Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 92 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
92
Dung lượng
1,9 MB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ DIỄM THÚY MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Trịnh Đào Chiến Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn thầy giáo TS Trịnh Đào Chiến Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Diễm Thúy DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT * p Nửa chu vi tam giác * S Diện tích tam giác * R Bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác * r Bán kính đƣờng trịn nội tiếp tam giác * , hb , hc Độ dài đƣờng cao lần lƣợt kẻ từ đỉnh A, B, C * ma , mb , mc Độ dài đƣờng trung tuyến lần lƣợt kẻ từ đỉnh A, B, C * la , lb , lc Độ dài đƣờng phân giác lần lƣợt kẻ từ đỉnh A, B, C * , rb , rc Bán kính đƣờng trịn bàng tiếp * G Trọng tâm tam giác * O Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác * I Tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác * H Trực tâm tam giác * Tập hợp số tự nhiên * * * * Tập hợp số tự nhiên khác Tập hợp số thực Tổng hốn vị Ví dụ: f ab f ab f bc f ca x MA x1MA2 x2 MB x3 MC a x x a x2 x3 b x3 x1 c x1x2 2 sin nA sin nA sin nB sin nC x PA x PA x x 1 PB x3 PC x1 x2 x3 a a b c b b c a * Tích hốn vị Ví dụ: a b a b b c c a sin A sin A.sin B.sin C sin nA sin nA.sin nB.sin nC MA MA.MB.MC MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục luận văn 6.Tổng quan tài liệu nghiên cứu CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1 Đƣờng đối trung 1.1.2 Điểm Lemoine 1.1.3 Điểm Gergone 1.1.4 Điểm Nagel 1.1.5 Điểm Brocard 1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ CỔ ĐIỂN 1.2.1 Định lí hàm số côsin tam giác 1.2.2 Định lí hàm số sin tam giác 1.2.3 Công thức trung tuyến tam giác 1.2.4 Cơng thức tính diện tích tam giác 1.2.5 Định lí Céva 1.2.6 Một số tính chất 11 1.2.7 Một số bổ đề 15 CHƢƠNG MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC 25 2.1 ĐỒNG NHẤT THỨC JACOBI 26 2.1.1 Đồng thức Jacobi 26 2.1.2 Các trƣờng hợp đặc biệt Đồng thức Jacobi 27 2.2 ĐỒNG NHẤT THỨC LEIBNIZ 42 2.2.1 Đồng thức Leibniz 42 2.2.2 Một số trƣờng hợp đặc biệt Đồng thức Leibniz 45 2.3 ĐỒNG NHẤT THỨC LƢỢNG GIÁC 61 CHƢƠNG MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC ĐẠI SỐ 69 3.1 ĐỒNG NHẤT THỨC NEWTƠN 69 3.2 MỘT LỚP ĐỒNG NHẤT THỨC DẠNG PHÂN THỨC 77 3.2.1 Đa thức nội suy Lagrange 77 3.2.2 Ý nghĩa hình học cơng thức nội suy Lagrange 78 3.2.3 Các đồng thức cảm sinh từ công thức nội suy Lagrange 79 KẾT LUẬN 85 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 86 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong chƣơng trình tốn học phổ thơng, đồng thức đóng vai trị quan trọng, có mặt nhiều tốn Đại số, Số học, Hình học Đồng thức cịn sở để hình thành nhiều bất đẳng thức Chẳng hạn, với I, G lần lƣợt tâm đƣờng tròn nội tiếp, trọng tâm tam giác ABC, từ đồng thức sau IA2 IB2 IC 3IG2 GA2 GB2 GC , ta suy bất đẳng thức IA2 IB2 IC GA2 GB2 GC Đẳng thức xảy I G Nhƣ vậy, đồng thức cảm sinh bất đẳng thức Chứng minh đồng thức, không khó, nhƣng để sáng tác đồng thức, lúc dễ dàng Ở mức độ khó hơn, đồng thức cịn xuất đề thi chọn học sinh giỏi cấp, nƣớc, khu vực cao kỳ Olympic Tốn quốc tế Do đó, việc nghiên cứu đồng thức cách có hệ thống, góc độ đó, cần thiết Luận văn phần đáp ứng nhu cầu này, phù hợp với chuyên ngành Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mục tiêu nghiên cứu Luận văn đề cập đến số đồng thức chƣơng trình tốn phổ thơng, đặc biệt hệ Chuyên Toán ứng dụng chúng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu số đồng thức chƣơng trình tốn phổ thơng, đặc biệt hệ Chuyên Toán Phạm vi nghiên cứu thuộc chuyên ngành Phƣơng pháp toán sơ cấp Phƣơng pháp nghiên cứu Từ tài liệu sƣu tầm đƣợc, luận văn đề cập số đồng thức thƣờng gặp chƣơng trình tốn phổ thơng Luận văn khơng sâu vào lý thuyết đồng thức mà áp dụng chúng để giải sáng tác số tốn phổ thơng, đặc biệt hệ chun Tốn Bố cục luận văn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn đƣợc chia làm ba chƣơng: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Chƣơng đề cập kiến thức sở, chuẩn bị cho nội dung chƣơng sau số kết cổ điển liên quan Chƣơng Một số đồng thức liên quan đến tam giác Chƣơng đề cập đến số đồng thức liên quan đến tam giác, có đồng thức quan trọng chƣơng trình tốn phổ thơng, đặc biệt hệ Chuyên Toán, Đồng thức Jacobi Đồng thức Leibniz Một số đồng thức lƣợng giác đƣợc đề cập nội dung chƣơng 2.1 Đồng thức Jacobi Đồng thức Jacobi cho ta mối liên hệ vectơ cảm sinh điểm M tùy ý nằm tam giác ABC cho trƣớc Cụ thể nhƣ sau: Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Đặt x SBMC S S , y CMA , z AMB S S S Thế thì, ta có xMA yMB zMC Đồng thức đƣợc gọi Đồng thức Jacobi Đồng thức Jacobi đƣợc xem đồng thức sở đồng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố vectơ tam giác 2.2 Đồng thức Leibniz Đồng thức Leibniz cho ta mối liên hệ độ dài cạnh tam giác ABC cho trƣớc, với điểm M tùy ý thuộc mặt phẳng chứa tam giác ABC Cụ thể nhƣ sau: Cho tam giác ABC, BC a , CA b , AB c Ta biết rằng, với số thực x1, x2 , x3 cho x1 x2 x3 tồn điểm P thuộc mp ABC cho x1 PA x2 PB x3 PC Khi đó, với điểm M thuộc mp ABC , ta có x1 x2 x3 MP x1 x2 x3 x1MA2 x2 MB x3MC a x2 x3 b x3 x1 c x1x2 Đồng thức đƣợc gọi Đồng thức Leibniz Đồng thức Leibniz đƣợc xem đồng thức sở đồng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố độ dài tam giác 2.3 Đồng thức lƣợng giác Phần đề cập đến đồng thức lƣợng giác dạng tổng quát, đƣợc xem đồng thức sở đồng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố lƣợng giác tam giác Chƣơng Một số đồng thức đại số Chƣơng đề cập đến số đồng thức đại số, có đồng thức quan trọng chƣơng trình tốn phổ thơng, đặc biệt hệ Chuyên Toán, Đồng thức Newton Một lớp đồng thức dạng phân thức đƣợc đề cập nội dung chƣơng 3.1 Đồng thức Newton Đồng thức Newton, thực đƣợc Albert Girard phát từ năm 1629, nhƣng đến năm 1666, Isaac Newton có nghiên cứu sâu sắc nó, cách biểu diễn biểu thức đối xứng nghiệm đa