Cho hình chóp đều SABCD , biết khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên và mặt bên lần lượt là a và b. Tính ba góc của tam giác. 2) Trong không gian Oxyz cho hình chóp SABCD, đáy là hình th[r]
(1)www.saosangsong.com.vn NHÁY A 2004 Thời gian làm : 180 phút Câu (2 điểm ) Cho hàm số : y =
2
x + x 2x
− −
− (1)
1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1)
2) Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt (C) hai điểm A, B AB = Câu (2 điểm )
1) Giải BPT :
2x - 4x 3x + 10
2 x
x 2+ + + > x 2+ 2) Giải HPT : log (x ) log3
xy 2x - y + =
y y
⎧ − − =
⎪ ⎨
−
⎪⎩
Câu (1 điểm ) Tính tích phân : I =
x x
x x - d
+ −
+ ∫
Câu (1 điểm ) Cho hình chóp SABCD , biết khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên mặt bên a b Tính thể tích khối chóp
Câu (1 điểm ) Cho tam giác ABC có góc A khơng nhọn thỏa mãn điều kiện : cos2A - 2 sinB - 2 sinC = - Tính ba góc tam giác
Câu (2 điểm )
1) Cho A(3 ; 4) B(0 ; - 5), tìm toạ độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB 2) Trong khơng gian Oxyz cho hình chóp SABCD, đáy hình thoi có AC BD cắt gốc
toạ độ O Biết A(3 ; 0; 0), S(0 ; 0; 4) B(0; 2; 0) a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
b) M điểm cạnh SA , cho mặt phẳng (CDM) chia hình chóp SABC thành hai khối có tỉ số thể tích 4:5, phần chứa S tích nhỏ Tìm toạ độ điểm M
Câu Cho Z = (z + + i)/(z + i) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số z cho Z số thực dương
GIẢI VẮN TẮT Câu
2 PT hoành độ giao điểm A, B: – x2 + x – = (2x – 2)(- x + m) Ù x2 – 2m x + 2m – =
2
' m 2m
Δ = − +2> với m => ln có giao điểm A, B
AB = 2 2
2 | x - x |
2 2
(x - x ) +(y - y ) = (x - x ) +(- x + m + x - m) = =
2
2
(2)www.saosangsong.com.vn AB = Ù m2 – 2m + = Ù m = hay m =
Câu
2
2x - 4x 3x + 10
2 x
x 2+ + + > x 2+
ĐK : - < x < hay x ≥ 2
2x −4x 2(x 2) 3x 10+ + > + Ù 2x - x2 > +x 6 Ù 2x2 – x > x 2 + 12 x + 36 Ù x2 - 16 x – 36 > Ù x < - hay x > 18
So với điều kiện : x > 18 ĐK : x > y > Hệ Ù
x -
x 2x y
y
y y
⎧ =
⎪ ⎨
⎪ − − + =
⎩
Ù x = 4y 4y2 – 9y + = Ù y = hay y = 5/4 Hệ có nghiệm (4 ; 1) (5; 5/4)
Câu Đặt t = x 2− : tdt = dx => I =
2 3
2 2 2 2
1
1 1
2 2 4
.2 [ 4ln | 1|]
1 1
t t t t t t
tdt dt t dt t t
t t t
⎛ ⎞
+ + = + + = ⎛ + − ⎞ = + −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ ⎝ + ⎠ ⎝ + ⎠
∫ ∫ ∫ + =
Câu Kẻ OK vng góc SB OK = a Gọi I trung điểm BC, kẻ OH vng góc SI OH vng góc (SBC) => OH = b
