n tư Hankel 257 Định lý Nehari nghiệm toán (4.73) 259 Thuật toán xác định nghiệm toán cân mô hình 260 4.3.5 Phơng pháp 2: Tìm nghiệm toán cân mô h×nh nhê phÐp néi suy Nevannlinna−Pick 262 Néi suy Nevannlinna−Pick 263 Tìm giá trị chặn d−íi lín nhÊt 266 Tổng kết: Thuật toán tìm nghiệm toán cân mô hình 268 4.3.6 NghiÖm cËn tèi −u (suboptimal) 270 Câu hỏi ôn tập tập Điều khiển thích nghi bền vững 5.1 Lý thuyết Lyapunov 273 275 275 5.1.1 Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov định lý LaSalle 275 T− t−ëng chung 278 Tiªu chuÈn Lyapunov vµ hµm Lyapunov 279 Định lý LaSalle 282 áp dụng cho hệ tuyến tính phơng trình Lyapunov 286 5.1.2 ThiÕt kế điều khiển GAS nhờ hàm điều khiển Lyapunov (CLF) 290 Khái niệm hàm điều khiÓn Lyapunov 290 Thiết kế hàm điều khiển Lyapunov cho hệ affine 292 ThiÕt kế chiếu (backstepping) hàm CLF cho hệ truyền ngợc 295 ThiÕt kÕ cuèn chiÕu (backstepping) hµm CLF cho hƯ tam gi¸c 297 Thiết kế hàm CLF cho hệ truyền ngợc chặt nhờ phép đổi biến vi phôi 301 Thiết kế hàm CLF cho hệ affinetruyền ngợc nhờ phép đổi biến vi phôi 306 Điều khiển tuyến tính hóa xác gán điểm cực cho hệ tam giác 309 5.2 Điều khiển thích nghi tự chỉnh (STR) 312 5.2.1 Tổng quát cấu nhận dạng tham số mô hình, phơng pháp bình phơng nhỏ mô hình hồi quy 313 Phơng pháp bình phơng nhỏ 313 NhËn d¹ng tham sè mô hình không liên tục 315 Nhận dạng tham số mô hình liªn tơc 316 5.2.2 Cơ cấu xác định tham số điều khiển từ mô hình đối tợng 316 Xác định tham số điều khiển PI theo phơng pháp tối u độ lớn 317 Xác định tham số điều khiển PID theo phơng pháp tối u đối xứng 317 Xác định tham số điều khiển tối u theo nhiÔu 318 ThiÕt kÕ điều khiển phản hồi, tĩnh, theo nguyên tắc cho tr−íc ®iĨm cùc 319 ThiÕt kÕ bé ®iỊu khiển động, phản hồi tín hiệu có điểm cực cho tr−íc 321 ThiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn với mô hình mẫu (model following) 323 Xác định tham số điều khiển không liªn tơc 330 5.2.3 Sử dụng mô hình mẫu nh thiết bị theo dâi: §iỊu khiĨn thÝch nghi tù chØnh trùc tiÕp 332 Xác định trực tiếp tham số điều khiển không liên tục 332 Xác định trực tiếp tham số ®iỊu khiĨn liªn tơc 335 5.3 Điều khiển thích nghi có mô hình theo dâi (MRAC) 336 5.3.1 HiÖu chØnh tham sè bé ®iỊu khiĨn theo lt MIT 338 Nội dung phơng pháp 338 Đánh giá chất lợng cấu chỉnh định 343 5.3.2 HiƯu chØnh tham sè bé ®iỊu khiĨn nhê cùc tiĨu hóa hàm mục tiêu hợp thức (xác định dơng) 345 5.4 Điều khiển ổn định ISS điều khiển bất định, thích nghi kháng nhiễu 356 5.4.1 Đặt vấn đề 356 5.4.2 Điều khiển thích nghi đối tợng phi tuyến có tham số bất định 358 Phơng pháp giả định rõ (certainty equivalence) 358 ThiÕt kÕ cuèn chiÕu (backstepping) điều khiển thích nghi giả định rõ cho đối t−ỵng trun ng−ỵc 364 ThiÕt kÕ cuèn chiÕu (backstepping) điều khiển bám thích nghi cho đối tợng tam giác có tham số bất định 369 5.4.3 §iỊu khiĨn thích nghi đối tợng phi tuyến có tham số bất ®Þnh phơ thc thêi gian 372 Phơng pháp nén miền hấp dẫn (damping) 373 Kh¸i niƯm ổn định ISS, hàm ISSLyapunov hàm ISSCLF 376 Phơng pháp điều khiển ISS thích nghi kh¸ng nhiƠu 383 ThiÕt kÕ cuèn chiÕu (backstepping) hµm ISS−CLF 389 5.5 Sử dụng phơng pháp điều khiển trợt 393 5.5.1 Xuất phát điểm phơng pháp điều khiĨn tr−ỵt 393 5.5.2 Thiết kế điều khiển trợt ổn định bền v÷ng 396 5.5.3 Thiết kế điều khiển trợt bám bền vững 401 5.6 Điều khiển thích nghi bù bất định 402 5.6.1 Điều khiển thích nghi bù bất định đối tợng tuyến