thức dƣới dạng hàm đối xứng sơ cấp Đặc biệt, cơng cụ hữu hiệu để tính đƣợc tổng dạng x1k x2k xn k Luận văn trình bày cách giải cho tốn tổng quát liên quan đến tổng nêu Đây đóng góp luận văn Một áp dụng trực tiếp Đồng thức Newton sáng tác đồng thức biểu diễn biểu thức đối xứng nghiệm 72 n n i 1 j 1 f ( x) ( x xi ) x n c j x n j , c j 1 j , j 1,2, , n j Theo Đồng thức Newton, ta có Sn Sn1c1 Sn2.c2 S2.cn2 S1.cn1 n.cn n 1 Sn Sn j c j n.cn j 1 n 1 n n j c j n.cn j 1 n 1 ncn n n j c j j 1 n1 cn 1 n j c j n j 1 1 n 1 n n1 j n j 1 j n j 1 1 n 1 n n1 j 1 n j 1 j n j 1 Suy n 1 n 1 (1)n n1 j 1 n j 1 j n j 1 Cũng theo Đồng thức Newton, ta có (3.4) 73 Sn1 Snc1 Sn1.c2 S2.cn1 S1.cn n Sn1 Sn j 1.c j j 1 n Sn1 (n j 1).(1) j j = j 1 n Sn1 (n j 1).(1) j j j 1 Suy n Sn1 (n j 1).(1) j 1. j (3.5) j 1 Vì giá trị n không phụ thuộc vào biến x , nên ta có n 1 n 1 1 n n Sn (3.6) Bởi (3.5) vào (3.6), ta có n Sn1 n j 1. 1 j 1 j 1 j 1 j 1 1 S j j Suy n S Sn1 n j 1 1 j , n 1, j j 1 với S1 Ngoài ra, (3.7) viết lại dƣới dạng (3.7) 74 S S Sn1 n j 1 1 j 1 n , n , j n j 1 n 1 (3.8) với S1 0, S2 = * Nhận xét : Với n , cho trƣớc số thực x1 Đặt Sk x1k , k 1, 2, Biết Sk k , k 1, n Tính S2 Ta có S1 nên x1 Do S2 x12 12 Theo (3.7), ta suy S2 S1 Từ suy S1 Vậy S1 0, S2 = Với n , từ (3.7) lần lƣợt thay số n n , n , ta có S Sn n j 1 j , j j 1 n 1 n2 Sj S Sn1 n j 1 1 n j 1 1 j j j j 1 j 1 n2 S S n j 1 1 j n (n 1) 11 n1 j n 1 j 1 n2 n 1 j 1 n j 1 1 Vậy Sj j 75 Sn1 n1 j 1 n j 1 1 Sj j (3.9) Từ (3.8) (3.9), ta có n 1 S S Sn1 Sn1 n j 1 j 1 n j n j 1 S 2 n j 1 j + j j 1 n 1 Sn 1 n 2n S 2Sn 1 n Sn , n n hay 2n S Sn1 Sn1 2Sn 1 n Sn , n n (3.10) với S1 0, S2 Ta có phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp hai, với hệ số biến thiên nhƣ sau 2n Sn Sn1 1, n Sn1 n S1 0, S2 Để giải phƣơng trình sai phân này, ta xây dựng hàm sinh g ( x) Sn1 x n n 1 Khi đó, từ (3.11), ta có (3.11) 76 x x g (t ).dt 1 x g ( x) x 0 (3.12) Lấy đạo hàm theo vế (3.12), ta có 2 1 x g ( x) 1 x g '( x) 1 x g ( x) g (0) , (3.13) với g (0) Rút gọn (3.13), ta đƣợc phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp x g '( x ) x g ( x ) 1 x g (0) (3.14) Giải phƣơng trình vi phân (3.14), ta đƣợc nghiệm g ( x) 1 e x x 1 1 x Khai triển hàm theo Công thức Taylor chuỗi lũy thừa, ta đƣợc n Sn1 k 1 1 k 1 k! Cnk11 ∎ 77 3.2 MỘT LỚP ĐỒNG NHẤT THỨC DẠNG PHÂN THỨC 3.2.1 Đa thức nội suy Lagrange Định lý 3.1 Cho n số x1, x2 , , xn phân biệt n số a1, a2 , , an tùy ý Khi tồn đa thức P x với bậc không n , thỏa mãn P x j a j ; j 1, 2, , n (3.15) Đa thức có dạng n x xi aj x x j 1 i 1,i j j i n (3.16) Đa thức (3.16) gọi đa thức nội suy Lagrange công thức nội suy Lagrange Các số x1, x2 , , xn gọi nút nội suy + Với n , đa thức P x a1 x x2 x x1 a2 x1 x2 x2 x1 (3.17) Kí hiệu deg P x bậc P x Thế deg P x P x1 a1 ; P x2 a2 + Với n , đa thức P x a1 x x2 x x3 a x x3 x x1 a x x1 x x2 (3.18) x1 x2 x1 x3 x2 x3 x2 x1 x3 x1 x3 x2 Rõ ràng deg P x P x1 a1 ; P x2 a2 ; P x3 a3 78 Hệ Cho n số x1, x2 , , xn phân biệt Thế đa thức