Ñaïo haøm cuûa toång hieäu tích thöông caùc haøm soá:... CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ.[r]
(1)Chuyên đề 8: ĐẠO HAØM VAØ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HAØM ĐẠO HÀM
Tóm tắt giáo khoa:
I Đạo hàm hàm số điểm:
Số gia: Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) x0∈(a;b) Gọi Δx số cho x0+ Δ ∈x (a;b)
0 • Δx gọi số gia điểm x0
• Hiệu f(x0+ Δ −x) f(x ), ký hiệu Δy, gọi số gia hàm số điểm x0 ứng với số gia Δx
0
y f(x x) f(x )
Δ = + Δ −
Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm:
Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) x0∈(a;b)
Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0, ký hiệu f'(x0) hay y'(x0) giới hạn hữu hạn (nếu có)
tỷ số số gia hàm số Δy số gia biến số Δx điểm x0 số gia
biến số dần tới
0
0 x 0 x 0
f(x x) f(x ) y
f '(x ) lim lim
x x
Δ → Δ →
+ Δ − Δ
= =
Δ Δ
38
Ghi nhớ: Để tìm đạo hàm hàm số f điểm x0 theo định nghĩa, ta cần thực hai bước sau
• Bước 1: Tính Δy theo cơng thức Δ =y f(x0 + Δ −x) f(x )0 • Bước 2: Tìm giới hạn
x
y lim
x Δ →
Δ Δ
Chú ý:
• Nếu đặt x x= 0+ Δx Δ =y f(x) f(x )− Δ →x x→x0 Khi ta có:
0 x x0
0
f(x) f(x ) f '(x ) lim
x x →
− =
−
• Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm
Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số sau định nghĩa điểm x0
2
0
0
0 a) f(x) x 3x ; x
1
b) f(x) ; x
2x
c) f(x) x ; x
= − =
= =
−
= − =
3 Ý nghĩa hình học đạo hàm:
• Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 f'(x0) (C) đồ thị hàm số
(2)(C): y=f(x)
0
x x
0 f(x )
y
0
M Δ
a) Ý nghĩa hình học đạo hàm:
• Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0 hệ số góc k tiếp tuyến đồ thị hàm số
điểm M (x ;f(x ))0 0 0
0 k f '(x )= b) Phương trình tiếp tuyến:
• Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
điểm M0(x0;f(x0)) là:
0 0
y f '(x )(x x ) f(x )= − +
4) Ý nghĩa vật lý đạo hàm: a) Vận tốc tức thời:
Vận tốc tức thời thời điểm t0 (hay vận tốc thời điểm t0) chất điểm chuyển động
với phương trình s s(t)= v(t ) s'(t )0 = 0
b) Cường độ tức thời:
Cường độ tức thời thời điểm t0 (hay cường độ thời điểm t0) dòng điện với điện
lượng q q= (t) i(t ) q'(t )0 = 0
II Đạo hàm bên: Định nghĩa:
1) Đạo hàm bên trái hàm số y=f( )x điểm , kí hiệu x0 f′( )x−0 ′( )−
0 x
f =
x y lim
x Δ
Δ −
→
Δ =
( ) ( )
0
0 x x
x f x f lim
x
x −
− −
→
2) Đạo hàm bên phải hàm số y=f( )x điểm , kí hiệu x0 f′( )x+0
′( )+
0 x
f =
x y lim
x Δ
Δ +
→
Δ =
( ) ( )
0
0 x x
x f x f lim
x
x −
− +
→
Định lý:
Nếu hàm số y=f( )x tồn f′( )x−0 = f′( )x0+ = M ⇒f′( )x0 =M
III Đạo hàm khoảng:
Định nghĩa: Hàm số y=f(x) có đạo hàm khoảng J có đạo hàm điểm x0
thuoäc J
II Các quy tắc tính đạo hàm:
(3)1 Đạo hàm tổng ( hiệu ): (u±v)′ =u′±v′
