Bài viết Nghiên cứu một đồ án dạy học các hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa trong môi trường hình học động - Phần 1 do Nguyễn Thị Nga thực hiện trình bày việc xây dựng và thực nghiệm một đồ án sư phạm nhằm dạy học các hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa trong môi trường hình học động là Cabri II Plus. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài viết để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu.
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga _ NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN1 DẠY HỌC CÁC HÀM SỐ TUẦN HỒN BẰNG MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG (Phần 1) NGUYỄN THỊ NGA* TÓM TẮT Trong xu hướng dạy học nay, việc phát triển học sinh khả áp dụng Toán học để giải vấn đề thực tiễn môn khoa học khác ngày trọng Để đạt mục tiêu đó, việc cung cấp cho giáo viên phương tiện để dạy học mơ hình hóa dạy học mơ hình hóa thực cần thiết Những phương tiện sở lí luận dạy học mơ hình hóa dạy học mơ hình hóa, lợi ích chúng, đặc biệt tình sư phạm dạy học mơ hình hóa dạy học mơ hình hóa phân tích thực nghiệm,… Bài báo trình bày việc xây dựng thực nghiệm đồ án sư phạm nhằm dạy học hàm số tuần hồn mơ hình hóa mơi trường hình học động Cabri II Plus Từ khóa: tượng tuần hồn, hàm số tuần hồn, mơ hình hóa, hình học động ABSTRACT Studying a didactic engineering for teaching periodic functions by modeling in dynamic geometry environment (part 1) In the current trend of teaching, developing students’ ability to apply mathematics to solve problems inreal life and other sciences is gaining more and more attention To achieve that goal, providing the means for teachers to teach modeling and teaching by modeling is really necessary The means may be a theoretical basis for teaching modeling and teaching by modeling or their usefulness, especially situations of teaching modeling and teaching by modeling that were analysed and experimented, etc This paper presents the development and the experimentation of a didactic engineering for teaching periodic functions by modeling in dynamic geometry environment Keywords: periodic phenomena, periodic functions, modeling, dynamic geometry Đặt vấn đề 1.1 Tầm quan trọng mơ hình C O việc mơ hình hóa tốn học tượng tuần hồn Đối với nhà vật lí, mơ hình C (chuyển động trịn đều) O (dao động điều hịa) mơ hình để * TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM cứu tượng tuần hoàn theo thời gian - Mơ hình C biểu diễn hai hệ thống biểu đạt: đại số (x = R cosθ, y = R sinθ, θ = ωt) đồ thị (đường trịn); - Mơ hình O biểu diễn hai hệ thống biểu đạt: đại số (x = A cos(ωt + φ) x’’ + ω2x = 0) đồ thị (đường hình sin) Số 45 năm 2013 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Mơ hình C x = R cosθ, y = R sinθ, θ = ωt Mơ hình O x’’ + ω2x = Hình Hai mơ hình C O tuần hồn Cái yếu mơ hình C quỹ đạo vật chuyển động Thật vậy, gắn điểm quỹ đạo với nhiều thời điểm mà vật chuyển động qua điểm Vì vậy, cách di chuyển điểm chuyển động quỹ đạo, “thấy rõ” đồng biến thiên với thời gian tất