Bài báo này là sự tiếp nối của bài báo “Nghiên cứu một đồ án dạy học các hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa trong môi trường hình học động (phần 1)”. Trong phần 1, tác giả đã trình bày những lựa chọn sư phạm của đồ án dạy học và kết quả của buổi thực nghiệm thứ nhất gồm các tình huống 1 và 2. Trong phần 2 này sẽ trình bày chi tiết nội dung và kết quả của buổi thực nghiệm thứ hai (tình huống 3). Mời các bạn cùng tham khảo.
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 48 năm 2013 _ NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC CÁC HÀM SỐ TUẦN HỒN BẰNG MƠ HÌNH HĨA TRONG MƠI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG (PHẦN 2) NGUYỄN THỊ NGA* TÓM TẮT Bài báo tiếp nối báo “Nghiên cứu đồ án dạy học hàm số tuần hồn mơ hình hóa mơi trường hình học động (phần 1)”[2] Trong [2], chúng tơi trình bày lựa chọn sư phạm đồ án dạy học kết buổi thực nghiệm thứ gồm tình Trong báo này, chúng tơi trình bày chi tiết nội dung kết buổi thực nghiệm thứ hai (tình 3) Từ khóa: tượng tuần hồn, hàm số tuần hồn, mơ hình hóa, hình học động ABSTRACT Studying a project for teaching periodic functions by modeling in dynamic geometry environment (Part 2) This paper is a continuation of the article "Studying a project for teaching periodic functions by modeling in dynamic geometry environment (Part 1)" [2] In the first part, we present the pedagogical options of the teaching project and the results of the first experimental session consists of situations and In this paper we will present in great details the content and results of the second experiment (situation 3) Keywords: periodic phenomena, periodic functions, modeling, dynamic geometry Nhắc lại kết buổi thực nghiệm thứ Ở buổi thực nghiệm thứ nhất, học sinh làm việc với hai tình để xây dựng mơ hình hình học Cabri biểu diễn đu quay, cabin M trục thời gian [2] Hình Mơ hình trung gian C trục thời gian cuối buổi * TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 14 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga _ Ở đây, đường tròn biểu diễn cho đu quay điểm M biểu diễn cabin M đu quay Tia Ax biểu diễn trục thời gian, điểm P di động tia Ax điểu khiển chuyển động điểm M đường tròn Độ dài AP1 tương ứng với vòng cabin M; độ dài AU tương ứng với chuyển động M đường trịn phút tính từ điểm I, nghĩa P di chuyển từ A đến U điều khiển chuyển động điểm M phút tính từ I Phân tích chi tiết buổi thực nghiệm thứ hai Buổi thực nghiệm thứ hai tổ chức xoay quanh tình Tình đưa vào câu hỏi thời điểm mà cabin chiếu sáng tia sáng chiếu sáng đợt Bài tốn tình phát biểu tổng quát sau: Một vòng đu quay kéo dài T phút Cứ m phút tia sáng chiếu sáng n phút để chiếu sáng vị trí L - nơi cabin qua (ở độ cao h) Nếu cabin chiếu sáng qua vị trí L người ngồi cabin thắng vịng miễn phí Câu hỏi: + M có thắng vịng miễn phí khơng ? Nếu có, sau vịng chơi? + M thắng thêm lần khác khơng ? Trên hình Cabri xuất mơ hình trung gian C xây dựng tình Ngồi ra, có đoạn thẳng biểu diễn mặt đất (xem hình 2) Hình Màn hình Cabri bắt đầu tình Tình đưa vào câu hỏi trùng khớp hai tượng tuần hoàn cabin M vị trí L (chu kì T phút) đèn chiếu