- Trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland, sự tương đương với tính đầy đủ của không gian mêtric. - Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định l[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-HOÀNG THỊ MẤN
VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN
Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG
(2)Mục lục
Mở đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian vectơ
1.2 Không gian vectơ tôpô
1.3 Không gian mêtric 10
1.4 Ánh xạ đa trị 12
1.5 Một số kí hiệu 12
1.6 Hàm nửa liên tục 12
2 Nguyên lí biến phân Ekeland 15 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 15
2.2 Mở rộng 23
2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho tốn cân 23 2.2.2 Ngun lí biến phân Ekeland vectơ 29
3 Các dạng tương đương nguyên lí biến phân số nguyên lí biến phân khác 36 3.1 Dạng hình học nguyên lý biến phân Ekeland 36
3.1.1 Định lí Bishop-Phelps 36
3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) 38
3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) 41
3.2 Sự tương đương nguyên lí biến phân Ekeland tính đầy đủ khơng gian mêtric 43
3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland chứng minh định lí điểm bất động 44
3.3.1 Định lí điểm bất động Banach 44
(3)3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk 48
3.4 Một số nguyên lí biến phân khác 51
3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss 51
3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler 54
KẾT LUẬN 58
(4)Mở đầu
Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle, viết tắt EVP) coi kết quan trọng giải tích phi tuyến bốn thập kỷ vừa qua
Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng, hàm f nửa liên tục tập compact X đạt cực tiểu tập Khi X tập khơng compact hàm f khơng có điểm cực trị Với không gian metric đủ X, hàm f bị chặn dưới, với ε > 0, ta ln tìm điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức
inf
X f ≤f(xε) < infX f +ε
Vào năm 1974, Ekeland phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn khơng gian metric đủ X với điểm
ε− xấp xỉ cực tiểu x, ta ln tìm điểm xˆ cực tiểu chặt hàm nhiễu hàm ban đầu, đồng thời f(ˆx) ≤ f(x) Khơng thế, ta cịn đánh giá khoảng cách xˆ x
Sau đời, nguyên lí biến phân Ekeland trở thành cơng cụ mạnh giải tích đại Những ứng dụng nguyên lí bao trùm nhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích khơng trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế,
Nguyên lí biến phân Ekeland GS Phạm Hữu Sách [1] sử dụng để nghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị điều kiện tối ưu tốn qui hoạch có tham gia ánh xạ đa trị
(5)sau gọi dạng hình học ngun lí biến phân Ekeland Trong năm gần đây, nguyên lí mở rộng cho hàm f ánh xạ đơn trị đa trị nhận giá trị không gian vectơ áp dụng toán cân
Mục đích luận văn tìm hiểu số kết liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển vectơ) số ứng dụng nguyên lí biến phân
Luận văn gồm chương
Chương Kiến thức chuẩn bị
Chương trình bày số khái niệm kết tơpơ giải tích hàm phục vụ cho việc chứng minh định lí
Chương Ngun lí biến phân Ekeland
Chương trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho tốn cân ngun lí biến phân Ekeland vectơ
Chương Các dạng tương đương nguyên lí biến phân số nguyên lí biến phân khác
Chương trình bày dạng hình học ngun lí biến phân Ekeland gồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa định lí giọt nước
Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach, kết tinh tế Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk Cuối nguyên lí biến phân Borwein-Preiss nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler
(6)Lời cảm ơn
Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy
Qua đây, xin gửi tới quý thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ suốt q trình học tập Trường
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ
Hà Nội, Ngày 25 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn
(7)Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1 Giả sử F trường R C Các phần tử F
được gọi số (đại lượng vô hướng) Một không gian véctơ V định nghĩa trường F tập hợp V khơng rỗng mà hai phép cộng véctơ phép nhân với số hướng định nghĩa cho tính chất sau thỏa mãn:
1 Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với u, v, w ∈ V: u+ (v +w) = (u+v) +w;
2 Phép cộng véctơ có tính chất giao hốn: Với v, w ∈ V: v +w = w +v;
3 Phép cộng véctơ có phần tử trung hịa:
Với v ∈ V, có phần tử ∈ V, gọi véctơ không: v + = v;
4 Phép cộng véctơ có phần tử đối:
Với v ∈ V, tồn w ∈ V: v +w = 0;
5 Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ: Với α ∈ F;v, w ∈ V: α(v +w) = αv+αw;
6 Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng: Với α, β ∈ F;v ∈ V: (α+β)v = αv+βv;
7 Phép nhân vơ hướng tương thích với phép nhân trường số vô hướng: Với α, β ∈ F;v ∈ V: α.(β.v) = (α.β)v;
(8)Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian véctơ Tập C ⊆ X gọi
tập lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0,1] (1−λ)x+λy ∈ C
(hay nói cách khác C chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó)
Định nghĩa 1.1.3 (Nón) Cho X khơng gian vectơ Tập K ⊂ X
được gọi nón có đỉnh ∀x ∈ K, ∀λ ≥0 λx ∈ K
K gọi nón có đỉnh x0 K −x0 nón có đỉnh
Định nghĩa 1.1.4 (Nón đóng) Nón K có đỉnh gọi nón đóng
nếu K tập đóng
Định nghĩa 1.1.5 (Nón nhọn) Một nón gọi nón nhọn khơng chứa đường thẳng
Định nghĩa 1.1.6 (Nón lồi) Nón K có đỉnh gọi nón lồi
K tập lồi, có nghĩa
∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > λ+µ = λx+µy ∈ K
Mệnh đề 1.1.1 K là nón lồi khi K là nón và K + K = K Chứng minh. Giả sử K nón Theo định nghĩa ta có ∀x, y ∈ K
1
2x ∈ K
2y ∈ K
Mặt khác, K nón lồi nên
2(x+y) = 2x+
1
2y ∈ K Vậy (x+ y) ∈ K
Suy K + K ⊆ K Vậy K +K = K
Đảo lại, K nón nên λx ∈ K,(1−λ)y ∈ K, ∀x, y ∈ K Mà K +K = K nên λx+ (1−λy) ∈ K hay K tập lồi
1.2 Không gian vectơ tôpô
Định nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô) Cho tập X 6= ∅ Họ τ tập X gọi tơpơ X
(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ;
(ii) Gα ∈ τ với α ∈ I, I tập số ∪α∈IGα ∈ τ;
(iii) ∀G1, G2 ∈ τ G1 ∩G2 ∈ τ
(9)Định nghĩa 1.2.2 Cho (X, τ) khơng gian tơpơ
• Tập G gọi tập mở X G ∈ τ
• Tập F gọi tập đóng X X\F ∈ τ
Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian tôpô (X, τ), tập A tập X TậpU gọi lân cận tập A U có tập mở chứa
A Khi A = {x} U lân cận điểm x
Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian tôpô (X, τ) Một họ {Gα : α ∈ I}
các tập X gọi phủ tập A ⊂ X A ⊂ ∪α∈IGα
Nếu I tập hữu hạn ta nói phủ hữu hạn Nếu Gα tập mở ta nói phủ phủ mở
Định nghĩa 1.2.5 Tập A ⊂ X gọi tập compact từ phủ mở A ta ln lấy phủ hữu hạn
Nhận xét 1.2.1 Trong trường hợp A ⊂ Rn là tập compact khi
A đóng bi chặn
Chứng minh Điều kiện cần. Giả sử A tập compact {xk} dãy
phần tử A cho xk →a Ta chứng minh a ∈ A
Vì A tập compact, theo định nghĩa dãy {xk}k chứa dãy {xk}l
hội tụ đến giới hạn thuộc A Ta có
a = lim
k→+∞xk = liml→+∞xkl ∈ A
Vậy A tập đóng
Giả sử ngược lại tập A không bị chặn Khi với k ∈ N∗ tồn
xk ∈ A cho ||xk|| > k Vì A tập compact, dãy {xk} ⊂ A có chứa
một dãy {xkl}l cho xkl → a ∈ A (l → ∞) Do tính liên tục
của chuẩn ta có ||xkl|| → ||a||, điều mâu thuẫn với bất đẳng thức
||xkl|| > kl với l ∈ N
∗ Vậy tập A phải bị chặn.