tính 402 Bï bÊt định phản hồi tín hiệu 402 Bù bất định phản hồi trạng thái 406 5.6.2 §iỊu khiĨn thÝch nghi bù bất định đối tợng phi tuyến 407 §iỊu khiĨn tun tÝnh hãa chÝnh xác hệ có đầu vào 407 Điều khiển tuyến tính hóa xác hệ có nhiều đầu vào 415 Điều khiển thích nghi bù bất định đối tợng phi tuyÕn affine 430 C©u hái ôn tập tập Một số khái niệm điều khiển vấn đề bổ sung 6.1 Những khái niệm 435 439 439 6.1.1 Cấu trúc đại số 439 Nhãm 439 Vµnh 440 Tr−êng 441 Kh«ng gian vector 441 Đa tạp tuyÕn tÝnh 443 Đại số 444 Ideale 445 6.1.2 Đại số ma trận mô hình hệ tuyÕn tÝnh 445 C¸c phÐp tÝnh víi ma trËn 446 H¹ng cđa ma trËn 447 Định thøc cña ma trËn 448 Ma trËn nghÞch ®¶o 449 VÕt cña ma trËn 450 Ma trận ánh xạ tuyến tÝnh 450 Phép biến đổi tơng đơng 452 Gi¸ trị riêng vector riêng 453 Mô hình trạng th¸i hƯ tun tÝnh 455 6.1.3 Không gian hàm số mô hình hệ phi tuyến 458 Kh«ng gian metric 458 1) Cho mét vector hμm f ( x ) vμ hai hμm v« h−íng v ( x ) , w ( x ) Khi ®ã sÏ cã: Lwf v = Lf v ⋅ w ⎛ ∂v ∂v wf = ⎜⎜ ∂x ⎝ ∂x ( ) v× Lwf v = ⎞ f ⎟⎟ w ⎠ 2) Cho hai vector hμm f ( x ) , g( x ) vμ mét hμm v« h−íng v ( x ) VËy th×: ) ( Lg Lf v( x ) = Lg Lf v( x ) = ( ∂ L f v( x ) ∂x ) ⋅ g( x) 3) Cho vector hμm f ( x ) , mét hμm v« h−íng v ( x ) vμ mét sè nguyên k Vậy Lkf v( x ) = ( ∂ Lkf−1v( x ) ∂x ) ⋅ f ( x) Ví dụ 6.12: Minh họa đạo hàm Lie Xét trờng hỵp hƯ lμ tun tÝnh tham sè h»ng dx = Ax+Bu dt ®ã f ( x) = A x Ax Φ t ( x) = e vμ At x Theo công thức định nghĩa (6.28) với v ( x ) = V x vμ V lμ ma trËn h»ng, sÏ cã LA x v ( x ) = ∂v( x ) Ax = VAx ∂x Ta cịng ®i ®Õn đợc kết từ chất L A x v ( x ) ®o tèc ®é thay ®ỉi Ax v ( x ) dọc theo quỹ đạo trạng thái t ( x ) nh sau: L A x v ( x ) = lim T →0 ) ( v Φ Tf ( x ) − v( x ) T = lim VΦ Tf ( x ) − V x T →0 T Ve AT x − V x T →0 T = lim Suy ⎛ e AT − I ⎞⎟ x = VAx L A x v ( x ) = V ⎜ lim ⎟ ⎜ T →0 T ⎠ ⎝ PhÐp nh©n Lie, hay ®¹o hμm cđa vector hμm Cho hai vector hμm f ( x ) vμ g( x ) PhÐp nh©n Lie chúng đợc hiểu l: 486 S adf g = [ f , g ] = ∂g ∂x f− ∂f ∂x (6.29) g Song song cïng víi tªn gäi phép nhân Lie, ngời ta gọi l ngoặc vu«ng Lie (Lie bracket) cã ký hiƯu [ f , g ] Nh kết phép nhân Lie cña hai vector hμm f ( x ) vμ g( x ) lại l vector hm Nó đo tốc độ thay đổi giá trị vector g( x ) tính dọc theo quỹ đạo trạng thái tự x ( t ) = Φ tf ( x ) lμ nghiƯm cđa hƯ (6.25) PhÐp tÝnh nh©n Lie cã nh÷ng tÝnh chÊt sau: 1) Cho hai vector hμm f ( x ) , g( x ) vμ mét số nguyên k Vậy thì: [ f , g ] = −[ g , f ] , ( tøc lμ adf g = adg f (phản đối xứng) ) adfk g = adf adfk−1 g = [ f , adfk −1 g ] 2) Cho hai vector hμm f ( x ) , g( x ) vμ hμm v« h−íng v ( x ) VËy th×: L[ f , g ]v = Ladf g v = Lf Lg v − Lg Lf v 3) Cho hai vector hμm f ( x ) , g( x ) , hai hμm v« h−íng v ( x ) , w ( x ) VËy th×: [ vf , wg ] = v w [ f , g ] + ( Lf w ) vg − ( Lg v ) wf 4) Víi c¸c vector hμm f ( x ) , g( x ) , h ( x ) vμ hai sè thùc a , b lu«n cã: [ af + bg , h ] = a [ f , h ] + b [ g , h ] [ h , af + bg ] = a [ h , f ] + b [ h , g ] 5) Ba vector hμm f ( x ) , g( x ) , h ( x ) lu«n tháa m·n tÝnh ®ång d¹ng Jacobi: [ f ,[ g ,h]](x) + [ g ,[h, f ]](x) + [h,[ f , g ]](x) = 6) NÕu hai vector f ( x ) , g( x ) tiếp tuyến với đa tạp th× [ f , g ]( x ) = adf g( x ) cịng lμ mét vector tiÕp tun víi đa tạp Hm mở rộng (distribution) Dới khái niệm hm mở rộng hình học vi phân ngời ta hiểu ánh xạ gán phần tử x cđa kh«ng gian vector n chiỊu R n thμnh mét kh«ng gian vector Δ ( x ) víi d chiÒu ( d ≤ n ) R n , tøc lμ Δ : x Δ(x) 487 V× lμ mét không gian vector có số chiều d nên ( x ) phải tồn d vector f ( x ) , f ( x ) , … , f ( x ) ®éc lËp tuyÕn tÝnh cho Δ ( x ) lμ tËp hỵp cđa tÊt d vector f ( x ) dạng tổ hợp tuyến tính chúng, hay: n f ( x ) = ∑ ( x ) f ( x ) ∈ Δ ( x ) i i =1 víi mäi hμm v« h−íng a i ( x ) Nói cách khác, x cố định Δ ( x ) = span( f ( x ) , f ( x ) , … , f ( x ) ) d T x =Δ ( x ) x Hình 6.13: Hàm mở rộng mặt tiếp tuyến với đa tạp trạng thái M M Hm mở rộng thờng đợc dùng để biểu diễn không gian tiếp tuyến T x với đa tạp M ®iĨm x (h×nh 6.13) Hμm më réng Δ ( x ) đợc gọi l trơn f ( x ) , f ( x ) , … , f ( x ) l vector hm khả vi d Hμm më réng Δ ( x ) cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1) Hμm më réng Δ ( x ) đợc gọi l không suy biến x nÕu ë ®ã cã dim( Δ ( x ) ) > 2) Cho hai hμm më réng tr¬n Δ ( x ) vμ Δ ( x ) Tổng ( x ) chúng, định nghÜa bëi: Δ(x) = { f ( x ) = g( x ) + h ( x ) ⏐ g( x ) ∈ Δ ( x ) vμ h ( x ) ∈ Δ ( x ) } cịng lμ mét hμm më réng tr¬n 3) Giao Δ = Δ ∩ Δ cña hai hμm më réng tr¬n Δ ( x ) vμ Δ ( x ) l hm mở rộng trơn (điều ngợc lại không đúng) 4) Khái niệm hàm mở rộng xo¾n: Hμm më réng Δ ( x ) cã sè chiỊu d víi bé c¬ së f ( x ) , f ( x ) , … , f ( x ) lân cận x, đợc gọi l xoắn (involutive) tích Lie hai d phần tư bÊt kú thc Δ ( x ) cịng thc Δ ( x ) 488 Ngoμi ra, cÇn vμ ®đ ®Ĩ: Δ ( x ) = span( f ( x ) , f ( x ) , … , f ( x ) ) d lμ hμm më réng xo¾n lμ [ f ( x) , f ( x) ] ∈ Δ ( x ) i 1≤i,j≤d víi mäi j n 5) Hµm më réng trùc giao: Cho Δ ( x ) ⊆ R cã sè chiÒu b»ng d Δ ( x ) = span( f ( x ) , f ( x ) , … , f ( x ) ) d ⊥ Hμm më réng trùc giao cña Δ ( x ) , ký hiệu ( x ) , đợc hiểu l hm mở rộng gồm phần tử g( x ) tháa m·n: ⊥ Δ (x)= { g( x ) ∈ R n ⏐ gT f = vμ f ( x ) ∈ Δ ( x ) } ⊥ VËy th× dimΔ ( x ) = n − d vμ nÕu ký hiÖu: ⊥ Δ ( x ) = span( g d +1 ( x) , g d +2 ( x) , … , g ( x) ) n có thêm: gT d+ k ( x) f ( x) = i víi mäi ≤ k ≤ n − d vμ ≤ i ≤ d 6) Tiªu chuÈn Frobenius: XÐt hμm më réng Δ ( x ) ⊆ R n cã sè chiÒu b»ng d Nếu tồn n d hm vô h−íng m d + ( x ) , m d + ( x ) , … , m n ( x ) cho: T T T ⎛ ∂md +1 ( x ) ⎞ ⎛ ∂md + ( x ) ⎞ ⎛ ∂mn ( x ) ⎞ ⊥ Δ ( x ) = span( ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ , … , ⎜⎜ ∂ x ⎟⎟ ) ∂ ∂ x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( x ) gọi l tích phân đợc hon ton Theo Frobenius, cần v đủ để ( x ) tích phân đợc hon ton l phải xoắn 7) Hàm mở rộng bất biến: Cho hm mở réng Δ ( x ) ⊆ R n cã sè chiÒu b»ng d vμ mét vector hμm f ( x ) Khi ( x ) đợc gọi lμ bÊt biÕn víi f ( x ) nÕu tÝch Lie gi÷a f ( x ) víi mét vector g( x ) tuú ý thuéc Δ ( x ) l¹i thuéc Δ ( x ) Nãi c¸ch kh¸c, tõ g( x ) ∈ Δ ( x ) suy ®−ỵc [ f ( x ) , g( x ) ] ∈ Δ ( x ) Nh− vËy, nÕu cã: Δ ( x ) = span( f ( x ) , f ( x ) , … , f ( x ) ) d 489 cần vμ ®đ ®Ĩ Δ ( x ) bÊt biÕn víi f ( x ) lμ: [ f ( x) , f ( x) ] ∈ Δ ( x ) i víi mäi 1≤i≤d 8) NÕu hμm më réng Δ ( x ) bÊt biÕn víi c¶ hai vector hμm f ( x ) vμ g( x ) th× nã cịng bÊt biÕn víi vector hμm [ f ( x ) , g( x ) ] = adf g( x ) 6.4.3 Phép đổi biến vi phôi đa hệ affine dạng chuẩn Nguyên lý chung Trớc tiên ta xét mét hμm më réng xo¾n Δ ( x ) ⊆ R n ⊥ cã sè chiÒu b»ng d vμ Δ ( x ) lμ hμm më réng trùc giao cña nã Do Δ ( x ) lμ hμm më réng xoắn nên theo Frobenius, tồn n d hμm v« h−íng m d + ( x ) , m d + ( x ) , … , m n ( x ) tháa m·n: T T T ⎛ ∂md +1 ( x ) ⎞ ⎛ ∂md + ( x ) ⎞ ⎛ ∂mn ( x ) ⎞ ⊥ Δ ( x ) = span( ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ , … , ⎜⎜ ∂ x ⎟⎟ ) ∂ ∂ x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (6.30) Sư dơng phÐp ®ỉi biÕn: ⎛ m1 ( x ) ⎞ ⎜ ⎟ z = m(x) = ⎜ ⎟ ⎜ m ( x)⎟ ⎝ n ⎠ víi d hm đợc cho thêm vo l: m1(x)=x1 , m2(x)=x2 , … , md(x)= xd nãi c¸ch kh¸c z = m(x) = (x1, … ,xd,md+1(x), … ,mn(x) )T (6.31) th× mét vector hμm v( x ) ∈ Δ ( x ) tùy ý, đợc chuyển sang biến theo c«ng thøc: ⎛ ∂m ⎞ ~ v ( z ) = ⎜⎜ v( x ) ⎟⎟ ∂ x ⎝ ⎠ x = m−1 ( z ) sÏ ph¶i cã n d phần tử cuối đồng 0, hay: ~ v( z) = ( ~v1 ( z) , … ,~ vd ( z ) , , … , )T Ta dễ dng thấy đợc điều ngợc lại Vậy: 490 (6.32) Định lý 6.7: Cho mét hμm më réng Δ ( x ) ⊆ R n ⊥ cã sè chiỊu b»ng d vμ xo¾n Gọi ( x ) xác định theo (6.30) l hμm më réng trùc giao cña Δ ( x ) còng nh− v( x ) lμ mét vector n v ( z ) cña nã qua hμm tïy ý R Khi ®ã, ®Ĩ v( x ) ∈ Δ ( x ) cần v đủ l ảnh ~ phép đổi biến (6.31) phải có n d phần tư ci ®ång nhÊt b»ng 0, tøc lμ ~ v ( z ) ph¶i cã cÊu tróc nh− (6.32) Bây ta xét hệ affine không bị kích thích (6.25), víi: f ( x ) = ( f1 ( x ) , , fn ( x ) ) T vμ gi¶ sư lμ vector hμm f ( x ) cđa nã bÊt biÕn víi hμm më réng Δ ( x ) ⊆ R n cã sè chiÒu ~ b»ng d vμ xo¾n Ký hiƯu f ( z ) lμ ¶nh cđa nã qua phÐp ®ỉi biÕn (6.31), tøc lμ: ⎛~ ⎞ ⎜ f1 ( z ) ⎟ ⎛ ∂m ⎞ ~ dz ⎟ = ⎜⎜ f ( x ) ⎟⎟ = f ( z) = ⎜ ⎜~ ⎟ dt ⎝ ∂x ⎠ x = m−1 ( z ) ⎜ fn ( z) ⎟ ⎝ ⎠ Gäi z k , k = , , … , n lμ bé vector c¬ së R n theo biÕn z , tháa m·n: zk = (0, … ,0,1,0, … ,0) T phần tử thứ k Nh vậy, theo định lý 6.12, tất vector z k có k d l ảnh qua phép đổi biến (6.31) mét vector nμo ®ã thuéc Δ ( x ) XÐt tÝch Lie: ~ ∂ f ( z) ∂zk ~ ~ f ( z) − zk [ f ( z) , z k ] = ∂z ∂z ~ ∂ f ( z) zk =− ∂z ~ ⎛ ∂~ f ( z ) ∂f2 ( z ) , , = −⎜ ⎜ ∂z k ∂z k ⎝ T ~ ∂f n ( z ) ⎞⎟ , ∂z k ⎟⎠ ~ ta thÊy cã gi¶ thiÕt f ( x ) bÊt biÕn víi Δ ( x ) nªn [ f ( z ), z k ] z = m( x ) víi k ≤ d sÏ lμ phÇn ~ tư cña Δ ( x ) Bëi vËy k ≤ d th× [ f ( z ) , z k ] phải có n d phần tử cuối ®ång nhÊt b»ng 0, hay ~ ∂f i ( z ) =0 víi mäi ≤ k ≤ d vμ i > d ∂z k 491 § ã cịng l lời chứng minh định lý sau: Định lý 6.8: Xét hệ affine không bị kích thích (6.25) bậc n Nếu tồn hm mở rộng xoắn Δ ( x ) víi sè chiỊu b»ng d cho vector hμm f ( x ) cđa hƯ (6.25) bất biến với ( x ) phép đổi biÕn (6.31), ®ã n − d hμm m d + ( x ) , … , m n ( x ) đợc lấy từ hm mở rộng trực giao ( x ) xác định theo (6.30), sÏ chun hƯ (6.25) vỊ d¹ng chn: ⎞ ⎛~ ⎜ f1 ( z1 , … , z d , z d +1 , … , zn ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜~ ~ dz f ( z , … , zd , z d +1 , … , zn ) ⎟ = f ( z ) = ⎜ d 1~ ⎟ ⎜ dt f d +1 ( z d +1 , … ,z n ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ~ ⎟ ⎜ f ( z , … ,z ) n d +1 n ⎠ ⎝ VÝ dơ 6.13: PhÐp ®ỉi biến cho hệ không bị kích thích Cho hệ không bị kích thích với mô hình x2 ⎟ x3 ⎜ ⎟ dx = f ( x) = ⎜ ⎟ − x x x x x dt ⎟ ⎜ ⎜ sin x + x + x x ⎟ 3⎠ ⎝ XÐt hμm më réng víi sè chiỊu d = Δ ( x ) = span( v ( x ) , v ( x ) ) ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ víi v ( x ) = ⎜ ⎟ , v ( x ) = ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜x ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎠ Do cã [v 1(x), v 2(x)]= 0(x) nên ( x ) l xoắn Hơn [ f ( x) , v ( x ) ] = ∈ Δ ( x ) vμ [ f ( x) , v ( x ) ] = − v ( x ) ∈ Δ ( x ) nªn Δ ( x ) lμ bÊt biÕn víi f ( x ) 492 Theo Frobenius, tõ tÝnh xo¾n cđa Δ ( x ) , phải tồn hai hm vô hớng m ( x ) , m ( x ) ®Ĩ cã T T ⎛ ∂m3 ( x ) ⎞ ⎛ ∂m4 ( x ) ⎞ ⊥ Δ ( x ) = span( ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ ) ⎝ ∂x x tức l hai hm phải tháa