LIÊN QUAN ĐẾ N GÓC.[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
I LIÊN QUAN ĐẾN GÓC
(5 BÀI )
Bμi ( KA-2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A
'B'C'D' với
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0), A'(0; 0;1) Gọi M N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C MN
2 Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C tạo với mặt phẳng Oxy góc α biÕt
1 o s
6
c
GIẢI a/ Tính h( A’C,MN)
- Ta có : ' 1;1;1 , 0;1;0 , ' 1;0;1
A C MN MA
- Do :
1 1 1
1
' , ' 1
1 0 0
2 2
A C MN MA
- Vậy :
3
' , ' 3
2 ' ,
1 2
' ,
A C MN MA h A C MN
A C MN
b/ Lập mặt phẳng (P) chứa A’C
- Gọi (P) : ax+by+cz+d=0 (1)
- Do qua (A’C) : Qua A’(0;0;1) suy : c+d=0 (2) Suy c=-d = a+b (P) qua C(1;1;0) : a+b+d =0 (3) suy : (P) : ax+by+(a+b)z-(a+b)=0 (*)
- Mặt phẳng (P) có : na b c; ; , mặt phẳng (Oxy) có véc tơ pháp tuyến k0;0;1 Do
ta có : 2 2 2 2
2 2
1 2
os
2a
n k a b a b
c a b a b c
b
n k a b c
(4)
- Với : a=-2b, chọn b=-1, ta (P) : 2x-y+z-1=0 - Với b=-2a , chọn a=1 , ta (P) : x-2y-z+1=0
Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 6) mp(P): x + 2y + z 3= Viết phương trình mp(Q) chứa AB tạo với mp(P) góc thỏa mãn: cos
6
GIẢI Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0
(Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2) - Mặt phẳng (P) có n1; 2;1 Suy
Z
A B
C D ’
B’ C’ D’
A’
M
(2) 2 2 2 2
2 3
os
6
Q
Q
P
P
n n a b c
c a b c a b c
n n a b c
(3)
- Từ (1) (2) ta có :
2a 4a
a b c d c a b
b c d d b
- Thay vào (3)
: 2 2 2 2 2 2 , 15
6 2a 3 3a 11a
0,
a b c b d b
b a b a b b b
a b c d b
- Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 (Q’): -x+y-3=0
Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) đường thẳng (d):
1
x y z
Viết phương trình đường thẳng () qua giao điểm đường thẳng (d) với mặt phẳng (OAB), nằm mặt phẳng (OAB) hợp với đường thẳng (d) góc cho cos
6
GIẢI
- Ta có : 2; 1;1 , 0;1; 2 , 1 ; 2; 1; 4; 2
1 2 0
OA OB OA OB n
- Do : mp(OAB): x+4y+2z=0 (1) Gọi M giao d với (OAB) tọa độ M
nghiệm hệ :
4 2z
4(3 ) 2(2 1) 10 10;13; 21
3
x y
x t
t t t t M
y t
z t
- Vì OAB d,, n uP 0 a 4b2c0 2 ua b c; ;
- Do :
2 2 2
2 2 5
os ,
6
1
d P
d P
d P
u n a b c a b c
c u n
u n a b c a b c
- Suy : 2 2 2 2
5 5b 25 4b 2c b c 11b 16bc 5c b 11c
b c
- Với
10
5 2
; ; / / 2; 5; 11 : 13
11 11 11 11
21 11
d
x t
b c a c u c c c u y t
z t
- Với b=c, thay vào (2) ta có a=-6c
10 6 ; ; / / ' 6; 1; : 13
21
x t
u c c c u y t
z t
Bài 3 Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1;2), vng góc với đường thẳng ( ) :
1 1
x y z
d + = - =
- tạo với mặt phẳng (P): 2x +
(3)GIẢI
* Đường thẳng d có véc tơ phương u 1; 1;1 , đường thẳng có véc tơ phương
; ; u a b c
Mặt phẳng (P) có
2;1;
n
.Gọi
; , d
d P u u
- Do :
2 2 2
, 2a 2a 3
os os30
2
4 1
u n b c b c
c c
u n a b c a b c
2 2 2
2 2a b c a b c 2a b c a b c
- Vì : d u u d 0 a b c b a c 3
- Thay (3) vào (2) ta :
2
2 2 2
18a 2a 2a 2a 2a
2a
c
a c a c c c c c
c
- Với c-0, thay vào (3) ta có b=a suy ; ;0 / / 1;1;0 :
x t
u b b u y t
z
- Với : c=-2a , thay vòa (3) ta có b=-a ; ; 2a / / ' 1; 1; 2 : 2
x t
u a a u y t
z t
Bài 4. Trong không gian với hệ trục toạđộ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng : 1 :
1
x y z
, 2 :
1 1
1
x y z
a/Chứng minh hai đường thẳng 1 2 chéo
b/Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 tạo với đường thẳng 1