đại lượng gắn liền với chuyển động, chẳng hạn khoảng cách từ điểm chuyển động đến điểm khác, đến đường thẳng đến mặt phẳng Do đó, quỹ đạo đóng vai trị đồ thị chiều Trong đó, đồ thị hai chiều trung tâm mơ hình O Thời gian đại lượng đồng biến thiên với thời gian tách riêng hai trục khác đồ thị Do đó, bước chuyển từ mơ hình C sang mơ hình O bao gồm việc làm xuất trục thứ hai mang biến thiên đại lượng mơ hình hóa 1.2 Sự mờ nhạt việc nối khớp hai mơ hình C O dạy học tượng tuần hoàn Trong sách giáo khoa (SGK) phổ thơng, mơ hình C đưa vào trước mơ hình O (ngầm ẩn tiểu học qua tượng vịng tuần hồn máu, vịng tuần hoàn nước tường minh lớp 10 qua chuyển động trịn đều.) Mơ hình O đề cập lớp 12 sau hàm số lượng giác giảng dạy mơn tốn Chuyển động trịn gắn liền với mơ hình hình học (đường trịn) đó, dao động điều hịa gắn liền với hệ thống biểu đạt đại số đồ thị (hàm sin đường hình sin) Tuy nhiên, đồ thị giới hạn vai trò minh họa cho biểu thức đại số cho sẵn Các tổ chức praxéologie dành cho bước chuyển từ mô hình sang mơ hình khơng tồn thể chế dạy học tốn vật lí Mặc dù có vài tập kết hợp hai mơ hình C O câu hỏi đặt mơ hình O hệ thống biểu đạt đại số Việc trở lại mơ hình C tập không cần thiết mong đợi thể chế Để làm rõ hệ mối quan hệ thể chế nêu trên, thực nghiệm câu hỏi điều tra học sinh lớp 12 [1] Thực nghiệm xác nhận học sinh gặp khó khăn q trình mơ hình hóa tượng tuần hồn khi: - Chọn lựa hai mơ hình C O tùy theo vấn đề cần giải quyết; Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga _ - Xác định mơ hình chọn (các kiện tham số); - Chuyển từ mơ hình sang mơ hình Những kết nghiên cứu dẫn đến việc đặt câu hỏi sau : Liệu tổ chức dạy học hàm số tuần hồn mơ hình hóa có tính đến nối khớp hai mơ hình C O ? Trả lời cho câu hỏi mục tiêu nhắm đến đồ án dạy học mà xây dựng Một số lựa chọn sư phạm đồ án 2.1 Khuyến khích mơ hình hóa hình học trung gian Lựa chọn đồ án tạo điều kiện khuyến khích mơ hình hóa hình học tình thực tế đề nghị Lĩnh vực hình học khuyến khích tham gia vào cơng việc mơ hình hóa cho phép tạo nên mối liên hệ ngữ nghĩa chặt chẽ với tình thực tế chọn Hình học cơng cụ quen thuộc sử dụng để mơ hình hóa khơng gian xung quanh Hơn nữa, mơ hình hóa khơng gian thực tế hình học hoạt động mà học sinh thực từ tiểu học (mặc dù điều thể ngầm ẩn) Chẳng hạn, cửa sổ hay bàn biểu diễn hình chữ nhật Trong đồ án này, chúng tơi xây dựng tình sư phạm cho phép mơ hình C đóng vai trị mơ hình hình học trung gian để xây dựng mơ hình hàm O Do đó, tượng thực tế chọn chuyển động tròn 2.2 Làm việc mơi trường hình học động Như chúng tơi trình bày trên, tốn thực tế liên quan đến tượng tuần hồn có mặt SGK, mơ C O ln cho sẵn Đặc biệt, mơ hình O ln trình bày trực tiếp mà khơng có mơ hình hóa trung gian mơ hình C Chúng tơi thiết lập giả thuyết việc xây dựng mơ hình tốn học O dựa mơ hình hóa hình học trung gian gắn liền với mơ hình C mơi trường hình học động (Cabri II Plus) Thật vậy, mơi trường hình học động có lợi cung cấp cho học sinh phương tiện để khám phá mơ hình cách thao tác nó, điều chỉnh xem xét hệ điều chỉnh 2.3 