2 Đạo hàm tích:
( )u.v ′ =u′.v+u.v′ Đặc biệt ( )C.u ′ =C.u′ Với C số
3 Đạo hàm thương:
2 v v u v u v
u ′ = ′ − ′ ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ Đặc bieät
2 1 v v ′ − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
4 Đạo hàm hàm số hợp:
Cho hai hàm số y=f( )u u=g( )x y=f[ ]g( )x gọi hàm hợp hai hàm số trên, đó: y′x =y′u.u′x
Đạo hàm hàm số bản:
( )C ′ =0 ( C số ) Hàm số hợp u=f( )x
( )α ′ =α α−1 x
x ( )uα ′=αuα−1.u′
2 1 x x − = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ u u u ′ − = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) x x = ′ ( ) u u u ′ = ′
( )x x
e
e ′= ( )eu ′ =eu.u′
( )ax ′=axlna với (0<a≠1) ( )au ′=au.u′lna với (0<a≠1)
( )
a ln x x
loga ′ = với (0<a≠1) ( )
a ln u
u u
loga ′ = ′ với (0<a≠1)
( )
x x
ln ′ = (x > 0) ( )
u u u ln ′ = ′
(ln x)
x
′
= (x≠0) (ln u) u
u
′ ′ =
(sinx)′ =cosx (sinu)′ =u′cosu
(cosx)′ =−sinx (cosu)′ =−u′sinu
( ) tg x
x cos
tgx ′ = 12 =1+ ( ) ( tg u).u
u cos
u
tgu ′ = ′2 = 1+ ′
( ) ( cotg x)
x sin gx
cot ′ = −21 =−1+ ( ) ( cotg u).u
u sin
u gu
cot ′ = −2′ =−1+ ′
( )2 d cx b c d a d cx b ax + − = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +
( )2 1 1 1 2 b x a c a b b x b a x a a b x a c bx ax + − + + = ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + +
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm hàm số sau
(4)( )3
3 2
4
1
1) y x 4x 5x 11 2) y 2x 5x
2x
3) y= 4) y x 3x 3x
= − + − − = − +
− = − +
+
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số sau:
4
2
2
1) y 3x 6x 2x 5x 2) y 3cosx 2sin x 3x 2x 3) y=(2x 5x)(x 2x ) 4) y
x
= − + + = +
+ +
+ + =
−
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm hàm số sau:
1 x x
1) y 2) y cos
4 x
cosx sin x
3) y= 4) y ln(cosx) sinx cosx
+ ⎛π ⎞
= = ⎜ ⎟
− ⎝ ⎠
+ =
−
−
Ví dụ 4: Tìm đạo hàm hàm số sau: 1) y= x 4−x 2)
1
3 + + =
x x
y 3)
1
2 − =
x x y
4) y=e−x2+x 5)
x x e
y= 6) y x2 lnx
1 −
= 7)
x x y
ln
(5)TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt giáo khoa:
42
Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x)xác định khoảng (a;b)
[ ] [ )]
2 ( ) 1 ( 2
1 : ) ; ( 2 , 1
f đồng biến (tăng) trên (a;b) ⇔đn ∀x x ∈ a b x < x ⇒ f x < f x
•
• [f nghịch biến (giảm) trên (a;b)] đn⇔ [∀x1,x2 ∈(a;b):x1 < x2 ⇒ f (x1)> f (x2)]
x y
ĐỊNH LÝ LAGRANGE:
Nếu hàm số y=f(x) liên tục đoạn [ ]a;b có đạo hàm khoảng ( )a;b tồn điểm c a;b∈( ) cho :
f(b) f(a) f '(c)
b a
− =
−
Ví dụ:Tìm số c định lí Lagrange áp dụng cho hàm số y f(x) 2x= = 2−5x 3+ đoạn [ ]0;4
1 Điều kiện cần tính đơn điệu:
Định lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b)
• [ fđồng biến(tăng)trên khoảng(a;b)] ⇒ ⎢⎣⎡ 'f(x)≥0 ∀x∈(a;b)⎤⎥⎦
• [ ]
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ ≤ ∀ ∈