góc 300
GIẢI a/Chứng minh hai đường thẳng 1 2 chéo nhau:
* Đường thẳng 1 có véc tơ phương u1 1; 2;1
qua O(0;0;0), 2 qua B(1;-1;1) Có véc tơ phương 2 1; 1;3 1, 2 1 1; ; 5; 2; 1
1 3 1
u u u
(1)
Mặt khác : u u 1, 2OB1 5 1 1 6 Kết hợp với (1) suy hai đường thẳng 1
và 2 chéo
b/ Viết phương trình (P)
Đường thẳng 2
1
0
1
:
1 3x
1
x y
x y
x z z
* Vì (P) chứa 2 P thuộc chùm :
3x 2 0 3 z 2 0 2 0 *
(4)Mặt khác (P) tạo với đường thẳng 1 góc 300 :
0 0
1 2
2
, 1 3 2
30 90 , , 60 os60
2 3 1 1
n u m n m n
n u n u c
n u m n m n
2 2 2 2 2 11
6 2m 10n 6mn 2n m 2m 13mn 11n m n
m n
- Thay (3) vào (*) ta có :
- Với 11 : 11 : 5x 11 2z
2 2
m n P x y z P y Với m=-n (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0
Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ−ờng thẳng d vμ d’ lần l−ợt có ph−ơng trình : d : x y z
1
vμ d’ :
1
2
z
y x
Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua d v tạo với d góc 300
GIẢI
Tương tự 4, ta chuyển d sang dạng giao hai mặt phẳng : x-z=0 x+y-2=0 Do (P) thuộc chùm : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 (1)
Đường thẳng d’ có u2;1; 1 Vì (P) tạo với d’ góc 300
0 0
1 2
2
, ' 1
30 90 , , 60 os60
2
' 4 1
n u m n n m
n u n u c
n u m n n m
2 2 2 2 2 2
2
2
m n
m n
m n mn m n m mn n n
n m
m
- Với m=-2n thay vào (1) (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0 - Với n=-2m thay vào (1) (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0
II LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH
( 32 BÀI ) Bài 1.(ĐH_KD-2009)
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A(1;2;1),B(-2;1;3), C(2;-1;1),D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) khoảng cách từđiểm D đến mặt phẳng (P)
GIẢI - Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0
- (P) qua A(1;2;1) : a+2b+c+d=0 (1) (P) qua B(-2;1;3) : -2a+b+3c+d=0 (2) - Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P)
2 2 2
2a
2a
b c d b c d
b c d b c d
a b c a b c
(5)2a
2a
b c d b c d a b
b c d b c d a b c d
Nếu a=b thay vào (1) (2) : 0 ( ) : z ( ) : 0
b c d b
P c c P z
b c d d c
Nếu : a+b+c+d=0 thay vào (1) (2)
:
2
3 : ax 2a :
0 2a
a b c d b
a b c d c a P az P x z
a b c d d
Bài 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) đường thẳng d có phương trình : (P): 2x-y-2z-2=0 (d):
1
x y z
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d), I cách (P) khoảng (P) cắt (S) theo đường trịn giao tuyến có bán kính
GIẢI
Gọi (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Theo giả thiết :
- I thuộc d I( -t;2t-1;t+2) (1) h(I,P)=2 2a 2 2a 2 2 4
b c
b c
- (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (C ) tâm H bán kính r=3 :
2 2
,
3 13
h I P IH
R IH r
- Thay (1) vào (2) :
1
2
7 10
; ;
2 2 6 6
2 2 6 5 5
; ;
6 6
t I
t t t t
t t t t
t I
- Vậy có mặt cầu (S) :
2 2
1
2 2
2
7 10
: 13
6
5
: 13
6
S x y z
S x y z
Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d):
1
x y z
hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) Tìm tọa độđiểm M thuộc đường thẳng (d) cho tam giác ABM có diện tích nhỏ
GIẢI - Nếu M thuộc d M có tọđộ M=(t;3-t;2t-1) - Ta có :
2; ; 2 2 2 2
, ; ; 8; 2;
2 2
; ;
AM t t t t t t t t t
AM BM t t
t t t t t t
BM t t t
- Do : 1 2 2 2
, 16 34 34
2 2
(6)- Vậy : S = 34
2 t=-5 M=( -5;8;-11)
Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng
: 1
2
x y z
Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng () để tam giác MAB có diện tích nhỏ
GIẢI Cách giải tương tự
- Nếu M thuộc d M có tọ độ M=(2t-1;1-t;2t) - Ta có :
2 2; ; 2 2 2
, ; ;
2 6 4
2 4; ;
AM t t t t t t t t t
AM BM
t t t t t t
BM t t t
2t 24;8 12; 12t t
- Do :
2
2 2
1 23 1547
, 14 12 12 18 1547
2 18 36
S AM BM t t t t
- Vậy : S = 1547
6
23 14 23
; ;
18 18
t M
Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;9;9), B(10;13;1) mặt phẳng (P): x + 5y 7z = Tìm tọa độđiểm M mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2đạt giá trị nhỏ
GIẢI Gọi M (x;y;z) thuộc (P) ta có : x+5y-7z-5=0 (1)
Khi :
2 2
2
2 2
2
4; 9; 9
10; 13; 10 13
AM x y z AM x y z
BM x y z BM x y z
Do 2 2 2 2 2 2 2 2
4 9 10 13
MA MB x y z x y z
Hay : 2 2 2 2 2
2 11 156
MA MB x y z (2)
Từ (1) -75=1(x+3)+5(y-11)-7(z+4) Theo bất đẳng thức Bu nhe cốp ski suy : 2 2 2 2
75 x y 11 z 25 49 x y 11 z
Do : 2 2 2 752
3 11 75
75
x y z
Và : 2 2 2 2
2 11 156 2.75 156 306
(7)Dấu đẳng thức xảy :
50
3 11 5x 26 5x+26 17
192
1 7x 25 7x 25
3 17
5 7z 50 75
1
17 17
x
x y y y
z z y
x z
x y
x
z
Ta cách khác , sử dụng hệ thức trung tuyến : Gọi I trung điểm AB Ta có : 2 2
2 *
2
AB
MA MB MI
Với : 14; 4;10 196 16 100 312
AB AB
Và I(-3;11;-4) suy MIx3;y11;z4
Do : 2 2 2 2
2MI 2 x3 y11 z Vậy (*)
2 2 2 2 2 2
2 2 3 11 4 312 2 3 11 4 156
2
MA MB x y z x y z
( Kết )
Bài 6. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; 11), B(3; 5; 4), C(2; 1; 6) đường thẳng thẳng (d):
2 1
x y z Xác định toạ độ điểm M thuộc (d)
sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ GIẢI
Điểm M thuộc d M(2t+1;2+2t;1+t) , :
2 4; 6; 12
2 2; 3; 1; 4;
2 1; 1;
MA t t t
MB t t t MA MB MC t t t
MC t t t
2 2 2 2 10 53 53
2 20 17
9
MA MB MC t t t t t t
Dấu đẳng thức xảy :
11
10 11
; ;
9 9 9
1
x
t M y M
z
Bài 7. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1; 2), B(1; 3; 0), C(3; 4; 1) D(1; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)
GIẢI
Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0
(8)2 2 2
3a 2a
3a
3a
b c d a b c d b
b c d a b c d
b c d a b c d a b c d
a b c a b c
Kết hợp với hai phương trình (1) (2) ta có hai hệ xét cho hai trường hợp :
Trường hợp 1:
2a 2a
2 4a : 4z
7a 7a
b b
a c d c P x y
d d
Trường hợp 2:
3 2a
2 2a : 2z
3 2a 4a
a b c d a b d c
a b c d b c a b P x y
a b d c d
Bài 7.Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho mặt phẳng (P):3x3y2z37 0 điểm A(4;1;5), B(3;0;1), C(1;2; 0) Tìm toạ độđiểm M thuộc () để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: MA.MB MB.MC MC.MA
GIẢI
Gọi M(x;y;z) thuộc (P) ta có phương trình : 3x-3y+2z+37=0 (1) Khi ta có : 4; 1; , 3; ; , 1; 2;
MA x y z MB x y z MC x y z
:
2
1 7x 6z 17
MA MB x x y y z z x y z y
2
2x z-3
MB MC x x y y z z x y z y
2
3x 5z
MC MA x x y y z z x y z y
Lấy (2)+(3)+(4) vế với vế ta :
2 2 2 2
MA.MB MB.MC MC.MA 3 x y z 4x 2 y4z 4 3 x2 y1 z2 5
Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho phương trình (1) :
2 2 2 2
44 x y z 9 x y z
Suy : 2 2 2 44.44
2 88
22
x y z
Hay : 2 2 2
3 x2 y1 z2 15 3.88 15 249 Vậy : MA.MB MB.MC MC.MA 249
Dấu đẳng thức xảy :
2
3
3 4
2 2x
7 4;7;
3
2 3x 2z 37 22x 88
x y
y x
x
x z
z y M
z y
Bài 8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A 0;1;2 ,B 1;1;0 mặt phẳng (P):
0
