chung-minh-tinh-chat-thang-hang-dong-quy-song-song-vuong-goc

Loại 1: Chứng minh tính chất: thẳng hàng, đồng quy, song song, vng góc Câu [Trường THPT Chun Lê Hồng Phong Nam Định- năm 2015- Tỉnh Nam Định] Cho hai đường tròn  O1  O1  O2  Gọi  O2  cắt A, B AX , AY đường kính O trung điểm XY ; I điểm thuộc đường phân giác góc � XAY cho OI khơng vng góc với XY I khơng thuộc hai đường trịn Đường thẳng  O1  O2  E, F A AI qua vuông góc với cắt đường trịn , điểm O O khác A IX cắt đường tròn   điểm thứ hai K , IY cắt đường tròn   điểm thứ hai L Gọi C giao điểm EF với IX Chứng minh OE tiếp tuyến đường tròn  CEK  Chứng minh đường thẳng EK , FL, OI đồng quy Lời giải C A E F D O1 O2 O X B Y K L I S � Khơng tính tổng qt giả sử I điểm thuộc đường phân giác góc XAY Ta có tứ giác AO1OO2 hình bình hành nên suy OO1 || HY Lại có  EA, EO1   AO1, AE    AF , AO2   mod   � EO1 || HY Do O, O1, E thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có O, O2, F thẳng hàng Mặt khác Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/  CE , CK    AC , AK    AK , CK    AC , AK     r uuuu r  uuuu  O1E , O1K   EO1, EK   mod   2   Do OE tiếp tuyến đường trịn  CEK  � � Ta có AKI  ALI  90 nên điểm A, I , K , L thuộc đường trịn đường kính AI Mà EF  AI nên suy EF tiếp tuyến đường trịn đường kính AI Do  AE, AK    LA, LK   mod   (1) Mặt khác  KE , KA   XE , XA   XE , EA   AE , AX       AE , AX   mod      AY , AF    AF , FY    AY , AF    AY , FY    LA, LF   mod   (2) Từ (1) (2) suy  EF , EK    EA, AK    AK , EK    LA, LK    LF , LA    LF , LK   mod   Vậy điểm E , F , L, K thuộc đường tròn Gọi S giao điểm EK FL Vì điểm E , F , L, K thuộc đường trịn nên ta có SE.SK  SF SL � PS / CEK   PS / DFL  Ta có (3) IC.IK  ID.IL  IA2 � PI / CEK   PI /  DFL  (4) Gọi D giao điểm EF với IY DFL  Chứng minh tương tự câu 1) ta có OF tiếp tuyến đường trịn  Mặt khác tứ giác EFYX hình thang vng E , F O trung điểm XY nên suy PO / CEK   OE  OF  PO / DFL  OE  OF Do (5) Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Từ (3), (4), (5) suy S , O, I thuộc trục đẳng phương hai đường tròn  CEK  ,  DFL  nên S , O, I thẳng hàng Vậy đường thẳng EK , FL, OI đồng quy S *) Chú ý: Nếu HS không sử dụng góc định hướng phải xét trường hợp vị trí điểm I ( I nằm ngồi đoạn XK , YL I nằm đoạn XK , YL ) Câu [Trường THPT Lương Văn Tụy- Ninh Bình- Vịng 2] Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H M , N trung điểm AH , BC Các đường phân giác góc ABH , ACH cắt P Chứng minh: a, Góc BPC góc vng b, M , N , P thẳng hàng Câu [SỞ Bình Định- năm học 2012-2013] Trong tam giác ABC , M chân đường vng góc hạ từ A xuống đường phân giác � góc BCA N , L chân đường vng góc hạ từ đỉnh A, C xuống đường phân giác góc ABC Gọi F giao điểm đường thẳng MN AC , E giao điểm đường thẳng BF CL , D giao điểm đường thẳng BL AC Chứng minh DE PMN Câu [Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - năm 2015- Tỉnh Hịa Bình] Cho  O hai đường tròn  O1  ,  O2  tiếp xúc với tiếp xúc với  O  Gọi I tiếp điểm  O1   O2  ; M1 , M tiếp điểm  O  với  O1  ,  O2  Tiếp tuyến  O  ,  O2  cắt  O  chung I N2 O   O2  A AM1 cắt N1 ; AM cắt Chứng minh OA  N1N N1 N cắt  O  B, C ; AI cắt  O  A ' Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác A ' BC Chứng minh N1 N , O1O2 , M1M đồng quy Lời giải Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ a) A thuộc trục đẳng phương