Tai lieu toan hay LTDH 2012 tSy

LIÊN QUAN ĐẾ N GÓC.[r]

MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

I LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

(5 BÀI )

Bμi ( KA-2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A

'B'C'D' với

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0), A'(0; 0;1) Gọi M N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C MN

2 Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C tạo với mặt phẳng Oxy góc α biÕt

1 o s

6

c  

GIẢI a/ Tính h( A’C,MN)

- Ta có : ' 1;1;1 , 0;1;0 , ' 1;0;1

A C MN  MA   

 

  

- Do :

1 1 1

1

' , ' 1

1 0 0

2 2

A C MN MA

        

  

- Vậy :

 

3

' , ' 3

2 ' ,

1 2

' ,

A C MN MA h A C MN

A C MN

 

 

  

 

 

 

     b/ Lập mặt phẳng (P) chứa A’C

- Gọi (P) : ax+by+cz+d=0 (1)

- Do qua (A’C) : Qua A’(0;0;1) suy : c+d=0 (2) Suy c=-d = a+b (P) qua C(1;1;0) : a+b+d =0 (3) suy : (P) : ax+by+(a+b)z-(a+b)=0 (*)

- Mặt phẳng (P) có : na b c; ; , mặt phẳng (Oxy) có véc tơ pháp tuyến k0;0;1 Do

ta có :  2 2 2 2

2 2

1 2

os

2a

n k a b a b

c a b a b c

b

n k a b c

             

 

  

 

 (4)

- Với : a=-2b, chọn b=-1, ta (P) : 2x-y+z-1=0 - Với b=-2a , chọn a=1 , ta (P) : x-2y-z+1=0

Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 6) mp(P): x + 2y + z 3= Viết phương trình mp(Q) chứa AB tạo với mp(P) góc  thỏa mãn: cos

6  

GIẢI Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0

(Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2) - Mặt phẳng (P) có n1; 2;1 Suy

Z

A B

C D ’

B’ C’ D’

A’

M

 2  2 2 2

2 3

os

6

Q

Q

P

P

n n a b c

c a b c a b c

n n a b c

           

   

 

  (3)

- Từ (1) (2) ta có :

2a 4a

a b c d c a b

b c d d b

      

 



       

 

- Thay vào (3)

:  2 2 2  2 2 2 , 15

6 2a 3 3a 11a

0,

a b c b d b

b a b a b b b

a b c d b

       

 

            

      

- Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 (Q’): -x+y-3=0

Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) đường thẳng (d):

1

x  y  z

 Viết phương trình đường thẳng () qua giao điểm đường thẳng (d) với mặt phẳng (OAB), nằm mặt phẳng (OAB) hợp với đường thẳng (d) góc  cho cos

6  

GIẢI

- Ta có : 2; 1;1 , 0;1; 2 , 1 ; 2; 1; 4; 2

1 2 0

OA  OB  OA OB    n

 

 

    

- Do : mp(OAB): x+4y+2z=0 (1) Gọi M giao d với (OAB) tọa độ M

nghiệm hệ :  

4 2z

4(3 ) 2(2 1) 10 10;13; 21

3

x y

x t

t t t t M

y t

z t

  

 

             

   

    

- Vì  OAB  d,, n uP    0 a 4b2c0  2 ua b c; ; 

- Do :    

2 2 2

2 2 5

os ,

6

1

d P

d P

d P

u n a b c a b c

c u n

u n a b c a b c

   

   

     

   

 

- Suy :  2  2 2 2

5 5b 25 4b 2c b c 11b 16bc 5c b 11c

b c

  

 

            

 

- Với  

10

5 2

; ; / / 2; 5; 11 : 13

11 11 11 11

21 11

d

x t

b c a c u c c c u y t

z t

   



 

               

     



 

- Với b=c, thay vào (2) ta có a=-6c    

10 6 ; ; / / ' 6; 1; : 13

21

x t

u c c c u y t

z t



   



               

 

Bài 3 Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  qua điểm A(0;1;2), vng góc với đường thẳng ( ) :

1 1

x y z

d + = - =

- tạo với mặt phẳng (P): 2x +

GIẢI

* Đường thẳng d có véc tơ phương u 1; 1;1 , đường thẳng  có véc tơ phương

 ; ;  u  a b c

 Mặt phẳng (P) có  

2;1;

n 

 .Gọi    

; , d

d P u u

    

- Do :

2 2 2

, 2a 2a 3

os os30

2

4 1

u n b c b c

c c

u n a b c a b c

 



   

    

     

   

     

2 2 2

2 2a b c a b c 2a b c a b c

           

- Vì : d   u u d         0 a b c b a c  3

- Thay (3) vào (2) ta :

 2  

2 2 2

18a 2a 2a 2a 2a

2a

c

a c a c c c c c

c  

 

             

  

- Với c-0, thay vào (3) ta có b=a suy  ; ;0 / / 1;1;0 :

x t

u b b u y t

z



         

   

 

- Với : c=-2a , thay vòa (3) ta có b=-a  ; ; 2a / / ' 1; 1; 2 : 2

x t

u a a u y t

z t



              

    

 

Bài 4. Trong không gian với hệ trục toạđộ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng : 1 :

1

x y z

 

 , 2 :

1 1

1

x y z

 



a/Chứng minh hai đường thẳng 1 2 chéo

b/Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 tạo với đường thẳng 1

góc 300

GIẢI a/Chứng minh hai đường thẳng 1 2 chéo nhau:

* Đường thẳng 1 có véc tơ phương u1 1; 2;1  

qua O(0;0;0), 2 qua B(1;-1;1) Có véc tơ phương 2 1; 1;3 1, 2 1 1; ;  5; 2; 1

1 3 1

u   u u       

 

 

  

(1)

Mặt khác : u u  1, 2OB1 5       1 1  6 Kết hợp với (1) suy hai đường thẳng 1

và 2 chéo

b/ Viết phương trình (P)

Đường thẳng 2

1

0

1

:

1 3x

1

x y

x y

x z z

 

 

   

 

  

     

 



* Vì (P) chứa  2  P thuộc chùm :

  3x 2 0  3  z 2 0  2 0  *

Mặt khác (P) tạo với đường thẳng 1 góc 300 :    

 

0 0

1 2

2

, 1 3 2

30 90 , , 60 os60

2 3 1 1

n u m n m n

n u n u c

n u m n m n

  

 

        

     

     

 

 2 2   2 2 2 11  

6 2m 10n 6mn 2n m 2m 13mn 11n m n

m n

   

         

    - Thay (3) vào (*) ta có :

- Với 11  : 11  : 5x 11 2z

2 2

m  n P  x y   z P  y   Với m=-n (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ−ờng thẳng d vμ d’ lần l−ợt có ph−ơng trình : d : x y z

  

1

vμ d’ :

1

2

    

 z

y x

Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua d v tạo với d góc 300

GIẢI

Tương tự 4, ta chuyển d sang dạng giao hai mặt phẳng : x-z=0 x+y-2=0 Do (P) thuộc chùm : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 (1)

Đường thẳng d’ có u2;1; 1  Vì (P) tạo với d’ góc 300

     

 

0 0

1 2

2

, ' 1

30 90 , , 60 os60

2

' 4 1

n u m n n m

n u n u c

n u m n n m

  

 

        

     

     

 

 2 2   2 2 2 2  

2

2

m n

m n

m n mn m n m mn n n

n m

m

 

    

           

      

- Với m=-2n thay vào (1) (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0 - Với n=-2m thay vào (1) (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0

II LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH

( 32 BÀI ) Bài 1.(ĐH_KD-2009)

Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A(1;2;1),B(-2;1;3), C(2;-1;1),D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) khoảng cách từđiểm D đến mặt phẳng (P)

GIẢI - Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0

- (P) qua A(1;2;1) : a+2b+c+d=0 (1) (P) qua B(-2;1;3) : -2a+b+3c+d=0 (2) - Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P)

2 2 2

2a

2a

b c d b c d

b c d b c d

a b c a b c

    

        

2a

2a

b c d b c d a b

b c d b c d a b c d

      

 

 

          

 

 Nếu a=b thay vào (1) (2) : 0 ( ) : z ( ) : 0

b c d b

P c c P z

b c d d c

   

 

      

      

 

 Nếu : a+b+c+d=0 thay vào (1) (2)

:    

2

3 : ax 2a :

0 2a

a b c d b

a b c d c a P az P x z

a b c d d

    

 

              

 

       

 

Bài 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) đường thẳng d có phương trình : (P): 2x-y-2z-2=0 (d):

1

x  y  z

 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d), I cách (P) khoảng (P) cắt (S) theo đường trịn giao tuyến có bán kính

GIẢI

Gọi (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Theo giả thiết :

- I thuộc d I( -t;2t-1;t+2) (1) h(I,P)=2 2a 2 2a 2  2 4

b c

b c

  

      

 

- (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (C ) tâm H bán kính r=3 :

   

2 2

,

3 13

h I P IH

R IH r

  

  

    



- Thay (1) vào (2) :

1

2

7 10

; ;

2 2 6 6

2 2 6 5 5

; ;

6 6

t I

t t t t

t t t t

t I

       

 



       

    

  

            

     

  



- Vậy có mặt cầu (S) :    

2 2

1

2 2

2

7 10

: 13

6

5

: 13

6

S x y z

S x y z

      

     

      

     



      

          

      



Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d):

1

x y  z

 hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) Tìm tọa độđiểm M thuộc đường thẳng (d) cho tam giác ABM có diện tích nhỏ

GIẢI - Nếu M thuộc d M có tọđộ M=(t;3-t;2t-1) - Ta có :

 

   

2; ; 2 2 2 2

, ; ; 8; 2;

2 2

; ;

AM t t t t t t t t t

AM BM t t

t t t t t t

BM t t t

            

      

        

    





  

- Do : 1   2 2  2

, 16 34 34

2 2

- Vậy : S = 34

2 t=-5 M=( -5;8;-11)

Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng

 : 1

2

x y z

  

 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng () để tam giác MAB có diện tích nhỏ

GIẢI Cách giải tương tự

- Nếu M thuộc d M có tọ độ M=(2t-1;1-t;2t) - Ta có :

 

 

2 2; ; 2 2 2

, ; ;

2 6 4

2 4; ;

AM t t t t t t t t t

AM BM

t t t t t t

BM t t t

            

  

           

      





  

2t 24;8 12; 12t t 

   

- Do :      

2

2 2

1 23 1547

, 14 12 12 18 1547

2 18 36

S  AM BM  t  t  t  t   

 

  - Vậy : S = 1547

6

23 14 23

; ;

18 18

t M   

 

Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;9;9), B(10;13;1) mặt phẳng (P): x + 5y  7z  = Tìm tọa độđiểm M mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2đạt giá trị nhỏ

GIẢI Gọi M (x;y;z) thuộc (P) ta có : x+5y-7z-5=0 (1)

Khi :        

       

2 2

2

2 2

2

4; 9; 9

10; 13; 10 13

AM x y z AM x y z

BM x y z BM x y z

           

 

          



 

Do 2 2   2  2  2  2  2 2

4 9 10 13

MA MB  x  y  z  x  y  z

Hay : 2 2   2  2 2

2 11 156

MA MB   x  y  z  (2)

Từ (1) -75=1(x+3)+5(y-11)-7(z+4) Theo bất đẳng thức Bu nhe cốp ski suy :  2           2  2 2

75 x y 11 z 25 49  x y 11 z 

                  Do :   2  2 2 752

3 11 75

75

x y z

       

 

Và : 2   2  2 2

2 11 156 2.75 156 306

Dấu đẳng thức xảy :

50

3 11 5x 26 5x+26 17

192

1 7x 25 7x 25

3 17

5 7z 50 75

1

17 17

x

x y y y

z z y

x z

x y

x

z

  

 

 

        

 

           

     

        

     

 

 

 Ta cách khác , sử dụng hệ thức trung tuyến : Gọi I trung điểm AB Ta có : 2 2  

2 *

2

AB

MA MB  MI 

Với :  14; 4;10 196 16 100 312

AB   AB    



Và I(-3;11;-4) suy MIx3;y11;z4

Do : 2   2  2 2

2MI 2 x3  y11  z  Vậy (*)

  2  2 2   2  2 2

2 2 3 11 4 312 2 3 11 4 156

2

MA MB  x y z   x y z 

                 

( Kết )

Bài 6. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; 11), B(3; 5; 4), C(2; 1; 6) đường thẳng thẳng (d):

2 1

x  y  z Xác định toạ độ điểm M thuộc (d)

sao cho MA MB   MC đạt giá trị nhỏ GIẢI

Điểm M thuộc d M(2t+1;2+2t;1+t) , :

 

 

 

 

2 4; 6; 12

2 2; 3; 1; 4;

2 1; 1;

MA t t t

MB t t t MA MB MC t t t

MC t t t

    

              



    



    

  2 2 2 2 10 53 53

2 20 17

9

MA MB MC t t t t t t 

                

 

  

Dấu đẳng thức xảy :

11

10 11

; ;

9 9 9

1

x

t M y M

z

    

  

           

 

    

Bài 7. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1; 2), B(1; 3; 0), C(3; 4; 1) D(1; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)

GIẢI

Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0

2 2 2

3a 2a

3a

3a

b c d a b c d b

b c d a b c d

b c d a b c d a b c d

a b c a b c

        

        

   

             

     

Kết hợp với hai phương trình (1) (2) ta có hai hệ xét cho hai trường hợp :

 Trường hợp 1:  

2a 2a

2 4a : 4z

7a 7a

b b

a c d c P x y

d d

 

 

 

                 

 

 Trường hợp 2:

 

3 2a

2 2a : 2z

3 2a 4a

a b c d a b d c

a b c d b c a b P x y

a b d c d

        

  

  

                         

  

Bài 7.Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho mặt phẳng (P):3x3y2z37 0 điểm A(4;1;5), B(3;0;1), C(1;2; 0) Tìm toạ độđiểm M thuộc () để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: MA.MB MB.MC MC.MA      

GIẢI

Gọi M(x;y;z) thuộc (P) ta có phương trình : 3x-3y+2z+37=0 (1) Khi ta có :  4; 1; ,  3; ; ,  1; 2; 

MA x y z MB x y z MC x y z

  

:

        2  

1 7x 6z 17

MA MB x x y y  z z x y z   y 

 

       2  

2x z-3

MB MC x x y y z z  x y z   y

 

        2  

3x 5z

MC MA x x  y y z z x y z   y 

 

Lấy (2)+(3)+(4) vế với vế ta :

 2    2  2 2

MA.MB MB.MC MC.MA 3   x y z 4x 2 y4z 4 3 x2  y1  z2 5      

Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho phương trình (1) :

 2           2  2 2

44 x y z 9  x y z 

                   Suy :   2  2 2 44.44

2 88

22

x  y  z  

Hay :   2  2 2

3 x2  y1  z2 15 3.88 15 249   Vậy : MA.MB MB.MC MC.MA 249       

Dấu đẳng thức xảy :

 

2

3

3 4

2 2x

7 4;7;

3

2 3x 2z 37 22x 88

x y

y x

x

x z

z y M

z y

   

    

  

 

  

  

        

    

     

 



Bài 8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A 0;1;2 ,B 1;1;0    mặt phẳng (P):

0

x  y z Tìm toạđộ điểm M thuộc (P) cho tam giác MAB vuông cân B

Ta có : BA1;0; , MBx1;y1;z Nếu tam giác MAB vuông cân B kết hợp với (1) ta có hệ phương trình :

       

2

2 2 2 2

z 2z 2z

1 y=-z-1

5 1 5z 5z

BA MB y x x x

BA MB y z y z

y x z x y z y z

  

         

  

   

          

     

           

   

   

 

2 10 10

6

1 10 10

3

4 10 10

6

z z

x x

y y

     

 

 

 

     

 

   

 

     

 

 

 

 