x y z Tìm toạđộ điểm M thuộc (P) cho tam giác MAB vuông cân B
(9)Ta có : BA1;0; , MBx1;y1;z Nếu tam giác MAB vuông cân B kết hợp với (1) ta có hệ phương trình :
2
2 2 2 2
z 2z 2z
1 y=-z-1
5 1 5z 5z
BA MB y x x x
BA MB y z y z
y x z x y z y z
2 10 10
6
1 10 10
3
4 10 10
6
z z
x x
y y
Bài 9. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho đường thẳng (d):
2
x t
y t
z t
mặt phẳng (P): x y z Gọi (d’) hình chiếu (d) lên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc (d’) cho H cách điểm K(1; 1; 4) khoảng
GIẢI
Lập phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d (P) - Tìm tọa độ A giao d với (P) Tọa độ A nghiệm hệ :
2
2 2 4; 2;3
1
x t
y t
t t t t A
z t
x y z
- Do hình chiếu vng góc nên '
1 2 2
, ; ; 1; 4;
1 1 1
d d
u u n
- Vậy d’ qua A(4;-2;3)có véc tơ phương '
4 1; 4; ' :
3
d
x t
u d y t
z t
Tìm tọa độ H
Nếu H thuộc d’ H=(t+4;-2-4t;3-3t) (*) ,suy KH t; 4t3;3 1t Do : 2 2 2 2 2 2
3 3 26 36 19 25 26 36
KH t t t t t t t
Vậy : 1 30 ; 2 30
13 13
t t , thay vào (*) ta tìm tọa độ H Bài 10. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
1: 1
1 1
x y z
; 2:
1
x t
y z t
(10)Đường thẳng đi qua điểm I(0;3;1), cắt 1 A, cắt 2 B Tính tỷ số IA IB =k GIẢI
Do A thuộc 1 A t'; t';3t' B thuộc 2 B ;1;t t
Ta có : IA t t'; ' 4; 4 t' ; IB ; 2;t t1
Theo giả thiết :
4 '
1 ' 2
4 ' 2 '
5
4 ' 1 '
t k
t k t t
IA
t k k k t t
IB k
t k t t k t
Bài 11. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2 1
x y z
;
1: 1
1
x y z
Đường vng góc chung 1 2 cắt 1 A, cắt 2 B Tính diện tích OAB
GIẢI
*Do A thuộc 1 A 1 ';t t'; t' B thuộc 2 B ;1 ;3t t t Ta có : AB t ' 2;7t t t' 1;5 t t' ;
- Nếu AB đường vng góc chung :
2
2 ' ' ' 0 1;1;3
2 ' 7 ' ' ' 1;0;
t t t t t t t B
AB u
t t t t t t t A
AB u
- Gọi S diện tích tam giác OAB : ,
S OA OB
- Do : 1;0; , 1;1;3 , ; 1; 1 2;1; 1
0 2 1
OA OB OA OB
- Và , 1
2 2
S OA OB
Bài 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y 2z + = 0, đường thẳng (d): 1
1
x y z
Viết phương trình đường thẳng vng góc với (P) thỏa mãn cắt (d) điểm M cách (P) khoảng
GIẢI Tìm M d M=(t-1;7t+1;3-t)
Khoảng cách từ M đến (P) h(M,P)= 2 1 3 4
t t t
8 19 45 41
; ;
11 11 11 11 11
11
11 39 29
; ;
11 11 11 11
t M
t t
t
t M
(11)Vì cắt d qua M (P) u nP 2;1; 2
Vì
19 11
5 :
11 41
2 11
x t
y t
z t
Hoặc :
7 11 39 :
11 29
2 11
x t
y t
z t
Chú ý : Ta cịn có cách khác sau
- Lập mặt phẳng (Q) song song với (P) cách (P) khoảng
- Do (Q) có dạng : 2x+y-2z+m=0 Ví h(P,Q) = suy : Trên (Q) chọn N(-2;-3;1) ta tính h(N,Q)= 2( 2) ( 3) 2(1) 8 14
8
4
m m
m
m
m m
Như :
có hai mặt phẳng (Q) ; 2x+y-2z+14=0 2x+y-2z+2=0
- Bây ta tìm tọa độ M giao d với (Q), tọa độ M nghiệm :
1
7
2( 1) 2(3 ) 14 11
3 11
2x 2z+14
x t
y t
t t t t t
z t
y
- Hoặc :
1
7
2( 1) 2(3 ) 11
3 11
2x 2z+2
x t
y t
t t t t t
z t
y
Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng :
1
x y z hai điểm A(0;1:2), B(2;1;1) Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng cho tam giác ABC có diện tích nhỏ
GIẢI Nếu C thuộc có tọa độ : C=(t+1 ;2-t ;1+2t) Ta có :
1;1 ; 3 1
, ; ; 9;3 ;
2 3 2
2; 2;3
AC t t t t t t t t t
AC AB t t
AB
Gọi S diện tích tam giác ABC : 1 2 2
, 16
2
S AC AB t t 2
2 88 88 22
2
S t
(12)Bài 14. Trong không gian tọa độOxyz, cho ba điểm A( 1;0;1), (2; 1;0), (2; 4; 2) B C
mặt phẳng ( ) : x y 2z 2 Tìm tọa độ điểm M () cho biểu thức
2 2
T MA MB MC đạt giá trị nhỏ