N1 N M M1 tứ giác nội tiếp dẫn đến  O1   O2  nên AN1 AM1  AN AM suy �  Sđ AC � �  Sđ AB � Sđ BM Sđ BM 1 � AN1N  � AM M1 �  2 �� AC  � AB � OA  N N b) Gọi H , K giao điểm AO với BC , (O) Tam giác ABK vng B có BH đường cao � AB  AH AK � AM1K  90o � HN1M1K tứ giác nội tiếp � AB  AH AK  AN1 AM1  PA/  O   AI � AB  AC  AI Suy A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC �  IAC � 1� IBC A ' AC  � A ' BC 2 Dẫn đến � Suy BI phân giác A ' BC � � � Rõ ràng A ' I phân giác BA ' C (do AB  AC ) Vì I tâm đường tròn nội tiếp tam giác A ' BC  O  ,  O1  ,  O2  c)Giả sử O1O2 cắt N1 N D , gọi R, R1 , R2 bán kính Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ O  O  Rõ ràng D tâm vị tự � DO1 R1 M 2O2 R2   DO2 R2 ,lại có M1O1 R1 DO1 M 2O2 M1O 1 DO M O M O 2 1 Suy Dẫn đến D, M1 , M thẳng hàng (Menelauyt đảo) Vậy N1N , O1O2 , M1M đồng quy Câu [ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI- CHUYÊN HẠ LONG] ; R�  O; R   O�  với R �R ' cắt hai điểm phân biệt A, B Một Cho hai đường tròn  O   O�  P P� Gọi Q Q�lần đường thẳng d d tiếp xúc với đường tròn lượt chân đường vng góc hạ từ P P�xuống OO� Các đường thẳng AQ AQ�cắt đường tròn  O , B thẳng hàng M M � Chứng minh M , M � Hướng dẫn giải P' I P A Q O J Q' O' S M M' B  O  Gọi S giao điểm d OO� , S tâm vị tự ngồi hai đường trịn  O�  Đặt k  R' R , ta có: V ( S , k ) : (O) � (O '), P � P ', Q � Q ' Gọi I , J giao điểm AB với PP�và OO� Khi ta có: IP  IA.IB  IP ' � IP  IP ' Q nên JQ  JQ� Mà PQ // IJ // P�� Suy AB trung trực QQ� Mà OO�là trung trực AB Vậy tứ giác AQBQ�là hình thoi B // AQ hay Q� M� Do Q� // QM Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ B Giả sử V ( S , k ) biến M thành B�khi QM // Q��  O  suy B�thuộc  O�  B��B Mà M thuộc Vậy V ( S , k ) biến M thành B Tương tự ta có V ( S , k ) biến M �thành B Suy M , B, M�thẳng hàng Câu  I  tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB tương ứng D, E, F Cho ABC đường tròn nội tiếp  I  R ( R �D ) Gọi Đường thẳng EF cắt BC G Đường trịn đường kính GD cắt P, Q ( P �R, Q �R ) tương ứng giao  I  với BR, CR Hai đường thẳng BQ CP cắt  CDE  cắt QR M đường tròn  BDF  cắt PR N Chứng X Đường tròn minh PM , Q N , RX đồng quy Hướng dẫn giải  GDBC   1 , KD  KR  KB.KC , điều Gọi K trung điểm đoạn GD Ta có  RPC  Do �KRB  �RCB suy KR tiếp tuyến  I  , KR tiếp tuyến  I  Mặt khác KD tiếp tuyến Vì �KRB  �RQP � �RQP  �RCB � RQ || BC Suy RX qua trung điểm đoạn PQ ( bổ đề quen thuộc hình thang ) Từ suy PM , Q N , RX đường trung tuyến RQP , suy ĐPCM A E R M F N I Q P X G B K Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 D C H Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Câu [KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2016 - 2017 ]  I  tiếp xúc với BC CA D, E Cho tam giác ABC có AB  AC Đường trịn nội tiếp tương ứng Gọi M trung điểm BC N điểm đối xứng với D qua IM Đường  I  Chứng thẳng vng góc với EN N cắt AI P, Q giao điểm thứ hai AN với minh DP  EQ Câu [ĐỀ XUẤT ĐỀ THI DUYÊN HẢI BẮC BỘ.Trường THPT Chun Hồng Văn Thụ - Tỉnh Hịa Bình Năm học 2012-2013] Cho tam giác ABC Các phân giác ngồi góc cắt cạnh đối diện tam giác ABC A1 , B , C1 CMR A1 , B , C1 thẳng hàng thuộc đường thẳng vng góc với OI O, I tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải Qua I kẻ đường thẳng vuông góc IA, IB, IC cắt BC , CA, AB A2 , B2 , C2 � � C C � � A2 IB  � AIB  90o  90o   