Trọng tâm mơ hình hóa tượng tuần hồn Trong nghiên cứu này, chúng tơi quan tâm chủ yếu đến mơ hình hóa tượng tuần hồn theo thời gian Lựa chọn dẫn đến việc phải đưa vào tình câu hỏi mơ hình hóa thời gian Mơi trường hình học động cho phép đem lại cách mơ hình hóa thời gian khác (xem chi tiết phần sau) Điều kiện tiến hành thực nghiệm thu thập kết Thực nghiệm tiến hành vào đầu năm học 2010-2011 với 12 HS lớp 12 trường THPT Thành phố Hồ Chí Minh (chia làm nhóm) Số 45 năm 2013 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Chú ý rằng, HS học chuyển động tròn năm lớp 10 dao động điều hòa đầu năm lớp 12 Thực nghiệm diễn buổi, buổi kéo dài 2,5h Bảng Mục tiêu tình thực nghiệm Buổi Buổi Tình Mục tiêu thực nghiệm Tình tiếp cận Cabri Khởi đầu hình thành cơng cụ Xây dựng mơ hình hình học trung gian (mơ Tình hình C) Làm tiến triển mơ hình hình học trung gian Tình việc đưa vào biến thời gian Giải tốn trùng khớp (làm xuất Tình mơ hình O) Mỗi nhóm HS làm việc máy tính cài đặt phần mềm Cabri II Plus Các liệu thu thập sau thực nghiệm bao gồm : - Ghi nhận người quan sát; - Phiếu trả lời giấy nháp HS; - Quay phim thao tác HS môi trường Cabri công cụ “Bat dau viec luu giu” Cabri; - Ghi âm trao đổi nhóm; - Quay phim việc giảng dạy giáo viên Giới thiệu tình thực nghiệm 4.1 Tình tiếp cận Cabri Mục tiêu tình tiếp cận Cabri buổi tạo điều kiện cho HS tìm hiểu sử dụng số công cụ Cabri II Plus cần thiết cho thực nghiệm Ngoài ra, khái niệm điểm điều khiển điểm khác đưa vào thơng qua tình huống2 nhỏ Đó điểm có đặc trưng sau : + Ta kéo điểm được, + Nó làm di chuyển điểm khác Như vậy, khái niệm điểm điều khiển điểm khác tương ứng ngầm ẩn với khái niệm biến độc lập biến phụ thuộc khái niệm hàm số 4.2 Các tình 1, Các tình xây dựng nhằm giải toán tổng qt sau : “Một cơng viên giải trí TPHCM có đu quay lớn Bắt đầu lượt chơi, bạn M bước vào cabin Một tia sáng màu đỏ chiếu sáng đợt vào vị trí cố định đu quay mà cabin qua Nếu cabin chiếu sáng, người ngồi cabin thắng lượt chơi miễn phí Câu hỏi: - M có thắng lượt miễn phí khơng? Nếu có, sau vịng chơi? Nguyễn Thị Nga Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ - M thắng thêm lần khác khơng?” Trong tình 1, chúng tơi tìm cách chuyển giao cho HS trách nhiệm q trình mơ hình hóa hàm số tình đồng biến thiên Mục tiêu tình xây dựng mơ hình hình học trung gian gần ngữ nghĩa với thực tế làm tiến triển mơ hình Câu hỏi biểu diễn chuyển động cabin đu quay theo thời gian chuyển thành câu hỏi chuyển động điểm đường tròn điểu khiển điểm khác Tình yêu cầu biểu diễn đu quay, cabin di chuyển cabin đu quay Điều dẫn đến việc xây dựng đường tròn (biểu diễn đu quay) điểm di động đường tròn (biểu diễn cabin M) thông qua trung gian điểm P đường thẳng cho trước Trong tình 2, việc di chuyển điểm điều khiển P đường thẳng mơ hình hóa trơi tuyến tính thời gian Do đó, nhận mơ hình hóa việc di chuyển cabin theo thời gian Ở đây, thời gian xây dựng biến độc lập Tình nhắm vào việc giải tốn tổng qt dựa mơ hình trung gian C xây dựng tình Việc giải vấn đề trùng khớp hai tượng tuần hồn địi hỏi phải