Bài 9. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho đường thẳng (d):

2

x t

y t

z t

     

    

mặt phẳng (P): x   y z Gọi (d’) hình chiếu (d) lên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc (d’) cho H cách điểm K(1; 1; 4) khoảng

GIẢI

Lập phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d (P) - Tìm tọa độ A giao d với (P) Tọa độ A nghiệm hệ :

 

2

2 2 4; 2;3

1

x t

y t

t t t t A

z t

x y z

    

             

    

     

- Do hình chiếu vng góc nên '  

1 2 2

, ; ; 1; 4;

1 1 1

d d

u u n       

 

 

  

- Vậy d’ qua A(4;-2;3)có véc tơ phương '  

4 1; 4; ' :

3

d

x t

u d y t

z t

   

           



Tìm tọa độ H

Nếu H thuộc d’ H=(t+4;-2-4t;3-3t) (*) ,suy KH   t; 4t3;3 1t  Do : 2   2  2 2 2 2

3 3 26 36 19 25 26 36

KH  t  t   t  t  t   t  t 

Vậy : 1 30 ; 2 30

13 13

t    t    , thay vào (*) ta tìm tọa độ H Bài 10. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

1: 1

1 1

x y z

 

  ; 2:

1

x t

y z t

   

     

Đường thẳng đi qua điểm I(0;3;1), cắt 1 A, cắt 2 B Tính tỷ số IA IB =k GIẢI

Do A thuộc       1 A  t'; t';3t' B thuộc     2 B  ;1;t t

Ta có : IA   t t'; ' 4; 4 t' ; IB   ; 2;t  t1

Theo giả thiết :

 

     

4 '

1 ' 2

4 ' 2 '

5

4 ' 1 '

t k

t k t t

IA

t k k k t t

IB k

t k t t k t

       

  



         

  

         

 



Bài 11. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2 1

x  y  z

 ;

1: 1

1

x y z

 

 Đường vng góc chung 1 2 cắt 1 A, cắt 2 B Tính diện tích  OAB

GIẢI

*Do A thuộc    1 A 1 ';t   t'; t' B thuộc     2 B  ;1 ;3t  t t Ta có : AB t ' 2;7t  t t' 1;5 t t' ;

- Nếu AB đường vng góc chung :

     

     

   

2

2 ' ' ' 0 1;1;3

2 ' 7 ' ' ' 1;0;

t t t t t t t B

AB u

t t t t t t t A

AB u

                

  

  

            

  

  



   

- Gọi S diện tích tam giác OAB : ,

S  OA OB 

- Do : 1;0; ,  1;1;3 , ; 1; 1  2;1; 1

0 2 1

OA  OB  OA OB     

 

 

   

- Và , 1

2 2

S OA OB     

Bài 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y  2z + = 0, đường thẳng (d): 1

1

x  y  z

 Viết phương trình đường thẳng  vng góc với (P) thỏa mãn  cắt (d) điểm M cách (P) khoảng

GIẢI Tìm M d M=(t-1;7t+1;3-t)

Khoảng cách từ M đến (P) h(M,P)= 2 1 3  4

t   t  t

 

 

8 19 45 41

; ;

11 11 11 11 11

11

11 39 29

; ;

11 11 11 11

t M

t t

t

t M

       

 

   

   

    

    

    

  

 



Vì  cắt d  qua M  (P) u nP 2;1; 2 

 

Vì

19 11

5 :

11 41

2 11

x t

y t

z t

    

 

     

   

Hoặc :

7 11 39 :

11 29

2 11

x t

y t

z t

    

 

    

   

Chú ý : Ta cịn có cách khác sau

- Lập mặt phẳng (Q) song song với (P) cách (P) khoảng

- Do (Q) có dạng : 2x+y-2z+m=0 Ví h(P,Q) = suy : Trên (Q) chọn N(-2;-3;1) ta tính h(N,Q)= 2( 2) ( 3) 2(1) 8 14

8

4

m m

m

m

m m

  

      

     

   

    Như :

có hai mặt phẳng (Q) ; 2x+y-2z+14=0 2x+y-2z+2=0

- Bây ta tìm tọa độ M giao d với (Q), tọa độ M nghiệm :

1

7

2( 1) 2(3 ) 14 11

3 11

2x 2z+14

x t

y t

t t t t t

z t

y   

  

            

   

   



- Hoặc :

1

7

2( 1) 2(3 ) 11

3 11

2x 2z+2

x t

y t

t t t t t

z t

y   

  

              

   

   



Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng :

1

     

x y z hai điểm A(0;1:2), B(2;1;1) Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng  cho tam giác ABC có diện tích nhỏ

GIẢI Nếu C thuộc  có tọa độ : C=(t+1 ;2-t ;1+2t) Ta có :

 

   

1;1 ; 3 1

, ; ; 9;3 ;

2 3 2

2; 2;3

AC t t t t t t t t t

AC AB t t

AB

            

      

      

   





  

Gọi S diện tích tam giác ABC : 1   2 2

, 16

2

S  AC AB  t  t   2

2 88 88 22

2

S t

Bài 14. Trong không gian tọa độOxyz, cho ba điểm A( 1;0;1), (2; 1;0), (2; 4; 2) B  C

mặt phẳng ( ) : x y 2z 2 Tìm tọa độ điểm M () cho biểu thức

2 2

T MA MB MC đạt giá trị nhỏ

GIẢI Nếu M thuộc mặt phẳng ( ) : x y 2z 2 (1)