GIẢI Nếu M thuộc mặt phẳng ( ) : x y 2z 2 (1)
Khi ta có :
2 2 2 2 2 2 2
1; ; 1 2x 2z
MA x y z MA x y z x y z
2 2 2 2 2 2
2; 1; 4x+2y
MB x y z MB x y z x y z
2 2 2 2 2 2 2
2; 4; 2 4x 4z 24
MC x y z MC x y z x y z y
Cộng vế ba đẳng thức ta :
T= 2 2 2 2 2
3 2x 2z 31 1 22
MA MB MC x y z y x y z
Do M thuộc (P) : x+y+2z+2=0 x 1 y 1 2 z 1 Áp dụng bất đẳng thức Bu
nhe cốp ski cho ba cặp số : (1;1;2) (x-1;y-1;z-1 ) ta có :
2 2 2 2
6 x 1 y z 1 x y z
2 2 2 62
3 1 22 22 40
6
T x y z
Dấu đẳng thức xảy xảy trường hợp dấu bẳng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski:
1
1 0
1
2x 0;0;
1
1 2x
2z
x y
y x x
x z
z y M
z
x x
x y
Bài 15. Trong không gian tọa độOxyz, cho hai điểm A(0;0;3); B(2;0;1) mặt phẳng
(P): 3x yz +1 = Tìm tọa độđiểm C nằm (P) cho ABC tam giác
GIẢI
Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) suy ; 3x-y-z+1=0 (1) Khi ta tính :
2 2 2 2 2 2 2 2
; ; 3 ; 2; ;
MA x y z MA x y z MB x y z MB x y z
Nếu tam giác ABC tam giác ta có hệ phương trình :
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2 x
3
3 4x 8z 0
1
3 2 6z
6
3x 3x 3x 10
3
x y z x y z
MA MB
MA AB x y z z
y z y z y z
y
Vậy điểm M cần tìm : 0; ;
3
M
(13)Bài 16. Trong không gian Oxyz cho mp (P): 3x 8y + 7z + = hai điểm A(1; 1; 3), B(3; 1; 1) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC
GIẢI
Nếu C thuộc (P) tọa độ C=(x;y;z) thỏa mãn : 3x-8y+7z+4=0 (1) Ta có : 2;0; 2 4 8
AB AB
2 2 2 2 2 2 2
1; 1; 1 2x 6z 11
MA x y z MA x y z x y z y
2 2 2 2 2 2 2
3; 1; 1 6x 2z 11
MB x y z MB x y z x y z y
Nếu tam giác ABC tam giác ta có hệ phương trình :
2
2 2
2 2
4
3 6
3 2 2
3
3x 4
x y
x y
MA MB
MA AB y y y y y
y z z y z x
Vậy có hai điểm C : 1 2 6;1 6; 2 ; 2 2 6;1 6; 2
3 3 3
C C
Bài 17. Trong không gian tọa độOxyz, cho tam giác ABC có A(3; 1; 0), B nằm
mặt phẳng Oxy C nằm trục Oz Tìm tọa độ điểm B, C cho H(2; 1; 1) trực
tâm tam giác ABC
GIẢI
Nếu B nằm mp(Oxy) B( x;y;0), cịn C nằm trục Oz C(0;0;z)
Gọi H trực tâm tam giác ABC giao ba đường cao hạ từ ba đỉnh tam giác có nghĩa ta có hệ ba phương trình :
AH BC CH AB BH AC
(1)
Ta có : ABx3;y1;0 ; CH 2;1;1 z ABCH 2x 3 y 2x y
Tương tự : AC 3; 1; ,z BH 2x;1y;1AC BH 3x 2 y z 3x y z
Và : BC x; y z; , AH 1;0;1BC AH x z
Do hệ (1)
2x 7 2x
3x 7
0 3x 2x
y y x t
y z z x y t t R
x z x z t
Vậy điểm C cần tìm có tọa độ C=( t;7-2t;-t ) ( Có vơ số điểm C)
Bài 18. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):
2
x y
z
+
-= =
điểm M(4 ; ; 6) Đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tâm M hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình mặt cầu (S)
GIẢI
(14)Do :
2 2
6 6 9
, 1 2
,
4
MN U h M d
u
36 36 3
-Xét tam giác vuông MAH ( H chân đường vng góc M d ) , ta có :
2
2 2 9 18
2
AB
MA R MH
Vậy mặt cầu (S) có tâm
M(4;1;6) , bán kính R=3
Có phương trình : 2 2 2
: 18
S x y z
Bài 19. Trong không gian với hệ trục toạđộ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y + z + = hai đường thẳng ( ) :1 3;( );2 1
2 3
x y z x y z
d - = + = - d + = - = -
Viết phương trình đường thẳng () song song với (P); vng góc với (d1) cắt (d2)
tại E có hồnh độ
GIẢI
Đường thẳng d1 qua điểm M(1;-2;3) có véc tơ phương
1 2;1;3
u , đường thẳng d2 có véc tơ phương
2 2;3;
u
Gọi đường thẳng song song với (P) có u a b c; ; thì:
-
; ;
0; 2a
2; 1;1
P P P
P
u a b c
n u n u n b c
n
