1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

Tai lieu toan hay LTDH 2012 tSy

22 10 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 22
Dung lượng 300 KB

Nội dung

LIÊN QUAN ĐẾ N GÓC.[r]

(1)

MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

I LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

(5 BÀI )

Bμi ( KA-2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A

'B'C'D' với

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0), A'(0; 0;1) Gọi M N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C MN

2 Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C tạo với mặt phẳng Oxy góc α biÕt

1 o s

6

c  

GIẢI a/ Tính h( A’C,MN)

- Ta có : ' 1;1;1 , 0;1;0 , ' 1;0;1

A CMNMA   

 

  

- Do :

1 1 1

1

' , ' 1

1 0 0

2 2

A C MN MA

        

  

- Vậy :

 

3

' , ' 3

2 ' ,

1 2

' ,

A C MN MA h A C MN

A C MN

 

 

  

 

 

 

     b/ Lập mặt phẳng (P) chứa A’C

- Gọi (P) : ax+by+cz+d=0 (1)

- Do qua (A’C) : Qua A’(0;0;1) suy : c+d=0 (2) Suy c=-d = a+b (P) qua C(1;1;0) : a+b+d =0 (3) suy : (P) : ax+by+(a+b)z-(a+b)=0 (*)

- Mặt phẳng (P) có : na b c; ; , mặt phẳng (Oxy) có véc tơ pháp tuyến k0;0;1 Do

ta có :  2 2 2 2

2 2

1 2

os

2a

n k a b a b

c a b a b c

b

n k a b c

             

 

  

 

 (4)

- Với : a=-2b, chọn b=-1, ta (P) : 2x-y+z-1=0 - Với b=-2a , chọn a=1 , ta (P) : x-2y-z+1=0

Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 6) mp(P): x + 2y + z 3= Viết phương trình mp(Q) chứa AB tạo với mp(P) góc  thỏa mãn: cos

6  

GIẢI Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0

(Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2) - Mặt phẳng (P) có n1; 2;1 Suy

Z

A B

C D ’

B’ C’ D’

A’

M

(2)

 2  2 2 2

2 3

os

6

Q

Q

P

P

n n a b c

c a b c a b c

n n a b c

           

   

 

  (3)

- Từ (1) (2) ta có :

2a 4a

a b c d c a b

b c d d b

      

 

       

 

- Thay vào (3)

:  2 2 2  2 2 2 , 15

6 2a 3 3a 11a

0,

a b c b d b

b a b a b b b

a b c d b

       

 

            

      

- Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 (Q’): -x+y-3=0

Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) đường thẳng (d):

1

xy  z

 Viết phương trình đường thẳng () qua giao điểm đường thẳng (d) với mặt phẳng (OAB), nằm mặt phẳng (OAB) hợp với đường thẳng (d) góc  cho cos

6  

GIẢI

- Ta có : 2; 1;1 , 0;1; 2 , 1 ; 2; 1; 4; 2

1 2 0

OA  OB  OA OB    n

 

 

    

- Do : mp(OAB): x+4y+2z=0 (1) Gọi M giao d với (OAB) tọa độ M

nghiệm hệ :  

4 2z

4(3 ) 2(2 1) 10 10;13; 21

3

x y

x t

t t t t M

y t

z t

  

 

             

   

    

- Vì  OAB  d,, n uP    0 a 4b2c0  2 ua b c; ; 

- Do :    

2 2 2

2 2 5

os ,

6

1

d P

d P

d P

u n a b c a b c

c u n

u n a b c a b c

   

   

     

   

 

- Suy :  2  2 2 2

5 5b 25 4b 2c b c 11b 16bc 5c b 11c

b c

  

 

            

 

- Với  

10

5 2

; ; / / 2; 5; 11 : 13

11 11 11 11

21 11

d

x t

b c a c u c c c u y t

z t

   

 

               

     

 

- Với b=c, thay vào (2) ta có a=-6c    

10 6 ; ; / / ' 6; 1; : 13

21

x t

u c c c u y t

z t

   

               

 

Bài 3 Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  qua điểm A(0;1;2), vng góc với đường thẳng ( ) :

1 1

x y z

d + = - =

- tạo với mặt phẳng (P): 2x +

(3)

GIẢI

* Đường thẳng d có véc tơ phương u 1; 1;1 , đường thẳng  có véc tơ phương

 ; ;  u  a b c

 Mặt phẳng (P) có  

2;1;

n 

 .Gọi    

; , d

d P u u

    

- Do :

2 2 2

, 2a 2a 3

os os30

2

4 1

u n b c b c

c c

u n a b c a b c

 

   

    

     

   

     

2 2 2

2 2a b c a b c 2a b c a b c

           

- Vì : d   u u d         0 a b c b a c  3

- Thay (3) vào (2) ta :

 2  

2 2 2

18a 2a 2a 2a 2a

2a

c

a c a c c c c c

c  

 

             

  

- Với c-0, thay vào (3) ta có b=a suy  ; ;0 / / 1;1;0 :

x t

u b b u y t

z

         

   

 

- Với : c=-2a , thay vòa (3) ta có b=-a  ; ; 2a / / ' 1; 1; 2 : 2

x t

u a a u y t

z t

              

    

 

Bài 4. Trong không gian với hệ trục toạđộ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng : 1 :

1

x y z

 

 , 2 :