Khi ta có :

  2  2 2  2 2 2 2

1; ; 1 2x 2z

MA x y z MA  x y  z x y z   



  2   2   2 2 2 2

2; 1; 4x+2y

MB x y z MB  x  y  z x y z  



  2   2  2 2 2 2 2

2; 4; 2 4x 4z 24

MC x y z MC  x  y  z x y z   y 



Cộng vế ba đẳng thức ta :

T= 2  2    2  2 2  

3 2x 2z 31 1 22

MA MB MC  x y z   y    x  y  z 

Do M thuộc (P) : x+y+2z+2=0 x 1 y 1 2 z  1 Áp dụng bất đẳng thức Bu

nhe cốp ski cho ba cặp số : (1;1;2) (x-1;y-1;z-1 ) ta có :

 2           2  2 2

6 x 1 y z 1  x y z 

                     2  2 2 62

3 1 22 22 40

6

T  x y z 

           

Dấu đẳng thức xảy xảy trường hợp dấu bẳng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski:

   

1

1 0

1

2x 0;0;

1

1 2x

2z

x y

y x x

x z

z y M

z

x x

x y

    

   



  

 

         

          

    



Bài 15. Trong không gian tọa độOxyz, cho hai điểm A(0;0;3); B(2;0;1) mặt phẳng

(P): 3x yz +1 = Tìm tọa độđiểm C nằm (P) cho ABC tam giác

GIẢI

Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) suy ; 3x-y-z+1=0 (1) Khi ta tính :

  2 2 2  2   2  2 2  2

; ; 3 ; 2; ;

MA x y z MA x y  z MB x y z MB  x y  z

 

Nếu tam giác ABC tam giác ta có hệ phương trình :      

 

2 2

2 2

2

2

2 2 2

2 x

3

3 4x 8z 0

1

3 2 6z

6

3x 3x 3x 10

3

x y z x y z

MA MB

MA AB x y z z

y z y z y z

y

           

       

             

   

               



   

 Vậy điểm M cần tìm : 0; ;

3

M  

   

Bài 16. Trong không gian Oxyz cho mp (P): 3x  8y + 7z + = hai điểm A(1; 1; 3), B(3; 1; 1) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC

GIẢI

Nếu C thuộc (P) tọa độ C=(x;y;z) thỏa mãn : 3x-8y+7z+4=0 (1) Ta có : 2;0; 2 4 8

AB  AB    

  2   2  2 2 2 2 2

1; 1; 1 2x 6z 11

MA x y z MA  x  y  z x y z   y 



  2   2  2 2 2 2 2

3; 1; 1 6x 2z 11

MB x y z MB  x  y  z x y z   y 



Nếu tam giác ABC tam giác ta có hệ phương trình :      

2

2 2

2 2

4

3 6

3 2 2

3

3x 4

x y

x y

MA MB

MA AB y y y y y

y z z y z x

    



  



               

  

        

    

Vậy có hai điểm C : 1 2 6;1 6; 2 ; 2 2 6;1 6; 2

3 3 3

C       C      

   

Bài 17. Trong không gian tọa độOxyz, cho tam giác ABC có A(3; 1; 0), B nằm

mặt phẳng Oxy C nằm trục Oz Tìm tọa độ điểm B, C cho H(2; 1; 1) trực

tâm tam giác ABC

GIẢI

Nếu B nằm mp(Oxy) B( x;y;0), cịn C nằm trục Oz C(0;0;z)

Gọi H trực tâm tam giác ABC giao ba đường cao hạ từ ba đỉnh tam giác có nghĩa ta có hệ ba phương trình :

AH BC CH AB BH AC

 

 



 



   

  (1)

Ta có : ABx3;y1;0 ; CH 2;1;1 z ABCH 2x   3 y 2x y

Tương tự : AC   3; 1; ,z BH 2x;1y;1AC BH 3x    2 y z 3x  y z

Và : BC   x; y z; , AH   1;0;1BC AH x z

Do hệ (1)  

2x 7 2x

3x 7

0 3x 2x

y y x t

y z z x y t t R

x z x z t

     

  

  

                       

  

Vậy điểm C cần tìm có tọa độ C=( t;7-2t;-t ) ( Có vơ số điểm C)

Bài 18. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):

2

x y

z

+

-= =

điểm M(4 ; ; 6) Đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tâm M hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình mặt cầu (S)

GIẢI

Do :  

2 2

6 6 9

, 1 2

,

4

MN U h M d

u

         

 

     

          

 

 

  

36 36 3

 

 

-Xét tam giác vuông MAH ( H chân đường vng góc M d ) , ta có :

2

2 2 9 18

2

AB

MA R MH       

    Vậy mặt cầu (S) có tâm

M(4;1;6) , bán kính R=3

Có phương trình :     2  2 2

: 18

S x  y  z 

Bài 19. Trong không gian với hệ trục toạđộ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y + z + = hai đường thẳng ( ) :1 3;( );2 1

2 3

x y z x y z

d - = + = - d + = - = -

Viết phương trình đường thẳng () song song với (P); vng góc với (d1) cắt (d2)

tại E có hồnh độ

GIẢI

Đường thẳng d1 qua điểm M(1;-2;3) có véc tơ phương  

1 2;1;3

u , đường thẳng d2 có véc tơ phương  

2 2;3;

u

Gọi  đường thẳng song song với (P) có u a b c; ;  thì:

-  

   

; ;

0; 2a

2; 1;1

P P P

P

u a b c

n u n u n b c

n



 

  

         

  



     

-  d1u u  0; 2a b 3c0  2  

-  qua E d2 với E(3;y;z)  

3

2 3; 1;6

3

t t

y t y E

z t z

  

 

 

              

 

- Từ (1) (2) ta có hệ : 2a  ; ; / / 1;1; 1

2a

b c a c

u c c c u

c b c 

    

 

      

     

 

 

- Vậy  qua E(3;-1;6) có  

3

1;1; :

6

x t

u y t

z t

   

           



Bài 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) vμ đ−ờng thẳng d có ph−ơng trình

3 1

2

1  

 y z

x

Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d v khoảng c¸ch tõ d tíi (P) lμ lín nhÊt

GIẢI A

B

M H d

2 d

1 d



Gọi (P) mặt phẳng qua A(10;2;-1) có véc tơ pháp tuyến na b c; ;  Do (P) có phương trình : a(x-10)+b(y-2)+c(z+1)=0 ; Hay (P): ax+by+cz-10a-2b+c=0 (*)

Đường thẳng d qua B(1;0;1) có véc tơ phương u2;1;3

- Nếu (P) song song với d n u nu  0 2a b 3c0  1

- Khoảng cách từ d đến (P) khoảng cách từ M thuộc d đến (P) , với M=(2t+1;t;3t+1) ta cho t=0 M=(1;0;1) :

h(M,P)=

2 2 2

10a 2 9a

a c c b c b

a b c a b c

     



    (2) Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho tử

số :       

 

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 9a

2 9a

2c 2b 9a 2 c b a c b 89 c b 89

c b a a b c

   

          

   

- Vậy: h(M;P) đạt GTNN 89 trường hợp xảy dấu bất đẳng thức :

9

2

2

b c

c b a

a c

        

    

Bài 21. Cho điểm A(1 ; ; 3), B(1 ; ; 2) hai mp : (P): 2x – 6y + 4z + =

(Q): x – y + z + =

Tìm tọa độ giao điểm K đường thẳng AB với mp(P) Tìm tọa độ điểm C nằm mp(Q) cho tam giác ABC tam giác

GIẢI

- Đường thẳng (AB) qua A(1;2;3) có véc tơ phương AB  2; 2; 1 do (AB) có

phương trình :

1 2

x t

y t

z t

          

Đường thẳng (AB) cắt mặt phẳng (P) K , tọ độ K nghiệm hệ :

     

1

2 23 57

2 2 3 20 ; ;

3 20 10 10 20

2x 4z

x t

y t

t t t t t K

z t

y      

                 

    

 



    



Nếu C nằm mặt phẳng (Q) C(x;y;z) thỏa mãn : x-y+z+1=0 (1)

Tam giác ABC :  

2

2 2

1

AB AC

AB AC

AB BC AB BC

x y z x y z

  





   

 

         

 

Từ (1) (2) ta có :

 2; 2; 1 4 9.

AB    AB    

   2   2  2 2

1; 2; 3

AC x y z AC  x  y  z



  2   2  2 2

1; 4;

BC x y z BC  x  y  z

(2)

     

                 

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 2 3 9

1 4x 2z

1

x y z x y z

x y z x y z y

x y z

x y z

             

 

 

                

         



 



 

2

2

11

5

4

2

3 3

2

19

7 2 11 0

2 2 2

2

y

x y x y

z z x

y y z

y y



   



   

 



 



   

     

  

         

     

     

    

 

11 5

4

y x z

   

          

Bài 22. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(9; 1; 1) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ

GIẢI

Gọi A(a;0;0) tuộc Ox,B(0;b;0) thuộc Oy C(0;0;c) thuộc Oz ( a,b,c khác ) Khi mặt phẳng (P) có dạng : x y z bcx acy abz abc  1

a    b c     Nếu (P) qua M(9;1;1) ta có : 1  2

a  b c Do thể tích tứ diện  3

6 OABC

V  abc

Ta áp dụng bất đẳng thức cô si :

Từ (2) abc=9bc+ac+ab 3  2  3  2  

3 abc abc 27.9 abc abc 243

    

Dấu đẳng thức xảy :  

9

3 :

27 3

9 1 1 27

1

bc ac a b b

x y z

ac ab c b c P

a

a b c b b b

 

     

         

  

   

        

 

Bài 23. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d

4

x  y  z

 

và hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I đường thẳng d cho IA +IB đạt giá trị nhỏ

GIẢI Nhận xét :

Đường thẳng d có véc tơ phương

4; 6; / / ' 2; 3; 4 1;1; 3

u   u    ABAM   Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do (AB) d thuộc mặt phẳng Từđó , theo kết hình học phẳng , ta làm

sau :

- Tìm tọa độđiểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Lập đường thẳng d’ qua A’ B

A

B

I A’

- Tìm tọa độ I giao (A’B) với d

Theo cách làm , rõ ràng dường thẳng d trung trực AA’ IA=IA’ , : IA+IB=IA’+IB=A’B Nếu có I’ thuộc d I’A+I’B>A’B Vậy I điểm - Cũng theo nhận xét IH đường trung bình tam giác A’BA AB=2IH Hay IA’=IB=IA (*) Do :