- d1u u 0; 2a b 3c0 2
- qua E d2 với E(3;y;z)
3
2 3; 1;6
3
t t
y t y E
z t z
- Từ (1) (2) ta có hệ : 2a ; ; / / 1;1; 1
2a
b c a c
u c c c u
c b c
- Vậy qua E(3;-1;6) có
3
1;1; :
6
x t
u y t
z t
Bài 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) vμ đ−ờng thẳng d có ph−ơng trình
3 1
2
1
y z
x
Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d v khoảng c¸ch tõ d tíi (P) lμ lín nhÊt
GIẢI A
B
M H d
2 d
1 d
(15)Gọi (P) mặt phẳng qua A(10;2;-1) có véc tơ pháp tuyến na b c; ; Do (P) có phương trình : a(x-10)+b(y-2)+c(z+1)=0 ; Hay (P): ax+by+cz-10a-2b+c=0 (*)
Đường thẳng d qua B(1;0;1) có véc tơ phương u2;1;3
- Nếu (P) song song với d n u nu 0 2a b 3c0 1
- Khoảng cách từ d đến (P) khoảng cách từ M thuộc d đến (P) , với M=(2t+1;t;3t+1) ta cho t=0 M=(1;0;1) :
h(M,P)=
2 2 2
10a 2 9a
a c c b c b
a b c a b c
(2) Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho tử
số :
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 9a
2 9a
2c 2b 9a 2 c b a c b 89 c b 89
c b a a b c
- Vậy: h(M;P) đạt GTNN 89 trường hợp xảy dấu bất đẳng thức :
9
2
2
b c
c b a
a c
Bài 21. Cho điểm A(1 ; ; 3), B(1 ; ; 2) hai mp : (P): 2x – 6y + 4z + =
(Q): x – y + z + =
Tìm tọa độ giao điểm K đường thẳng AB với mp(P) Tìm tọa độ điểm C nằm mp(Q) cho tam giác ABC tam giác
GIẢI
- Đường thẳng (AB) qua A(1;2;3) có véc tơ phương AB 2; 2; 1 do (AB) có
phương trình :
1 2
x t
y t
z t
Đường thẳng (AB) cắt mặt phẳng (P) K , tọ độ K nghiệm hệ :
1
2 23 57
2 2 3 20 ; ;
3 20 10 10 20
2x 4z
x t
y t
t t t t t K
z t
y
Nếu C nằm mặt phẳng (Q) C(x;y;z) thỏa mãn : x-y+z+1=0 (1)
Tam giác ABC :
2
2 2
1
AB AC
AB AC
AB BC AB BC
x y z x y z
Từ (1) (2) ta có :
2; 2; 1 4 9.
AB AB
2 2 2 2
1; 2; 3
AC x y z AC x y z
2 2 2 2
1; 4;
BC x y z BC x y z
(16)(2)
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 2 3 9
1 4x 2z
1
x y z x y z
x y z x y z y
x y z
x y z
2
2
11
5
4
2
3 3
2
19
7 2 11 0
2 2 2
2
y
x y x y
z z x
y y z
y y
11 5
4
y x z
Bài 22. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(9; 1; 1) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ
GIẢI
Gọi A(a;0;0) tuộc Ox,B(0;b;0) thuộc Oy C(0;0;c) thuộc Oz ( a,b,c khác ) Khi mặt phẳng (P) có dạng : x y z bcx acy abz abc 1
a b c Nếu (P) qua M(9;1;1) ta có : 1 2
a b c Do thể tích tứ diện 3
6 OABC
V abc
Ta áp dụng bất đẳng thức cô si :
Từ (2) abc=9bc+ac+ab 3 2 3 2
3 abc abc 27.9 abc abc 243
Dấu đẳng thức xảy :
9
3 :
27 3
9 1 1 27
1
bc ac a b b
x y z
ac ab c b c P
a
a b c b b b
Bài 23. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d
4
x y z
và hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I đường thẳng d cho IA +IB đạt giá trị nhỏ
GIẢI Nhận xét :
Đường thẳng d có véc tơ phương
4; 6; / / ' 2; 3; 4 1;1; 3
u u ABAM Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do (AB) d thuộc mặt phẳng Từđó , theo kết hình học phẳng , ta làm
sau :
- Tìm tọa độđiểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Lập đường thẳng d’ qua A’ B
A
B
I A’
(17)- Tìm tọa độ I giao (A’B) với d
Theo cách làm , rõ ràng dường thẳng d trung trực AA’ IA=IA’ , : IA+IB=IA’+IB=A’B Nếu có I’ thuộc d I’A+I’B>A’B Vậy I điểm - Cũng theo nhận xét IH đường trung bình tam giác A’BA AB=2IH Hay IA’=IB=IA (*) Do :
Nếu I nằm d điểm I có tọa độ I=(2+4t;-6t;-8t-1) Từ ta có : 2 2 2
4 1;1 ; 1
AI t t t AI t t t