sáng (cứ m phút chiếu sáng n phút) Để giải tốn địi hỏi phải thao tác hai chu kì hai tượng làm tiến triển mơ hình trung gian tình mơ hình hàm số tính tốn Câu trả lời tình phụ thuộc vào giá trị (T, n, m, h) Trong bốn này, thời gian vòng cố định phút thời gian chiếu sáng tia sáng phút Đồ án quan tâm đến thay đổi cặp giá trị (m, h) Cặp (m, h) nhận giá trị (3 phút, 35 m) pha (4 phút, 20 m) pha Chúng tơi tóm tắt lựa chọn giá trị biến pha pha bảng sau: 15 Số 48 năm 2013 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Bảng Các lựa chọn khác pha pha Pha Pha T n m h Thời điểm trùng khớp Thời điểm trùng khớp Đường hình sin 35 gần (vịng thứ 2) sau vịng khơng cho trước 20 xa (vòng thứ 4) sau vòng cho trước Thực nghiệm tiến hành thành pha thời gian 2,5h Trong phạm vi cho phép báo, tập trung vào phân tích pha nhằm làm rõ việc sử dụng tính tuần hồn tượng nối khớp hai mơ hình C O Sau chiến lược để giải toán trùng khớp - Chiến lược đồ thị chiều Tia đường tròn : thời gian tuyến tính chuyển thành thời gian quay vòng đường tròn + Đánh dấu đường tròn điểm L vị trí mà tia sáng chiếu sáng ; + Tìm đường trịn cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng tia sáng; + Tìm thời điểm trùng khớp đầu tiên: điểm L thuộc vào cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng tia sáng Trong Cabri, chiến lược địi hỏi phải phân biệt cung (và khơng được) chiếu sáng, đồng thời cần tính đến vịng khác đu quay Vì vậy, chiến lược đòi hỏi nhiều thao tác thời gian Trong mơi trường giấy bút, chiến lược khó khăn với điểm L đặt tương đối đường tròn cung đánh dấu việc đồ nhiều nét bút lên cung Chúng ta thấy điều sản phẩm học sinh Đường tròn Tia: thời gian quay vòng chuyển thành thời gian tuyến tính tia + Đặt điểm L đường trịn; + Tìm trục thời gian đoạn thẳng biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng tia sáng; + Di chuyển điểm P trục thời gian, tìm thời điểm trùng khớp: điểm M trùng với điểm L điểm P thuộc vào đoạn thẳng biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng tia sáng 16 Nguyễn Thị Nga Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Hình Đánh dấu thời gian chiếu sáng tia sáng trục thời gian - Chiến lược đồ thị hai chiều: thời gian tuyến tính độ cao độ cao thời gian + Tìm trục thời gian đoạn thẳng biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng tia sáng; + Dựng ảnh đoạn thẳng độ cao h; + Dựng đoạn thẳng vng góc với trục thời gian với gốc P, qua điểm M’ cho PM’ = HM (với H hình chiếu M lên đoạn thẳng biểu diễn mặt đất) Vết đầu mút M’ (nhận Cabri) đường hình sin; + Hồnh độ giao điểm đoạn thẳng biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng tia sáng đường hình sin thời điểm trùng khớp Hình Chiến lược đồ thị hai chiều hình Cabri 17 Số 48 năm 2013 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Chiến lược “đồ thị hai chiều” khó xuất tham chiếu vào mơ hình O q trình mơ hình hóa buổi xây dựng mơ hình C Tuy trục thời gian tạo thuận lợi cho bước chuyển qua mơ hình O phân tích sách giáo khoa chúng tơi kĩ thuật thực bước chuyển hồn tồn vắng bóng kể lớp 12 dao động điều hòa đưa vào Đối với chiến lược “đồ thị chiều ”, hai lời giải Cabri (đường tròn tia Cabri tia đường trịn Cabri) khó thực phải thực chuyển số đo Chiến lược tia đường trịn giấy khó khăn sử dụng tri giác để đặt điểm L đường tròn đánh dấu cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng tia sáng Tuy vậy, đặt câu hỏi xác vị trí L cung Chiến lược dựa mơ hình C xây dựng buổi dự đốn chiếm ưu Việc trả lời câu hỏi “M thắng thêm lần khác khơng ? ” địi hỏi phải sử dụng tính tuần hồn tượng 2.1 Phân tích kết pha Chúng tơi trình bày bảng sau chiến lược sử dụng học sinh để tìm thời điểm trùng khớp Bảng Các chiến lược xuất pha Chiến lược Tia → đường tròn Cabri Đồ thị chiều Nhóm Tia → đường trịn giấy 2, 3, 5, Đường tròn → tia Cabri Đồ thị hai chiều - Các nhóm 1, 2, sử dụng đường tròn đường cabin M để tính quãng đường theo thời gian Đường tròn chia (một cách tương đối) thành phần, HS dùng bút để đánh dấu đếm vòng khác Đây chứng việc sử dụng tính tuần hồn Hình Giấy nháp nhóm 18 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga _ Chẳng hạn, sau câu trả lời nhóm : Hình Câu trả lời nhóm Ngược lại, nhóm lập luận quãng đường cabin M dọc theo trục thời gian Cabri: Hình Màn hình Cabri nhóm Câu trả lời nhóm 4: Hình Câu trả lời nhóm Như pha này, có chiến lược đồ thị chiều xuất Mơ hình C (mơ hình xây dựng Cabri) ưu tiên sử dụng học sinh Tuy nhiên, khó khăn việc đánh dấu cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng đu quay dẫn đến 4/6 nhóm từ bỏ mơi trường Cabri chuyển hình vẽ sang giấy Sự tuần hoàn khai thác cách thu hẹp thời gian vào khơng gian xác định đường trịn khơng khai triển hồn tồn theo trục thời gian (trừ nhóm 4) 19 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 48 năm 2013 _ Tóm lại, thời điểm này, có hai nhóm sử dụng đồng thời trục thời gian mô hình C Chiến lược đồ thị hai chiều hồn tồn không xuất Thế nhưng, nối khớp C O lại đòi hỏi xuất đồ thị hai chiều Vì vậy, chúng tơi xây dựng pha trung gian (pha pha 3) để đưa vào đồ thị Cabri trước tạo cạnh tranh hai mơ hình C O pha Do khn khổ có hạn báo, chúng tơi bỏ qua việc phân tích chi tiết hai pha 2.2 Phân tích kết pha Câu hỏi đặt pha tương tự pha giá trị cặp (m, h) (4, 20) làm cho thời điểm trùng khớp xa gốc thời gian (ở vòng thứ 4) Điều tạo thuận lợi cho việc sử dụng tính tuần hồn tượng Sau yêu cầu đặt cho HS : Người quản lí đu quay định thay đổi chiều cao tia sáng 20 m phía bên phải đu quay Cứ phút tia sáng chiếu sáng phút Câu hỏi: M có thắng vịng miễn phí khơng? Nếu có, sau vịng chơi? M thắng thêm lần khác không? Ở đây, chiến lược đồ thị chiều khó thực pha kết hợp việc đếm đồng thời số vòng cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng tia sáng Ngồi hình Cabri, học sinh phát tờ giấy biểu diễn đường điểm M’1 hệ trục tọa độ Đề-các với cung vẽ chỗ trống cho cung khác Các trục thời gian độ cao cabin đến mặt đất đặt tên độ cao tính O thời gian tính phút Hình Đồ thị biểu diễn đường điểm M’ Việc phát đồ thị hình sin pha khuyến khích học sinh sử dụng đồ thị gắn với mơ hình O sử dụng mơ hình C Như vậy, pha tạo ngắt quãng với pha trước pha trước cho sẵn mơ hình C Trong mơi trường giấy bút, chiến lược cần phải quay trở lại cung sau cung (15 phút) kéo dài đồ thị với