⇒ f'( ) 0 x (a;b) x
b) (a; khoảng trên
(giảm) biến
nghịch f
2 Điều kiện đủ tính đơn điệu:
Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b)
• ⎢⎣⎡ 'f(x)>0∀x∈(a;b)⎤⎥⎦ ⇒ [f đồng biến(tăng)trên(a;b)]
• ⎢⎣⎡ 'f(x)<0∀x∈(a;b)⎤⎥⎦ ⇒ [f nghịch biến(giảm)trên(a;b)]
• ⎢⎣⎡ 'f(x)=0∀x∈(a;b)⎤⎥⎦ ⇒ [f khôngđổitrên(a;b)]
x a b
) ( ' x f
) (x f
+ x a b
) ( ' x f
) (x f
− )
(
f
(
f
2
x
)
1
x
a b
1
x x2
) ( :
)
(C y = f x
x y
1
x x2
) (x1 f
) (x2 f
a b
(6)Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b)
[ đồng biến(tăng)trên(a;b)]
b) (a; của điểm hạn
hữu
số một tại ra xảy chỉ thức đẳng
b) (a; x 0 (x) 'f
f ⇒
∈ ∀ ≥
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡
[ nghịch biến(giảm)trên(a;b)]
b) (a; của điểm hạn
hữu
số một tại ra xảy chỉ thức đẳng
b) (a; x 0 (x) 'f
f ⇒
∈ ∀ ≤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎡
Minh họa định lý:
Định lý 4: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b)
• [f đồng biến(tăng)trên(a;b)] ⇔ ⎢⎣⎡ 'f(x)≥0∀x∈(a;b)⎤⎥⎦
• [f nghịch biến(giảm)trên(a;b)] ⇔ ⎡⎢⎣ 'f(x)≤0∀x∈(a;b)⎥⎦⎤
• [ ]
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ = ∀ ∈
⇔ 'f(x) 0 x (a;b) b)
(a; trên đổi
khoâng
f
x a b
) ( ' x f
) (x f
+
0
x
0 +
x a b
) ( ' x f
) (x f
−
0
x
0 −
3 Phương pháp xét chiều biến thiên hàm số:
y= f(x)ta thực sau: Muốn xét chiều biến thiên hàm số
Bước 1: Tìm miền xác định hàm số : D=?
Bước 2: Tính f '(x) xét dấu f '(x)
Bước 3: Dựa vào định lý điều kiện đủ để kết luận
BAØI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Khảo sát biến thiên hàm số:
1) y= x 4−x 2)
1
3 + + =
x x
y 3)
1
2 − =
x x y
4) y=e−x2+x 5)
x x e
y= 6) y x2 lnx
1 −
= 7)
x x y
ln
(7)Bài 2: Cho hàm số 2 (2 1) 3
1 )
( =− + + + − +
= f x x x a x a
y (1) Tìm a để hàm số nghịch biến R
Bài 3: Tìm m để hàm số ( 1) ( 3)
1 + − + + −
−
= x m x m x
y đồng biến khoảng (0;3)
Baøi 4: Cho hàm số
3 ) ( ) ( 3 )
( = + − + − −
= f x x m x m x
y (1)
Với giá trị m, hàm số (1) đồng biến R
Bài 5: Cho hàm số
1
) (
− + + = =
x m x
x f
y (1)
Tìm a để hàm số (1) đồng biến khoảng xác định
Bài 6: Cho hàm số
1
1 ) ( 2 ) (
−
+ − + + − = =
x
m x m x x
f
y (1)
Tìm a để hàm số (1) nghịch biến khoảng xác định
Bài 7: Cho hàm số (2 1) 2
3
y= x −ax + a− x a− +
Tìm a để hàm số nghịch biến khoảng (-2;0)
Bài 8: Cho hàm số y=x3−mx2 +x+1 (1)
Tìm giá trị m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (1;2)
Bài 9: Cho hàm số
1
x mx y
x
+ −
=
−
Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (-∞;1) (1;+∞)
(8)
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt giáo khoa
I Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) x0∈(a;b)
x y
( )
a x0 b
O
) (x0 f ) (x f ) ( : )
(C y= f x
x ( )
x y
O