Tương tự : 2 2 2
4 1; ;1 4
BI t t t BI t t t
Từ (*) : IA=IB 2 2 2
4t 1 6t 8t
= 2 2 2
4 1t 6 t 1 8t
Hay : 116 44 11 116 72 18 44 72 18 11 116 6
58
t t t t t t t t
Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu : 64; ; 45
29 29 29
I
Chú ý : Năm 1998 ĐH Thái nguyên K-A+B dạng tập
* Đề thi : Cho điểm A(1;2;-1) điểm B(7;-2;3) , đường thẳng d giao hai mặt phẳng có phương trình : 2x+3y-4=0 y+z-4=0
a/ Chứng tỏ d đường thẳng (AB) thuộc mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng
b/ Tìm tọa độ giao điểm d với mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB
c/ Tìm điểm I thuộc d cho chu vi tam giác ABI có giá trị nhỏ ? Tính chu vi tam giác ABI với điểm I tìm
Bài 24. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3)
đường
thẳng d có phương trình 32 (t R)
x t
y t
z t
Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến A B nhỏ
GIẢI Nhận xét :
Đường thẳng d có véc tơ phương
3; 2; / / 6; 4; 4 1; 2;5
u AB AN Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do (AB) d thuộc mặt phẳng Từ , theo kết hình học phẳng , ta làm sau : - Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Lập đường thẳng d’ qua A’ B
- Tìm tọa độ M giao (A’B) với d
Theo cách làm , rõ ràng dường thẳng d trung trực AA’ MA=MA’ , : MA+MB=MA’+MB=A’B Nếu có M’ thuộc d M’A+M’B>A’B Vậy M điểm
A
B
M A’
(18)- Cũng theo nhận xét MH đường trung bình tam giác A’BA AB=2MH Hay MA’=MB=MA (*) Do :
Nếu M nằm d điểm I có tọa độ M=(2+3t;-2t;4+2t) Từđó ta có : 2 2 2
3 1; 2 ; 2
AM t t t AM t t t
Tương tự : 2 2 2
3 5; 2 ; 2
BM t t t BM t t t
Từ (*) : MA=MB = 2 2 2
3 1t 2 2t 2t5 = 3t5 2 2 2t 2 2t12
Hay : 17 34 30 17 36 30 34 36 0 11 70 0 0
t t t t t t t t
Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu : M=(2;0;4 )
Bài 25. Trong không gian với hệ trục toạđộOxyz cho P :x2yz50 đường thẳng
3
2 : )
(d x y z , điểm A( -2; 3; 4) Gọi là đường thẳng nằm (P) qua giao
điểm ( d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm điểm M cho khoảng cách AM ngắn
GIẢI
Gọi B(x;y;z) giao d với (P) tọa độ B nghiệm hệ :
2
1
2 3 3
3
2
x t
y t
t t t t
z t
x y z
1 1;0;
t B
- Do nằm (P) suy nP
,
2 1 1
/ / , ; ; 3; 3; / / 1; 1;
1 1 2
P d
d n u u
- Vậy qua B(-1;0;4) có véc tơ phương u 1; 1; 1
1 :
4
x t
y t
z t
- Nếu M thuộc M=(-1+t;-t;4-t)
2; 2 ;1 2 2 2 2 12 3 2 9 3 26 26
3 3
AM t t t AM t t t t t t
Do AM đạt GTNN= 26
3
1 11
; ;
3 3
t M
Bài 26. Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng
1 :
z t y
t x
điểm
) 1 , 0 , 1
(
A
d
B A
P
(19)Tìm tọa độ điểm E F thuộc đường thẳng để tam giác AEF tam giác GIẢI
- Nếu E,F thuộc E t1; ;1 ,t1 F t2; ;1t2 EFt2t1; 2t22 ;0t1 (1) - Ta lại có : 2 2 2 2
1 1 1
E 1; ; E 4 5
A t t A t t t t
Tương tự : 2 2 2 2
2 2 2
E 1; ; E 4 5
A t t A t t t t
- Nếu tam giác AEF tam giác ta có hệ :
2
2 2
2
2 1
2 2
2
1 2
5 5
E EF 5
5
E AF 5 5
t t t
A t t t t t t
t t t t
A t t t t
1
1 1 2
2
2 2 2
2 2
1
1
2 76 76
5 5
5 15 15
15 5 76 76
2
15 15
5
t t
t t t t
t t t t t t t
t t
t t
t t
Thay hai cặp t tìm vào tọa độ M , ta tìm hai cặp E,F
1
5 76 10 76 76 2 76
; ;1 , ; ;1
15 15 15 15
E F
2
5 76 10 76 76 2 76
; ;1 , ; ;1
15 15 15 15
E F
Bài 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M(2; 1; 2) đường thẳng (d):
2
1 1
x y z Tìm (d) hai điểm A, B cho tam giác MAB đều
GiẢI Nếu A,B thuộc d ta có :
2 2 2 2 2