thao tác hai chu kì hai tượng làm tiến triển mơ hình trung gian mơ hình hàm số tính tốn Tình phân tích chi tiết phần viết Phân tích chi tiết buổi thực nghiệm thứ 5.1 Tình Xây dựng mơ hình trung gian ban đầu (mơ hình “cơ học”) Học sinh mở hình vẽ Cabri (hình 2) thực yêu cầu sau : Dựng hình hình biểu diễn đu quay cabin M cho việc di chuyển điểm P điều khiển chuyển động cabin M Hình Hình vẽ3 Cabri tình Chúng thiết lập giả thuyết đu quay biểu diễn đường tròn cabin biểu diễn điểm đường tròn Đường tròn thay đổi cương vị đề cập đến việc biểu diễn chuyển động cabin : Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 45 năm 2013 _ đó, đường trịn biểu diễn đường cabin Sau hai chiến lược để xây dựng điểm M Chiến lược thứ không dựa vào độ dài AP – chiến lược “phép chiếu phối cảnh” chiến lược thứ hai dựa vào độ dài AP – chiến lược “chuyển số đo” Chiến lược “phép chiếu phối cảnh”: Lấy điểm I đường tròn, vẽ đường thẳng PI, M giao điểm PI với đường tròn Điểm M di động đường tròn di chuyển theo di chuyển điểm P Hình Mơ hình trung gian nhận chiến lược “phép chiếu phối cảnh” Chiến lược “chuyển số đo” : Lấy điểm I đường tròn, đo độ dài đoạn AP, chuyển số đo AP lên đường trịn từ I cơng cụ “chuyển số đo” Hình Hai vị trí khác P mơ hình nhận chiến lược “chuyển số đo” Tình tạo mơi trường xây dựng phải “phù hợp” với cho phép hợp thức mơ hình xây số đặc trưng thực tế, chẳng hạn: dựng Việc di chuyển điểm + Cabin không trượt khỏi đu Cabri đối chiếu với thực tế cho phép quay; loại bỏ hay chấp nhận mơ hình + Cabin quay nhiều trung gian tạo Thật vậy, mô hình vịng 10 Nguyễn Thị Nga Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Mơ hình nhận chiến lược “phép chiếu phối cảnh” không cho phép điểm M di chuyển đường tròn nhiều vòng, chí vịng đầy đủ Vì vậy, khơng hợp thức Ngược lại, mơ hình nhận từ chiến lược “chuyển số đo” thỏa mãn ràng buộc Do đó, chiến lược tối ưu Kết thực nghiệm tình cho thấy nhóm bắt đầu chiến lược “phép chiếu phối cảnh” Sau đó, nhờ việc tham chiếu vào thực tế, nhóm nhận khơng hợp thức mơ hình xây dựng Cuối cùng, có nhóm sử dụng chiến lược “chuyển số đo” Tuy nhiên, nhóm khơng thành cơng khó khăn gắn với việc cần thiết phải chọn điểm gốc I đường tròn để chuyển số đo Chẳng hạn, nhóm lấy điểm đường trịn, đặt tên M, chuyển số đo AP lên đường tròn từ điểm M để nhận điểm Tuy vậy, nhóm lại khơng nhận điểm nhận điểm biểu diễn đu quay 5.2 Tình Làm tiến triển mơ hình trung gian (mơ hình “thời gian”) Hình vẽ xây dựng tình (hình 4) thể chế hóa giáo viên sử dụng tình với u cầu sau : Trên hình, em thấy điểm P tia gốc A, điểm I cố định đường tròn điểm M điều khiển điểm P di chuyển đường trịn Cơng việc cần làm : Pha Dựng tia AP điểm P1 tương ứng với vòng cabin M, điểm P2 tương ứng với vòng cabin M, điểm P3 tương ứng với vòng cabin M Pha Biết vòng đu quay kéo dài phút Dựng điểm U cho P di chuyển từ A đến U M phút hành trình Hình Hình vẽ4 Cabri tình Yêu cầu thứ tình (pha 1) tương ứng với việc thực chia độ tia Ax với đơn vị “vòng” Điều làm cho việc di chuyển liên tục điểm P trở nên rời rạc (1 vòng, vòng,…) Việc