Nếu I nằm d điểm I có tọa độ I=(2+4t;-6t;-8t-1) Từ ta có :     2  2 2

4 1;1 ; 1

AI t t t AI t t t

           

Tương tự :     2  2 2

4 1; ;1 4

BI t t t BI t t t

           Từ (*) : IA=IB   2  2 2

4t 1 6t 8t

      =   2  2 2

4 1t  6 t  1 8t

Hay : 116 44 11 116 72 18 44 72 18 11 116 6

58

t t t t t t t t

             

Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu : 64; ; 45

29 29 29

I    

 

Chú ý : Năm 1998 ĐH Thái nguyên K-A+B dạng tập

* Đề thi : Cho điểm A(1;2;-1) điểm B(7;-2;3) , đường thẳng d giao hai mặt phẳng có phương trình : 2x+3y-4=0 y+z-4=0

a/ Chứng tỏ d đường thẳng (AB) thuộc mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng

b/ Tìm tọa độ giao điểm d với mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB

c/ Tìm điểm I thuộc d cho chu vi tam giác ABI có giá trị nhỏ ? Tính chu vi tam giác ABI với điểm I tìm

Bài 24. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3)

đường

thẳng d có phương trình 32 (t R)

x t

y t

z t

  

   

    

Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến A B nhỏ

GIẢI Nhận xét :

Đường thẳng d có véc tơ phương

3; 2; / / 6; 4; 4 1; 2;5

u   AB  AN   Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do (AB) d thuộc mặt phẳng Từ , theo kết hình học phẳng , ta làm sau : - Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Lập đường thẳng d’ qua A’ B

- Tìm tọa độ M giao (A’B) với d

Theo cách làm , rõ ràng dường thẳng d trung trực AA’ MA=MA’ , : MA+MB=MA’+MB=A’B Nếu có M’ thuộc d M’A+M’B>A’B Vậy M điểm

A

B

M A’

- Cũng theo nhận xét MH đường trung bình tam giác A’BA AB=2MH Hay MA’=MB=MA (*) Do :

Nếu M nằm d điểm I có tọa độ M=(2+3t;-2t;4+2t) Từđó ta có :     2  2 2

3 1; 2 ; 2

AM t t t AM t t t

           

Tương tự :     2  2 2

3 5; 2 ; 2

BM t t t BM t t t

           Từ (*) : MA=MB =   2  2 2

3 1t  2 2t  2t5 = 3t5 2 2 2t 2 2t12

Hay : 17 34 30 17 36 30 34 36 0 11 70 0 0

t t t t t t t t

              Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu : M=(2;0;4 )

Bài 25. Trong không gian với hệ trục toạđộOxyz cho  P :x2yz50 đường thẳng

3

2 : )

(d x  y z , điểm A( -2; 3; 4) Gọi là đường thẳng nằm (P) qua giao

điểm ( d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm  điểm M cho khoảng cách AM ngắn

GIẢI

Gọi B(x;y;z) giao d với (P) tọa độ B nghiệm hệ :    

2

1

2 3 3

3

2

x t

y t

t t t t

z t

x y z

  

  

          

   

     

 

1 1;0;

t B

    

- Do nằm (P) suy  nP



,

   

2 1 1

/ / , ; ; 3; 3; / / 1; 1;

1 1 2

P d

d n u      u

           

 

  

- Vậy  qua B(-1;0;4) có véc tơ phương u 1; 1; 1  

1 :

4

x t

y t

z t

   

     

   

- Nếu M thuộc  M=(-1+t;-t;4-t)

 2; 2 ;1   2 2 2 2 12 3 2 9 3 26 26

3 3

AM t t t AM t t t t t t 

                     

 



Do AM đạt GTNN= 26

3

1 11

; ;

3 3

t M    

 

Bài 26. Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng     

   

1 :

z t y

t x

điểm

) 1 , 0 , 1

( 

A

d

B A

P

Tìm tọa độ điểm E F thuộc đường thẳng để tam giác AEF tam giác GIẢI

- Nếu E,F thuộc   E t1; ;1 ,t1  F t2; ;1t2 EFt2t1; 2t22 ;0t1 (1) - Ta lại có :   2  2 2 2

1 1 1

E 1; ; E 4 5

A  t  t A  t   t   t  t 



Tương tự :   2  2 2 2

2 2 2

E 1; ; E 4 5

A  t  t  A  t   t   t  t 



- Nếu tam giác AEF tam giác ta có hệ :

     

   

2

2 2

2

2 1

2 2

2

1 2

5 5

E EF 5

5

E AF 5 5

t t t

A t t t t t t

t t t t

A t t t t



    

       

  

  

     

      

    

1

1 1 2

2

2 2 2

2 2

1

1

2 76 76

5 5

5 15 15

15 5 76 76

2

15 15

5

t t

t t t t

t t t t t t t

t t

t t

t t

 

     

  

   

             

      

 

  

          

 

 

 

Thay hai cặp t tìm vào tọa độ M , ta tìm hai cặp E,F 

1

5 76 10 76 76 2 76

; ;1 , ; ;1

15 15 15 15

E     F    

   

2

5 76 10 76 76 2 76

; ;1 , ; ;1

15 15 15 15

E     F    

   

Bài 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M(2; 1; 2) đường thẳng (d):

2

1 1

x  y  z Tìm (d) hai điểm A, B cho tam giác MAB đều

GiẢI Nếu A,B thuộc d ta có :