P x với bậc không n , viết dạng P x P x j j 1 n x xi i x x 1,i j j i n (3.19) Nhận xét Vế phải (3.19) đa thức với bậc n , hệ số số hạng xn1 P xj n j 1 x j xi n i 1,i j 3.2.2 Ý nghĩa hình học công thức nội suy Lagrange + Các đa thức (3.17) (3.18) quen thuộc chƣơng trình tốn phổ thông + Xét đa thức (3.18), chẳng hạn giả sử rằng, mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A x1; y1 , B x2 ; y2 , C x3 ; y3 , với x1, x2 , x3 khác đôi Thế thì, theo (3.15) (3.16), tồn đƣờng cong y P x , P x đa thức với deg P x , thỏa mãn P x1 y1 (nghĩa đƣờng cong qua điểm A), P x2 y2 (nghĩa đƣờng cong qua điểm B), P x3 y3 (nghĩa đƣờng cong qua điểm C) 79 Hơn nũa, đƣờng cong cịn có phƣơng trình cụ thể y P x , P x có dạng (3.18) số a j y j , j 1, 2, + Với deg P x , đồ thị hàm số y P x parabol qua điểm A, B, C + Với deg P x , đồ thị hàm số y P x đƣờng thẳng qua điểm A, B, C không phƣơng với trục hoành + Với deg P x , đồ thị hàm số y P x đƣờng thẳng qua điểm A, B, C phƣơng với trục hoành 3.2.3 Các đồng thức cảm sinh từ công thức nội suy Lagrange Giả sử x1, x2 , , xn n số thực phân biệt, n Xét đa thức n P x x x xi n (3.20) i 1 Đa thức đƣợc triển khai dƣới dạng P x S1.xn1 S2.xn2 S3.xn3 1 n1 Sn , (3.21) S1 x1 x2 xn ; S x x x x x x ; 2 n 1 n Sn x1.x2 xn Từ (3.21), ta thấy deg P x n Ngồi ra, từ dạng (3.20), ta có (3.22) 80 P x j x j ; j 1,2, , n n Từ đó, áp dụng (3.19), ta có P xj xj j 1 n n x xi x x i 1,i j j i n (3.23) Vế phải (3.23) đa thức có hệ số x n1 n n x j n j 1 x x j i i 1,i j (3.24) Từ (3.21), (3.22), (3.23), (3.24), ta có n x j n x j n j 1 j 1 x j xi i 1,i j n (3.25) Đẳng thức (3.25) đẳng thức dạng phân thức, thƣờng gặp chƣơng trình tốn phổ thông + Với n , đẳng thức trở thành x12 x2 x1 x2 , x1 x2 x2 x1 hay x12 x2 x1 x2 x1 x2 + Với n , đẳng thức trở thành (3.26) 81 x13 x1 x2 x1 x3 x23 x33 x x x (3.27) x2 x1 x2 x3 x3 x1 x3 x2 Từ đẳng thức (3.27), sáng tác thành số toán, chẳng hạn Bài toán 3.2 Chứng minh với số nguyên x1, x2 , x3 khác đôi một, số sau số nguyên x13 x23 x33 x1 x2 x1 x3 x2 x1 x2 x3 x3 x1 x3 x2 Nhận xét rằng, (3.27) viết đƣợc dƣới dạng x13 x2 x3 x23 x3 x1 x33 x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 Hay x13 x2 x3 x23 x3 x1 x33 x1 x2 x1 x2 x2 x3 x3 x1 x1 x2 x3 Từ đó, ta sáng tác tốn sau: Bài tốn 3.3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử x13 x2 x3 x23 x3 x1 x33 x1 x2 Ngoài ra, từ (3.20) (3.21), ta cịn so sánh hệ số x n2 , xn3 , … tìm đƣợc nhiều đẳng thức khác để sáng tác toán Chẳng hạn, với n3 So sánh hệ số x , ta đƣợc toán sau Bài toán 3.4 Với số nguyên x1, x2 , x3 khác đôi một, chứng minh đẳng thức sau 82 x13 x2 x3 x23 x3 x1 x33 x1 x2 xx x x x x x1 x2 x1 x3 x2 x1 x2 x3 x3 x1 x3 x2 2 3 So sánh hệ số tự do, ta đƣợc toán sau Bài toán 3.5 Với số nguyên khác đôi một, chứng minh đẳng thức sau x12 x2 x32 x1 x2 x1 x3 x2 x1 x2 x3 x3 x1 x3 x2 Bây giờ, ta tiếp tục tìm kiếm đẳng thức mới, theo hƣớng khác Xét đa thức P x an x n an1.x n1 a1.x a0 , an , có n nghiệm thực phân biệt x1, x2 , , xn , n Ta