chia độ trục thời gian theo số vòng cho phép đặt vấn đề biểu diễn thời gian độ dài (phụ thuộc vào kích cỡ đu quay) Trong dạy học tốn vật lí trường phổ 11 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 45 năm 2013 _ thơng, việc biểu diễn tuyến tính thời gian thường cho sẵn, không yêu cầu xây dựng Sau chiến lược để dựng điểm P1, P2 P3 : Chiến lược “tri giác”: đặt điểm P A (khi M trùng với I), di chuyển P tia Ax cho điểm M di chuyển đường tròn vòng trở lại điểm I Lấy điểm P1 tia Ax kéo đến vị trí P Di chuyển P để phân biệt với P1 Chiến lược cho phép dựng P1 không cho phép dựng P2, P3 khơng thu nhỏ đường trịn Tuy vậy, việc thay đổi kích cỡ đường trịn làm cho điểm P1 xây dựng theo chiến lược không cịn hợp thức Như vậy, có hai biến dạy học tính đến kích cỡ đường trịn việc thay đổi hay khơng kích cỡ Trong tình 2, chúng tơi chọn đường trịn có kích cỡ thay đổi chu vi ban đầu khơng thể chuyển số đo lần lên hình Do đó, tình tạo môi trường cho phép loại bỏ chiến lược tri giác Chiến lược “chuyển số đo”: Đo chu vi đường tròn, chuyển số đo chu vi lên tia Ax Điểm nhận điểm P1 Dựng P2 cách lấy đối xứng điểm A qua P1 Tương tự, dựng P3 cách lấy đối xứng P1 qua P2 Chiến lược tối ưu tạo chia độ tia Ax không phụ thuộc vào bán kính đường trịn biểu diễn đu quay Khi chu vi đường trịn thay đổi điểm P1, P2 P3 hợp thức Ngoài ra, việc thay đổi kích cỡ đường 12 trịn cho phép đưa vào khái niệm đổi tỉ lệ Đây khái niệm quan trọng q trình mơ hình hóa mối liên hệ với thực tế, việc thay đổi kích cỡ đường trịn tương ứng với việc nhìn đu quay từ xa hay gần Điểm P thay đổi tia Ax chia độ theo số vòng đu quay tạo nên mơ hình hóa rời rạc thời gian, thời gian theo số vịng Kết thực nghiệm pha cho thấy có 2/6 nhóm bắt đầu chiến lược tri giác để dựng điểm P1 Họ cố gắng tiếp tục chiến lược để dựng P2 P3 khơng thành cơng đường trịn khơng cịn xuất hình Điều buộc họ phải thay đổi chiến lược Kết cuối tất nhóm sử dụng cơng cụ chuyển số đo có nhóm xây dựng mơ hình hồn chỉnh chiến lược tối ưu Ba nhóm khác dựng P1 chưa hồn chỉnh việc dựng P2 P3 thiếu thời gian Nhóm cịn lại chuyển số đo AP lên đường trịn từ M Điều cho thấy nhóm khơng hiểu vai trị điểm M mơ hình học ban đầu Việc đưa liệu số (một vòng kéo dài phút) vào câu hỏi (pha 2) tình dẫn đến việc chia độ tia Ax theo thời gian liên tục đo phút Như vậy, việc chia độ rời rạc “thời gian theo số vòng” chuyển sang việc chia độ liên tục “thời gian theo phút” Bốn chiến lược để dựng điểm U chia (số học hình học) đường tròn đoạn thẳng AP1 Do Nguyễn Thị Nga Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ hợp đồng việc thể chế hóa chiến lược chuyển số đo pha 1, dự đoán chiến lược chia số học chiếm ưu Chẳng hạn, sau chiến lược “chia số học đoạn thẳng AP1” : Đo khoảng cách AP1, dùng máy tính chia AP1 cho 5, chuyển kết lên tia Ax công cụ chuyển số đo Điểm nhận điểm U Trong thực nghiệm, 5/6 nhóm thành cơng việc dựng điểm U cách chia chu vi đường tròn độ dài AP1 cho chuyển số đo kết lên tia Ax Chỉ có nhóm thất bại họ chuyển số đo lên tia từ điểm P từ điểm A Ở cuối pha này, giáo viên