1 1

1

xyz

 

a/Chứng minh hai đường thẳng 1 2 chéo

b/Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 tạo với đường thẳng 1

góc 300

GIẢI a/Chứng minh hai đường thẳng 1 2 chéo nhau:

* Đường thẳng 1 có véc tơ phương u1 1; 2;1  

qua O(0;0;0), 2 qua B(1;-1;1) Có véc tơ phương 2 1; 1;3 1, 2 1 1; ;  5; 2; 1

1 3 1

u   u u       

 

 

  

(1)

Mặt khác : u u  1, 2OB1 5       1 1  6 Kết hợp với (1) suy hai đường thẳng 1

và 2 chéo

b/ Viết phương trình (P)

Đường thẳng 2

1

0

1

:

1 3x

1

x y

x y

x z z

 

 

   

 

  

     

 



* Vì (P) chứa  2  P thuộc chùm :

  3x 2 0  3  z 2 0  2 0  *

(4)

Mặt khác (P) tạo với đường thẳng 1 góc 300 :    

 

0 0

1 2

2

, 1 3 2

30 90 , , 60 os60

2 3 1 1

n u m n m n

n u n u c

n u m n m n

  

 

        

     

     

 

 2 2   2 2 2 11  

6 2m 10n 6mn 2n m 2m 13mn 11n m n

m n

   

         

    - Thay (3) vào (*) ta có :

- Với 11  : 11  : 5x 11 2z

2 2

m  nPxy   z Py   Với m=-n (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ−ờng thẳng dd’ lần l−ợt có ph−ơng trình : d : x yz

  

1

d’ :

1

2

    

z

y x

Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua d v tạo với d góc 300

GIẢI

Tương tự 4, ta chuyển d sang dạng giao hai mặt phẳng : x-z=0 x+y-2=0 Do (P) thuộc chùm : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 (1)

Đường thẳng d’ có u2;1; 1  Vì (P) tạo với d’ góc 300

     

 

0 0

1 2

2

, ' 1

30 90 , , 60 os60

2

' 4 1

n u m n n m

n u n u c

n u m n n m

  

 

        

     

     

 

 2 2   2 2 2 2  

2

2

m n

m n

m n mn m n m mn n n

n m

m

 

    

           

      

- Với m=-2n thay vào (1) (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0 - Với n=-2m thay vào (1) (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0

II LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH

( 32 BÀI ) Bài 1.(ĐH_KD-2009)

Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A(1;2;1),B(-2;1;3), C(2;-1;1),D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) khoảng cách từđiểm D đến mặt phẳng (P)

GIẢI - Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0

- (P) qua A(1;2;1) : a+2b+c+d=0 (1) (P) qua B(-2;1;3) : -2a+b+3c+d=0 (2) - Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P)

2 2 2

2a

2a

b c d b c d

b c d b c d

a b c a b c

    

        

(5)

2a

2a

b c d b c d a b

b c d b c d a b c d

      

 

 

          

 

 Nếu a=b thay vào (1) (2) : 0 ( ) : z ( ) : 0

b c d b

P c c P z

b c d d c

   

 

      

      

 

 Nếu : a+b+c+d=0 thay vào (1) (2)

:    

2

3 : ax 2a :

0 2a

a b c d b

a b c d c a P az P x z

a b c d d

    

 

              

 

       

 

Bài 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) đường thẳng d có phương trình : (P): 2x-y-2z-2=0 (d):

1

xy  z

 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d), I cách (P) khoảng (P) cắt (S) theo đường trịn giao tuyến có bán kính

GIẢI

Gọi (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Theo giả thiết :

- I thuộc d I( -t;2t-1;t+2) (1) h(I,P)=2 2a 2 2a 2  2 4

b c

b c

  

      

 

- (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (C ) tâm H bán kính r=3 :

   

2 2

,

3 13

h I P IH

R IH r

  

  

    



- Thay (1) vào (2) :

1

2

7 10

; ;

2 2 6 6

2 2 6 5 5

; ;

6 6

t I

t t t t

t t t t

t I

       

 

       

    

  

            

     

  

- Vậy có mặt cầu (S) :    

2 2

1

2 2

2

7 10

: 13

6

5

: 13

6

S x y z

S x y z

      

     

      

     

      

          

      

Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d):

1

xy  z

 hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) Tìm tọa độđiểm M thuộc đường thẳng (d) cho tam giác ABM có diện tích nhỏ

GIẢI - Nếu M thuộc d M có tọđộ M=(t;3-t;2t-1) - Ta có :

 

   

2; ; 2 2 2 2

, ; ; 8; 2;

2 2

; ;

AM t t t t t t t t t

AM BM t t

t t t t t t

BM t t t

            

      

        

    





  

- Do : 1   2 2  2

, 16 34 34

2 2

(6)

- Vậy : S = 34

2 t=-5 M=( -5;8;-11)

Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng

 : 1

2

xyz

  

 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng () để tam giác MAB có diện tích nhỏ

GIẢI Cách giải tương tự

- Nếu M thuộc d M có tọ độ M=(2t-1;1-t;2t) - Ta có :

 

 

2 2; ; 2 2 2

, ; ;

2 6 4

2 4; ;

AM t t t t t t t t t

AM BM

t t t t t t

BM t t t

            

  

           

      





  

2t 24;8 12; 12t t

   

- Do :      

2

2 2

1 23 1547

, 14 12 12 18 1547

2 18 36

S  AM BM  t  t  t  t   

 

  - Vậy : S = 1547

6

23 14 23

; ;

18 18

t M   

 

Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;9;9), B(10;13;1) mặt phẳng (P): x + 5y  7z  = Tìm tọa độđiểm M mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2đạt giá trị nhỏ

GIẢI Gọi M (x;y;z) thuộc (P) ta có : x+5y-7z-5=0 (1)

Khi :        

       

2 2

2

2 2

2

4; 9; 9

10; 13; 10 13

AM x y z AM x y z

BM x y z BM x y z

           

 

          



 

Do 2 2   2  2  2  2  2 2

4 9 10 13

MAMBx  y  zx  y  z

Hay : 2 2   2  2 2

2 11 156

MAMB   x  y  z  (2)

Từ (1) -75=1(x+3)+5(y-11)-7(z+4) Theo bất đẳng thức Bu nhe cốp ski suy :  2           2  2 2

75 x y 11 z 25 49  x y 11 z

                  Do :   2  2 2 752

3 11 75

75

x y z

       

 

Và : 2   2  2 2

2 11 156 2.75 156 306

(7)

Dấu đẳng thức xảy :

50

3 11 5x 26 5x+26 17

192

1 7x 25 7x 25

3 17

5 7z 50 75

1

17 17

x

x y y y

z z y

x z

x y

x

z

  

 

 

        

 

           

     

        

     

 

 

 Ta cách khác , sử dụng hệ thức trung tuyến : Gọi I trung điểm AB Ta có : 2 2  

2 *

2

AB

MAMBMI

Với :  14; 4;10 196 16 100 312

AB   AB    



Và I(-3;11;-4) suy MIx3;y11;z4

Do : 2   2  2 2

2MI 2 x3  y11  z  Vậy (*)

  2  2 2   2  2 2

2 2 3 11 4 312 2 3 11 4 156

2

MA MBx y z   x y z

                 

( Kết )

Bài 6. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; 11), B(3; 5; 4), C(2; 1; 6) đường thẳng thẳng (d):

2 1

x  y  z Xác định toạ độ điểm M thuộc (d)

sao cho MA MB   MC đạt giá trị nhỏ GIẢI

Điểm M thuộc d M(2t+1;2+2t;1+t) , :

 

 

 

 

2 4; 6; 12

2 2; 3; 1; 4;

2 1; 1;

MA t t t

MB t t t MA MB MC t t t

MC t t t

    

              

    



    

  2 2 2 2 10 53 53

2 20 17

9

MA MB MC t t t t tt

                

 

  

Dấu đẳng thức xảy :

11

10 11

; ;

9 9 9

1

x

t M y M

z

    

  

           

 

    

Bài 7. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1; 2), B(1; 3; 0), C(3; 4; 1) D(1; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)

GIẢI

Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0

(8)

2 2 2

3a 2a

3a

3a

b c d a b c d b

b c d a b c d

b c d a b c d a b c d

a b c a b c

        

        

   

             

     

Kết hợp với hai phương trình (1) (2) ta có hai hệ xét cho hai trường hợp :

 Trường hợp 1:  

2a 2a

2 4a : 4z

7a 7a

b b

a c d c P x y

d d

 

 

 

                 

 

 Trường hợp 2:

 

3 2a

2 2a : 2z

3 2a 4a

a b c d a b d c

a b c d b c a b P x y

a b d c d

        

  

  

                         

  

Bài 7.Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho mặt phẳng (P):3x3y2z37 0 điểm A(4;1;5), B(3;0;1), C(1;2; 0) Tìm toạ độđiểm M thuộc () để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: MA.MB MB.MC MC.MA      

GIẢI

Gọi M(x;y;z) thuộc (P) ta có phương trình : 3x-3y+2z+37=0 (1) Khi ta có :  4; 1; ,  3; ; ,  1; 2; 

MAxyzMBxy zMCxyz

  

:

        2  

1 7x 6z 17

MA MBxx y y  z z xyz   y

 

       2  

2x z-3

MB MCxx y y z z  xyz   y

 

        2  

3x 5z

MC MAxx  yy z z xyz   y 

 

Lấy (2)+(3)+(4) vế với vế ta :

 2    2  2 2

MA.MB MB.MC MC.MA 3   xyz 4x 2 y4z 4 3 x2  y1  z2 5      

Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho phương trình (1) :

 2           2  2 2

44 x y z 9  x y z

                   Suy :   2  2 2 44.44

2 88

22

x  y  z  

Hay :   2  2 2

3 x2  y1  z2 15 3.88 15 249   Vậy : MA.MB MB.MC MC.MA 249       

Dấu đẳng thức xảy :

 

2

3

3 4

2 2x

7 4;7;

3

2 3x 2z 37 22x 88

x y

y x

x

x z

z y M

z y

   

    

  

 

  

  

        

    

     

 



Bài 8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A 0;1;2 ,B 1;1;0    mặt phẳng (P):

0

x  y z Tìm toạđộ điểm M thuộc (P) cho tam giác MAB vuông cân B

(9)

Ta có : BA1;0; , MBx1;y1;z Nếu tam giác MAB vuông cân B kết hợp với (1) ta có hệ phương trình :

       

2

2 2 2 2

z 2z 2z

1 y=-z-1

5 1 5z 5z

BA MB y x x x

BA MB y z y z

y x z x y z y z

  

         

  

   

          

     

           

   

   

 

2 10 10

6

1 10 10

3

4 10 10

6

z z

x x

y y

     

 

 

 

     

 

   

 

     

 

 

 

