HSG de dap an

[r]

đề thi học sinh giỏi mơn tốn Câu 1:(4đ) Tính giá trị biểu thức

A=

3

3

 



+

3

3

 



B= 12 23 - 12 23 -

C©u 2:(4đ) Giải phơng trình a 4

  x

x = 74

b 25 x2

 - 10 x2 3

C©u 3: (4®)

a Cho a, b, c số không âm: a+b+c=1 Chứng minh a1 b1 c1 <3,5

b Chøng minh (a3+b3+c3) (

3 3

1 1

c b

a   )> c b a b

a c a

c

b 

   

(

) với a, b, c số thực dơng

Câu 4: (4đ) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, BC Các đoạn thẳng MC, ND cắt P Gọi E giao điểm đờng thẳng MC AD F trung điểm EP

a.Chøng minh MCND b.TÝnh AP, FD

c.Chứng minh điểm B, F, A, D thuộc đờng tròn

Câu 5: (2đ) Cho tam giác ABC vuông A Một đờng thẳng d qua trọng tâm G tam giác cắt AB, AC lần lợt M, N Chứng minh 2 12

AN

AM  

9

BC

C©u 6: (2đ) Cho a > 0, b > 0, a+b=1 Tìm giá trị nhỏ

M=(1+1)2

a (1+

2 )

b

Híng dÉn chấm môn Toán Bài 1:(4đ) a.(2đ)

A= 2

) (

3

 



+ 2

) (

3

 



0.5® A=

3

3 3

3

   

 0.5®

A= 2 2

) (

) 3 ( ) ( ) 3 )( (



 

  

Từ suy A=1 kết luận 0.5đ b.(2đ)

2B= 242 23  24 23  0.5® 2B= 232 231- 23 231-2 0.5®

2B= ( 23 1)2 ( 23 1)2  

 -2 0.5®

2B= 231 231 0.25®

2B=0 B=0 0.25đ

Bài 2:(4đ) a.(2đ)

2 (2 3)

)

(x   0.5®

x-2=2+ 0.5®

*x-2=2+ x=4+ 0.25®

*x-2=-(2+ 3) x=- 0.25®

Vậy phơng trình cho có nghiệm x1=4+ 3; x2=- 0.5

b.(2đ)

Đặt 25 x2 a; 10 x2 b( a  0; b  0) 0.25®

 a-b=3  a=b+3 (1)

vµ a2 – b2 = 15 (2) 0.5đ

Từ (1) (2) suy (3+b)2 – b2 = 15

Giải ta đợc a=4; b=1 0.5đ Với a=4  25 x2 =4 Giải đợc x=3 0.25đ

Víi b=1  10 x2

 =1 Giải ta đợc x=3 0.25đ

Kết luận nghiệm xác 0.25đ Bài 3: (4đ)

a.(2đ) áp dụng bất đẳng thức CoSi

a+1+12 1(a1) 0.25® 

2

 a

a1 (1) 0.25đ

Tơng tự

2

 b

 b1 (2) 0.25®

2

 c

 c1 (3) 0.25®

Céng vÕ víi vÕ (1), (2) vµ (3) Ta cã:

1 

a + b1+ c1 

2

  b c a

=

2

(vì a+b+c=1) 0.5đ Dấu = xảy a+1=b+1=c+1

a=b=c Trái với giả thiết a+b+c=1 0.25đ

đpcm 0.25đ

b.(2đ)

Vì a, b, c 0 nªn (a+b)(a2 – ab+b2) 0

0.25®

 (a+b)( a2 – ab+b2) –(a+b)ab 0

a3 +b3 (a+b)ab 0.25đ

Tơng tự c3 +b3 (b+c)bc 0.25®

c3 +a3 (c+a)ca 0.25®

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có

Mặt khác áp dụng BĐT CoSi cho số không âm Ta có

3 3

1 1

c b

a  abc

3

(2) 0.25đ

Nhân vÕ víi vÕ cđa (1) vµ (2) Ta cã 2(a3+b3+c3) (

3 3

1 1

c b

a   ) > abc

3

[(a+b)ab + (b+c)bc+(c+a)ca] 0.25® (a3+b3+c3) (

3 3

1 1

c b

a   )> c b a b

a c a

c

b 

   

(

) 0.25®

Bài 4:(4đ)

V hỡnh, vit GTKL ỳng, chớnh xác B N C

a (1.5®) BMC = CND (c-g-c) P 0.25®

CNˆ P = BM C 0.25đ

Mà CN P + BMˆ C = 900 M 0.25®

 C Nˆ P + NCˆ P =900 F

0.25®

 NPˆC=1800 - 900 0.25®

hay MC MD E A D 0.25®

b (1®) BMC = AME (g-c-g) 0.25đ

EA = BC 0.25đ

Mà AD= BC EA = AD 0.25đ Suy tam giác vuông DPE có PA trung tuyến thuộc cạnh huuyền

AP = AD = a 0.25đ

c.(1.5đ)Gọi O giao ®iĨm cđa AC vµ BD

 O tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD 0.25đ Vì EF = FC; AE = AD

 FA đờng trung bình tam giác PEC 0.25đ

 FA // PD 0.25đ

mà DP EC AF EC 0.25®

 AFˆC = 900

 F thuộc đờng trịn tâm O đờng kính AC 0.25đ Mà A, B, D thuộc đờng trịn đờng kính AC, BD

 B, F, A, D thuộc đờng tròn đờng kính BD 0.25đ Bài 5: (2đ)

Gọi H chân đờng vng góc kẻ từ A đến MN

I giao điểm AG với BC 0.25đ Theo hệ thức lợng tam giác vuông AMN ta cã

2

2

1

1

AN AM

AH   (1) 0.5đ

Do AG > AH (cạnh huyền cạnh góc vuông)

2

AH

1

AG =(32 )2

AI = )2

2 (

1

BC =

9

BC

0.5®

 2

AH 

9

BC (2) 0.25đ

Từ (1) (2) Suy 2 12

AN

AM  

9

Dấu đẳng thức xảy  dAG 0.25đ Bài 6: (2đ)

M= (1+1)2 a +(1+

2 )

b V× a+b + c =

 M= (1+ )2 a

b a

+ (1+ )2 b

b a

0.5® =(2+

a b

)2 + (2+ b a

)2

0.5® =8 + ( 22 22

a b b a

 ) +4(

a b b a

) 8+2 + 4.2=18 0.5đ

(vì a>0, b>0 nªn 22 22

a b b a

 2 vµ

a b b a

  2) 0.25®

VËy GTNN cđa M = 18  a=b=

2