a x x0 b
) (x f
) (x0
f (C):y= f(x)
• ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ ⇔ < ∀ ∈
0 x \ V x ) f(x f(x)
x điểm CỰC ĐẠI hàm số f đn
• ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ ⇔ > ∀ ∈
0 x \ V x ) f(x f(x) n
x điểm CỰC TIỂU hàm số f đ
II.Điều kiện cần cực trị:
Định lý Fermat : Giả sử y=f(x) liên tục khoảng (a;b) ( ; ) 0 a b
x ∈ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =
⇒ )
0 ( ' f x x trị cực đạt f x hàm đạo có f
Ý nghóa hình học định lý:
Nếu hàm số y= f x( )có đạo hàm điểm x0 đạt cực trị điểm tiếp tuyến đường cong
(C):y= f x( ) điểm M(x0,f(x0)) phải phương với Ox III Điều kiện đủ để hàm số có cưcï trị:
1) Định lý 1: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm lân cận điểm x0 ( trừ
điểm x0)
• ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒
+ sang - f đạt CỰC ĐẠI x từ dấu đổi ' f mà x qua x Nếu ) (x • ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ +
− sang f đạt CỰC TIỂU x0
từ dấu đổi ' f mà x qua x Nếu ) (x Bảng tóm tắt:
x a b
) ( ' x f ) (x f + x − CT
x a b
(9)2) Định lý 2: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai x0 f'(x0)=0, f''(x0)≠0 • ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ < ⇒
0 x ĐẠI CỰC đạt f '' f
Neáu ) (x • ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ > ⇒
0 x TIỂU CỰC đạt f '' f
Neáu )
(x
BAØI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm cực trị hàm số:
1) y= x 4−x 2)
1 2 3 + + = x x
y 3)
1 2 2 − = x x y
4) y=e−x2+x 5)
x x e
y= 6) y x2 lnx
2 1 − = 7) x x y ln
= 8) y= x−2+ 4−x 9) y= x+ 2−x2
Bài 2: Cho hàm số y= x3+2(m−1)x2+(m2−4m+1)x−2(m2+1) Tìm m để y đạt cực đại, cực tiểu hai điểm x1, x2 thỏa mãn điều kiện 2)
1 ( 2 1 2 1 1
1 x x
x
x + = +
Bài 3: Cho hàm số
1 2 2 − − + = mx mx x
y Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu
với hoành độ thỏa mãn
2 1 4 2
1 x x x
x + =
Bài 4: Tìm m để hàm số
m x
mx x
y= 2++ +1 đạt cực đại x =
Bài 5: Giả sử hàm số
) ( ) ( ) ( x v x u x
f = đạt cực trị x0 Chứng minh
) 0
0 (
' x ≠
v ) 0 ( ' ) 0 ( ' ) 0 ( x v x u x f =
Áp dụng : Tìm giá trị cực trị hàm số:
2 5 3 2 + + + = x x x y
Bài 6: Cho hàm số f(x)=ax3+bx2+cx+d Chia f(x) cho f'(x), ta được:
β
α +
+ +
= f x Ax B x
x
f( ) '( ).( )
Giả sử f(x) đạt cực trị x0 Chứng minh : =α +β
0 )
0
(x x f
Áp dụng : Tìm giá trị cực trị hàm số: y=x3−3x2−3x+2
(10)Bài 7: Gọi (Cm) đồ thị hàm số
x mx
y= +1 (1)
Tìm m để hàm số (1) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm)
đến tiệm cận xiên (Cm)
2 1
Bài 8: Cho hàm số
m x
mx x y
+ + +
= Tìm m cho hàm số đạt cực đại x = -1
Baøi 9: Cho hàm số (2 1)
1 − + − − +
= x mx m x m
y
Tìm m cho hàm số có hai cực trị có hồnh độ dương