có n x xi i 1 P x an Do n P ' x an j 1 i 1,i j n x xi Suy n x i 1,i j P ' x j an j xi (3.28) 83 Bây giờ, với n giá trị phân biệt x1, x2 , , xn nêu trên, áp dụng Công thức nội suy Lagrange đa thức f x x k , với k , k n (3.28) ta có n n k x xi n an x j x xi , j 1 P ' x j i 1,i j i 1,i j x j xi n xk f x j j 1 hay x k x k n j an x xi j 1 P ' x j i 1,i j n (3.29) Vế trái (3.29) đa thức bậc k , hệ số x k Vế phải (3.29) đa thức có bậc không lớn n , hệ số xn1 x an j 1 P ' x n k j j So sánh hệ số (theo trƣờng hợp k ), ta đƣợc đẳng thức sau đây: x 0, P ' x k n j j 1 k 0,1,2, , n 2, (3.30) j x ,với k n P ' x a k n j j 1 j (3.31) n Với đa thức P x cho trƣớc, (3.30) (3.31) trở thành đẳng thức cụ thể phong phú 84 Chẳng hạn, với ba giá trị phân biệt x1, x2 , x3 , xét đa thức P x x x1 x x2 x x3 Khi (3.32) (3.33) đẳng thức sau x x x2 x1 x3 x1 x2 x1 x3 x x12 x2 x1 x3 x x2 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x2 x3 x2 x1 x x3 x x1 x3 x2 x x1 x3 x2 x3 x1 x3 x2 0; 0; 85 KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc kết sau: Đề cập đến số đồng thức liên quan đến tam giác, có hai đồng thức quan trọng chƣơng trình tốn phổ thơng, đặc biệt hệ Chun Tốn, Đồng thức Jacobi (liên quan đến yếu tố vectơ tam giác) Đồng thức Leibniz (liên quan đến yếu tố độ dài tam giác) Đề cập đến số đồng thức lƣợng giác, với dạng tổng quát, chƣơng trình tốn phổ thơng Đề cập đến đồng thức đại số, quan trọng chƣơng trình tốn phổ thơng, Đồng thức Newton Đề cập đến lớp đồng thức dạng phân thức, cảm sinh từ tính chất Đa thức nội suy Lagrange Luận văn làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh phổ thơng, giảng viên sinh viên Tốn trƣờng Sƣ phạm Hy vọng kết nghiên cứu luận văn tiếp tục đƣợc mở rộng hoàn thiện 86 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trịnh Đào Chiến (2014), Phương pháp vec tơ, Giáo trình giảng dạy lớp đào tạo Thạc sỹ Tốn học khóa 28, Đại học Đà Nẵng, Phân hiệu Kon Tum [2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất (2008), Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [3] D S Mitainovic, J E Pecaric and V Volenec (1988), Recent advances in geometric inequalities, Mathematics and its applications, Kluwer Academic Publishers [4] B S Du, S S Huang, and M C Li – Newton, Fermat, and Ex – actly Realizable Sequence – Journal of Integer Sequence, Vol (2005), Article 05.1.2 ... tổng quát, đƣợc xem đồng thức sở đồng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố lƣợng giác tam giác Chƣơng Một số đồng thức đại số Chƣơng đề cập đến số đồng thức đại số, có đồng thức quan trọng chƣơng... yMB zMC Đồng thức đƣợc gọi Đồng thức Jacobi Đồng thức Jacobi đƣợc xem đồng thức sở đồng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố vectơ tam giác 2.2 Đồng thức Leibniz Đồng thức Leibniz cho... Đồng thức đƣợc gọi Đồng thức Leibniz 4 Đồng thức Leibniz đƣợc xem đồng thức sở đồng thức, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố độ dài tam giác 2.3 Đồng thức lƣợng giác Phần đề cập đến đồng thức