90 o   ICA 2 Có � B IA chung � A2 BI : A2 IC � A2 B A2 I  � A2 B A2C A2 I A2C � PA2 /  I ;O   PA2 / O  CMT : PB2 /  I ;O   PB2 /  O  PC2 /  I ;O   PC2 /  O  � A2 , B2 , C2 �trục đt  I ; O   O  �  A2 B2 C2   OI  1 AA1 I BB1   F  � � F tâm đường tròn bàng tiếp C ABC � C , I , F thẳng hàng C AA1  AI � CA2 CI �  �� A2 I / / AA1 � � A2 I  AI � CA1 CF � CA2 CB2  �� CA1 CB1 CI CB 2 � CMT : IB2 / / FB2 �  � CF CB1 � � A B / / A1 B1 Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông2 Hotline: 0902196677 CMT : � B2C2 / / B1C1   https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Fanpage:  3  1    3 � A1 , B1 , C1 Câu thẳng hàng  A1B1C1   OI [Đề xuất lớp 11 Sở GD- ĐT Quảng Ninh- Trường THPT Chuyên Hạ Long]  I  nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB theo thứ tự Giả sử đường tròn D, E , F Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF K Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: IM  DK Hướng dẫn giải Gọi N giao điểm ID EF Qua N N kẻ đường thẳng // BC cắt AB , AC theo thứ tự � � từ P, Q Vì hai tứ giác IFPN IQEN nội tiếp nên IFN  IPN A K E N Q P F J I B D H M C �  IQN � IEN � � � � Mặt khác IEN  IFN � IPN  IQN Do IPQ cân I Vậy N trung điểm PQ � A, N , M thẳng hàng Lại có IN  AK , KN  AI � N trực tâm AIK � AM  IK Gọi H giao điểm AM IK J giao điểm IA EF �  IKD � � IH IK  IJ IA  IE  ID � IHD : IDK (c  g  c) � IDH � � � � Mà Y IHMD nội tiếp nên IDH  IMH � IKD  IMH � IM  DK (Đpcm) Câu 10 [ĐỀ NGHỊ THI CHỌN HSG VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ LỚP 11 - Trêng T.H.P.T Chuyên Thái Bình.Năm học 2013-2014 ] Cho tam giỏc ABC vng A Hình chữ nhật MNPQ thay đổi cho M thuộc AB , N thuộc AC P, Q thuộc BC K  BN � MQ; L  CM � NP; X  MP � NQ; Y  KP � LQ Chứng minh Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ � � 1) KAB  LAC 2) XY qua điểm cố định Hướng dẫn giải � � 1) Lấy U,V theo thứ tự thuộc AK,AL cho ABU  ACV  90�(h.1) A M N K B L Q C P V U (h.2.1) BU BU NA MA BK BA ML BQ BA MN    Ta có: CV NA MA CV NK CA CL NM CA CP  BQ CA NP BA CA BA BA   MQ BA CP CA BA CA CA Do tam giác ABU, ACV đồng dạng � � Vậy KAB  LAC 2) Đặt Z  ML � NK (h.2.2)  1 Theo định lí Pappus: X,Y,Z thẳng hàng Gọi H hình chiếu A BC ; O, F, E theo thứ tự trung điểm BC , MN,AH Dễ thấy A, Z, O, F thẳng hàng; E, X, O thẳng hàng; FX / / AH Vậy X(AHEF)  1  X(AZOF)  X(AZEF)  2 Do X,H,Z thẳng hàng Từ  1   suy XY qua H (đpcm) Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ A F M E N Z K B X Q L Y H O P C (h.2.2) Câu 11 [ ĐỀ THI ĐỀ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI-TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG ] Cho tam giác ABC với AB  AC Các đường trung tuyến phân giác góc A cắt BC M N tương ứng Đường thẳng qua N vng góc với AN cắt AB,AM P Q ; đường thẳng qua P vng góc với AB cắt đường thẳng AN R Chứng minh QR vng góc với BC Hướng dẫn giải A P K Q B' B C' M C N R D Gọi D giao điểm thứ hai AN với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , dễ thấy DB  DC suy DM vng góc với BC Đặt k AR AD xét phép vị tự VAk : B a B ', C a C ', D a R Khi B�thuộc AB , C�thuộc AC hai tam giác BCD B� C� R có cạnh tương ứng song song Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ A K Q J P O M C B H I Dễ dàng chứng minh PQCB tứ giác nội tiếp Ta có MB.MC = MP.MQ Do hai tam giác MHP MQH đồng dạng nên MH  MP.MQ Vậy có MH  MB.MC  MP.MQ  MK MA