    2   2  2 2 2

1 1; 2; 1 2; 3; 1 1 31 121 14

A t t t AM t t t MA t t t t t

                 

    2   2  2 2 2

2; 2; 2 2; 3; 2 2 32 122 14

B t t t MB t t t MB t t t t t

                 

  2  2 2 2

2 1; 1; 31 32

AB t t t t t t AB t t t t t t

         

Nếu tam giác AMB tam giác ta có hệ :

  

    

2

2

2 1

1 2

2

2 2 2

2 2

2

1 1 2

4

3 12 12

3 14

3 14

3 12 14 3

t t t t t t

t t t t

MA MB

t t t

t t t

MA AB t t t t t t

   

  

 

    

   

        

   

     

   

   

2

1 2

2

2 2

1

6

4 3 3

9 36 34 36 34 6 2 6 2

3

t t

t t t t

t t t t

t t

   

 

 

   

   

   

       

     

 

 

6 2 2

; ; ; ; ;

3 3 3

A     B    

     

   

Bài 28. Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho Cho mặt phẳng  P :x2y2z 1 đường thẳng 1: ,

2

x y z

d    



5

:

6

x y z

d    



Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng MN cách

(P) khoảng

GIẢI - M,N cách mặt phẳng (P) khoảng

       

1

13

2 3 2 12

2 1;3 ; , 12

1 4

12

t

t t t

M d M t t t h M P t

t   

    

            

   



       

2

11

6 5 12

6 5; ; 5 , 12

1 4

12

t

t t t

N d N t t t h N P t

t   

    

              

    



Như ta tìm hai cặp M,N :

1 2

19 13 11 17 1 13

; ; , ; ; , ; ; , ; ;

6 6 6 6

M    M   N   N   

       

Bài 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

( ) :

1

x y z

d   ( ) :2 1

2 1

x y z

d    



Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )d1 N thuộc ( )d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng  P : x – y  z  2010  độ dài đoạn MN

GIẢI

- M thuộc d1M t t ; ; ,t Nd2N    '; ';1t t t'MN    't t 1; ' ; ' 2t t t  t 1

- Theo giả thiết ta có hệ :

     

     

2 2

2

2 2

'

42 ' ' ' 2

3

' ' '

t t

MN t t t t t t

t t t

MN n t t t t t t

   

         

  

  

             

  

   

 

0

' 3 2 5

0;0;0 , ; ;

2

7 7

'

14

7

t

t t

M N

t

t t

   

   

       

 

   

Bài 30 Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:

2 1

x  y  z

 mặt phẳng (P):

x + y + z + = Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng (P), vng góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới 

42

GIẢI

- Tìm tọa độđiểm M giao d với (P) , tọa độ M nghiệm hệ :  

3 2

2 1; 1; 3;0

1

2

x t

y t

t t M

z t

x y z

  

    

             

     

- Đường thẳng

 P u nP; d u ud u n uP, d

           Do : , 1; 2 1; 2; 3;1

1 1 1

P d

u n u     

 

  

-Gọi H (x;y;z) hình chiếu vng góc M 

thì ta có :

H thuộc (P) : x+y+z+2=0 (1) u  MH 2x 1 3 y   3 z 2x 3 y  z 11  2

Mặt khác theo giả thiết :  1 2 32  42 42  3

MH  x  y z  

  2 2   2  2 2

13 13 13

3 15 15 15

6

1 42 12 3 15 42

x y x y x y

z y z y z y

y y

x y z y y y

        

 

  

        

     

           

 

 

Vậy : H=(29;-4;-27) H=(21;-2;-21) Do có hai đường thẳng có véc tơ

phương u 2; 3;1  qua hai điểm H tìm : 1 2

29 21

: ; :

27 21

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

                 

 

Bài 31.(KB-08 ). Trong không gian với hệ tọa độOxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z

– = cho MA = MB = MC

GIẢI

- Lập mặt phẳng (ABC) qua A(0;1;2) có véc tơ pháp tuyến n  AB AC, 

Với : 2; 3; ,  2; 1; 1 , 1; ; 2; 4; 8

1 1 2

AB   AC    AB AC      

     

 

   

Do (ABC) có phương trình : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0 - Tìm tọa độđiểm M thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0

Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) Ta có :



P d

  2 2   2 2 2 2 2

; 1; 2 4z

MA x y z MA x y z x y z y

              

  2   2  2 2 2 2 2

2; 2; 2 4x+4 2z

MB x y z MB x y z x y z y

                

  2     2 2 2 2 2

2; ; 4x

MC x y z MC x y z x y z z

              

- Theo giả thiết , MA=MB=MC ta có hệ :

 

2

2

2 4z 4x 2z 2x-3 z

2 4z 4x 2z 2x z 2;3;

2x 2x 2x

MA MB y y y z

MA MC y y y M

y z y z y z x

              

              

   

               

  



Bài 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) vμ đ−ờng thẳng  :

1

x y z

 

 Tìm toạ độ điểm M  cho:

2 28

MA MB 

GIẢI Nếu M thuộc  M=(1-t;t-2;2t ) Khi ta có :

  2 2   2 2 2

; 6; 2 6 20 40

MA t t t MA t t t t t

            

  2   2  2 2 2

2 ; 4; 4 28 36

MB t t t MB t t t t t

             

Theo giả thiết cho : 2 28

MA MB 

 2  

2

12t 48t 76 28, t t M 1;0;