m·n ⎛ ∂m3 ( x ) ⎞ ⎛ ∂m3 ( x ) ⎞ ⎛ ∂m4 ( x ) ⎞ ⎛ ∂m4 ( x ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ v ( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ v ( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ v ( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ v ( x ) = ∂ ∂ ∂ x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂x ⎠ Ta cã thÓ thÊy mét cặp hm vô hớng m ( x ) , m ( x ) ®ã lμ ⎛ ∂m3 ( x ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ( , , , ) ⎝ ∂x ⎠ vμ ⎛ ∂m4 ( x ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ( − x , − x , , ) ⎝ ∂x ⎠ hay m3(x) = x3 vμ m4(x) = x1x2+ x4 Kết hợp thêm với m1(x)= x1 v m2(x)= x2 ta có đợc phép đổi biến x1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ x2 ⎜ ⎟ z=m(x)= ⎜ ⎟ x ⎜ ⎟ ⎜− x x + x ⎟ 4⎠ ⎝ ⇒ z1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ z ⎜ ⎟ −1 x=m (z)= ⎜ ⎟ z ⎜ ⎟ ⎜z z + z ⎟ 4⎠ ⎝ Suy ⎛ ⎜ ∂m ⎜ =⎜ ∂x ⎜ ⎜− x ⎝ − x1 0 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟⎟ ⎟⎠ ⇒ ⎛ z2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ z ⎟ ~ dz = f ( z) = ⎜ ⎟ dt ⎜ z3 z4 ⎟ ⎜ sin z S Tiếp tục, mở rộng định lý 6.8 ta có hệ sau: Định lý 6.9 (Hệ định lý 6.8): Cho hệ affine (6.24) NÕu tån t¹i mét hμm më réng Δ ( x ) có số chiều d, chứa tất vector cét h ( x ) , h ( x ) , … , h m ( x ) cña ma 493 trËn H ( x ) , xo¾n vμ bÊt biÕn víi vector hμm f ( x ) , tồn phép đổi biÕn z = m ( x ) ®−a hƯ vỊ d¹ng chuÈn nh− sau: ⎧ d z1 ~ ~ = f ( z1 , z ) + H1 ( z1 , z )u ⎪ ⎪ dt ⎨ ⎪ d z2 = ~ f ( z2 ) ⎪⎩ dt (6.33) ⎛ zd +1 ⎞ ⎛ z1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ®ã z1 = ⎜ ⎟ vμ z2 = ⎜ ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ d⎠ Chøng minh: Do Δ ( x ) chøa h ( x ) , h ( x ) , … , h m ( x ) v xoắn nên bất biến với vector Theo nội dung định lý 5.4, phải tồn phép đổi biến z = m ( x ) để tách f ( x ) ~ d thμnh f ( z1 , z ) ∈ R , ~ ~ n−d d×m f ( z2 ) ∈ R vμ ma trËn H ( x ) thμnh H1 ( z1 , z ) ∈R vμ ~ n − d ×m H ( z ) ∈R Nh−ng v× h ( x ) , h ( x ) , … , h m ( x ) thuéc Δ ( x ) nªn chun ~ sang biÕn z , chóng ph¶i cã n − d phÇn tư ci b»ng VËy H ( z ) =Θ (ma trËn cã c¸c S phÇn tư b»ng 0) VÝ dơ 6.14: Minh häa ®Þnh lý 6.9 XÐt hƯ affine cã: ⎛ x x + x e x2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ x3 ⎜ ⎟ ⎜1⎟ dx = f ( x) + h ( x ) u = ⎜ ⎟+⎜ ⎟u − x x x dt ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 + x x − x2 x ⎟ ⎜⎝ x3 ⎟⎠ 3⎠ ⎝ vμ hμm më réng víi sè chiÒu d = Δ ( x ) = span( v ( x ) , v ( x ) ) ®ã ⎛ e x2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ v1(x)= ⎜ ⎟ , v2(x)= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜x ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎠ ⎝ Hμm më réng nμy chøa h ( x ) vμ bÊt biÕn víi f ( x ) v×: 494 (6.34) adf v1 ( x ) = [ f ( x ) , v ( x ) ] = v ( x ) ∈ Δ ( x ) adf v2 ( x ) = [ f ( x ) , v ( x ) ] = ∈ ( x ) Hơn l hm mở réng xo¾n bëi cã: adv v2 ( x ) = [ v ( x ) , v ( x ) ] = ∈ Δ ( x ) nên theo Frobenius, phải tồn hai hm vô h−íng m ( x ) , m ( x ) ®Ĩ T T ⎛ ∂m3 ( x ) ⎞ ⎛ ∂m4 ( x ) ⎞ ⊥ Δ ( x ) = span( ( ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ ) ) ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ Ta thÊy cặp hm vô hớng m ( x ) , m ( x ) ®ã lμ m3(x) = x3 vμ m4(x) = −x2x3+ x4 Nh− vËy, ta cã phÐp ®ỉi trơc theo (6.31) lμ: x1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ x2 ⎜ ⎟ z=m(x)= ⎜ ⎟ x3 ⎜ ⎟ ⎜− x x + x ⎟ 4⎠ ⎝ ⇒ z1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ z ⎜ ⎟ −1 