suy AKPH tứ giác nội tiếp Vậy HK  AM Ta có năm điểm A, K, P, H, Q thuộc đường tròn tâm J trung điểm AH Bây ta lại có I tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác PQCB nên IJ  PQ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta dễ dàng chứng minh OA  PQ Từ OA // IJ Lại có OI  BC , AH  BC � OI / / AH Từ AJIO hình bình hành Dễ dàng suy JHIO hình bình hành Mà JO vng góc với AK (do AK trục đẳng phương hai đường trịn (J) (O)) Vậy HI vng góc với AK Lại có KH vng góc với AK nên K, H, I thẳng hàng Câu 62 (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên tỉnh Sơn La, trại hè Hùng Vương lần thứ XII) Cho ABC I ngoại tiếp đường tròn tâm I Các cạnh BC , CA, AI tiếp xúc với đường tròn   D, E , F Gọi M , K trung điểm cạnh AC AB , P giao điểm đường thẳng MK CI a Chứng minh điểm D, F , P thẳng hàng b Gọi Q điểm thỏa QP  MK QM / / BI Chứng minh QI  AC Hướng dẫn giải: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ a Kéo dài AP cắt CB S Vì M, K trung điểm AC AB nên P trung điểm AS + Trong tam giác CAS có CP trung tuyến phân giác nên CA  CS + Đặt p  AB  BC  CA Có AF  p  BC (1) + SD  CS  CD  CA   p  AB   AB  AC  p  AB  BC  CA  BC  p  p  BC � SD  p  BC (2) Từ (1) (2) suy ra: AF  SD Chú ý: BD  BF , PA  PS FA DB PS 1 � P, F , D thẳng hàng Trong tam giác ABS có FB DS PA b Có CI trung trực ED nên tam giác PDE cân P C�� B� B C A �  PDE �  1800  � PED 900  � � 90  �   900  � �� 2� 2 � � AEF + + Giả sử Q1 điểm thỏa mãn Q1M P BI , Q1I  AC suy Q, I, E thẳng hàng A� � C � A C �  1800  PED �  DEC �  1800  � PEA 900  � � 90  �   900  B � 2� 2 � �� + Có B � � � PEQ  90  PEA  , (3) B � � PM PCB, MQ1 P BI � PMQ  IBD  , (4) Nhưng + Từ (3) (4) suy tứ giác PMEQ1 nội tiếp � QI  AC �PM  Q �EM  900 �Q 1 hay Q1 P  MK + Suy Q1 �Q tức QI  AC Suy điều phải chứng minh Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Câu 63 (Đề thi đề xuất chọn HSG vùng duyên hải đồng Bắc Bộ năm 2015 - trường THPT chuyên O Vĩnh Phúc) Cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp đường tròn   P điểm nằm tam giác cho AP  BC Đường trịn đường kính AP cắt cạnh AC , AB E , F cắt đường tròn Hướng dẫn giải:  O điểm G khác A Chứng minh GP, BE , CF đồng quy Gọi AD đường kính (O), dễ thấy G,P,D thẳng hàng PE || CD; PF || BD Giả sử PE,PF cắt DB,DC K,L; EF cắt BC T Theo định lý Desargues để chứng minh BE, CF, GP (hay PD) đồng quy ta cần chứng minh T,K,L thẳng hàng TB EC FA TB FB AE 1�  TC EC AF (1) Áp dụng định lý Menelaus ta được: TC EA FB AE BE  Dễ thấy tứ giác EFBC nội tiếp nên AF CF (2) Cũng từ EFBC nội tiếp suy �FCL  �FCA  �ACL  �EBA  900  �EBA  �ABK  �KBE Tứ giác PKDL hình bình hành suy �PKB  �PLC BE KB EBK : FCL �  CF CL (3) Suy BF PK DL BF PL  CE.PK  S PKDL �   CE PL DK (4) Ta có TB DL KB TB LC KD  � 1 TC LD KB Thay (2), (3), (4) vào (1) ta TC DK CL Từ áp dụng định lý menelaus cho tam giác DBC ta suy T,K,L thẳng hàng Bài toán chứng minh Câu 64 (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên tỉnh Hà Giang, trại hè Hùng Vương lần thứ XII) Cho tam giác ABC cân A Một đường tròn  tiếp xúc với cạnh AB, AC cắt cạnh BC lần Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ lượt K L Đoạn AK cắt đường tròn  M Gọi P Q điểm đối xứng K qua B C Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ Chứng minh điểm M , O tâm đường tròn  thẳng hàng Hướng dẫn giải: Gọi I tâm  ; D, E theo thứ tự tiếp