Điều kiện đủ Giả sử A ⊂ Rn là tập hợp đóng bị chặn và {x
k}k
dãy phần tử A Khi {xk}k dãy bị chặn
(10)sao cho xkl → a (l → ∞)
Vì A tập đóng nên a ∈ A Vậy A tập compact
Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian tôpô (X, τ), A tập X Đối với phần tử x ∈ X ta gọi:
(i) Điểm x điểm trong tập A tồn lân cận
x nằm A
(ii) Điểm x điểm ngoài tập A tồn lân cận
x nằm trọn X\A
(iii) Điểm x điểm biên tập A x đồng thời không điểm khơng điểm ngồi A Hay nói cách khác, x điểm biên
A lân cận x có giao khác rỗng với A X\A
Tập hợp điểm biên tập hợp A gọi biên tập hợp
A, kí hiệu ∂A
Định nghĩa 1.2.7 Cho X, Y hai không gian tô pô Một ánh xạ f từ
X vào Y gọi liên tục điểm x0 với lân cận V f(x0)
đều tồn lân cận U x0 cho f(U) ⊆ V Ánh xạ f gọi
là liên tục X liên tục điểm x ∈ X
Định nghĩa 1.2.8 Ta nói tơpơτ không gian véctơ X tương hợp
với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tơpơ đó, tức nếu:
1 x+y hàm liên tục hai biến x, y, tức với lân cận V
của điểm x+y có lân cận Ux x lân cận Uy y
sao cho x0 ∈ Ux, y0 ∈ Uy x0 +y0 ∈ V
2 αx hàm liên tục hai biến α, x, tức với lân cậnV
αx có số ε > lân cận U x cho |α−α0| < ε,
x0 ∈ U α0x0 ∈ V
Một khơng gian véctơ X có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính)
(11)KẾT LUẬN
Luận văn trình bày số vấn đề sau:
- Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng ngun lí Ekeland cho tốn cân ngun lí biến phân Ekeland vectơ
- Trình bày dạng hình học ngun lí biến phân Ekeland, tương đương với tính đầy đủ khơng gian mêtric
- Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định lí điểm bất động Caristi-Kirk
(12)Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Hữu Sách, Dạng hình học ngun lí biến phân Ekeland và ứng dụng, Hội thảo Giải tích đại ứng dụng, trường hè Huế, Viện Toán học- Trường ĐHSP Huế, 1987
[2] Nguyễn Đơng n, Giải tích đa trị , Nhà xuất Khoa học Tự nhiên công nghệ, 2007
[3] M Bianchi, G Kassay, R Pini, Existence of equilibria via Ekeland’s principle, J Math Anal Appl 305 (2005) 502-512
[4] M Bianchi, G Kassay, R Pini, Ekeland’s principle for vector equilib-rium problems, Nonlinear Analysis 66 (2007) 1454-1464
[5] Jonathan M Borwein, Qiji J Zhu,Techniques of Variational Analysis, Springer, 2004
[B] Tài liệu tham khảo bổ sung
[6] Errett Bishop and R R Phelps, A proof that every Banach space is subreflexive, Bull Amer Math Soc., 67:97-98, 1961
[7] Errett Bishop and R R Phelps, The support functionals of a covex set. In V L Klee, editor, Proc Sympos Pure Math., Vol VII, page 27-35 Amer Math Soc., Providence, R.I., 1963
[8] Josef Danes, A geometric theorem useful in nonlinear functional anal-ysis, Boll Un Mat Ital (4), 6:369-375, 1972