on tap Hinh hoc 10 chuong I

+ Dùng các qui tắc, công thức trong hình học phẳng để tính độ dài của chúng... Chứng minh: PQRS là hình chữ nhật.[r]

Các dạng tốn vectơ hình học phẳng A/ Kiến thức cần nhớ - Một số qui tắc

1/ I trung điểm AB  IA IB  0

2/ I trung điểm AB, với điểm M  MA MB   2MI 3/ G trọng tâm tam giác ABC  GA GB GC    0



4/ G trọng tâm tam giác ABC, với điểm M  MA MB MC MG  

   

5/ Qui tắc điểm ( Qui tắc tam giác)   AB BC  AC hay AB MB MA  

6/ Qui tắc hình bình hành : ABCD hình bình hành   AB AD  AC hay AD BC hay AB DC 

   

7/ Hai vectơ a b ; không phương vectơ c0  ! , (k l k2l2 0) cho c ka lb   Giải hệ phương trình tìm số k, l

8/ Hai vectơ a b ; phương  !k 0 cho a kb  ( k>0: hai vectơ hướng; k<0: hai vectơ ngược hướng)

9/ Chứng minh hệ thức vectơ cho trước dùng phương pháp chèn nhiều điểm vào đẳng thức vectơ dùng qui tắc để biến đổi thành đẳng thức

VD: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Chứng minh:   AA'BB'CC' 3 GG'

Giải: Chèn G G’ vào vế trái Ta có:

VT = AG GG  'G A ' ' BG GG  'G B' 'CG GG 'G C' ' 3 GG'

 

(ĐPCM) (Do AG BG CG  (GA GB GC  ) 0

      

G trọng tâm tam giác ABC; Do G A' 'G B' 'G C' ' 0

   

G’ trọng tâm tam giác A’B’C’) 10/ Tìm vectơ độ dài chúng:

+ Dựa vào qui tắc để biểu diễn vectơ cần tìm theo vectơ biết + Dùng qui tắc, cơng thức hình học phẳng để tính độ dài chúng 11/ Dùng định nghĩa a b a b; cung huong

a b

    

 

  

 

 

12/ Nếu a b b c a c

B/ Cho uu u1; 2,vv v1; 2

 

Khi đó:  1; 2

u v   u v u v  1; 2 u v   u  v u  v

 1; 2; ku ku ku k

1 2

u v

u v

u v

    

 

 

C/ Cho đểm A x y A; A;B x y B; B;C x y C; C;D x y D; D

1/ Tọa độ vectơ ABxB  x yA; B yA 

2/ Tọa độ I trung điểm AB: ; ( ; )

A B I

I I A B

I

x x

x

I x y

y y

y

 

   



 

3/ Tọa độ G trọng tâm tam giác ABC: ; ( ; )

A B C

G

G G

A B C

G

x x x

x

G x y

y y y

y             

4/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng  A, B, C lập thành tam giác  AB AC;  

không phương:

; B A B A

C A C A

x x y y

AB k AC k

x x y y

                                   

5/ Chứng minh A, B, C thẳng hàng  đường thẳng qua A, B qua C   AB AC; phương:

: B A B A

C A C A

x x y y

k AB k AC

x x y y

 

     

 

 

 hay tìm B để A, B, C thẳng hàng

6/ Tọa độ điểm M Ox  M a( ;0) Tọa độ điểm M Oy  M(0; )b Tọa độ điểm M tổng quát M x( M;yM)

7/ a/ Đường thẳng qua A, B cắt Ox M, tìm tọa độ M : Do M Ox  M a( ;0)

Mà M thuộc đường thẳng qua A; B  A, M, B thẳng hàng  M A M A A A

B A B A B A B A

x x y y a x y

x x y y x x y y

   

  

   