điểm  AB, AC; (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ Dễ thấy tứ giác MDKE điều hịa Do D  MKBE   D  MKDE   1 Dễ thấy DE // PK, mà BP  BK nên D  PKBE   1 D  MKBE   D  PKBE  Vậy Từ DM �DP hay M, D, P thẳng hàng Chứng minh tương tự M, E, Q thẳng hàng MP MQ  k Kết hợp với DE / / PK suy MD ME Do qua phép vị tự tâm M tỉ số k điểm M, D, E theo thứ tự biến thành điểm M, P, Q Vậy qua phép vị tự tâm M đường trịn  biến thành đường trịn (O) Do M, I, O thẳng hàng Câu 65 (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Lai Châu, trại hè Hùng Vương lần thứ XII) Cho ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H Cho K điểm tùy ý cạnh BC ( K khác B, C ) Kẻ đường kính KM đường trịn ngoại tiếp tam giác BFK đường kính KN đường trịn ngoại tiếp tam giác CEK Chứng minh M , H , N thẳng hàng Hướng dẫn giải: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Gọi L giao điểm thứ hai hai đường tròn (BKF) (CKE) Ta có tứ giác BFEC nội tiếp Do AF AB  AE AC � A thuộc trục đẳng phương hai đường tròn (BFK) (CEK) Suy A, L, K thẳng hàng Vì tứ giác BFHD nội tiếp nên AH AD  AF AB  AL AK Do tứ giác DHLK nội tiếp Suy HL  AK Mà ML  AK nên M, H, L thẳng hàng Tương tự N, H, L thẳng hàng Từ suy M, H, N thẳng hàng LOẠI 1: Chứng minh tính chất: thẳng hàng, đồng quy, song song, vng góc Câu [TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG] Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (C1 ) tâm I Đường tròn (C1 ) tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB D, E , F Gọi P giao FD CA, Q giao DE AB , K giao EF BC Gọi M , N trung điểm PE QF Chứng minh OI vuông góc MN , với O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Xét đường trịn: Ta có  M , ME  ( N , NF ) PI /( M )  IE  IF2  PI /( N ) (1) Gọi R  ABC  Vì D, E , F lần bán kính đường trịn lượt tiếp điểm đường tròn nội tiếp (C1) với cạnh ABC nên AD, BE , CF đồng quy Suy  QFBA  1 � NF  NB.NA  NO  R Ta có ( PEAC )   � ME  MA.MC  MO  R Khi đó: PO /( M )  MO  ME  R PO /( N )  NO  NF  R � PO /( M )  PO /( N ) , (2) Từ (1)  M   N  (2) suy OI trục đẳng phương  OI  MN Câu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐB&DHBB O Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn   có AC  BC Giả sử H trực tâm tam giác ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt AB điểm thứ hai E ( E �B ) Đường O thẳng qua D , vng góc với DO cắt BC F cắt đường tròn   hai điểm I , J a) Chứng minh tứ giác IHJE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh H , E, F thẳng hàng Hướng dẫn giải Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Giả sử ta có hình vẽ (các trường hợp khác tương tự) Gọi K giao điểm thứ hai CH đường trịn  O Ta có D trung điểm KH D trung điểm IJ, suy tứ giác IHJK hình bình hành � � Suy IKJ  IHJ (1) Lại có tứ giác BHCE nội tiếp, suy �  CHB �  1800 � � CEB Mà CAB  CHB  180 � � Suy CEB  CAB , tam giác CEA cân C, CD  AE nên D trung điểm AE � � Suy tứ giác IAJE hình bình hành IEJ  IAJ (2) � � Lại có IKJ  IAJ  180 (3) (do tứ giác IAJK nội tiếp) � � O  O  Từ (1), (2), (3) suy IHJ  IEJ  180 , tứ giác IHJE nội tiếp Giả sử đường tròn ngoại tiếp tứ giác IHJE BHCE Ta có HE trục đẳng phương  O2  Mà  O1  P Lại có FI FJ  FB.FC (cùng F /(O) ) P  PF /(O2 ) FI FJ  PF /(O1 ) FB.FC  PF /(O2 ) ; Suy F /(O1 ) Suy F thuộc HE trục đẳng phương  O1   O2  Vậy H, E, F thẳng hàng Câu 3TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp tâm I, tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB   lần I lượt điểm D, E, F Đường thẳng AI cắt đường tròn   M, N cho M nằm A N Đường thẳng DM EF cắt K, đường thẳng NK cắt đường tròn tâm điểm thứ hai P khác N Đường thẳng AI EF cắt Q  I  a) Chứng minh rằng: Tứ giác PQID tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: Các điểm A, P, D thẳng hàng Câu HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đơng Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Cho hai đường trịn  O1  O1  O2  Gọi  O2  cắt A, B AX , AY đường kính O trung điểm XY ; I điểm thuộc đường phân giác góc � XAY cho OI khơng vng góc với XY I khơng thuộc hai đường tròn Đường thẳng  O1   O2  E, F A AI qua vng góc với cắt đường tròn , điểm O O khác A IX cắt đường tròn   điểm thứ hai K , IY cắt đường tròn   điểm thứ hai L Gọi C giao điểm EF với IX Chứng minh OE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK Chứng minh ba đường thẳng EK , FL OI đồng quy Hướng dẫn giải C A E F D O1 O2 O X B Y K L I S � Khơng tính tổng qt giả sử I điểm thuộc đường phân giác góc XAY Ta có tứ giác AO1OO2 hình bình hành nên suy OO1 || AY Lại có  EA, EO1   AO1, AE    AF , AO2   mod   � EO1 || AY Do O, O1, E thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có O, O2, F thẳng hàngMặt khác Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/  CE , CK    AC , AK    AK , CK    AC , AK     r uuuu r  uuuu  O1E , O1K   EO1, EK   mod   2   CEK  Ta có � AKI  � ALI  900 nên điểm Do OE tiếp tuyến đường tròn  A, I , K , L thuộc đường trịn đường kính AI Mà EF  AI nên suy EF tiếp tuyến đường trịn đường kính AI Do  AE, AK    LA, LK   mod   (1) Mặt khác  KE , KA   XE , XA   XE , EA   AE , AX      AE , AX   mod       AY , AF    AF , FY    AY , AF    AY , FY    LA, LF   mod   (2) Từ (1) (2) suy  EF , EK    EA, AK    AK , EK    LA, LK    LF , LA    LF , LK   mod   Vậy điểm E , F , L, K thuộc đường tròn Gọi S giao điểm EK FL Vì điểm E , F , L, K thuộc đường trịn nên ta có SE.SK  SF SL � PS / CEK   PS /  DFL  (3) Ta có IC.IK  ID.IL  IA2 � PI /  CEK   PI /  DFL  (4) Gọi D giao điểm EF với IY DFL  Chứng minh tương tự câu 1) ta có OF tiếp tuyến đường tròn  E , F O trung điểm XY nên suy Mặt khác tứ giác EFYX hình thang vng PO / CEK   OE  OF  PO / DFL  OE  OF Do (5) Từ (3), (4), (5) suy S , O, I CEK  ,  DFL  nên S , O, I thẳng hàng thuộc trục đẳng phương hai đường tròn  Vậy đường thẳng EK , FL, OI đồng quy S *) Chú ý: Nếu HS không sử dụng góc định hướng phải xét trường hợp vị trí điểm I ( I nằm ngồi đoạn XK , YL I nằm đoạn XK , YL ) Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đơng Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ II Bài tốn vecto quan hệ vng góc Câu 66 (Sở GDĐT Nghệ An- thi chọn học sinh giỏi tỉnh 2000-2011 toán 10) uur uur uur uur r ABCD IA  IB  IC  ID  Có kết luận I a Cho tứ giác lồi điểm thỏa mãn hệ thức điểm I , chứng minh điều b Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BI CJ Chứng minh đường cao AH nằm trục đẳng phương hai đường tròn đường kính BI CJ Câu 67 (Sở GDĐT Nghệ An- thi chọn học sinh giỏi tỉnh 2004-2005) a Cho tứ giác ABCD , với AB  a , BC  b , DA  d Chứng minh rằng: uuur uuur 2AC.DB  a  b  c  d b Cho tam giác ABC M , N , P trung điểm cạnh BC , CA , AB Dựng phía ngồi tam giác đoạn thẳng PN , NE cho PD  AB , PD  AB NE  AC , NE  AC Từ D dựng