 

Bài 9. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho đường thẳng (d):

2

x t

y t

z t

     

    

mặt phẳng (P): x   y z Gọi (d’) hình chiếu (d) lên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc (d’) cho H cách điểm K(1; 1; 4) khoảng

GIẢI

Lập phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d (P) - Tìm tọa độ A giao d với (P) Tọa độ A nghiệm hệ :

 

2

2 2 4; 2;3

1

x t

y t

t t t t A

z t

x y z

    

             

    

     

- Do hình chiếu vng góc nên '  

1 2 2

, ; ; 1; 4;

1 1 1

d d

u u n       

 

 

  

- Vậy d’ qua A(4;-2;3)có véc tơ phương '  

4 1; 4; ' :

3

d

x t

u d y t

z t

   

           



Tìm tọa độ H

Nếu H thuộc d’ H=(t+4;-2-4t;3-3t) (*) ,suy KH   t; 4t3;3 1t  Do : 2   2  2 2 2 2

3 3 26 36 19 25 26 36

KH  tt   ttt   tt 

Vậy : 1 30 ; 2 30

13 13

t    t    , thay vào (*) ta tìm tọa độ H Bài 10. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

1: 1

1 1

xyz

 

  ; 2:

1

x t

y z t

   

     

(10)

Đường thẳng đi qua điểm I(0;3;1), cắt 1 A, cắt 2 B Tính tỷ số IA IB =k GIẢI

Do A thuộc       1 At'; t';3t' B thuộc     2 B  ;1;t t

Ta có : IA   t t'; ' 4; 4 t' ; IB   ; 2;tt1

Theo giả thiết :

 

     

4 '

1 ' 2

4 ' 2 '

5

4 ' 1 '

t k

t k t t

IA

t k k k t t

IB k

t k t t k t

       

  

         

  

         

 

Bài 11. Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2 1

x  yz

 ;

1: 1

1

xyz

 

 Đường vng góc chung 1 2 cắt 1 A, cắt 2 B Tính diện tích  OAB

GIẢI

*Do A thuộc    1 A 1 ';t   t'; t' B thuộc     2 B  ;1 ;3ttt Ta có : AB t ' 2;7tt t' 1;5 t t' ;

- Nếu AB đường vng góc chung :

     

     

   

2

2 ' ' ' 0 1;1;3

2 ' 7 ' ' ' 1;0;

t t t t t t t B

AB u

t t t t t t t A

AB u

                

  

  

            

  

  

   

- Gọi S diện tích tam giác OAB : ,

S  OA OB 

- Do : 1;0; ,  1;1;3 , ; 1; 1  2;1; 1

0 2 1

OA  OB  OA OB     

 

 

   

- Và , 1

2 2

S OA OB     

Bài 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y  2z + = 0, đường thẳng (d): 1

1

x  y  z

 Viết phương trình đường thẳng  vng góc với (P) thỏa mãn  cắt (d) điểm M cách (P) khoảng

GIẢI Tìm M d M=(t-1;7t+1;3-t)

Khoảng cách từ M đến (P) h(M,P)= 2 1 3  4

t   t  t

 

 

8 19 45 41

; ;

11 11 11 11 11

11

11 39 29

; ;

11 11 11 11

t M

t t

t

t M

       

 

   

   

    

    

    

  

 

(11)

Vì  cắt d  qua M  (P) u nP 2;1; 2 

 

19 11

5 :

11 41

2 11

x t

y t

z t

    

 

     

   

Hoặc :

7 11 39 :

11 29

2 11

x t

y t

z t

    

 

    

   

Chú ý : Ta cịn có cách khác sau

- Lập mặt phẳng (Q) song song với (P) cách (P) khoảng

- Do (Q) có dạng : 2x+y-2z+m=0 Ví h(P,Q) = suy : Trên (Q) chọn N(-2;-3;1) ta tính h(N,Q)= 2( 2) ( 3) 2(1) 8 14

8

4

m m

m

m

m m

  

      

     

   

    Như :

có hai mặt phẳng (Q) ; 2x+y-2z+14=0 2x+y-2z+2=0

- Bây ta tìm tọa độ M giao d với (Q), tọa độ M nghiệm :

1

7

2( 1) 2(3 ) 14 11

3 11

2x 2z+14

x t

y t

t t t t t

z t

y   

  

            

   

   

- Hoặc :

1

7

2( 1) 2(3 ) 11

3 11

2x 2z+2

x t

y t

t t t t t

z t

y   

  

              

   

   

Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng :

1

     

x y z hai điểm A(0;1:2), B(2;1;1) Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng  cho tam giác ABC có diện tích nhỏ

GIẢI Nếu C thuộc  có tọa độ : C=(t+1 ;2-t ;1+2t) Ta có :

 

   

1;1 ; 3 1

, ; ; 9;3 ;

2 3 2

2; 2;3

AC t t t t t t t t t

AC AB t t

AB

            

      

      

   





  

Gọi S diện tích tam giác ABC : 1   2 2

, 16

2

S  AC AB  t  t   2

2 88 88 22

2

S t

(12)

Bài 14. Trong không gian tọa độOxyz, cho ba điểm A( 1;0;1), (2; 1;0), (2; 4; 2) BC

mặt phẳng ( ) : x y 2z 2 Tìm tọa độ điểm M () cho biểu thức

2 2

TMAMBMC đạt giá trị nhỏ

GIẢI Nếu M thuộc mặt phẳng ( ) : x y 2z 2 (1)

