HSG de dap an

VÏ c¸c tiÕp tuyÕn Ax, By (Ax vµ By vµ nöa ®êng trßn cïng thuéc mét nöa mÆt ph¼ng bê AB).. Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc nöa ®êng trßn.[r]

§Ị thi häc sinh giái cÊp hun Môn:Toán 9

Thời gian làm bài: 150 phút.

Đề bài:

Câu 1: (4 điểm).

Giải phơng trình: 1) x3 - 3x - = 0

2) 7-x + x -5 = x2 - 12x + 38

Câu 2: ( điểm)

1) Tìm số thực dơng a, b, c biết chúng thoả mÃn abc = a + b + c + ab + bc + ca 

2) Cho x > ; y > tho· mÃn: x + y HÃy tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:

M = 3x + 2y +

y x

8

 Câu 3: (3 điểm)

Cho x + y + z + xy + yz + zx = CMR: x2 + y2 + z2  3

C©u 4: (5 ®iĨm)

Cho nửa đờng trịn tâm có đờng kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (Ax By nửa đờng tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc nửa đờng trịn Tiếp tuyến M cắt Ax; By theo thứ tự C; D

a) CMR: Đờng trịn đờng kính CD tiếp xúc với AB

b) Tìm vị trí M nửa đờng trịn (0) để ABDC có chu vi nhỏ c) Tìm vị trí C; D để hình thang ABDC có chu vi 14cm Biết AB = 4cm

C©u 5: (2 ®iĨm)

Cho hình vng ABCD , xác định hình vng có đỉnh thuộc cạnh hình vng ABCD cho hình vng có diện tích nhỏ nhất./

HÕt

Đáp án đề thi học sinh giỏi cấp huyện Mơn:Tốn 9

1 (2 điểm)

Giải phơng tr×nh: x3 - 3x - = 0

 ( x3 - 2x2) + (2x2 - 4x) + (x - 2) = 0 (0,5®)  x2 (x - 2) + 2x (x - 2) + (x - 2) = 0

 (x - 2) (x + 1)2 = (0,75®)  x - = => x =

Hc (x + 1)2 = => x = -1 (0,5đ) 2 (2 điểm)

Giải PT: 7-x + x -5 = x2 - 12x + 38.

+ §K: - x 

x -    x (0,25đ)

+ áp dụng BĐT Cô Si cho số không âm ta có: VT = 7-x + x -5 

2 + -+ +

-7 x x

= DÊu b»ng x¶y  - x =

x - = (0,5đ) Mặt khác :

+ VP = (x - 6)2 +  2

DÊu b»ng x¶y x = (0,5đ) + Vậy : 7-x + x -5 = x2 - 12x + 38

 7-x + x -5 = = x2 - 12x + 38

 x = (thoả mãn điều kiện) (0,5đ) Vậy nghiệm PT cho : x = (0,25đ)

C©u 2: (6 ®iĨm) 1 (3 ®iĨm)

Ta cã = 1; c

ab ;

1 a

bc  = ;

b ac

Thay vào bắt đẳng thức cho có : a + b + c + ab + bc + ac 

0 2                                  c c b b a -a b a c c b a

  0

a a 1     

 a b c

b

b (Thoả mÃn yêu cầu) (1,0đ) (1,0đ)

x =

0   c c 2 (3®)

- Biến đổi :

x y

y y x x y

x  

                        3                 y y x x (0,5®)

áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho số không âm ta có :

y y x

x .8

2 2 6    

 M ≥ + + = 19 (1,0đ) Dấu xảy x = 2; y =

 M nhá nhÊt b»ng 19 (khi x = 2; y = 4) (0,5đ)

Câu : (3đ)

+ Ta cã :

x2 + ≥ 2x

y2 + ≥ 2y

z2 + ≥ 27 (0,5®)  (x2 + y2 + z2) + ≥ 2(x + y + z) (0,5đ)

Mặt khác ta có :

2 (x2 + y2 + z2) ≥ (xy + yz + zx) (0,5®)

Do : (x2 + y2 + z2) + ≥ (x + y + z + xy + yz + zx)

 x2 + y2 + z2 ≥3 (1,0®)

DÊu b»ng xảy :

x = y = z = (0,5đ)

Câu : (5 ®iĨm)

+ Vẽ hình ghi giả thiết kết luận (0,5đ)

c X

A O B

M I

Câu a : (1,5đ)

+ OC; OD tia phân giác góc kề bù góc COD = 900 (0,5đ)

Gọi I trung điểm CD ta có : IO = IC = ID

 Đờng trịn đờng kính CD (CI; IO) (0,5đ) + Tứ giác ACDB hình thang, có OI đ ờng trung bình; từ suy IO  AB (tại O)

VËy AB tiếp xúc với (I; IO) (0,5đ)

Câu b : (1,5đ)

- Chu vi hình thang ABDC b»ng : AB + AC + BD + CD

- Chứng minh đợc :

AC + BD = CM + MD = CD

 CABDC = 2CD + AB (0,5®)  CABDC nhá nhÊt  CD nhá nhÊt

 CD = AB  CD // AB

 OM  AB (0,5®) VËy : M điểm góc AB chu vi hình thang ABDC nhỏ

và 3AB (0,5đ)

Câu c : (1,5đ)

+ Đặt AC = x BD = y

 CABDC = AB + 2CD = + (x + y)

CABDC = 14  x + y = (1) (0,5đ)

Mà xy = MC.MD = OM2

xy = (2) (0,5đ) Kết hợp (1) vµ (2) ta cã :

1

4

  

 x

x

x hc x4

VËy : NÕu C  Ax C cách A 1cm 4cm CABCD = 14 (cm) (0,5đ) Câu : (2đ)

Gi EFGH hình vng cần xác định

+ Chứng minh đợc : Δ AHE = Δ CFG (Cạnh huyền,góc nhọn)

 EH = CG

Mµ AE // CG

Do EG qua trung điểm O AC

T¬ng tù ta cã : HF qua trung điểm O BD

Tâm hình vuông ABCD tâm hình vuông

EHGF trïng (0,75®)

+ Ta cã 2

2

2

OE OE

OE HF

GE

SEHGF   

SEHGF nhá OE nhỏ (0,5đ)

+ Gọi K nhá nhÊt  OE = OK

 E = K

 SEHGF nhá nhÊt  E, F, G, H trung điểm cạnh hình

vuông ABCD (0,25®)