đường thẳng DF song song hướng với BC cho DF  BC Chứng minh EF  AM Câu 68 (THPT Chuyên Bắc Giang – Tỉnh Bắc Giang – Thi Toán Khối 11) � 1� uuu r uuu r KCB ACB Cho tam giác ABC Gọi K điểm thỏa mãn KA  2 KB giả sử Gọi H hình chiếu vng góc A CK , M trung điểm đoạn AB Chứng minh MH  BC Lời giải Gọi D điểm đối xứng với B qua CK Khi SACK  uuur uuur �  KCD � � KCB ACD Do KA  2KB nên SKCB � SACK ACsinACK  � S Vì KCB BCsinKCB � � � 2ACsinACKcosKCB 2ACcosKCB   � BC BCsinACK = nên � 2ACcosKCB �  BC  cosKCB BC AC   �  DC cosACD AC Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ � � � �  ADC  90 tứ giác CHDA tứ giác nội tiếp KCB  ACD  AHD (1) � � Do AH BD vng góc với CK nên AH // DB HDB  AHD (2) Từ (1) (2) suy tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp (DH cắt BC E, CK cắt BC F) suy H trực tâm tam giác BCD  BH  CD BH//AD Vậy tứ giác AHBD hình bình hành, M trung điểm AB nên H, M, D thẳng hang Vậy MH  BC Câu 69 (Sở GDĐT Nghệ An- thi chọn học sinh giỏi tỉnh 2000-2001 lớp 10) ' ' ' a Cho tam giác ABC có ba điểm A , B , C trung điểm cạnh BC , CA , AB Tính giá trị r uuur uuur' uuur uuur' uuur uuuu ' s  BC AA  CA BB  AB CC biểu thức b Cho tam giác ABC có AB  , BC  ; AC  AD CE phân giác cắt P Tính AP Câu 70 ( Sở GDĐT Nghệ An- thi chọn học sinh giỏi tỉnh 2005-2006 lớp 12) Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi M trung điểm AB , G trọng tâm tam giác ACM I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh GI  CM IV Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng tính chất đồng quy Câu 71 (THPT Chuyên Cao Bằng – Thi Olympic 2014 – Toán 11) Cho hai đường tròn  O1   O2  Kẻ tiếp tuyến chung A1 A2 , tiếp tuyến chung B1 B2 hai đường tròn ( A1 , B1 �(O1 ) , A2 , B2 �(O2 )) Chứng minh A1B1 , A2 B2 , O1O2 đồng quy Câu 72 (THPT Chu Văn An – Hà Nội – Đề xuất đề thi học sinh giỏi Toán 11- 2015) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn  O  Kẻ đường kính AD M thuộc BC  O  P khác D Chứng minh C , H , P thẳng hàng với thỏa mãn OM / / AB DM cắt H trực tâm tam giác ABC Lời giải DP cắt AB E M trung điểm DE (vì OM đường trung bình) BHCD hình bình hành nên DH cắt DC I trung điểm đường Suy MI đường trung bình ∆DHE → MI // EH → EH // BC Kéo dài CH cắt (O) Q Ta c/m Q ≡ P, cách c/m Q, E, D thẳng hàng Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đơng Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Vì BD // CQ nên BDCQ hình thang cân (hình thang nội tiếp) Ta có: ∆QBH cân B hình thang BDCQ cân Nên Mà Q, H, C thẳng hàng, nên E, Q, D thẳng hàng, hay QP (đpcm Câu 73 (THPT Chuyên tỉnh Lào Cai – Trại hè Hùng Vương lần X)  O  B Cho đường trịn tâm O hai đường kính AB , CD Tiếp tuyến với đường tròn  O  lần G Gọi W giao điểm AG cắt AC P , PD cắt đường tròn BC Chứng minh ba điểm O , P , W thẳng hàng Câu 74 ( THPT Chuyên Hưng n- Thi Mơn Tốn Khối 11 -2015)  O  Đường phân giác góc �BAC cắt Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  O  F khác B D khác A Gọi E điểm đối xứng với B qua AD BE cắt  I �E  Đường thẳng I điểm thay đổi cạnh AC BI cắt  O  J khác B  T  ngoại tiếp VBIE Từ C kẻ đường thẳng song song với AJ cắt FD P Đường tròn  Q �B  cắt  O  K  K �B  Chứng minh E , P , Q thẳng hàng cắt BC Q đương thẳng KI qua điểm cố định I thay đổi Lời giải +) điểm cung E đối xứng qua nên (vì ) (g.c.g) trung trực M A (do ) Mà (do ) Có phía nên thẳng hàng +) Đường thẳng