x=m (z)= ⎜ ⎟ z3 ⎜ ⎟ ⎜z z + z ⎟ 4⎠ ⎝ (6.35) Suy ⎛z z ⎜ ⎜ ∂m ∂ dz m −1 −1 = f ( m ( z )) + H ( m ( z )) u = ⎜ ∂x ∂x dt ⎜ ⎜ ⎝ + z2 e z2 ⎞⎟ ⎛ z1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜1⎟ z3 ⎟+ ⎜ ⎟u z4 ⎟ ⎜0⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎠ (6.36) hay phÐp ®ỉi biÕn (6.35), ®· ®−a hệ affine (6.34) đà cho ban đầu thnh hệ phi tun ë d¹ng chn (6.36) víi: ⎛ z z + z e x2 ⎞ ~ ⎟, f ( z1 , z ) = ⎜ ⎜ ⎟ z3 ⎝ ⎠ ⎛z ⎞ ~ f ( z ) = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝0⎠ ⎛z ⎞ ~ H1 ( z1 , z ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠ vμ ⎛z ⎞ z = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ z2 ⎠ ⎛z ⎞ z = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ z4 ⎠ S 495 øng dơng thiÕt kÕ bé ®iỊu khiĨn hai cÊp Định lý 6.9 l công cụ tiện ích để đa hệ phi tuyến affine (6.24) dạng chuẩn (6.33), thuận lợi cho việc phân tích v thiết kế điều khiển sau ny Chẳng hạn, cho lớp hệ affine (6.24) đặc biệt, ngời ta xác định đợc phép đổi biến vi phôi z = m ( x ) đa dạng chn gåm hƯ tun tÝnh m¾c nèi tiÕp víi hệ phi tuyến, vector biến trạng thái z cđa hƯ tun tÝnh l¹i lμ tÝn hiƯu vo "ảo" hệ phi tuyến (hình 6.14): dz1 ⎪⎪ dt = Az1 + Bu ⎨ ⎪ dz2 = f ( z , z ) ⎪⎩ dt (6.37) Hình 6.14: Mô hình chuẩn hệ affine gồm hệ tuyến tính hệ phi tuyến mắc nèi tiÕp u dz1 = Az1 + Bu dt z1 dz2 = f ( z2 , z1 ) dt z2 Trong trờng hợp hệ phi tuyến (6.37) lại có tính động học chậm nhiều so với ®éng häc cđa hƯ tun tÝnh, tøc lμ z biến đổi nhanh nhiều so với z thay phải thiết kế chung điều khiển phản hồi trạng thái u ( z , z ) lm hệ (6.37) ổn định tiệm cận toμn cơc t¹i gèc, ng−êi ta cã thĨ thiÕt kÕ riêng (gọi l nguyên tắc thiết kế hai cấp two time scale design): u(z1,z2)= uf(z1)+us(z2) (6.38) cho tõng hÖ con, ®ã: − u f ( z ) lμ thμnh phÇn "nhanh − fast" dμnh cho hƯ tuyÕn tÝnh vμ − u s ( z ) l thnh phần "chậm slow" điều khiển dnh cho hệ phi tuyến Theo nguyên tắc thiết kế ny, khâu tuyến tính, vector trạng thái z đợc tách thnh hai vector tơng ứng z1 = z1s + z1f , với z1s đại diện cho thnh phần biến đổi chậm v z1f cho thnh phần biến đổi nhanh khâu tuyến tính (6.37) ta sÏ cã nhê nguyªn lý xÕp chång: 0≈ 496 dz1s = Az1s + Bus ⇔ dt z1s = − A −1 Bus (6.39) vμ dz1f = Az1f + Bu f dt (6.40) Chó ý r»ng gi¶ thiÕt (6.39) ma trận A khâu tuyến tính l nghịch đảo đợc (khả nghịch) không lm tính tổng quát phơng pháp, A bị suy biến, ta thiết kế trớc điều khiển phản hồi (âm) trạng thái R cho khâu tuyến tính cho hệ tuyến tính thu đợc có ( A B R ) trở thnh khả nghịch Với (6.39), kh©u phi tuyÕn (6.37) trë thμnh: dz2 = f ( z2 , − A −1 Bus + z1f ) ≈ f ( z2 , − A −1 Bus ) dt z1 (6.41) vμ nhiƯm vơ thiÕt kÕ hai cấp điều khiển (6.38) l (hình 6.15): Tìm u s ( z ) để khâu phi tuyÕn (6.41) lμ GAS − T×m u f ( z ) để khâu tuyến tính (6.40) l ổn định v có trình tự tắt đủ nhanh (điểm cực nằm đủ xa phía trái trục ảo) cho z1f l bỏ qua đợc động häc chËm cđa kh©u phi tun (6.41) u dz1 = Az1 + Bu dt z1 dz2 = f ( z2 , z1 ) dt z2 uf(z1) Hình 6.15: Nguyên tắc thiết kế hai cấp us(z2) 497 Tài liệu tham khảo [1] Anderson, B.D and Moore, J.B.: Linear Optimal Control Prentice−Hall, NJ, 1971 [2] Athan, M and Falb, P.L.: Optimal Control McGraw Hill Book Company, 1966 [3] Äström, K.J and Wittenmark, B.: Adaptive Control Addision−Wesley Publishing Company, Inc 1995 [4] Balas, G.; Doyle, J.C.; Glover, K.; Packard, A and Smith, R.: μ−Analysis and Synthesis Toolbox MatLab User's Guide [5] Burl, B.J.: Linear Optimal Control, H2 and H∞ Methods Addison Wesley, 1999 [6] Burmeister, H.L.: Automatische Steuerung Teil: Optimierung VEB Verlag Technik Berlin, 1976 [7] Bialy, H; Olbrich, M : Optimierung VEB Fachbuch Verlag Leipzig, 1975 [8] Bögel, K; Tasche, M.: Analysis in normierten Räumen Akademie Verlag Berlin, 1974 [9] Chapellat, H.; Dahleh, M and Bhattacharyya, S.: Robust Stability under structured and understructured Pertubations IEEE trans on AC, vol 35, 1990, trang 1100−1107 [10] Chiang, R and Safonov, M.: Robust Control Toolbox MatLab User's Guide [11] Coleman, T.; Branch, M.A and Grace, A.: Optimization Toolbox MatLab User's Guide [12] Chui, C K and Chen, G.: Linear System and Optimal Control Springer Verlag, Heidelberg New York, London, Paris, Tokyo, 1989 [13] Cyrot, D.N and Fossard, A.J (Chđ biªn): Nonlinear Systems Chapman & Hall, London, Weinheim, New York, Paris, Tokyo, Melbourge, Madras, 1997 [14] Doyle,J.; Francis, B and Tannenbaum,A.: Feedback Control Theory Macmillan Publishing C0., 1990 [15] Elster, K.H.: Nichtlineare Optimierung Teubner Verlagsgesellschaft, 1978 st [16] Efimov, D.V.: A Condition of CLF Existence for affine Systems Proceeding of the 41 CDC, 2002 [17] Fichtenholz, G.M.: Differential− und Intergralrechnung 1, 2, Verlag Harri Deutsch, 1992 [18] Francis, B.: A Course in H∞ Control Theory Springer Verlag, 1987 [19] Fossard, A.: Multivariable System Control North−Holland Publishing Company, 1972 [20] Fưllinger, O.: Regelungstechnik (xt b¶n lÇn 9) Hüthig Buch Verlag Heidelberg, 1996 [21] Isidori, A.: Nonlinear Control Systems Springer Verlag, 1989 [22] Isidori, A.: Nonlinear Control Systems II Springer Verlag, 1999 [23] Ioannou, P and Sun, J.: Robust and Adaptive Control Prentice Hall, 1996 [24] Kaufman, H.; Barkana, I and Sobel, K.: Direct Adaptive Control Algorithms Theory and Applications Springer Verlag,1998 [25] Khalil, H.: Nonlinear Control Systems Springer Verlag, 1996 [26] Kheir, N.,A.: Systems Modeling and Computer Simulation Marcel Deckker New York, 1996 [27] Krener, A.: The existence of optimal regulator Proceedings of IEEE Conference on Decision and Control, pp 3081−3086, December 1998 498 [28] Krstic,M.; Kanellakopoulos,I.; Kokotovic,P.: Nonlinear and Adaptive Control Design John Wiley & Sohn Inc., 1995 [29] Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik Verlag Harri Deutsch, 1998 [30] Müller, K.: Entwurf robuster Regelungen B.G Teubner Stuttgart, 1996 [31] Noton, A.R.: Variational Methods in Control Engineering Pergamon Press Oxford, 1965 [32] Nijmeijer, H and Schaft, A.: Nonlinear Dynamical Control Systems Springer Verlag, 1990 [33] Nguyễn Thơng Ngô: Lý thuyết điều khiển đại Phần tối u thích nghi Nhà xuất Khoa häc vµ Kü thuËt, 2001 [34] Owens, D.: Multivariable and Optimal Systems Akademic Press, London−NewYork−Toronto− Sydney−San Francisco, 1981 [35] Phớc, N.D.: Lý thuyết điều khiển tuyến tính Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2002 [36] Phớc, N.D Minh, P.X: Nhận dạng hệ thống điều khiển Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2001 [37] Phớc, N.D Minh, P.X.: Điều khiển tối u bền vững (xuất lần 2) Nhà xuất Khoa học vµ Kü tht, 2000 [38] Ph−íc, N.D., Minh, P.X vµ Trung, H.T: Lý thuyết điều khiển phi tuyến Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2003 [39] Pontryagin; Boltjanskij; Gamkrelidze; Miscenko: Mathematische Theorie Optimaler Prozesse VEB Verlag