Đang tải... (xem toàn văn)
+ Dùng các qui tắc, công thức trong hình học phẳng để tính độ dài của chúng... Chứng minh: PQRS là hình chữ nhật.[r]
(1)Các dạng tốn vectơ hình học phẳng A/ Kiến thức cần nhớ - Một số qui tắc
1/ I trung điểm AB IA IB 0
2/ I trung điểm AB, với điểm M MA MB 2MI 3/ G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0
4/ G trọng tâm tam giác ABC, với điểm M MA MB MC MG
5/ Qui tắc điểm ( Qui tắc tam giác) AB BC AC hay AB MB MA
6/ Qui tắc hình bình hành : ABCD hình bình hành AB AD AC hay AD BC hay AB DC
7/ Hai vectơ a b ; không phương vectơ c0 ! , (k l k2l2 0) cho c ka lb Giải hệ phương trình tìm số k, l
8/ Hai vectơ a b ; phương !k 0 cho a kb ( k>0: hai vectơ hướng; k<0: hai vectơ ngược hướng)
9/ Chứng minh hệ thức vectơ cho trước dùng phương pháp chèn nhiều điểm vào đẳng thức vectơ dùng qui tắc để biến đổi thành đẳng thức
VD: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Chứng minh: AA'BB'CC' 3 GG'
Giải: Chèn G G’ vào vế trái Ta có:
VT = AG GG 'G A ' ' BG GG 'G B' 'CG GG 'G C' ' 3 GG'
(ĐPCM) (Do AG BG CG (GA GB GC ) 0
G trọng tâm tam giác ABC; Do G A' 'G B' 'G C' ' 0
G’ trọng tâm tam giác A’B’C’) 10/ Tìm vectơ độ dài chúng:
+ Dựa vào qui tắc để biểu diễn vectơ cần tìm theo vectơ biết + Dùng qui tắc, cơng thức hình học phẳng để tính độ dài chúng 11/ Dùng định nghĩa a b a b; cung huong
a b
12/ Nếu a b b c a c
B/ Cho uu u1; 2,vv v1; 2
Khi đó: 1; 2
u v u v u v 1; 2 u v u v u v
1; 2; ku ku ku k
1 2
u v
u v
u v
C/ Cho đểm A x y A; A;B x y B; B;C x y C; C;D x y D; D
1/ Tọa độ vectơ ABxB x yA; B yA
2/ Tọa độ I trung điểm AB: ; ( ; )
A B I
I I A B
I
x x
x
I x y
y y
y
(2)3/ Tọa độ G trọng tâm tam giác ABC: ; ( ; )
A B C
G
G G
A B C
G
x x x
x
G x y
y y y
y
4/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng A, B, C lập thành tam giác AB AC;
không phương:
; B A B A
C A C A
x x y y
AB k AC k
x x y y
5/ Chứng minh A, B, C thẳng hàng đường thẳng qua A, B qua C AB AC; phương:
: B A B A
C A C A
x x y y
k AB k AC
x x y y
hay tìm B để A, B, C thẳng hàng
6/ Tọa độ điểm M Ox M a( ;0) Tọa độ điểm M Oy M(0; )b Tọa độ điểm M tổng quát M x( M;yM)
7/ a/ Đường thẳng qua A, B cắt Ox M, tìm tọa độ M : Do M Ox M a( ;0)
Mà M thuộc đường thẳng qua A; B A, M, B thẳng hàng M A M A A A
B A B A B A B A
x x y y a x y
x x y y x x y y
Tìm a M a( ;0)
b/ Đường thẳng qua A, B cắt Oy N, tìm tọa độ N : Do N Oy N(0; )b
Mà N thuộc đường thẳng qua A; B A, N, B thẳng hàng N A N A A A
B A B A B A B A
x x y y x b y
x x y y x x y y
Tìm b N(0; )b
c/ Đường thẳng qua A, B cắt đường thẳng qua C, D M, tìm tọa độ M: Gọi M x( M;yM)
+ A, M, B thẳng hàng M A M A ( B A) M B A M B A A B A A 1
B A B A
x x y y
y y x x x y y y x x x y
x x y y
+ C, M, D thẳng hàng M C M C ( D C) M D C M D C C D C C 2
D C D C
x x y y
y y x x x y y y x x x y
x x y y
Giải hệ phương trình (1) (2) Tìm tọa độ M x( M;yM)
8/ Tìm tọa độ D cho ABCD hình bình hành D A C B ( ,D D)
D A C B
x x x x
AD BC D x y
y y y y
9/ Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức vectơ MAMB MC0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A M B M C M
A M B M C M
x x x x x x
y y y y y y
A B C
M
A B C
M
x x x
x
y y y
y
( M; M) M x y
10/ Chứng minh hai đường thẳng qua A, B đường thẳng qua C, D song song hay ABCD hình thang, ta chứng
minh AB CD; phương AB AC; không phương hay
D C D C
B A B A
C A C A
B A B A
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
(3)BÀI TẬP
1/ Cho hình bình hành ABCD ABEF, dựng vectơ EH FG ; vectơ AD
CMR: CDGH hình bình hành
2/ Cho hình bình hành ABCD Gọi P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a/ Chứng minh: PQRS hình bình hành
b/ Cho AB = BC Chứng minh: PQRS hình chữ nhật
3/ Cho tam giác ABC, M N trung điểm AB, AC Vẽ MEBC NF; BC
Chứng minh: MENF
4/ Cho tứ giác ABCD khơng phải hình bình hành, AC cắt BD O, OB = OD Gọi M N
là trung điểm AB CD; cắt AC I Chứng minh: MI IN
5/ Cho hình thang ABCD có đáy AB CD với AB = 2CD Từ C vẽ CI DA
Chứng minh: a/ I trung điểm AB
b/ BCID
6/ Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A’ điểm đối xứng A qua I Chứng minh:
a/ BH A C'
b/ BA'HC
7/ Cho tam giác ABC cân A, AB lấy điểm D không trùng với A, B Trên tia đối tia CA lấy
điểm E cho BD = CE, DE cắt BC F Chứng minh: DF FE
8/ Cho hai tam giác ABC AEF có chung trung tuyến AM Chứng minh: CE FB
NC
9/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác ABC B’ điểm
đối xứng với B qua tâm O Chứng minh: AH B C AB' '; 'HC
10/ Chứng minh với hai vectơ a b , không phương Ta có a b a b a b
(HD: áp dụng bất đẳng thức tam giác)
11/ Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác Kéo dài GM đoạn
MD = GM Chứng minh: BD GC BG DC ;
12/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác AH cắt BC I cắt đường tròn M khác A
a/ Chứng minh: HIIM
b/ Gọi K trung điểm BC Chứng minh AM OK; phương
c/ HK cắt đường tròn D, chứng minh BH DC
BD HC
(4)13/ Cho ABC Tìm M cho a/ MA 2MB 3MC0
b/ MA2MB 4MC0
14/ Cho tứ giác ABCD Tìm M cho a/ MA2MB MC 2MD0
b/ MA2MB 5MC2MD0
15/ Cho vectơ a b , không phương
a/ Chứng minh
1/ u2a b ; v3a4b
2/ u a b ; v a b
3/ u2a b ; v a 2b
b/ Tìm x để hai vectơ u v , :
1/ u(x 2)a b ; v(2x1)a b phương
2/ u a (2x1)b ; v xa b hướng
3/ u3a xb ; (1 )
3
v x a b
ngược hướng
Hệ trục tọa độ
1. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;-2); B(3;2); C(0;4) Tìm tọa độ M trường
hợp sau:
a/ CM 2AB 3AC M( 5; 6)
b/ AM 2BM 4CM
( 7;14) M
c/ ABCM hình bình hành M( 2;0)
2. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;4); B(3;1); C(-1;2).Tìm tọa độ M trường
hợp sau:
a/ AM 2BM 5CM
( 6; 2) M
b/ 2MA 3MB0
(1; 5) M
c/ ABMC hình bình hành M(5;3)
d/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC (1; )7
3
G
e/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P trung điểm cạnh BC, AB, AC
(1; )
M ; N(0;3); (2; )5
P
3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(1;1); B(2;4); C(3;2)
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P trung điểm cạnh BC, AB, AC
4. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(6;-3); B(1;0); C(3;2)
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
(5)c/ Tìm D để ABCD hình bình hành Tìm tọa độ tâm I hình bình hành
5. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2;1); B(0;2); C(4;4).
a/ Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng
b/ Tìm tọa độ giao điểm D đường thẳng AB trục Ox c/ Tìm tọa độ giao điểm E đường thẳng AB trục Oy
6. Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;4); B(2;5).
a/ Tìm a để C(a;1) thuộc đường thẳng AB b/ Tìm M để C trung điểm AM
7. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3); B(0;1); C(0;3); D(2;7) Chứng minh AB // CD
8. Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1;1); B(1;3); C(-2;0)
a/ Chứng minh C nằm đường thẳng qua A, B b/ Tìm giao điểm đường thẳng AB trục Oy c/ Chứng minh: A, B, O không thẳng hàng
9. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;-1); B(3;1); C(y;2).
a/ Tìm y để A, B, C thẳng hàng b/ Tìm giao điểm AB Ox c/ Tìm giao điểm AB Oy
10. Trong mặt phẳng Oxy cho B(4;5); C(-2;1)
a/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn BC b/ Chứng minh: O, B, C khơng thẳng hàng c/ Tìm M để OBMC hình bình hành
11. Cho A(-1;5) , B(3;-3)
a/ Tìm tọa độ trung điểm M AB
b/ Tìm tọa độ N cho A trung điểm NB c/ Tìm tọa độ P cho B trung điểm AP
d/ Đường thẳng qua A, B cắt Ox K Tìm tọa độ K e/ Đường thẳng qua A, B cắt Oy L Tìm tọa độ L
f/ Tìm tọa độ điểm C cho OCAB
g/ Tìm tọa độ D cho DA 3DBAB
12. Cho A(1,2); B(2; 4); C(3,-3)
a/ Chứng minh A, B, C lập thành tam giác b/ Xác định trọng tâm G tam giác ABC
c/ Tìm tọa độ E cho O trọng tâm tam giác ABE d/ Tìm tọa độ D để ABCD hình bình hành
e/ Tìm tọa độ F cho OABF hình bình hành
f/ Cho H(a, 1) Xác định tọa độ H để B, C, H thẳng hàng
g/ Xác định K Ox để ABKC hình thang
h/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng qua A,B đường thẳng qua O,C
13. Cho điểm A’(-2;1); B’(4;2); C’(-1;-2) trung điểm cạnh BC, CA, AB của
tam giác ABC Tìm tọa độ định tam giác ABC Chứng minh trọng tâm tam giác
(6)14. Cho a(3;1) ; b(1; 1) . Hãy biểu diễn vectơ c(6; 2) theo hai vectơ a b ; 15 Cho a(2; 3); b(5;1);c ( 3; 2)