Tài Liệu Toán Lớp 9 Hay

- Chøng minh chóng lµ ch©n ®-êng cao trong mét tam gi¸c.[r]

(1)

tổng hợp kiến thức

và cách giải dạng tập toán

A KiÕn thøc cÇn nhí

1 Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A 

2 Các công thức biến đổi thức a

A  A

b AB  A B (A0;B0)

c A A (A 0;B 0)

B  B  

d

( 0)

A B  A B B

e

( 0; 0)

A B  A B A B

( 0; 0)

A B   A B A B f A AB (AB 0;B 0)

B  B  

i A A B (B 0)

B

B  

k

2

( )

( 0; )

C C A B

A A B

A B

AB    

m C C( A 2 B) (A 0;B 0;A B )

A B

A B     

3 Hµm sè y = ax + b (a  0) - TÝnh chÊt:

+ Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < - Đồ thị:

Đồ thị đ-ờng thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) 4 Hµm sè y = ax2 (a  0)

- TÝnh chÊt:

+ Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị:

Đồ thị đ-ờng cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) Phần I:

(2)

2 + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh

+ Nếu a < đồ thị nằm phía d-ới trục hồnh 5 Vị trí t-ơng đối hai đ-ờng thẳng

Xét đ-ờng thẳng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) vµ (d') c¾t  a  a'

(d) // (d')  a = a' vµ b  b' (d)  (d')  a = a' vµ b = b'

6 Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng đ-ờng cong Xét đ-ờng thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P)

(d) vµ (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) điểm chung 7 Ph-ơng trình bậc hai

Xét ph-ơng trình bËc hai ax2 + bx + c = (a  0)

C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän

 = b2 - 4ac

Nếu > : Ph-ơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt:

a b x

2

1

  

 ;

a b x

2

   

Nếu = : Ph-ơng trình có nghiệm kÐp :

a b x x

2

  

NÕu  < : Ph-ơng trình vô nghiệm

' = b'2 - ac víi b = 2b' - NÕu ' > : Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a b x

' '

  

 ;

a b x

' '

   

- NÕu ' = : Ph-ơng trình có nghiệm kép:

a b x

x

'

2

  

- NÕu ' < : Ph-ơng trình vô nghiệm

8 Hệ thức Viet vµ øng dơng - HƯ thøc Viet:

Nếu x1, x2 nghiệm ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:

1

b S x x

a c P x x

a      



  



- Mét sè øng dông:

+ Tìm hai số u v biết u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph-ơng trình: x2 - Sx + P =

(§iỊu kiƯn S2 - 4P  0)

(3)

3 x1 = ; x2 = c

a

NÕu a - b + c = ph-ơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 =

c a 

9 Gi¶i toán cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình B-ớc 1: Lập ph-ơng trình hệ ph-ơng trình

B-ớc 2: Giải ph-ơng trình hệ ph-ơng trình

B-ớc 3: Kiểm tra nghiệm ph-ơng trình hệ ph-ơng trình nghiệm thích hợp với toán kết luận

B dạng tập

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán: Rút gọn biểu thức A

 Để rút gọn biểu thức A ta thực b-ớc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có)

- §-a bít thõa sè thức (nếu có) - Trục thức ë mÉu (nÕu cã)

- Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng tr cỏc s hng ng dng

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trÞ cđa biĨu thøc A

 Tính A mà khơng có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với tốn Rút

gän biĨu thøc A

Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a Cách giải:

- Rót gän biĨu thøc A(x)

- Thay x = a vµo biĨu thøc rót gän

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B  Một số ph-ơng pháp chứng minh: - Ph-ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A = B  A - B =

- Ph-ơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B

- Ph-ơng pháp 3: Ph-ơng pháp so s¸nh A = A1 = A2 = = C B = B1 = B2 = = C

(4)

4 - Ph-ơng pháp 4: Ph-ơng pháp t-ơng đ-ơng

A = B A' = B'  A" = B"  (*) (*) ỳng ú A = B

- Ph-ơng pháp 5: Ph-ơng pháp sử dụng giả thiết - Ph-ơng pháp 6: Ph-ơng pháp quy nạp