Tìm a  M a( ;0)

b/ Đường thẳng qua A, B cắt Oy N, tìm tọa độ N : Do N Oy  N(0; )b

Mà N thuộc đường thẳng qua A; B  A, N, B thẳng hàng  N A N A A A

B A B A B A B A

x x y y x b y

x x y y x x y y

   

  

   

Tìm b  N(0; )b

c/ Đường thẳng qua A, B cắt đường thẳng qua C, D M, tìm tọa độ M: Gọi M x( M;yM)

+ A, M, B thẳng hàng  M A M A ( B A) M  B A M  B A A  B A A 1

B A B A

x x y y

y y x x x y y y x x x y

x x y y

 

        

 

+ C, M, D thẳng hàng  M C M C ( D C) M  D C M  D C C  D C C 2

D C D C

x x y y

y y x x x y y y x x x y

x x y y

 

        

 

Giải hệ phương trình (1) (2) Tìm tọa độ M x( M;yM)

8/ Tìm tọa độ D cho ABCD hình bình hành D A C B ( ,D D)

D A C B

x x x x

AD BC D x y

y y y y

                                        

9/ Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức vectơ MAMB  MC0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A M B M C M

A M B M C M

x x x x x x

y y y y y y

                     

A B C

M

A B C

M

x x x

x

y y y

y                              

( M; M) M x y 

10/ Chứng minh hai đường thẳng qua A, B đường thẳng qua C, D song song hay ABCD hình thang, ta chứng

minh               AB CD; phương  AB AC; không phương hay

D C D C

B A B A

C A C A

B A B A

x x y y

x x y y

x x y y

x x y y

                

BÀI TẬP

1/ Cho hình bình hành ABCD ABEF, dựng vectơ EH FG ; vectơ AD

CMR: CDGH hình bình hành

2/ Cho hình bình hành ABCD Gọi P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a/ Chứng minh: PQRS hình bình hành

b/ Cho AB = BC Chứng minh: PQRS hình chữ nhật

3/ Cho tam giác ABC, M N trung điểm AB, AC Vẽ MEBC NF; BC

Chứng minh: MENF

 

4/ Cho tứ giác ABCD khơng phải hình bình hành, AC cắt BD O, OB = OD Gọi M N

là trung điểm AB CD; cắt AC I Chứng minh: MI IN

 

5/ Cho hình thang ABCD có đáy AB CD với AB = 2CD Từ C vẽ CI DA

 

Chứng minh: a/ I trung điểm AB

b/ BCID

 

6/ Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A’ điểm đối xứng A qua I Chứng minh:

a/ BH A C'

 

b/ BA'HC

 

7/ Cho tam giác ABC cân A, AB lấy điểm D không trùng với A, B Trên tia đối tia CA lấy

điểm E cho BD = CE, DE cắt BC F Chứng minh: DF FE

 

8/ Cho hai tam giác ABC AEF có chung trung tuyến AM Chứng minh: CE FB

 

NC

9/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác ABC B’ điểm

đối xứng với B qua tâm O Chứng minh: AH B C AB' '; 'HC

   

10/ Chứng minh với hai vectơ a b , không phương Ta có a b  a b   a b

(HD: áp dụng bất đẳng thức tam giác)

11/ Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác Kéo dài GM đoạn

MD = GM Chứng minh: BD GC BG DC ; 

   

12/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác AH cắt BC I cắt đường tròn M khác A

a/ Chứng minh: HIIM

 

b/ Gọi K trung điểm BC Chứng minh  AM OK; phương

c/ HK cắt đường tròn D, chứng minh BH DC

 

BD HC

 

13/ Cho ABC Tìm M cho a/ MA  2MB 3MC0

b/ MA2MB 4MC0

   

14/ Cho tứ giác ABCD Tìm M cho a/ MA2MB MC 2MD0

    

b/ MA2MB 5MC2MD0

    

15/ Cho vectơ a b , không phương

a/ Chứng minh

1/ u2a b  ; v3a4b

2/ u a b   ; v a b  

3/ u2a b  ; v a  2b

b/ Tìm x để hai vectơ u v , :