Khi ta có :

  2  2 2  2 2 2 2

1; ; 1 2x 2z

MAxy z MAx y  zxyz   



  2   2   2 2 2 2

2; 1; 4x+2y

MBxyzMBx  y  zxyz  



  2   2  2 2 2 2 2

2; 4; 2 4x 4z 24

MCxyz MCx  y  zxyz   y 



Cộng vế ba đẳng thức ta :

T= 2  2    2  2 2  

3 2x 2z 31 1 22

MAMBMCxyz   y    x  y  z 

Do M thuộc (P) : x+y+2z+2=0 x 1 y 1 2 z  1 Áp dụng bất đẳng thức Bu

nhe cốp ski cho ba cặp số : (1;1;2) (x-1;y-1;z-1 ) ta có :

 2           2  2 2

6 x 1 y z 1  x y z

                     2  2 2 62

3 1 22 22 40

6

Tx y z

           

Dấu đẳng thức xảy xảy trường hợp dấu bẳng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski:

   

1

1 0

1

2x 0;0;

1

1 2x

2z

x y

y x x

x z

z y M

z

x x

x y

    

   

  

 

         

          

    



Bài 15. Trong không gian tọa độOxyz, cho hai điểm A(0;0;3); B(2;0;1) mặt phẳng

(P): 3xyz +1 = Tìm tọa độđiểm C nằm (P) cho ABC tam giác

GIẢI

Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) suy ; 3x-y-z+1=0 (1) Khi ta tính :

  2 2 2  2   2  2 2  2

; ; 3 ; 2; ;

MAx y z MAxy  z MBxy z MBx y  z

 

Nếu tam giác ABC tam giác ta có hệ phương trình :      

 

2 2

2 2

2

2

2 2 2

2 x

3

3 4x 8z 0

1

3 2 6z

6

3x 3x 3x 10

3

x y z x y z

MA MB

MA AB x y z z

y z y z y z

y

           

       

             

   

               

   

 Vậy điểm M cần tìm : 0; ;

3

M  

   

(13)

Bài 16. Trong không gian Oxyz cho mp (P): 3x  8y + 7z + = hai điểm A(1; 1; 3), B(3; 1; 1) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC

GIẢI

Nếu C thuộc (P) tọa độ C=(x;y;z) thỏa mãn : 3x-8y+7z+4=0 (1) Ta có : 2;0; 2 4 8

AB  AB    

  2   2  2 2 2 2 2

1; 1; 1 2x 6z 11

MAxyz MAx  y  zxyz   y 



  2   2  2 2 2 2 2

3; 1; 1 6x 2z 11

MBxyz MBx  y  zxyz   y 



Nếu tam giác ABC tam giác ta có hệ phương trình :      

2

2 2

2 2

4

3 6

3 2 2

3

3x 4

x y

x y

MA MB

MA AB y y y y y

y z z y z x

    

  

               

  

        

    

Vậy có hai điểm C : 1 2 6;1 6; 2 ; 2 2 6;1 6; 2

3 3 3

C       C      

   

Bài 17. Trong không gian tọa độOxyz, cho tam giác ABCA(3; 1; 0), B nằm

mặt phẳng Oxy C nằm trục Oz Tìm tọa độ điểm B, C cho H(2; 1; 1) trực

tâm tam giác ABC

GIẢI

Nếu B nằm mp(Oxy) B( x;y;0), cịn C nằm trục Oz C(0;0;z)

Gọi H trực tâm tam giác ABC giao ba đường cao hạ từ ba đỉnh tam giác có nghĩa ta có hệ ba phương trình :

AH BC CH AB BH AC

 

 

 



   

  (1)

Ta có : ABx3;y1;0 ; CH 2;1;1 z ABCH 2x   3 y 2x y

Tương tự : AC   3; 1; ,z BH 2x;1y;1AC BH 3x    2 y z 3x  y z

Và : BC   x; y z; , AH   1;0;1BC AH x z

Do hệ (1)  

2x 7 2x

3x 7

0 3x 2x

y y x t

y z z x y t t R

x z x z t

     

  

  

                       

  

Vậy điểm C cần tìm có tọa độ C=( t;7-2t;-t ) ( Có vơ số điểm C)

Bài 18. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):

2

x y

z

+

-= =

điểm M(4 ; ; 6) Đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tâm M hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình mặt cầu (S)

GIẢI

(14)

Do :  

2 2

6 6 9

, 1 2

,

4

MN U h M d

u

         

 

     

          

 

 

  

36 36 3

 

 

-Xét tam giác vuông MAH ( H chân đường vng góc M d ) , ta có :

2

2 2 9 18

2

AB

MARMH       

    Vậy mặt cầu (S) có tâm

M(4;1;6) , bán kính R=3

Có phương trình :     2  2 2

: 18

S x  y  z

Bài 19. Trong không gian với hệ trục toạđộ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y + z + = hai đường thẳng ( ) :1 3;( );2 1

2 3

x y z x y z

d - = + = - d + = - = -

Viết phương trình đường thẳng () song song với (P); vng góc với (d1) cắt (d2)

tại E có hồnh độ

GIẢI

Đường thẳng d1 qua điểm M(1;-2;3) có véc tơ phương  

1 2;1;3

u , đường thẳng d2 có véc tơ phương  

2 2;3;

u

Gọi  đường thẳng song song với (P) có u a b c; ;  thì:

-  

   

; ;

0; 2a

2; 1;1

P P P

P

u a b c

n u n u n b c

n

 

  

         

  



     

-  d1u u  0; 2a b 3c0  2  

-  qua E d2 với E(3;y;z)  

3

2 3; 1;6

3

t t

y t y E

z t z

  

 

 

              

 

- Từ (1) (2) ta có hệ : 2a  ; ; / / 1;1; 1

2a

b c a c

u c c c u

c b c

    

 

      

     

 

 

- Vậy  qua E(3;-1;6) có  

3

1;1; :

6

x t

u y t

z t

   

           

Bài 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) vμ đ−ờng thẳng d có ph−ơng trình

3 1

2

1  

y z

x

Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d v khoảng c¸ch tõ d tíi (P) lμ lín nhÊt

GIẢI A

B

M H d

2 d

1 d

(15)

Gọi (P) mặt phẳng qua A(10;2;-1) có véc tơ pháp tuyến na b c; ;  Do (P) có phương trình : a(x-10)+b(y-2)+c(z+1)=0 ; Hay (P): ax+by+cz-10a-2b+c=0 (*)

Đường thẳng d qua B(1;0;1) có véc tơ phương u2;1;3

- Nếu (P) song song với d n unu  0 2a b 3c0  1

- Khoảng cách từ d đến (P) khoảng cách từ M thuộc d đến (P) , với M=(2t+1;t;3t+1) ta cho t=0 M=(1;0;1) :

h(M,P)=

2 2 2

10a 2 9a

a c c b c b

a b c a b c

     

    (2) Áp dụng bất đẳng thức Bu nhe cốp ski cho tử

số :       

 

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 9a

2 9a

2c 2b 9a 2 c b a c b 89 c b 89

c b a a b c

   

          

   

- Vậy: h(M;P) đạt GTNN 89 trường hợp xảy dấu bất đẳng thức :

9

2

2

b c

c b a

a c

        

    

Bài 21. Cho điểm A(1 ; ; 3), B(1 ; ; 2) hai mp : (P): 2x – 6y + 4z + =

(Q): x – y + z + =

Tìm tọa độ giao điểm K đường thẳng AB với mp(P) Tìm tọa độ điểm C nằm mp(Q) cho tam giác ABC tam giác

GIẢI

- Đường thẳng (AB) qua A(1;2;3) có véc tơ phương AB  2; 2; 1 do (AB) có

phương trình :

1 2

x t

y t

z t

          

Đường thẳng (AB) cắt mặt phẳng (P) K , tọ độ K nghiệm hệ :

     

1

2 23 57

2 2 3 20 ; ;

3 20 10 10 20

2x 4z

x t

y t

t t t t t K

z t

y      

                 

    

 

    

Nếu C nằm mặt phẳng (Q) C(x;y;z) thỏa mãn : x-y+z+1=0 (1)

Tam giác ABC :  

2

2 2

1

AB AC

AB AC

AB BC AB BC

x y z x y z

  

   

 

         

 

Từ (1) (2) ta có :

 2; 2; 1 4 9.

AB    AB    

   2   2  2 2

1; 2; 3

ACxyz ACx  y  z



  2   2  2 2

1; 4;

BCxyz BCx  y  z

(16)

(2)

     

                 

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 2 3 9

1 4x 2z

1

x y z x y z

x y z x y z y

x y z

x y z

             

 

 

                

         

 

 

2

2

11

5

4

2

3 3

2

19

7 2 11 0

2 2 2

2

y

x y x y

z z x

y y z

y y

   

   

 

 

   

     

  

         

     

     

    

 

11 5

4

y x z

   

          

Bài 22. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(9; 1; 1) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ

GIẢI

Gọi A(a;0;0) tuộc Ox,B(0;b;0) thuộc Oy C(0;0;c) thuộc Oz ( a,b,c khác ) Khi mặt phẳng (P) có dạng : x y z bcx acy abz abc  1

a    b c     Nếu (P) qua M(9;1;1) ta có : 1  2

a  b c Do thể tích tứ diện  3

6 OABC

Vabc

Ta áp dụng bất đẳng thức cô si :

Từ (2) abc=9bc+ac+ab 3  2  3  2  

3 abc abc 27.9 abc abc 243

    

Dấu đẳng thức xảy :  

9

3 :

27 3

9 1 1 27

1

bc ac a b b

x y z

ac ab c b c P

a

a b c b b b

 

     

         

  

   

        

 

Bài 23. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d

4

x  yz

 

và hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I đường thẳng d cho IA +IB đạt giá trị nhỏ

GIẢI Nhận xét :

Đường thẳng d có véc tơ phương

4; 6; / / ' 2; 3; 4 1;1; 3

u   u    ABAM   Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do (AB) d thuộc mặt phẳng Từđó , theo kết hình học phẳng , ta làm

sau :

- Tìm tọa độđiểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Lập đường thẳng d’ qua A’ B

A

B

I A’

(17)

- Tìm tọa độ I giao (A’B) với d

Theo cách làm , rõ ràng dường thẳng d trung trực AA’ IA=IA’ , : IA+IB=IA’+IB=A’B Nếu có I’ thuộc d I’A+I’B>A’B Vậy I điểm - Cũng theo nhận xét IH đường trung bình tam giác A’BA AB=2IH Hay IA’=IB=IA (*) Do :