- Ph-ng pháp 7: Ph-ơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B  Một số bất đẳng thức quan trọng:

- Bất đẳng thức Cosi:

n

n n a a a a

n

a a

3

2

1     (víi . . 0

2

1a a an 

a )

Dấu “=” xảy khi: a1 a2 a3  an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki:

Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn

  ( )( 2)

3 2 2

3 2

1b a b ab anbn a a a an b b b bn

a            

Dấu = xảy khi:

n n

b a b

a b a b

a    

3 2 1

 Một số ph-ơng pháp chứng minh: - Ph-ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa

A > B  A - B > - Ph-ơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp

A = A1 = A2 = = B + M

> B M - Ph-ơng pháp 3: Ph-ơng pháp t-ơng đ-ơng

A > B A' > B'  A" > B"  (*) (*) A > B

- Ph-¬ng pháp 4: Ph-ơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C vµ C > B  A > B

- Ph-ơng pháp 5: Ph-ơng pháp phản chứng

Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi t-ơng đ-ơng để dẫn đến điều vơ lí ta kt lun A > B

- Ph-ơng pháp 6: Ph-ơng pháp sử dụng giả thiết - Ph-ơng pháp 7: Ph-ơng pháp quy nạp

- Ph-ơng pháp 8: Ph-ơng pháp dùng biểu thức phụ

Dạng 5: toán liên quan tới ph-ơng trình bậc hai

Bài toán 1: Giải ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0)  Các ph-ơng pháp giải:

- Ph-ơng pháp 1: Phân tích đ-a ph-ơng trình tích - Ph-ơng pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai

x2 = a  x =  a

(5)

5 Ta cã  = b2 - 4ac

+ NÕu  > : Ph-¬ng trình có hai nghiệm phân biệt:

a b x     ; a b x 2    

+ NÕu  = : Ph-ơng trình có nghiệm kép a b x x 2   

+ Nếu < : Ph-ơng trình vô nghiệm

- Ph-ơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gän Ta cã ' = b'2 - ac víi b = 2b' + NÕu ' > : Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a b x ' '     ; a b x ' '    

+ Nếu ' = : Ph-ơng trình có nghiÖm kÐp a b x x '   

+ NÕu ' < : Ph-ơng trình vô nghiệm

- Ph-ng phỏp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et Nếu x1, x2 nghiệm ph-ơng trình bậc hai ax

2

+ bx + c = (a0) th×:

          a c x x a b x x 2

Chó ý: NÕu a, c trái dấu tức a.c < ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bi tốn 2: Biện luận theo m có nghiệm ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m )

 XÐt hệ số a: Có thể có khả

a Tr-ờng hợp a = với vài giá trị m Giả sử a =  m = m0 ta có:

(*) trë thµnh ph-ơng trình bậc ax + c = (**) + NÕu b  víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b

+ Nếu b = c = với m = m0: (**) vô định  (*) vô định

+ NÕu b = vµ c  víi m = m0: (**) v« nghiƯm  (*) v« nghiƯm b Tr-ờng hợp a 0: Tính '

+ TÝnh  = b2 - 4ac

Nếu > : Ph-ơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:

a b x     ; a b x 2    

NÕu  = : Ph-ơng trình có nghiệm kép :

a b x x 2   

(6)

6 + TÝnh ' = b'2 - ac víi b = 2b'

NÕu ' > : Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a b x ' '     ; a b x ' '    

Nếu ' = : Ph-ơng trình có nghiệm kÐp:

a b x x '   

NÕu ' < : Ph-¬ng trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận trªn

Bài tốn 3: Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm

 Có hai khả để ph-ơng trình bậc hai ax2

+ bx + c = cã nghiƯm: Hc a = 0, b 

2 Hc a  0,  '

Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mÃn ®iỊu kiƯn hc ®iỊu kiƯn

Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm phân biệt

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt

      0 a hc       0 ' a

 §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:

     0 b a hc       0 a hc       0 ' a

Bài tốn 6: Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép

 §iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:

      0 a hc       0 ' a

Bài tốn 7: Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) vơ nghiệm

 §iỊu kiƯn cã mét nghiÖm:

      0 a hc       0 ' a

 §iỊu kiƯn cã mét nghiÖm:

     0 b a hc       0 a hc       0 ' a

Bài tốn : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm dấu

(7)

7         0 a c

P hc         0 ' a c P

Bài tốn 10 : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm d-ơng

Điều kiện có hai nghiệm d-ơng:

                0 a b S a c

P hc

                0 ' a b S a c P

Bài toán 11 : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm âm

Điều kiện có hai nghiệm âm:

               0 a b S a c

P hc

                0 ' a b S a c P

Bài tốn 12 : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm trái dấu

 §iỊu kiƯn cã hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dấu

Bi toỏn 13 : Tỡm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x = x1

 Cách giải:

- Thay x = x1 vào ph-ơng trình (*) ta có: ax1

+ bx1 + c =  m - Thay gi¸ trị m vào (*) x1, x2

- Hc tÝnh x2 = S - x1 hc x2 =

1 x P

Bài tốn 14 : Tìm điều kiện tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x1, x2 thoả mãn các điều kiện:

a x1x2  b x x k 2

c n

x x1  2 

1

d x12 x22h e x13x32 t

(8)

8

     

 

   

) (

2

P a c x x

S a

b x x

a Tr-êng hỵp: x1 x2  Gi¶i hƯ

   

 

  

   1 2

2

x x

a b x x

Thay x1, x2 vµo (2)  m

Chọn giá trị m thoả mÃn (*) b Tr-êng hỵp: x x k  x x  x1x2k

2 2

2

1 ( )

Thay x1 + x2 = S =

a b 

vµ x1.x2 = P =

a c

vµo ta cã:

S2 - 2P = k Tìm đ-ợc giá trị m thoả mÃn (*)

c Tr-ờng hợp: n x x nx x b nc

x

x1    1 

1

Giải ph-ơng trình - b = nc tìm đ-ợc m thoả mÃn (*) d Tr-ờng hợp: x12x22hS22Ph0

Giải bất ph-ơng trình S2 - 2P - h  chän m tho¶ m·n (*) e Tr-êng hỵp: x x23t  S33PS t

3

Giải ph-ơng trình S33PS t chọn m thoả mÃn (*)

Bài toán 15 : Tìm hai sè u vµ v biÕt tỉng u + v = S vµ tÝch u.v = P

cđa chóng

 Ta cã u vµ v nghiệm ph-ơng trình: x2 - Sx + P = (*) (§iỊu kiƯn S2 - 4P 0)

Giải ph-ơng trình (*) ta tìm đ-ợc hai số u v cần tìm Nội dung 6:

giải ph-ơng trình

bng ph-ng phỏp t n s ph

Bài toán1: Giải ph-ơng trình trùng ph-ơng ax4 + bx2 + c = Đặt t = x2

(t0) ta có ph-ơng trình at2 + bt + c =

Giải ph-ơng trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt

at2 + bt + c = ax4 + bx2 + c =

v« nghiƯm v« nghiƯm

(9)

9

2 nghiƯm ©m vô nghiệm

nghiệm kép âm vô nghiệm

1 nghiệm d-ơng nghiệm đối

2 nghiƯm d-¬ng nghiÖm

2 cặp nghiệm đối

Bài toán 2: Giải ph-ơng trình ( 12) (  1)C 0

x x B x x A

Đặt

x

x = t  x2 - tx + = Suy t2 = (

x

x  )2 =  12 2

x

x  2 12 t22

x x

Thay vào ph-ơng trình ta có:

A(t2 - 2) + Bt + C =  At2 + Bt + C - 2A = Giải ph-ơng trình ẩn t sau vào

x

x = t giải tìm x Bài toán 3: Giải ph-ơng trình ( 12) ( )C0

x x B x x A

 §Ỉt

x

x  = t  x2 - tx - =

Suy t2 = (

x

x  )2 =  12 2

x

x  2 12 t22

x x

Thay vµo ph-ơng trình ta có:

A(t2 + 2) + Bt + C =  At2 + Bt + C + 2A = Giải ph-ơng trình ẩn t sau vào

x

x  = t giải tìm x

Bài toán 4: Giải ph-ơng trình bậc cao

Dựng cỏc phép biến đổi đ-a ph-ơng trình bậc cao dạng: + Ph-ng trỡnh tớch

+ Ph-ơng trình bậc hai

Nội dung 7:

giải hệ ph-ơng trình

Bài toán: Giải hệ ph-ơng trình

  

 

' '

'x b y c

a

c by ax

(10)

10 + Ph-ơng pháp

+ Ph-ng phỏp t n ph

Nội dung 7:

giải ph-ơng trình vô tỉ

Bài toán 1: Giải ph-ơng trình dạng f(x) g(x) (1)

 Ta cã  

  

  



) ( ) ( ) (

) (

) ( )

( )

( 2

x g x f

x g x

g x f

Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp  nghiệm (1) Bài tốn 2: Giải ph-ơng trình dạng f(x) h(x) g(x)

 §iỊu kiƯn cã nghĩa ph-ơng trình

 

  

0 ) (

x g

x h

x f

Với điều kiện thoả mãn ta bình ph-ơng hai vế để giải tìm x Nội dung 8:

giải ph-ơng trỡnh cha giỏ tr tuyt i

Bài toán: Giải ph-ơng trình dạng f (x) g(x)

Ph-ơng pháp 1: f (x) g(x)

    

 

 

2

) ( )

( ) (

x g x

f x g

Ph-ơng pháp 2: Xét f(x)   f(x) = g(x) XÐt f(x) < - f(x) = g(x)

Ph-ơng pháp 3: Víi g(x)  ta cã f(x) = g(x) Nội dung 9:

giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

Bài toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) Ph-ơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc ch½n

- Biến đổi hàm số y = f(x) cho:

y = M - [g(x)]2n ,n Z  y  M Do ymax = M g(x) =

- Biến đổi hàm số y = f(x) cho:

y = m + [h(x)]2k kZ  y  m Do ymin = m h(x) =

 Ph-ơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm  Ph-ơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức

Néi dung 10:

(11)

11

* §iĨm thc ®-êng - ®-êng ®i qua mét ®iĨm

Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(xA;yA) Hỏi (C) có qua A khơng?

 Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm ph-ơng trình (C)

A(C)  yA = f(xA) Dó tính f(xA)

NÕu f(xA) = yA (C) qua A

Nếu f(xA) yA (C) không qua A

* t-ơng giao hai đồ thị

Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x)

Hãy khảo sát t-ơng giao hai đồ thị

 Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm ph-ơng trình hồnh độ điểm chung:

f(x) = g(x) (*)

- Nếu (*) vô nghiệm (C) (L) điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xúc - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có ®iĨm chung - NÕu (*) cã nghiƯm th× (C) (L) có điểm chung

* lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng

Bài toán 1: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) vµ cã hƯ sè gãc b»ng k

 Ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k

- Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta cú ph-ng trỡnh ca (D)

Bài toán 2: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB)

Ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng (D) : y = ax + b

(D) ®i qua A B nên ta có:

 

b ax y

B B

A A

Giải hệ ta tìm đ-ợc a b suy ph-ơng trình (D)

Bài toán 3: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đ-ờng cong (C): y = f(x)

 Ph-ơng trình tổng quát đ-ờng thẳng (D) : y = kx + b Ph-ơng trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là:

f(x) = kx + b (*)

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đ-ợc b suy ph-ơng trình (D)

Bài toán 3: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D) qua ®iĨm A(xA;yA) k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x)

(12)

12 Ph-ơng trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là:

f(x) = kx + b (*)

V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiƯm kÐp

Từ điều kiện ta tìm đ-ợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***) Từ (**) (***)  a b  Ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D)

A KiÕn thức cần nhớ

1 Hệ thức l-ợng tam giác vuông b2 = ab' c2 = ac'

h2 = b'c' ah = bc a2 = b2 + c2 12 12 12

c b h  

2 Tỉ số l-ợng giác góc nhọn

0 < sin < < coss < Phần II: hình học

a b' c'

b c

h

H B

(13)