cung hình sau đây: 20 Nguyễn Thị Nga Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Hình 10 Chiến lược đồ thị hai chiều pha Tương tự pha 1, chiến lược đồ thị hai chiều chiến lược tối ưu cho phép tổng qt hóa tốn mà khơng cần lặp lại tất q trình Chúng tơi tóm tắt chiến lược HS sử dụng bảng sau : Bảng Các chiến lược xuất pha Đồ thị chiều Chiến lược Tia → đường trịn Cabri Nhóm - Tia → đường tròn 2, 3, 4, 5, giấy Đồ thị hai chiều Trong pha này, đồ thị biểu diễn độ cao cabin M theo thời gian cho sẵn, thấy thống trị chiến lược đồ thị chiều Khơng có dấu vết để lại đồ thị nhóm 2, 3, Với nhóm này, đồ thị cho phương tiện minh họa không khai thác để giải tốn Nhóm sử dụng đồ thị để trả lời câu hỏi độ cao thời gian (phần đầu pha 4) Tuy nhiên, với tốn trùng khớp, nhóm quay trở lại chiến lược đồ thị chiều (vẽ đường trịn giấy) Chỉ có nhóm sử dụng đồ thị hai chiều pha Học sinh mở rộng đồ thị thêm cung chia cung thành phần (dựa theo ô vuông chia độ tờ giấy) tương ứng với phút 21 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 48 năm 2013 _ Hình 11 Dấu vết đồ thị nhóm Các khoảng thời gian chiếu sáng tia sáng đánh dấu đồ thị (kí hiệu L) Chúng ta thấy học sinh mắc sai lầm mối liên hệ đại lượng biến thể đồ thị cách đọc giá trị đại lượng đồ thị Các sai lầm chứng tỏ nối khớp khơng đầy đủ mơ hình C O học sinh Tuy nhiên sau đó, nhóm từ bỏ việc sử dụng đường hình sin để thực việc dàn trải thời gian đoạn thẳng song song Hình 12 Giấy nháp nhóm Như vậy, chiến lược mà nhóm sử dụng chiến lược đồ thị hai chiều (thời gian theo đoạn thẳng số vịng) Chúng tơi muốn minh họa sản phẩm nhóm 2, bốn nhóm vẽ giấy nháp đường tròn để thực chiến lược đồ thị chiều 22 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga _ Hình 13 Giấy nháp nhóm Đường trịn thứ sử dụng để biểu diễn đường cabin M với vị trí điểm D (L) độ cao 20 m Các đường tròn khác sử dụng để đánh dấu đếm khoảng chiếu sáng tia sáng (T: tắt, S: sáng) Chiến lược cho phép nhóm đưa câu trả lời (M thắng sau vịng chơi) Nhóm có chiến lược tương tự cho câu trả lời Cịn lại nhóm 4, sử dụng đường tròn họ cho kết nhầm lẫn khó khăn việc đếm đồng thời số vịng cung biểu diễn khoảng thời gian chiếu sáng tia sáng đường tròn 2.3 Kết luận buổi thứ hai Việc thực nghiệm đồ án toán trùng khớp hai tượng tuần hoàn chọn hợp thức để xem xét tính tuần hồn tượng nghiên cứu thao tác với chúng Hơn nữa, thực nghiệm cho thấy học sinh nhận biết sử dụng tuần hoàn nhiều hình thức khác + Tuần hồn theo vịng đường trịn, thời gian rời rạc, mơ hình C; + Tuần hoàn theo đoạn thẳng tia chia độ, thời gian tuyến tính liên tục; + Tuần hồn theo cung đường hình sin, thời gian tuyến tính liên tục, mơ hình O; + Tuần hoàn theo đoạn thẳng song song, thời gian tuyến tính rời rạc Bước chuyển từ hai mơ hình C O sang mơ hình cịn lại diễn tả biến thời gian dàn hay gập lại Trong thể chế dạy học phổ thông Việt Nam, dàn thể chế hóa với đường thẳng thời gian (đồ thị tượng biến thiên theo thời gian) Ngược lại, gập lại tồn ngầm ẩn qua việc quấn đường thẳng thực quanh đường tròn lượng giác (chương trình tốn lớp 10) Đồ án dạy học cho thấy rõ gập lại thời gian đường trịn mơi trường hình học