1 1; 2; 1 2; 3; 1 1 31 121 14
A t t t AM t t t MA t t t t t
2 2 2 2 2
2; 2; 2 2; 3; 2 2 32 122 14
B t t t MB t t t MB t t t t t
2 2 2 2
2 1; 1; 31 32
AB t t t t t t AB t t t t t t
Nếu tam giác AMB tam giác ta có hệ :
2
2
2 1
1 2
2
2 2 2
2 2
2
1 1 2
4
3 12 12
3 14
3 14
3 12 14 3
t t t t t t
t t t t
MA MB
t t t
t t t
MA AB t t t t t t
2
1 2
2
2 2
1
6
4 3 3
9 36 34 36 34 6 2 6 2
3
t t
t t t t
t t t t
t t
(20)6 2 2
; ; ; ; ;
3 3 3
A B
Bài 28. Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho Cho mặt phẳng P :x2y2z 1 đường thẳng 1: ,
2
x y z
d
5
:
6
x y z
d
Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng MN cách
(P) khoảng
GIẢI - M,N cách mặt phẳng (P) khoảng
1
13
2 3 2 12
2 1;3 ; , 12
1 4
12
t
t t t
M d M t t t h M P t
t
2
11
6 5 12
6 5; ; 5 , 12
1 4
12
t
t t t
N d N t t t h N P t
t
Như ta tìm hai cặp M,N :
1 2
19 13 11 17 1 13
; ; , ; ; , ; ; , ; ;
6 6 6 6
M M N N
Bài 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
( ) :
1
x y z
d ( ) :2 1
2 1
x y z
d
Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )d1 N thuộc ( )d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng P : x – y z 2010 độ dài đoạn MN
GIẢI
- M thuộc d1M t t ; ; ,t Nd2N '; ';1t t t'MN 't t 1; ' ; ' 2t t t t 1
- Theo giả thiết ta có hệ :
2 2
2
2 2
'
42 ' ' ' 2
3
' ' '
t t
MN t t t t t t
t t t
MN n t t t t t t
0
' 3 2 5
0;0;0 , ; ;
2
7 7
'
14
7
t
t t
M N
t
t t
(21)Bài 30 Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:
2 1
x y z
mặt phẳng (P):
x + y + z + = Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P), vng góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới
42
GIẢI
- Tìm tọa độđiểm M giao d với (P) , tọa độ M nghiệm hệ :
3 2
2 1; 1; 3;0
1
2
x t
y t
t t M
z t
x y z
- Đường thẳng
P u nP; d u ud u n uP, d
Do : , 1; 2 1; 2; 3;1
1 1 1
P d
u n u
-Gọi H (x;y;z) hình chiếu vng góc M
thì ta có :
H thuộc (P) : x+y+z+2=0 (1) u MH 2x 1 3 y 3 z 2x 3 y z 11 2
Mặt khác theo giả thiết : 1 2 32 42 42 3
MH x y z
2 2 2 2 2
13 13 13
3 15 15 15
6
1 42 12 3 15 42
x y x y x y
z y z y z y
y y
x y z y y y
Vậy : H=(29;-4;-27) H=(21;-2;-21) Do có hai đường thẳng có véc tơ
phương u 2; 3;1 qua hai điểm H tìm : 1 2
29 21
: ; :
27 21
x t x t
y t y t
z t z t
Bài 31.(KB-08 ). Trong không gian với hệ tọa độOxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z
– = cho MA = MB = MC
GIẢI
- Lập mặt phẳng (ABC) qua A(0;1;2) có véc tơ pháp tuyến n AB AC,
Với : 2; 3; , 2; 1; 1 , 1; ; 2; 4; 8
1 1 2
AB AC AB AC
Do (ABC) có phương trình : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0 - Tìm tọa độđiểm M thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0
Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) Ta có :
P d
(22) 2 2 2 2 2 2 2
; 1; 2 4z
MA x y z MA x y z x y z y
2 2 2 2 2 2 2
2; 2; 2 4x+4 2z
MB x y z MB x y z x y z y
2 2 2 2 2 2
2; ; 4x
MC x y z MC x y z x y z z
- Theo giả thiết , MA=MB=MC ta có hệ :
2
2
2 4z 4x 2z 2x-3 z
2 4z 4x 2z 2x z 2;3;
2x 2x 2x
MA MB y y y z
MA MC y y y M
y z y z y z x
Bài 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) vμ đ−ờng thẳng :
1
x y z
Tìm toạ độ điểm M cho:
2 28
MA MB
GIẢI Nếu M thuộc M=(1-t;t-2;2t ) Khi ta có :
2 2 2 2 2
; 6; 2 6 20 40
MA t t t MA t t t t t
2 2 2 2 2
2 ; 4; 4 28 36
MB t t t MB t t t t t
Theo giả thiết cho : 2 28
MA MB
2
2
12t 48t 76 28, t t M 1;0;