13

  

cos sin



tg

  

sin cos

cotg  sin2 + cos2 =

tg.cotg =



 2

2

cos

1tg 



 2

2

sin cot

1 g 

3 Hệ thức cạnh góc tam giác vuông

b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B

4 Đ-ờng tròn

- Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đ-ợc đ-ờng tròn

- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đ-ờng trịn có tâm đối xứng; có vơ số trục đối xứng

- Quan hƯ vu«ng gãc đ-ờng kính dây Trong đ-ờng tròn

+ Đ-ờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây + Đ-ờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây

- Liờn hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây:

Trong đ-ờng tròn:

+ Hai dõy cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn - Liên hệ gia cung v dõy:

Trong đ-ờng tròn hay hai đ-ờng tròn nhau: + Hai cung căng hai dây

+ Hai dây căng hai cung

b a c

C B

(14)

14 + Cung lớn căng dây lớn

+ Dây lớn căng cung lớn

- V trí t-ơng đối đ-ờng thẳng đ-ờng trịn:

Vị trí t-ơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R - Đ-ờng thẳng đ-ờng tròn cắt

2 d < R

- Đ-ờng thẳng đ-ờng tròn tiếp xúc

1 d = R

- Đ-ờng thẳng đ-ờng tròn không giao

0 d > R

- Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng đ-ờng trịn:

Vị trí t-ơng đối Số điểm

chung

Hệ thức liên hệ d R

- Hai đ-ờng tròn cắt

2 R - r < OO' < R + r

- Hai đ-ờng tròn tiếp xúc + Tiếp xúc

+ TiÕp xóc

1

OO' = R + r

OO' = R - r - Hai đ-ờng tròn không giao

+ (O) vµ (O') ë ngoµi OO' > R + r

(15)

15 + (O) đựng (O')

+ (O) (O') đồng tâm

0 OO' < R - r

OO' =

5 Tiếp tuyến đ-ờng tròn

- TÝnh chÊt cđa tiÕp tun: TiÕp tun vu«ng gãc với bán kính qua

tiếp điểm

- DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn:

+ Đ-ờng thẳng đ-ờng tròn có điểm chung

+ Khoảng cách từ tâm đ-ờng tròn đến đ-ờng thẳng bán kính + Đ-ờng thẳng qua điểm

đ-ờng trịn vng góc với bán kính qua điểm

- TÝnh chÊt cđa tiÕp tun c¾t

MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB

+ MO phân giác góc AMB + OM phân giác góc AOB

- Tiếp tuyến chung hai đ-ờng tròn: đ-ờng thẳng tiếp xúc với hai đ-ờng trịn đó:

TiÕp tun chung ngoµi TiÕp tun chung

6 Góc với đ-ờng tròn

Loại góc Hình vẽ Công thức tính số ®o

B O A

M

d' d

O' O

d' d

(16)

16

2 Gãc néi tiÕp

2

AMB sd AB

3 Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyến

dây cung

1

xBA sd AB

4 Góc có đỉnh bên đ-ờng tròn

1

( )

2

AMB sd ABsdCD

5 Góc có đỉnh bên ngồi đ-ờng trịn

1

( )

2

AMB sd ABsdCD

Chú ý: Trong đ-ờng tròn

- Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung b»ng th× b»ng

- Gãc néi tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn góc vuông ng-ợc lại góc vuông nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn

B

A

O

M B

A

O

x

B

A

O

M

D C

B A

O

B A

D C

(17)

17 - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung

7 Độ dài đ-ờng tròn - Độ dài cung tròn

- Độ dài đ-ờng tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 bán kính R :

180

Rn l

8 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2

- Diện tích hình quạt tròn b¸n kÝnh R, cong n0:

2

360

R n lR S

9 Các loại đ-ờng tròn Đ-ờng tròn ngoại tiếp

tam giác

Đ-ờng tròn nội tiếp tam giác

Đ-ờng tròn bàng tiếp tam giác

Tâm đ-ờng tròn giao ba đ-ờng trung trực

của tam giác

Tâm đ-ờng tròn giao ba đ-ờng phân giác

của tam giác

Tâm đ-ờng tròn bàng tiếp góc A giao điểm hai đ-ờng phân

giác góc B C giao điểm

của đ-ờng phân giác góc A đ-ờng phân giác

ngoài B (hoặc C) 10 Các loại hình không gian

a Hình trụ

- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh - Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + r