1/ u(x 2)a b  ; v(2x1)a b  phương

2/ u a  (2x1)b ; v xa b   hướng

3/ u3a xb  ; (1 )

3

v  x a b

  

ngược hướng

Hệ trục tọa độ

1. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;-2); B(3;2); C(0;4) Tìm tọa độ M trường

hợp sau:

a/ CM  2AB  3AC M( 5; 6) 

b/ AM 2BM 4CM

  

( 7;14) M 

c/ ABCM hình bình hành M( 2;0)

2. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;4); B(3;1); C(-1;2).Tìm tọa độ M trường

hợp sau:

a/ AM 2BM 5CM

  

( 6; 2) M 

b/ 2MA 3MB0

  

(1; 5) M 

c/ ABMC hình bình hành M(5;3)

d/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC (1; )7

3

G

e/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P trung điểm cạnh BC, AB, AC

(1; )

M ; N(0;3); (2; )5

P

3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(1;1); B(2;4); C(3;2)

a/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P trung điểm cạnh BC, AB, AC

4. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(6;-3); B(1;0); C(3;2)

a/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

c/ Tìm D để ABCD hình bình hành Tìm tọa độ tâm I hình bình hành

5. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2;1); B(0;2); C(4;4).

a/ Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng

b/ Tìm tọa độ giao điểm D đường thẳng AB trục Ox c/ Tìm tọa độ giao điểm E đường thẳng AB trục Oy

6. Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;4); B(2;5).

a/ Tìm a để C(a;1) thuộc đường thẳng AB b/ Tìm M để C trung điểm AM

7. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3); B(0;1); C(0;3); D(2;7) Chứng minh AB // CD

8. Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1;1); B(1;3); C(-2;0)

a/ Chứng minh C nằm đường thẳng qua A, B b/ Tìm giao điểm đường thẳng AB trục Oy c/ Chứng minh: A, B, O không thẳng hàng

9. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;-1); B(3;1); C(y;2).

a/ Tìm y để A, B, C thẳng hàng b/ Tìm giao điểm AB Ox c/ Tìm giao điểm AB Oy

10. Trong mặt phẳng Oxy cho B(4;5); C(-2;1)

a/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn BC b/ Chứng minh: O, B, C khơng thẳng hàng c/ Tìm M để OBMC hình bình hành

11. Cho A(-1;5) , B(3;-3)

a/ Tìm tọa độ trung điểm M AB

b/ Tìm tọa độ N cho A trung điểm NB c/ Tìm tọa độ P cho B trung điểm AP

d/ Đường thẳng qua A, B cắt Ox K Tìm tọa độ K e/ Đường thẳng qua A, B cắt Oy L Tìm tọa độ L

f/ Tìm tọa độ điểm C cho OCAB

 

g/ Tìm tọa độ D cho DA 3DBAB

  

12. Cho A(1,2); B(2; 4); C(3,-3)

a/ Chứng minh A, B, C lập thành tam giác b/ Xác định trọng tâm G tam giác ABC

c/ Tìm tọa độ E cho O trọng tâm tam giác ABE d/ Tìm tọa độ D để ABCD hình bình hành

e/ Tìm tọa độ F cho OABF hình bình hành

f/ Cho H(a, 1) Xác định tọa độ H để B, C, H thẳng hàng

g/ Xác định K Ox để ABKC hình thang

h/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng qua A,B đường thẳng qua O,C

13. Cho điểm A’(-2;1); B’(4;2); C’(-1;-2) trung điểm cạnh BC, CA, AB của

tam giác ABC Tìm tọa độ định tam giác ABC Chứng minh trọng tâm tam giác

14. Cho a(3;1) ; b(1; 1) . Hãy biểu diễn vectơ c(6; 2) theo hai vectơ a b ; 15 Cho a(2; 3); b(5;1);c ( 3; 2)