Nếu I nằm d điểm I có tọa độ I=(2+4t;-6t;-8t-1) Từ ta có :     2  2 2

4 1;1 ; 1

AI t t t AI t t t

           

Tương tự :     2  2 2

4 1; ;1 4

BI t t t BI t t t

           Từ (*) : IA=IB   2  2 2

4t 1 6t 8t

      =   2  2 2

4 1t  6 t  1 8t

Hay : 116 44 11 116 72 18 44 72 18 11 116 6

58

t t t t t t t t

             

Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu : 64; ; 45

29 29 29

I    

 

Chú ý : Năm 1998 ĐH Thái nguyên K-A+B dạng tập

* Đề thi : Cho điểm A(1;2;-1) điểm B(7;-2;3) , đường thẳng d giao hai mặt phẳng có phương trình : 2x+3y-4=0 y+z-4=0

a/ Chứng tỏ d đường thẳng (AB) thuộc mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng

b/ Tìm tọa độ giao điểm d với mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB

c/ Tìm điểm I thuộc d cho chu vi tam giác ABI có giá trị nhỏ ? Tính chu vi tam giác ABI với điểm I tìm

Bài 24. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3)

đường

thẳng d có phương trình 32 (t R)

x t

y t

z t

  

   

    

Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến A B nhỏ

GIẢI Nhận xét :

Đường thẳng d có véc tơ phương

3; 2; / / 6; 4; 4 1; 2;5

u   AB  AN   Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do (AB) d thuộc mặt phẳng Từ , theo kết hình học phẳng , ta làm sau : - Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Lập đường thẳng d’ qua A’ B

- Tìm tọa độ M giao (A’B) với d

Theo cách làm , rõ ràng dường thẳng d trung trực AA’ MA=MA’ , : MA+MB=MA’+MB=A’B Nếu có M’ thuộc d M’A+M’B>A’B Vậy M điểm

A

B

M A’

(18)

- Cũng theo nhận xét MH đường trung bình tam giác A’BA AB=2MH Hay MA’=MB=MA (*) Do :

Nếu M nằm d điểm I có tọa độ M=(2+3t;-2t;4+2t) Từđó ta có :     2  2 2

3 1; 2 ; 2

AM t t t AM t t t

           

Tương tự :     2  2 2

3 5; 2 ; 2

BM t t t BM t t t

           Từ (*) : MA=MB =   2  2 2

3 1t  2 2t  2t5 = 3t5 2 2 2t 2 2t12

Hay : 17 34 30 17 36 30 34 36 0 11 70 0 0

t t t t t t t t

              Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu : M=(2;0;4 )

Bài 25. Trong không gian với hệ trục toạđộOxyz cho  P :x2yz50 đường thẳng

3

2 : )

(d x  y z , điểm A( -2; 3; 4) Gọi là đường thẳng nằm (P) qua giao

điểm ( d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm  điểm M cho khoảng cách AM ngắn

GIẢI

Gọi B(x;y;z) giao d với (P) tọa độ B nghiệm hệ :    

2

1

2 3 3

3

2

x t

y t

t t t t

z t

x y z

  

  

          

   

     

 

1 1;0;

t B

    

- Do nằm (P) suy  nP



,

   

2 1 1

/ / , ; ; 3; 3; / / 1; 1;

1 1 2

P d

dn u      u

           

 

  

- Vậy  qua B(-1;0;4) có véc tơ phương u 1; 1; 1  

1 :

4

x t

y t

z t

   

     

   

- Nếu M thuộc  M=(-1+t;-t;4-t)

 2; 2 ;1   2 2 2 2 12 3 2 9 3 26 26

3 3

AM t t t AM t t t t tt

                     

 



Do AM đạt GTNN= 26

3

1 11

; ;

3 3

t M    

 

Bài 26. Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng     

   

1 :

z t y

t x

điểm

) 1 , 0 , 1

( 

A

d

B A

P

(19)

Tìm tọa độ điểm E F thuộc đường thẳng để tam giác AEF tam giác GIẢI

- Nếu E,F thuộc   Et1; ;1 ,t1  F t2; ;1t2 EFt2t1; 2t22 ;0t1 (1) - Ta lại có :   2  2 2 2

1 1 1

E 1; ; E 4 5

AttAt   t   tt



Tương tự :   2  2 2 2

2 2 2

E 1; ; E 4 5

AttAt   t   tt



- Nếu tam giác AEF tam giác ta có hệ :

     

   

2

2 2

2

2 1

2 2

2

1 2

5 5

E EF 5

5

E AF 5 5

t t t

A t t t t t t

t t t t

A t t t t

    

       

  

  

     

      

    

1

1 1 2

2

2 2 2

2 2

1

1

2 76 76

5 5

5 15 15

15 5 76 76

2

15 15

5

t t

t t t t

t t t t t t t

t t

t t

t t

 

     

  

   

             

      

 

  

          

 

 

 

Thay hai cặp t tìm vào tọa độ M , ta tìm hai cặp E,F 

1

5 76 10 76 76 2 76

; ;1 , ; ;1

15 15 15 15

E     F    

   

2

5 76 10 76 76 2 76

; ;1 , ; ;1

15 15 15 15

E     F    

   

Bài 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M(2; 1; 2) đường thẳng (d):

2

1 1

xy  z Tìm (d) hai điểm A, B cho tam giác MAB đều

GiẢI Nếu A,B thuộc d ta có :

    2   2  2 2 2

1 1; 2; 1 2; 3; 1 1 31 121 14

A t t t AM t t t MA t t t t t

                 