2 - ThĨ tÝch h×nh trơ: V = Sh = r2h

b H×nh nãn:

- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl - DiƯn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rl + r

2

- ThĨ tÝch h×nh trơ: V =

r

3  h

O

C B

A

O

C B

A

F

E

J B

C A

r: bán kính Trong

h: chiỊu cao

r: bán kính Trong l: đ-ờng sinh

h: chiÒu cao

r1: bán kính dáy lớn r2: bán kính đáy nhỏ Trong l: đ-ờng sinh

(18)

18 c H×nh nãn cơt:

- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - ThÓ tÝch: V = 2

1 2

1

( )

3h r r r r

d Hình cầu

- Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d - Thể tích hình cầu: V =

3R

11 Tø gi¸c néi tiÕp:

 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại d-ới góc 

B dạng tập

Dạng 1: Chøng minh hai gãc b»ng  C¸ch chøng minh:

- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba

- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c

- Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đơi - Hai góc phụ (hoặc bù) với góc thứ ba

- Hai góc nhọn tù có cạnh đơi song song vng góc

- Hai góc ó le trong, so le ngồi đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh

- Hai góc mộ tam giác cân

- Hai góc t-ơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng

 C¸ch chøng minh:

- Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh t-ơng ứng hai tam giác

- Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng) - Hai cạnh bên hình thang cân

Dạng 2: Chứng minh hai đ-ờng thẳng song song

C¸ch chøng minh:

- Chứng minh hai đ-ờng thẳng song song với đ-ờng thẳng thứ ba R: bán kính Trong

(19)

19 - Chứng minh hai đ-ờng thẳng vuông góc với đ-ờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau:

+ vị trí so le + vị trí so le ngồi + vị trí đồng vị

- Là hai dây chắn chúng hai cung đ-ờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành

D¹ng 3: Chứng minh hai đ-ờng thẳng vuông góc

- Chóng song song song song với hai đ-ờng thẳng vuông góc khác - Chứng minh chúng chân đ-ờng cao tam giác

- Đ-ờng kính qua trung điểm dây dây - Chúng phân giác hai gãc kÒ bï

Dạng 4: Chứng minh ba đ-ờng thẳng đồng quy

- Chøng minh chóng lµ ba ®-êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n giác (hoặc phân giác phân giác ngoµi cđa hai gãc kia)

- Vận dụng định lí đảo định lí Talet

D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng

* Hai tam gi¸c th-ờng:

- Tr-ờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Tr-ờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Tr-ờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông:

- Có cạnh hun vµ mét gãc nhän b»ng

- Có cạnh huyền cạnh góc vng - Cạnh góc vng đơi

(20)

20 * Hai tam gi¸c th-êng:

- Có hai góc đơi

- Có góc xen hai cạnh t-ơng ứng tỷ lệ - Có ba cạnh t-ơng ứng tỷ lệ

* Hai tam giác vuông:

- Cã mét gãc nhän b»ng

- Có hai cạnh góc vng t-ơng ứng tỷ lệ Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học  Cách chứng minh:

Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: MAC MDB MAD MCB

- NÕu ®iĨm M, A, B, C, D cúng nằm đ-ờng thẳng phải chứng minh tích tích thø ba:

MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: MAE MFB

MCE MFD

 MA.MB = MC.MD

* Tr-ờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh MTA MBT Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại d-ới góc 

D¹ng 9: Chøng minh MT tiếp tuyến đ-ờng tròn (O;R)  C¸ch chøng minh:

- Chøng minh OT  MT t¹i T  (O;R)

- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đ-ờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp

Dạng 10: Các tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc  Cách tính:

- Dựa vào hệ thức l-ợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số l-ợng giác

- Da vo hệ thức cạnh góc tam giác vng - Dựa vào cơng thức tính độ dài, diện tích, thể tích

đây số kiến thức ch-ơng trình tốn để ôn tập tốt em cần