đưa vào tường minh khái niệm “trục thời gian” : “Khi P di chuyển từ A đến U, M phút hành trình […] Ta nói ta xây dựng trục thời gian theo phút” 5.3 Kết luận buổi thứ Đến cuối buổi thực nghiệm thứ nhất, học sinh xây dựng mơ hình hàm số có chất hình học Điểm M biểu diễn cabin đu quay di chuyển đường tròn theo thời gian - biến độc lập mà giá trị đọc trục phân biệt với đường cabin Mơ hình kết tiến triển mơ hình trung gian sau : + Mơ hình “cơ học” : điểm tia điều khiển điểm đường trịn (tình 1) + Hai mơ hình “thời gian” liên tiếp : điểm tia biểu diễn đồ thị cho biến độc lập, trước hết rời rạc, sau liên tục hình thành trục thời gian chia độ theo phút (tình 2) Hình Mơ hình trung gian C trục thời gian Mơ hình xây dựng tình gắn liền với mơ hình C Nó điểm xuất phát cho tình tổ chức xoay quanh vấn đề trùng khớp hai tượng tuần hoàn với mục tiêu làm xuất mơ hình O nối khớp với mơ hình C (Xem tiếp trang 24) 13 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 45 năm 2013 _ Phần thứ đồ án nằm khuôn khổ dự án nghiên cứu MIRA: “Mơ hình hóa tượng biến thiên dạy học nhờ hình học động” Đây dự án hợp tác nhóm nghiên cứu DIAM Trung tâm LIG (Đại học Joseph Fourier, Grenoble, Pháp) nhóm Didactic Tốn (Khoa Tốn – Tin Đại học Sư phạm TPHCM) tài trợ kinh phí Vùng Rhơn – Alpes Trên hình, có hai tia nằm ngang song song với Ax A’x’ Trên tia Ax có điểm P di động Công việc cần làm : Dựng tia A’x’ điểm P’ cho A’P’ = 1,72 x AP Thể chế hóa : Điểm P’ di động kéo theo điểm P di động đẳng thức A’P’ = 1,72 x AP ln Ta nói điểm P’ điều khiển chuyển động điểm P Điểm P di chuyển tia Ax cho trước Điểm P di động tia Ax điều khiển điểm M di chuyển đường trịn Khi P trùng với A M trùng với I TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Nga tgk (2011), “Nghiên cứu didactique mơ hình hóa tượng tuần hồn”, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM, 27(61), tr 30-40 Nguyễn Thị Nga (2012), La périodicité dans les enseignements scientifiques : une ingénierie didactique d’introduction aux fonctions périodiques par la modélisation, ISBN: 978-3-8383-8192-9, Éditions Universitaires Européennes Soury-Lavergne, S & Bessot, A (2012), “Modélisation des phénomènes variables l’aide de la géométrie dynamique”, Actes du colloque Espace Mathématique Francophone, 3-7 février 2012, Genève (Ngày Tòa soạn nhận bài: 19-10-2012; ngày phản biện đánh giá: 05-01-2013; ngày chấp nhận đăng: 22-4-2013) 14 ... chức dạy học hàm số tuần hồn mơ hình hóa có tính đến nối khớp hai mơ hình C O ? Trả lời cho câu hỏi mục tiêu nhắm đến đồ án dạy học mà xây dựng Một số lựa chọn sư phạm đồ án 2.1 Khuyến khích mơ hình. .. _ Phần thứ đồ án nằm khuôn khổ dự án nghiên cứu MIRA: “Mơ hình hóa tượng biến thiên dạy học nhờ hình học động? ?? Đây dự án hợp tác nhóm nghiên cứu DIAM Trung tâm LIG (Đại học Joseph Fourier,... với I TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Nga tgk (20 11), ? ?Nghiên cứu didactique mơ hình hóa tượng tuần hồn”, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM, 27( 61), tr 3 0-4 0 Nguyễn Thị Nga (2012), La périodicité