    2   2  2 2 2

2; 2; 2 2; 3; 2 2 32 122 14

B t t t MB t t t MB t t t t t

                 

  2  2 2 2

2 1; 1; 31 32

AB t t t t t t AB t t t t t t

         

Nếu tam giác AMB tam giác ta có hệ :

  

    

2

2

2 1

1 2

2

2 2 2

2 2

2

1 1 2

4

3 12 12

3 14

3 14

3 12 14 3

t t t t t t

t t t t

MA MB

t t t

t t t

MA AB t t t t t t

   

  

 

    

   

        

   

     

   

   

2

1 2

2

2 2

1

6

4 3 3

9 36 34 36 34 6 2 6 2

3

t t

t t t t

t t t t

t t

   

 

 

   

   

   

       

     

 

 

(20)

6 2 2

; ; ; ; ;

3 3 3

A     B    

     

   

Bài 28. Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho Cho mặt phẳng  P :x2y2z 1 đường thẳng 1: ,

2

x y z

d    

5

:

6

x y z

d    

Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng MN cách

(P) khoảng

GIẢI - M,N cách mặt phẳng (P) khoảng

       

1

13

2 3 2 12

2 1;3 ; , 12

1 4

12

t

t t t

M d M t t t h M P t

t   

    

            

   



       

2

11

6 5 12

6 5; ; 5 , 12

1 4

12

t

t t t

N d N t t t h N P t

t   

    

              

    



Như ta tìm hai cặp M,N :

1 2

19 13 11 17 1 13

; ; , ; ; , ; ; , ; ;

6 6 6 6

M    M   N   N   

       

Bài 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

( ) :

1

x y z

d   ( ) :2 1

2 1

x y z

d    

Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )d1 N thuộc ( )d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng  P : xyz  2010  độ dài đoạn MN

GIẢI

- M thuộc d1M t t ; ; ,tNd2N    '; ';1t tt'MN    't t 1; ' ; ' 2tt t  t 1

- Theo giả thiết ta có hệ :

     

     

2 2

2

2 2

'

42 ' ' ' 2

3

' ' '

t t

MN t t t t t t

t t t

MN n t t t t t t

   

         

  

  

             

  

   

 

0

' 3 2 5

0;0;0 , ; ;

2

7 7

'

14

7

t

t t

M N

t

t t

   

   

       

 

   

(21)

Bài 30 Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:

2 1

x  y  z

 mặt phẳng (P):

x + y + z + = Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng (P), vng góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới 

42

GIẢI

- Tìm tọa độđiểm M giao d với (P) , tọa độ M nghiệm hệ :  

3 2

2 1; 1; 3;0

1

2

x t

y t

t t M

z t

x y z

  

    

             

     

- Đường thẳng

 P unP; d uud u n uP, d

           Do : , 1; 2 1; 2; 3;1

1 1 1

P d

u n u     

 

  

-Gọi H (x;y;z) hình chiếu vng góc M 

thì ta có :

H thuộc (P) : x+y+z+2=0 (1) u  MH 2x 1 3 y   3 z 2x 3 y  z 11  2

Mặt khác theo giả thiết :  1 2 32  42 42  3

MHx  y z  

  2 2   2  2 2

13 13 13

3 15 15 15

6

1 42 12 3 15 42

x y x y x y

z y z y z y

y y

x y z y y y

        

 

  

        

     

           

 

 

Vậy : H=(29;-4;-27) H=(21;-2;-21) Do có hai đường thẳng có véc tơ

phương u 2; 3;1  qua hai điểm H tìm : 1 2

29 21

: ; :

27 21

x t x t

y t y t

z t z t

   

 

 

                 

 

Bài 31.(KB-08 ). Trong không gian với hệ tọa độOxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z

– = cho MA = MB = MC

GIẢI

- Lập mặt phẳng (ABC) qua A(0;1;2) có véc tơ pháp tuyến n  AB AC, 

Với : 2; 3; ,  2; 1; 1 , 1; ; 2; 4; 8

1 1 2

AB   AC    AB AC      

     

 

   

Do (ABC) có phương trình : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0 - Tìm tọa độđiểm M thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0

Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) Ta có :

P d

(22)

  2 2   2 2 2 2 2

; 1; 2 4z

MA x y z MA x y z x y z y

              

  2   2  2 2 2 2 2

2; 2; 2 4x+4 2z

MB x y z MB x y z x y z y

                

  2     2 2 2 2 2

2; ; 4x

MC x y z MC x y z x y z z

              

- Theo giả thiết , MA=MB=MC ta có hệ :

 

2

2

2 4z 4x 2z 2x-3 z

2 4z 4x 2z 2x z 2;3;

2x 2x 2x

MA MB y y y z

MA MC y y y M

y z y z y z x

              

              

   

               

  

Bài 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) vμ đ−ờng thẳng  :

1

xyz

 

 Tìm toạ độ điểm M  cho:

2 28

MAMB

GIẢI Nếu M thuộc  M=(1-t;t-2;2t ) Khi ta có :

  2 2   2 2 2

; 6; 2 6 20 40

MA t t t MA t t t t t

            

  2   2  2 2 2

2 ; 4; 4 28 36

MB t t t MB t t t t t

             

Theo giả thiết cho : 2 28

MAMB

 2  

2

12t 48t 76 28, t t M 1;0;

Ngày đăng: 16/05/2021, 07:18

w