cắt khác (vì ) (vì ) B J I F E P Q C K D đường kính Mà điểm cung chứa khơng nên cố định Vậy đường thẳng qua điểm cố định thay đổi Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Câu 75 (THPT Chuyên tỉnh Thái Nguyên – Trại hè Hùng Vương lần X)  AB  AC  có AH đường cao P , Q chân đường vuông Cho tam giác ABC nhọn góc hạ từ H xuống AB , AC Gọi M giao PQ BC , K giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AM , I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC Chứng minh K , H , I thẳng hàng Lời giải Dễ dàng chứng minh PQCB tứ giác nội tiếp Ta có MB.MC = MP.MQ Do hai tam giác MHP MQH đồng dạng nên Vậy có suy AKPH tứ giác nội tiếp Vậy Ta có năm điểm A, K, P, H, Q thuộc đường tròn tâm J trung điểm AH Bây ta lại có I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQCB nên Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta dễ dàng chứng minh Từ OA // IJ Lại có Từ AJIO hình bình hành Dễ dàng suy JHIO hình bình hành Mà JO vng góc với AK (do AK trục đẳng phương hai đường tròn (J) (O)) Vậy HI vng góc với AK Lại có KH vng góc với AK nên K, H, I thẳng hàng Câu 76 (THPT Chuyên tỉnh Tuyên Quang – Trại hè Hùng Vương lần X)  O; R  Cho hai đường tròn O; R  ' ' tiếp xúc với A , O  ' nằm  O , ' BC dây cung  O  tiếp xúc với  O  M Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh a Ba điểm A , I , M thẳng hàng b Khi dây BC thay đổi điểm I thuộc đường tròn cố định Lời giải a) Gọi M’ giao điểm thứ hai MA với (O) B’ giao điểm thứ hai BA với (O’) (khác A) Đặt Ta thấy , suy O’M // OM’ Vì O’M  BC nên OM’  BC, M’ điểm cung Vậy AM phân giác góc , hay I thuộc đường thẳng AM b) Theo tính chất phân giác Mặt khác, theo tính chất phương tích Vì nên Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đơng Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ Do , Vậy Do nên cố định Câu 77 THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – Tỉnh Yên Bái – Thi Toán Khối 11)  O   I  theo thứ tự đường tròn ngoại Cho tam giác ABC không cân A Gọi  I  tiếp xúc với AC , AB E , F Các điểm tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác ABC M , N thuộc  I  cho EM song song BC FN song song BC Gọi P , Q  I  Chứng minh giao điểm BM , CN với a BC , EP , FQ đồng quy điểm, gọi điểm K  I  qua b Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPK , CQK tiếp xúc với điểm thuộc  O Lời giải a) Gọi S giao điểm BC EF Gọi D tiếp điểm (I) với BC Ta có DMFP tứ giác điều hịa Mà EM//DS Do EP qua trung điểm DS Tương tự FQ qua trung điểm DS Vậy BC, EP, FQ đồng quy trung điểm DS Kí hiệu K b) Kí hiệu (XYZ) đường trịn ngoại tiếp tam giác XYZ Gọi d tiếp tuyến vơi (I) P Ta có: Suy d tiếp xúc với (BPK) P Vậy (PBK) tiếp xúc với (I) Tương tự (CQK) tiếp xúc với (I) Kí hiệu EE, FF theo thứ tự tiếp tuyến với (I) E, F Gọi L giao điểm khác K (BPK) (CQK) Ta có: Suy L thuộc (ABC) Điều có nghĩa đường trịn ngoại tiếp tam giác BPK CQK qua điểm thuộc (O) Câu 78 (Sở GDĐT Nghệ An – Chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia lớp 12- 2006-2007) Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ ' ' Cho tam giác ABC Gọi hai điểm B , C trung điểm cạnh AC , AB H ' ' hình chiếu A lên BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C , BC ' H , B 'CH đồng quy điểm đồng thời đường thẳng qua điểm điểm H ' ' qua trung điểm đoạn thẳng B C Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/