Technik Berlin, 1964 [40] Praly, L.: An Introduction to some Lyapunov designs of global asymptotic stabilizers Lecture Notes Banach Center Summer School Poland, 2-20.9.2002 [41] Praly, L and Jiang, Z.P.: Stabilization by Output Feedback for System with ISS inverse Dynamic System and Control Letters, vol 21, 1993, trang 19−33 [42] Praly, L and Wang, Y.: Stabilization in Spite of matched unmodelled Dynamics and equivalent Definition of Input−to−State Stability Mathematics of Control, Signal and Systems, vol.9, 1996, trang 1−33 [43] Raisch, J.: Mehrgrưßenregelung im Frequenzbereich Oldenburg Verlag, 1994 [44] Reinschke, K.: Optimale Steuerung kontinuierlicher Prozesse Skriptum zur Vorlesung, TU−Dresden, 2003 [45] Safonov, M.G.: Stability and Robustness of Multivariable Feedback Systems MIT Press, Cambridge, MA, 1980 [46] Sastry, S.: Nonlinear System: Analysis, Stability and Control Springer Verlag, New York, Inc., 1999 [47] Stengel, R.: Optimal Control and Estimation Dover Publication Inc, New York, 1994 [48] Sontag, E D.: Mathematical Control Theory Springer Verlag−New York, 1990 [49] Sontag, E D.: On the Input−to−State Stability Property European J Control 1, 1995, trang 24-36 [50] Sontag, E D.: Stability and Stabilization: Discontinuities and the Effect of Disturbances Nonlinear Analysis, Differential Equations, and Control (Proc NATO Advanced Study Institute, Montreal, Jul/Aug 1998; F.H Clarke and R.J Stern, eds.), Kluwer, 1999, trang 551-598 [51] Sontag, E D.: Smooth Stabilization implies Coprime Factorization IEEE trans on AC, vol 34, 1989, trang 435−443 st [52] Sontag, E D.: An Abstract Approach to Dissipation Proceeding of the 34 CDC, New Orlean, Dec 1995, IEEE Publication 1995, trang 2702−2711 [53] Sontag, E D.: An universal Construction of Artstein Theorem on nonlinear Stabilization System and Control Letters, vol 13, 1989, trang 117−123 499 [54] Sontag, E D and Wang, Y.: On Characterizations of the Input−to−State Stability Property System and Control Letters, vol 24, 1995, trang 351−359 [55] Sontag, E D and Wang, Y.: On Characterizations of Input−to−State Stability with Respect to compact Set Proceeding of IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems Design, June, 1995, trang 226−231 [56] Tsinias, J.: Sufficient Lyapunov−like Conditions for Stabilization Mathematics of Control, Signal and Systems, vol.2, 1989, trang 343−357 [57] Unbehauen, R.: Systemtheorie (xuất lần 6) R Oldenbourg Verlag München Wien, 1993 [58] Utkin, V.: Sliding Modes in Optimization and Control Springer Verlag New York, 1992 [59] Wang, Y.: A converse Lyapunov Theorem with Applications to ISS−Dissturbance Attenuation Proc 13th IFAC World Congress (IFAC'96), San Francisco, July, 1996, trang 226-231 [60] Zhou,K.; Doyle,J.C and Glover,K.: Robust and Optimal Control Prentice Hall, 1996 500 ... Nhận dạng đối tợng điều khiển, Điều khiển bền vững v Điều khiển thích nghi Mục đích tác giả viết sách ny đơn giản l mong muốn cung cấp cho bạn sinh viên theo học ngnh Điều khiển tự động, Đo... 393 5.5.2 Thiết kế điều khiển trợt ổn định bền v÷ng 396 5.5.3 Thiết kế điều khiển trợt bám bền vững 401 5.6 Điều khiển thích nghi bù bất định 402 5.6.1 Điều khiển thích nghi bù... học viên cao học, nghiên cứu sinh đà gửi tới cho tác giả Quyển sách ny đợc viết từ bi giảng nhiều năm tác giả Trờng Đại học Bách khoa H Nội Lý thuyết Điều khiển, gồm bốn phần chính: Điều khiển