Gọi x y cạnh đáy chiểu cao, ta có:
2 2
2 2
1
(1) x
1
(2) x
a y
b y
⎧ = +
⎪⎪ ⎨
⎪ = +
⎪⎩
S
A B
I C D
K
H
O => 12 12
x
b −a = 2
2 1
a −b = y2 Vậy x2 =
2
2 2 2
2( ) ;
2
ab ab
y
a −b = b −a Và V = 1/3 x2y =
3
2 2
2( )
3( )
ab
a −b b −a
Câu Gọi T biểu thức vế trái, ta có : T = (2cos2A – 1) - 4 2.sin .cos
2
B C+ B−C
= (2cos2A - 1) - 4 2.cos cos
2
(3)www.saosangsong.com.vn
Mà cos
2
B C− ≤
- cos
A<
, suy T ≥ 2cos2A - cos
A - Vì π/ ≤ A ≤ π nên cosA ≤ suy cos2A ≥ cosA (*) đó: T ≥ 2cosA - cos
2
A
- = 4cos2 cos
2
A− A−
=
2
2cos
2
A
⎛ − ⎞ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=> T ≥ -
Do T = - Ù đẳng thức xãy bất đẳng thức xét Ù
2
cos /
2
/
cos cos
B C
A B C
A A
π π
−
⎧ = =
⎧
⎪ <=>
⎨ ⎨ = =
⎩
⎪ =
⎩
A
B O Cách khác: Nếu không nhận (*) ta đặt t = cos
2
A ( < t ≤
2 π/4 ≤ A/2 ≤ π/2)
=> cosA = 2t2 – => T ≥ 2(2t2 – 1) - 4 2t – = f(t) Ta có: f(t) = 8t4 - 8t2 – 4 2t +
=> f’(t) = 32t3 – 16t – 4 2= 16t(2t2 – 1) – 4 2< < t ≤
2 => f(t) nghịch biến ( ;
2 ] => f(t) ≥ f(
2 )
= -
Vậy T ≥ - Câu
1 PT đường cao AH : y = PT đường cao OH qua O vuông góc JJJGAB= − − = −( 3; 9) 3(1;3) x + 3y =
Suy H = (- 12 ; 4)
* Trung trực OB: y = - 5/2 Trung trực AB qua trung điểm AB (3/2 ; - ½) vng góc , có phương trình :
( 3; 9) 3(1;3)
AB= − − = −
JJJG
1 (x – 3/2) + 3(y + ½) = Ù x + 3y =
Suy toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp (15/2 ; - 5/2)
Cách khác: PT đường trịn có dạng: x2 + y2 – a x – 2by = Thế toạ độ A B :
25 15 /
25 10 /
a b a
b b
− − = =
⎧ ⎧
<=>
⎨ + = ⎨ = −
⎩ ⎩
2
a) S(0; 0; 4) , C( - ; ; 0) , D(0 ; - 2; 0) => phương trình (SCD) : x
3
y z
+ + =
− −
Ù - x – 6y + 3z – 12 = Vậy d(A, (SCD)) =
2 2
| 12 12 | 24
61
4
− − =
(4)www.saosangsong.com.vn
b) (CDM) cắt SB N MN // AB Đặt
SM =k SA
JJJG JJG
= k(3 ; ; - 4) với < k <
A
B S
M
C
D
N
SN =k SB JJJG JJG
= k (0; ; - 4)
=> VSCMN = 1/6 | [SC SM SNJJJG JJJG JJJG, ] ] = 8k2 Mà
VSABC =
YCBT Ù 8k2 = 4/9 Ù k = 2/
Suy toạ độ M = (2 ; ; 4/3)
Cách khác: Có thề sử dụng cơng thức so sánh thể
tích :
2
9 SCMN
SABC
V SM SN SM
V SA SB SN
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
=> 2
3
SM
SM SA
SA = => =
JJJG JJG
Câu z = x + iy:
Z = [x + + i(y + 1)]/(x + i(y + 1)] =
2
2 2
[x ( 1)][x ( 1)] x + x ( 1) +i( 2]
x ( 1) x ( 1)
i y i y y y
y y
+ + + − + = + + − −
+ + + +
YCBT Ù Ù
( )2
2
2
x x y
– 2y –
x (y 1)
⎧ + + + >
⎪⎪ =
⎨
⎪ + + ≠ ⎪⎩
2
2
1
1
2
1
0
y
y
x x
x hay x x
= − ⎧
= − ⎧ ⎪ + > <=>
⎨ ⎨ < − >
⎩ ⎪ ≠