Đang tải... (xem toàn văn)
Gäi D vµ E lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm H trªn AB vµ AC... Chøng minh r»ng:.[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái líp 9 Môn thi: toán
(Thi gian lm bi 150 phút – không kể thời gian giao đề)
bi
CâuI- (4đ) : Tính giá trị biÓu thøc : 1, 5 3 2912
2, + 14
Câu II- (5đ) : Giải phơng trình sau : 1,
1
x x
+
1
x =
2
2
x 2, 2
x
x + 4
x
x =
3, x4 – 3x3 + 4x2 –3x +1 = 0
C©u III- (3đ) :
1, Cho a,b,c số d¬ng , chøng minh r»ng : 12
a +1
1
b +2
1
c + abc
32
2, Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã :
1
n - n >
1
1
n
Câu III (3đ) : Tìm giá trị nhỏ hàm số : a, y =
9
1
2
x x
x x
b, y =
2
3
x - 4
Câu VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông A ,đờng cao AH Gọi D E lần lợt hình chiếu điểm H AB AC Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm)
a, Tính độ dài đoạn DE
b, Chøng minh r»ng AD AB = AE.AC
c, Các đờng thẳng vng góc với DE D E lần lợt cắt BC M N Chứng minh M trung điểm BH ; N trung điểm CH
d, TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c DENM
-&*& -Đáp án biểu chấm
môn: toán
Câu I : (4điểm) Tính giá trị biểu thức sau : a,(2đ)
3 2912 = 5 3 (2 5 3)2 (0,5 ®)
= 5 3 53 (0,5®)
= 5 6 (0,25®)
=
) (
(2)= 5 51 (0,25®)
= b (2®)
3
2 + 14 =
2
3 14 (
2 (0,5®)
=
2
3 10 28
4 (0,25®)
=
2
) ( )
(
(0,5®) =
2
3 (0,5®)
= 2
(0,25đ)
Câu II: (5điểm) Giải phơng trình sau a (1,5đ)
1 1
1
x x
x x - Tìm đợc
§KX§: x (0,5đ) - Giải tìm nghiệm x = ĐKXĐ (1đ)
x = - §KX§ b 2 4
x x x
x (1,5®)
Trang - Biến đổi đa phơng trình dạng
| x – 1| + | x – | = (0,5đ) - Xét trờng hợp phơng trình (0,5đ) - Tìm nghiệm x = 0; x = (0,5đ)
c (2®) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + =
Lý luận x = nghiệm phơng trình có nghiệm x chia vế cho x2 ta đợc:
x2 – 3x + - x
3
+ 12
x = (0,5đ) - Đa phơng trình d¹ng:
( x2 +
2
1
x ) – (x + x
1
) + = (0,25®)
- Đặt đợc ẩn phụ đa phơng trình dạng (Đặt y = x +
x
1
) y2 – 3y + = 0 (0,5®)
- Giải tìm đợc nghiệm y = 1; y = (0,25đ) - Tìm đợc ẩn x từ ẩn phụ y trờng hợp (0,25đ)
NghiÖm phơng trình x = (0,25đ)
Câu III: (3®iĨm)
(3)( 12
a + ) (
1
b + ) (
1
c + ) abc
32
- áp dụng đợc bất đẳng thức Cô Si cho số dơng (1đ)
2
1
a + 2
1
a = a
2
2
1
b + b b
2 2
c c c
2
2
( 12
a + ) (
1
b + ) (
1
c + ) abc
32
(0,25đ) Dấu = xảy a = 1; b =
2
; c =
2
1
(0,25®)
Trang b.(1,5®) Chøng minh r»ng víi mäi n N ta cã
1 1 n n n
- Biến đổi
n n n n n n n n ) )( ( = n n1
1
(0,25đ) - So sánh đợc:
n n1
1 > n (0,5®)
- Từ suy ra:
1 1 n n n Câu IV:(3điểm)
Tìm giá trị nhỏ hàm số: a (2đ) y =
9 2 2 x x x x = 2 11 ) ( 2 x x x x (0,5®) = 18 11 2 x x (0,25®)
= 21 4( 111)2 14
x (0,25®)
- Lý luận đợc y
14 ) ( 11
x max (0,25đ)
- Tìm 14 ) ( 11
x max = 14 11
(4)- đợc y =
7 14 11
x = -1 (0,5®) b.(1®) y =
2 |
x + | - - Lý luận đợc
2 |
x + | x (0,25®)
Trang
|
x + | - - (0,25®)
y = - x = - (0,5đ)
Câu V: (5đ)
V hỡnh ỳng ghi giả thiết kết luận đẹp (0,5đ) a.(1đ) Tính DE = (cm) (1đ)
b.(1đ) Chứng minh hệ thức dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông (1đ) c (2đ) Gọi I giao điểm AH DE thì:
ID = IE = IA = IH (0,5®)
MID = MIH (cạnh huyền cạnh góc vuông) (0,5đ)
MD = MH MDH cân M MDH = MHD
MDB = MBD (0,5®)
MBD c©n ë M ta cã MD = MB
MB = MH (= MD) vËy M lµ trung điểm BH Chứng ming.thì N trung điểm HC (0,5đ) d (0,5đ) Từ câu c suy ra:
DM =
2
BH =
2
= 2(cm) EN =
2
HC =
2
= 4,5(cm) (0,25®)
S DENM =
2
(DM + EN) DE =
2
(2 + 4,5) = 19,5 (cm2) (0,25®)
Ghi chú: Mọi cách làm khác mà cho điểm tối đa