động Cabri, điều khiển điểm M (di chuyển) điểm P (thời gian) tạo khả đọc thời gian đường tròn Việc gập lại thời gian đường tròn thực phân tích thành số vòng Điều gây rời rạc thời gian mà hình thức hóa gắn liền với mođun số học mặt ngữ nghĩa 23 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 48 năm 2013 _ Kết luận chung Thực nghiệm đồ án sư phạm cho thấy tiềm phần mềm hình học động việc dạy học mơ hình hóa trường phổ thơng Mơi trường hình học động Cabri sử dụng đồ án cho phép thiết lập mơ hình trung gian C, khai thác làm tiến triển theo q trình mơ hình hóa Thực nghiệm cho thấy khó khăn học sinh bước chuyển từ mơ hình C sang mơ hình O địi hỏi phải tách đại lượng chọn mơ hình C để đặt trục thứ hai hệ trục tọa độ Đề-các có trục xác định trục thời gian Đồ án tạo cách tiếp cận hàm số lượng giác, tạo ngắt quãng với thực hành thể chế, hàm số lượng giác nảy sinh từ q trình mơ hình hóa tình ngồi tốn học Ở đây, kiến thức tuần hoàn xây dựng sản phẩm q trình tốn học hóa tượng thực tế, tượng tuần hồn theo thời gian Đồ án tạo hai ngắt quãng hợp đồng thể chế hàm số : - Biểu diễn động hàm số môi trường tin học (buổi thứ 1); - Hàm số kết q trình mơ hình hóa (buổi thứ 2) Việc thực nghiệm đồ án chứng tỏ hiệu lực ràng buộc thể chế hoạt động phá vỡ Nghiên cứu đồ án dẫn đến việc đặt câu hỏi khả dạy học liên môn Vật lí – Tốn xây dựng quanh tình chứa đựng q trình mơ hình hóa tốn học tượng nghiên cứu vật lí Những tri thức tốn học vật lí tạo nên từ q trình mơ hình hóa ngồi tốn học điều kiện thể chế tại? Những tổ chức praxéologie (hỗn hợp tốn-vật lí) mà thể chế trung học cần xây dựng để dạy học mơ hình hóa tốn học ? * M’ nằm đường thẳng qua P vuông góc với trục thời gian cho PM’ = MH với H hình chiếu M lên đường thẳng biểu thị mặt đất TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Nga (2012), La périodicité dans les enseignements scientifiques : une ingénierie didactique d’introduction aux fonctions périodiques par la modélisation, ISBN: 978-3-8383-8192-9, Éditions Universitaires Européennes Nguyễn Thị Nga (2013), “Nghiên cứu đồ án dạy học hàm số tuần hồn mơ hình hóa mơi trường hình học động (Phần 1)”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TPHCM, 45(79), tr - 13 Soury-Lavergne, S & Bessot, A (2012), Modélisation des phénomènes variables l’aide de la géométrie dynamique, Actes du colloque Espace Mathématique Francophone, 3-7 février 2012, Genève (Ngày Tòa soạn nhận bài: 18-10-2012; ngày phản biện đánh giá: 13-5-2013; ngày chấp nhận đăng: 24-7-2013) 24 ... học hóa tượng thực tế, tượng tuần hồn theo thời gian Đồ án tạo hai ngắt quãng hợp đồng thể chế hàm số : - Biểu diễn động hàm số môi trường tin học (buổi thứ 1); - Hàm số kết q trình mơ hình hóa. .. (2013), ? ?Nghiên cứu đồ án dạy học hàm số tuần hồn mơ hình hóa mơi trường hình học động (Phần 1)”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TPHCM, 45(79), tr - 13 Soury-Lavergne, S & Bessot, A (20 12), Modélisation... chung Thực nghiệm đồ án sư phạm cho thấy tiềm phần mềm hình học động việc dạy học mơ hình hóa trường phổ thơng Mơi trường hình học động Cabri sử dụng đồ án cho phép thiết lập mơ hình trung gian