Bài 10: Cho hàm số y= x3 −3mx2 +(m2 +2m−3)x+4 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại cực tiểu hai phía trục tung
Bài 11: Cho hàm số :y=(x m− )3−3x
Xác định m để hàm số đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x =
Bài 12: Cho hàm số : y mx= 4+(m2−9)x2+10 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị
Bài 14: Cho hàm soá
1
x mx y
x
+ =
−
(11)GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt giáo khoa
1 Định nghóa: Cho hàm số y= f(x) xác định D
• Số M gọi GTLN hàm số nếu:
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= ∈
∈ ∀ ≤
M D
M x f
) D
x )
(
0 f(x cho sao 0
x tại Tồn
Ký hiệu: y D x Max M
∈ =
• Số m gọi GTNN hàm số nếu:
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= ∈
∈ ∀ ≥
m D
x f
) D
x m ) (
0 f(x cho sao 0
x tại Tồn
Ký hiệu: y D x m
∈ =min
0
x O
M
) (x f
x
x y
0
x
) ( : )
(C y= f x m
D
Minh họa:
2 Các phương pháp tìm GTLN & GTNN hàm số y= f(x) D a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 1: Tìm GTLN nhỏ hàm số :
x x
y= +2 với x > Ví dụ 2: Tìm GTNN hàm số : y= x−2+ 4−x
b) Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm pt hệ phương trình
Ví dụ: Tìm GTLN GTNN hàm số:
2 2
3 2
+ +
+ =
x x
x y
b) Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm, lập BBT hàm số f D suy kết qua
Ví dụ 1: Tìm GTLN hàm số : y=4x3−3x4
Ví dụ 2: Tìm GTNN hàm số :
x x
(12)Ví dụ 3: Tìm GTLN GTNN hàm số : y= x−2+ 4−x
Ví dụ 4: Tìm GTLN GTNN hàm số : y=sin 2x-x treân ⎢⎣⎡− ⎥⎦⎤
2 ; 2
π π
Ví dụ 5: Tìm GTLN GTNN hàm số :
cosx 2
sinx
+ =
y treân [ ]0;π
Ví dụ 6: Tìm GTLN GTNN hàm số : y=x+ 2−x2 Ví dụ 7: Tìm GTLN GTNN hàm số :
2 1 2 cos
sin − +
= x x
y
Ví dụ 8: Tìm GTLN GTNN hàm số :
(cos4 cos8 )
2 1 ) 4 cos . 2 sin 1 (
2 x x x x
y= + − −
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm GTLN GTNN hàm số:
y= x4−3x3−2x2+9x với x∈[−2;2]
Baøi 2: Tìm GTLN GTNN hàm số :
x x
y=sin2 − treân ⎢⎣⎡− ⎥⎦⎤
2 ; 2
π π
Bài 3: Tìm GTLN GTNN hàm số : y= x2.ex [−3;2]
Bài 4: Tìm GTLN GTNN hàm số : y 5cosx cos5x= − [−π π4 4];
Bài 5: Tìm GTLN GTNN hàm soá:
2 2
3 2
+ +
+ =
x x
x
y
Bài 6: Tìm GTLN GTNN hàm số: y=x+ 12−3x2
Bài 7: Tìm GTLN GTNN hàm số: y=(x+2) 4−x2
Bài 8: Tìm GTLN GTNN hàm số:
y=(3−x) x2+1 với x∈[0;2]
Bài 9: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y=2cos2cosx+xcos+1x +1
Bài 10: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số =2sin −4 3sin đoạn 0;⎡⎣ π⎤⎦
3
y x x
Bài 11: Tìm GTLN GTNN hàm số :
f(x)=cos22x+2(sinx+cosx)2−3sin2x
(13)y 4cos x 3sinx 7sin x= 2 + + 2
Bài 13: Tìm GTLN GTNN hàm số :
1 sin 2
sin
1 sin
+ +
+ =
x x
x y
Baøi 14: Tìm GTLN GTNN hàm số:
y=2(1 sin2 cos4 )+ x x −12(cos4x−cos8 )x
Bài 15: Tìm GTLN GTNN hàm số: y=2(sin3x+cos ) 8sin cos3x + x x -Heát -